CC BY
16
УДК 004.9:[519.852:519.6] ББК В 183.41 :В 193.1
А.Ю. ИВАНИЦКИЙ, А.М. УРУСОВ
ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДА ПОТОЧЕЧНОЙ НЕВЯЗКИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ И ДВОЙСТВЕННОЙ НЕУСТОЙЧИВОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПРИБЛИЖЁННЫМИ ДАННЫМИ
Ключевые слова: некорректно поставленные задачи, прямая и двойственная задача линейного программирования, неустойчивые технические и инженерные задачи, сходимость, оценка погрешности.
В работе предлагается численный анализ метода поточечной невязки для решения прямых и двойственных задач линейного программирования с приближенными данными. В качестве модельной задачи взята «сильно» неустойчивая система линейных алгебраических уравнений с большим числом обусловленности, которая получена путем дискретизации интегрального уравнения Фредгольма I рода. В статье показана численная сходимость метода поточечной невязки для подобных задач. Предложенный метод может применяться для решения неустойчивых технических и инженерных задач.
1. В работе [3] предложен метод поточечной невязки для решения неустойчивых систем линейных алгебраических уравнений и неравенств с приближёнными данными. В статье [4] рассмотрен один из вариантов этого метода для решений прямой и двойственной задачи линейного программирования, когда входные данные задачи известны приближенно: доказаны теоремы существования, сходимости и получены оценки погрешности аппроксимации точных решений приближёнными. В этой же работе проведен численный анализ метода поточечной невязки для неустойчивой задачи линейного программирования с приближёнными данными в пространстве Я2. В настоящей работе основная цель - показать сходимость метода на примере «сильно» неустойчивой задачи большой размерности из статьи [5].
Сформулируем стандартную (основную) задачу линейного программирования
ф(и) = (с, и ^ и е и,
(с и) = си + с2и2 +... + спип, и = {и еЕ"п : Ви<а}, Я+ = {и = [их,и2,...,ип]Т :и > 0,у = Щ
(1)
где
B
bnb12..K
b21b22 ...b2n
bp1bp2 ...bpn
e R pxn, d =
e R p, c =
Ярхп и Яр - пространство матриц порядка рхп и пространство векторов размерности р с действительными элементами, соответственно. Задачу, двойственную к (1), запишем в виде
c
c
2
c
p
n
y(v) = -(d, v) ^ sup, v e V, (2)
где V = {v e RP : -BTv - c < 0}, BT e Rnxp. Как следует из [9], задачи (1) и (2) одновременно разрешимы, т.е.
U* = (u e
и
V* = ^ v e V : wlvl = w', w' = supwlvlM!
(3)
iu e U : ф(и) = ф*, ф* = inf ф(и2
v ue(7 '
V: w(v) = w*, V = supw(v) f ^ 0.
veV J
при выполнении условии
и * 0, ф, > -да
и и, е и,, у* е V*, тогда и только тогда, когда
w =
e W = w e Rn+p : Bu
- d < 0,-BT v* - c <
c < 0,(c,u*) n (d,v*) < o}.
Таким образом, если мы найдем вектор w — [м>1, W2,..., wn, wn+l...wn+ р
] , то
вектор и* — К,w2,...,wn]т из его первых п-компонент будет решением задачи (1), а вектор у* — ^п+1,wn+2,...,wn+p]т- решением задачи (2). Переход к множеству W позволяет нам найти одновременно решение прямой задачи (1) и двойственно к ней задачи (2).
В дальнейшем будем искать вектор w е W с минимальной нормой (нормальное решение), что приводит к задаче
/— ^ — |w1| + |w2| +... + |wn+р| ^ inf, w е W
или, с учетом W с R++р,
/(х) — w1 +W2 +... + Wn+p ^inf,wеW. (4)
Множество W ^ 0, так как при выполнении условий (3) и* ^ 0 и V* ^ 0, и ограниченная снизу функция /> 0 достигает своей точной нижней грани на непустом множестве W. Следовательно, множество решений задачи (4)
W* — jw е W : /^) — /*,/* — inf /(w0.
wеW '
Пусть данные {Б, d, е} в задаче (1) известны приближённо
e Rn
b~ib~2. к ' d1
B = b21b22. An e Rpxn, d = d2 e Rp, d = ~2
^A 2 An _ d _
так, что выполняются соотношения
bj - bj
< А ,
d, - d,
<S,, d -c\,
(5)
*
где А у > 0,5 5 > 0, ^ > 0,5 = 1, р, = 1, п - заданные поточечные уровни погрешностей. В общем случае задача (4) с приближенными данными |в, с1, е]
/^) = 1 ^ 1п£, w е
с < 0,(с,и) + ^(1,у^ < о] может оказаться неразрешимой, а в случае разрешимости может быть неустойчивой [9] [см. также ниже пример из пункта 2]. Поэтому для ее решения необходимо использовать методы регуляризации [1-9]. Одним из таких методов является метод поточечной невязки, описанный ниже.
Обозначим
jw = [u, vf
где W = jw = |u,v[ e R"+p :Bu -d <0,-Bfv- с <
_Л11Л12. А„ " "«1" "
A = А21А22. ..А 2n , 5 = «2 , % =
Л р1А p 2 ..А pn Л _
a = {A, 5, %}- набор погрешностей входных данных из (5). Рассмотрим множе-
ство
W(a) = ^ = [и, у]7 е Я++р : Ви - 3 < Аи + 5,-БТ у - с < АТ V + 4,
(г, и+(у) < (4, и+(8, у)}
или эквивалентное ему множество
W(a) = ^ = [и, у]7 е Я++р :(В - А)и < 3 + 8,-(В + А)Т < 3 + 4, (3-4,и + (3-5,у) < 0}.
В определении множества W(a) заложена идея согласования компонент векторов-невязок с поточечными погрешностями входных данных А, 5, Заметим, что впервые такая идея была высказана в [7], хотя формально понятие «слабого» решения для систем линейных неравенств, введённое в [10], приводит к таким же неравенствам, как и определении множества W(a). Множество W(a) Ф 0, так как W с W (с) и W Ф 0, и является специальным расширением множества W.
Рассмотрим задачу
/^) = 1 ^ т^ w е W(с). (6)
Теорема 1. При выполнении условий (3) и (5) множество решений задачи (6)
W.(с) = е W(с): /^) = /¡(с),/¡(с) = м /^)1 ф 0
^ wеW (с) J
P(W„(a), W„)= sup inf ||w(a)-w\\ ^ 0.
w(a)eW„ (a,e)weW a^0
Доказательство этой теоремы приведено в теоремах 2 и 3 в работе [4]. Эта теорема показывает, что в качестве приближённых решений задачи (4)
и
при условии задания оценок (5) можно взять решения задачи (6). Более того, в работе [4] получена оценка погрешности решений задачи (4) решениями задачи (6) такого же порядка, что и порядок задания погрешностей входных данных, т.е. получены оптимальные оценки по порядку
sup p(w,W*) = O(A + 5 + ,)
weW.(S)
или, более точно,
p(w,W*)<M{4Л + 2M(S,,)](/*) + 2|S||OT+HJ}Vw e W*(a), (7)
где A = max AsJ, S = ||S||M = max Ss, , = max , j, M (S, ,) = max{S, ,}, s = 1, p, j = 1, n.
Заметим, что в отличие от традиционных методов регуляризации из [8] метод поточечной невязки, заключающийся в решении задачи (6), приводит к оптимизационной задаче такого же типа, как и исходные задачи (1) и (3), т.е. мы остаёмся в классе задач линейного программирования, что, несомненно, является достоинством этого метода.
2. Рассмотрим модельную задачу, которая относится к «сильно» неустойчивым задачам [6] в том смысле, что число обусловленности матрицы системы уравнений, аппроксимирующей интегральное уравнение, очень большое.
Модельная задача. Найти решение u(s) интегрального уравнения Фредгольма I рода
b
JK(x,s)u(s)ds = /(x), с < x < d, (8)
a
где K(x,s) = [1 + (x-s)2]-1, [с;d] = [-2;2], [a;b] = [-1;1],
/(x) = (2 -x2) • [arctg(1 -x) + arctg(1 + x)] -2 - x• l^ +(1 -x)2.
1 + (1 + x)2
Точное решение уравнения (8) - известная функция u (s) = 1 - s2. Аппроксимируем уравнение (8) на равномерных сетках xt+1 = xt + hi, x1 = -2,i = 1,41,h = 0.1 и sj+1 = sj + hj,s1 = -1, j = 1,41,h- = 0.05, используя формулу Симпсона. Мы приходим к системе линейных алгебраических уравнений
A u = ~, (9)
~ N h
A=e я4"41. ~j= T+jj • о»)
~ =[ / W,. / ( x,),.., / (x41>r
где Nj - квадратурные коэффициенты формулы Симпсона.
Если решать систему (9) традиционным методом Гаусса в среде Maple2015, то мы получим её приближенное решение, сильно отличающимся от точного решения u (s) . Результаты вычислений представлены на рис. 1. и табл. 1.
Таблица 1
Решение системы (9) методом Гаусса
Норма Погрешность решения ||и—и [ Невязка 1А и—и 1
11*111 6911.6993266410008 12.9239639973000
На рис. 1. пилообразность приближенного решения и (5) системы (9) настолько велика, что точное решение в данном масштабе выглядит как вертикальный отрезок Х1Х2. Из табл. 4 видно, что погрешность аппроксимации точного решения приближённым очень велика порядка 0(103).
Будем искать решение интегрального уравнения (8) на классе неотрицательных (и(5) > 0), монотонных (и'(5) > 0,5 е[—1,0] и и'(я) < 0,5 е [0,1]) и выпуклых (и(5)" < 0,5 е [—1,1]) функций. Для этого рассмотрим множество Б, векторы которого компонентно удовлетворяют условиям монотонности
и}+1 — и} > 0, ] = 120, (11)
и
]+1 — и] < 0, ] = 21, 40
и выпуклости
и}+1 — и} и} — и}—1
< 0, ] = 2,40, (12)
и задачу нахождения нормального решения системы (9), записанную в эквивалентной форме:
ф(и) = ||и||1 = и1 + и2 +... + и41 ^ гп£,и е и0,
где = и+ п Б, и+ = {и е Я+ : Аи < /,—Аи < — {}, или в виде
ф(и) = [ = и1 + и2 +... + и41 ^т£,и е иа, (13)
где
U 0 =
{и
F =
е R +1: Bu < d £ B =
1 -10 0 0 1 -10
A
- А Е L
Я1
00 00
0 0
00 00
00 00
1 -1 0 0 -1 1
0 0 0 0
{
0 0
0 0" 0 0
0 0
0 0
0 0
-1 1
е Я1
(14)
е R4
"1 - 2 1 0 ... 0 0"
ь = 0 1 -2 1 ... 0 0 е Я39х41
0 0 0 .. 1 -2 1
Матрицы Е и L - матрицы неравенств условий монотонности (11) и выпуклости (12), соответственно. Естественно считать их известными точно. Таким образом, мы находимся в условиях задачи линейного программирования (1) с приближёнными матрицей В и вектором d, имеющими специальную структуру (14).
Переходим к описанию метода поточечной невязки аналогично (6) для задачи (13). Пусть
А =
А Ат Ох О2
е R
161x41
8 =
8
03
04 О,
е R
161
где элементы А^ матрицы А и компоненты 5, вектора 8 определяются следующим образом: А ^ = 3 | • 10-
,5 ,. = Ы-10"
к,где ^ и л,,, = 1,41,з = 1,41 -
равномерно распределенные случайные числа на отрезке [-1; 1], полученные с помощью стандартной программы «Ка^отТооЦишйэгт)» в среде Мар1е2015, к = 1, 6, О1 - это нулевая матрица порядка 40^41 (правая часть ограничений -неравенства условий монотонности (11)), О2 - нулевая матрица порядка 39^41 (правая часть ограничений - неравенств условий выпуклости (12)), О3, О4 и О5 -векторы с нулевыми компонентами размерности 41, 40 и 39, соответственно. Тогда множество W(c) для задачи (13) с учётом точно заданных матриц Е и L и
вектора с = [1 1 ... 1] е Я+ выглядит следующим образом: W(c) = ^ = [и, V] е Я+02: Ви - d < Аи + 8,-Вгу - с < Ату, < с,и > + < 5,у ><< 8, V >}.
Таким образом, метод поточечной невязки для решения задачи линейного программирования (13) и двойственной к ней задачи приводит к задаче линейного программирования
Г(■№) = [ = м/х + +... + ^202 ^ inf,w е '(5). (15)
Заметим, что в данном случае нас не интересует двойственное решение w = [^42 + ^43 +... + ^202]г , поскольку наша цель:
1) посмотреть, как ведет себя метод поточечной невязки для решения прямой и двойственной задачи линейного программирования для «сильно» неустойчивых задач большой размерности;
2) получить приемлемые приближённые решения для функции и(5) = 1 - 52, являющейся решением интегрального уравнения (8).
Результаты вычислений представлены в табл. 2.
Таблица 2
Метод поточечной невязки для решения интегрального уравнения Фредгольма I рода на классе неотрицательных, монотонных и выпуклых функций
Погрешность, невязка к
1 2 3 4 5 6
ц~ - и 1 14,6 4,12 1,356 1,1118 1,07908 0,534178
5,7 1,52 0,214 0,0251 0,00223 4,84-10-4
Далее на рис. 2 представлены графики точного решения интегрального уравнения Фредгольма I рода и приближённых решений на классе неотрицательных, монотонных и выпуклых функций, полученных методом поточечной невязки для прямой и двойственной неустойчивой задачи линейного программирования.
Как видно из табл. 2 и рис. 2, приближённые решения, полученные методом поточечной невязки (6) для задачи (13), сходятся к точному решению и^) = 1 - s2 интегрального уравнения (8) при увеличении знака к. При этом
невязка A u - f
Au - f уменьшается с большей скоростью (при k = 6 имеем = 4,84 • 10-4), чем погрешность ||u - u| 1 (при k = 6 -||u — u|^ = 0,534178 ). Последнее, по-видимому, объясняется тем, что в оценке
погрешности (7) константа M = Mk (для каждого k своё значение Mk ) принимает большое значение и она «гасит» значение выражения в фигурных скобках, которое имеет порядок 0(0,5 • 10-k ).
Литература
1. Агаян Г.М. О задаче линейного программирования с поэлементным заданием погрешностей в исходных данных // Доклады АН СССР. 1986. Т. 221, № 2. С. 256-269.
2. Агаян Г.М., Рютин А.А., Тихонов А.Н. О задаче линейного программирования с приближенными данными // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1984. Т. 24, № 3. С. 1303-1311.
3. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю., Морозов В.А. Метод поточечной невязки для некоторых задач линейной алгебры и линейного программирования // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38, № 7. С. 1140-1152.
4. Иваницкий А.Ю., Карасева Ж.К. Об одном методе регуляризации прямой и двойственной задачи линейного программирования с приближёнными данными // Вестник Чувашского университета. 2015. № 3. С. 141-148.
5. Иваницкий А.Ю., Урусов А.М. Численный анализ метода поточечной невязки // Вестник Чувашского университета. 2016. № 1. С. 127-144.
6. ЛеоновА.С. Решение некорректно поставленных обратных задач. М.: URSS, 2009. 326 с.
7. Морозов В. А. Об устойчивых численных методах решения совместных систем линейных алгебраических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1984. Т. 24, № 2. С. 179-186.
8. ТихоновА.Н., АрсенинВ.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 284 с.
9. Vasilyev F.P., Ivanitskiy A.Yu. In-depth analysis of linear programming. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 2001, 312 p.
10. Oettli W., Prager W. Compatibility of approximate solution of linear equation with given error bounds for coefficients and ride-hand sides. Numerische Mathematik, 1964, no. 6, pp. 405-409.
ИВАНИЦКИЙ АЛЕКСАНДР ЮРЬЕВИЧ - кандидат физико-математических наук, профессор, декан факультета прикладной математики, физики и информационных технологий, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).
УРУСОВ АНДРЕЙ МИХАЙЛОВИЧ - магистрант кафедры прикладной математики и информатики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).
A. IVANITSKIY, A. URUSOV
NUMERICAL ANALYSES OF POINTWISE RESIDUAL METHOD TO SOLVE MAIN AND DUAL ILL-POSED LINEAR PROGRAMMING PROBLEMS WITH APPROXIMATE DATA
Key words: ill-posed problems, direct and dual problem of linear programming, ill-posed technical and engineering problems, convergence, inaccuracy estimation.
The paper proposes the numerical analyses of pointwise residual method to solve direct and dual problems of linear programming with approximate data. 'Highly' ill-posed linear algebraic equation system with high condition number which is obtained by discretization of Fredholm integral equation of the first kind is observed in the article as a model problem. Numerical analyses of convergence ofpointwise residual method for such problems is shown in the paper. The proposed method can be used to solve ill-posed technical and engineering problem.
References
1. Agayan G.M., O zadache lineinogo programmirovaniya s poelementnym zadaniem pogreshnostey v ishodnyh dannyh [About linear programming problems with elementwise setting of errors in initial data]. Doklady AN SSSR [Reports of USSR Academy of Science], 1986, vol. 221, no. 2, pp. 256-269.
2. Agayan G.M., Ryutin A.A., Tihonov A.N. O zadache lineinogo programmirovaniya s priblizhennymy dannymi [About linear programming problems with approximate data]. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics], 1984, vol. 24, no 3, pp. 1303-1311.
3. Vasil'ev F.P., Ivanitskiy A.Yu., Morozov V.A. Metodpotochechnoi nevyazki dlya nekotorykh zadach lineinoi algebry i lineinogo programmirovaniya [Pointwise Residual Method for Solving Some Problems of Linear Algebra and Linear Programming]. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics], 1998, vol. 38, no. 7, pp. 1140-1152.
4. Ivanitskiy A.Yu., Karaseva Zh.K. Ob odnom metode reguluarizatsii pryamoy I dvoistvennoi zadachi lineinogo programmirovaniya s pribliahennymy dannymi [One of regularization method of direct and dual problems of linear programming with approximate data]. Vestnin Chuvashskogo universiteta, 2015, no. 3, pp. 141-148.
5. Ivanitskiy A.Yu., Urusov A.M. Chislenny analiz metoda potochechnoy nevyazki [Numerical analysis of pointwise residual method]. Vestnin Chuvashskogo universiteta, 2016, no. 1, pp. 127-144.
6. Leonov A.S. Reshenie nekorrektno postavlennykh obratnykh zadach [Solving Ill-Posed invers problems]. Moscow, URSS Publ., 2009, 326 p.
7. Morozov V.A. Ob ustoychivyh chislennyh metodah reshenia sovmestnyh system lineynyh algebraicheskih uravneniy [About stable numerical methods for solving of joint systems of linear equations]. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics], 1984, vol. 24, no. 2, pp. 179-186.
8. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Metody resheniya nekorrektnykh zadach [Methods for Solving Ill-Posed Problems]. Moscow, Nauka Publ., 1986, 284 p.
9. Vasilyev F.P., Ivanitskiy A.Yu. In-depth analysis of linear programming. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 2001, 312 p.
10. Oettli W., Prager W. Compatibility of approximate solution of linear equation with given error bounds for coefficients and ride-hand sides. Numerische Mathematik, 1964, no. 6, pp. 405-409..
IVANITSKIY ALEXANDER - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Dean of the faculty of Applied Mathematics, Physics and Information Technology, Chuvash State University, Russia, Cheboksary ([email protected]).
URUSOV ANDREY - Master's Program Student of Department of Applied Mathematics and Informatics, Chuvash State University, Russia, Cheboksary ([email protected]).
Ссылка на статью: Иваницкий А.Ю., Урусов А.М. Численный анализ метода поточечной невязки для решения прямой и двойственной неустойчивой задачи линейного программирования с приближёнными данными // Вестник Чувашского университета. - 2018. - № 1. - С. 108-116.
