Об интерполяции функций многих переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 18 Выпуск 4

УДК 511.3 Б01 10.22405/2226-8383-2017-18-4-338-346

ОБ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ФУНКЦИЙ многих ПЕРЕМЕННЫХ1

В. Н. Чубариков, М, Л. Шарапова (г. Москва)

Аннотация

В настоящей работе построены эффективные многомерные интерполяционные формулы для периодических функций, точные на классах многочленов Фурье. Эта работа продолжает исследования Н.М.Коробова [5], В.С.Рябенького [11], С.М.Воронина [8] и других учёных по применению теоретико-числового метода в приближённом анализе. Эти авторы число узлов рассматриваемых ими сеток брали равным простому числу в кольце целых рациональных чисел и в кольцах целых алгебраических чисел.

Здесь мы рассматриваем класс строго регулярных периодических функций $(х1,..., хп), имеющих период единица по каждой переменной и разлагающихся в абсолютно сходящийся ряд Фурье (см., например, [15], с.447) вида

^ то

/ (хъ...,хп) = £ ••• £ с(тъ...,тп)ем(т^

mi = — то т: = -то

где

1 1

с(тъ ...,тп) = I ••• ! / (х1,..., ж„)е-2™(т1Ж1 + ¿хл ... ¿хп.

о о

Далее, выбирая число точек решётки N в виде N = N1... Ып, где (N3,^) = 1 при в = 1,1 < ^М < х N1/п, 1 < п, и используя китайскую теорему об остатках,

строим интерполяционный многочлен вида

N1 -1 1

Р(Х1,...,ХП)= ^ ••• ^ с(тъ...,тп)е2™(т1Ж1,

т 1 =0 тп = 0

где

1 ^ .(М*к1 М*кп\ -2™(+...+)

5: f(

ь —л V

С(т1,...,шп) = -Т ...У fl^,...,^ le V -

N V Ъ Nn

fci = 1 кп = 1 4

причём NSMS = N, MSM* = 1 (mod Ns).

Ключевые слова: теоретико-числовой метод в приближённом анализе, точки решётки, метод В.С.Рябенького, интерполяционный многочлен, кольца целых рациональных и целых алгебраических чисел, китайская теорема об остатках.

Библиография: 15 названий.

ON INTERPOLATION OF FUNCTIONS OF SEVERAL

VARIABLES

V.N.Chubarikov, M.L.Scharapova (Moscow)

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант М 16-01-00-071

Abstract

In this paper we constructed effective multivariate interpolation formulas for periodic functions, which are the precise on the Fourier polynomial classes. This paper continues investigations by N.M.Korobov [5], V.S.Rjaben'kii [11], S.M.Voronin [8], and others scientists on the application of the number-theoretic methods in numerical analysis. These authors was given the number of knots of a network equals to a prime number in the ring of integer rational numbers and in rings of integer numbers in algebraic numbers.

Here we consider the class of strictly regular periodic functions f (x\,... ,xn), having the period on of one the each variables, and expanding in the absolute convergent Fourier series (see, for example, [15], p. 447) of the form

f (xb...,xn) =

mn = — *x>

c(mu ..., mn)e2*i(miXl

where

i i

= f(".....+

0 0

Further, we select the number of lattice points N in the form N = ... Nn, where (Ns,Nt) = 1 as s = t, 1 < s,t < n, and Ns x N1/n , 1 < n, and using the Chinesse theorem on remainders, we construct the interpolation polynomial of the form

Ni-1 Nn-1

P(хъ...,хп)= Y, ■■■ c(m1,...,mn)(

2vi(m\x\ + ...mnxn)

m\ =0 mn = 0

where

N,

— .»1 Nn .

c(mi,...,mn) = — ]T ■■■ Yj f[

— 1 U — 1 V

M*k

1 «-1

м*пкг;

N ^

fci=i fc„=i

Ni Nn

( M* mi + + N

^ N + Nn J

moreover NSMS = N,MSM* = 1 (mod Ns).

Keywords: the number-theoretic method in the numerical analysis, a lattice points, the V.S.Rjaben'kii method, the interpolation polynomial, rings of the integer rational and the integer algebraic numbers, the Chinesse theorem on remainders.

Bibliography: 15 titles.

mi

e

1. Введение

В настоящей работе продолжены исследования В.С.Рябенького [11]по применению теоретико-числового метода к задаче интерполяции периодической функции многих переменных тригонометрическим многочленом. Этот многочлен называют интерполяционным, если при возрастании числа узлов интерполяции погрешность, т.е. разность между значением функции и рассматриваемым тригонометрическим многочленом, при каком-либо способе взятия предела стремится к нулю. Следуя Н.М.Коробову [5], в теоретико-числовом методе последовательность N чисел узлов интерполяции пробегала последовательность всех простых чисел. Здесь мы берем эту последовательность в виде

N = N1 ...Мп,Мг х N1/п, N¿ = 1,1 < г, в,г < п,в = г,

где п — число переменных интерполируемой функции /(х\,..., хп).

Заметим, что условие х N1/п, 1 < г < п, обеспечивает "равноправность" переменных х\,..., хп, а условие ^) = 1,1 < < п,,в = Ь, имеет арифметический характер и связано с применением китайской теоремы об остатках.

Для большей ясности изложения в качестве примера рассмотрим сначала случай функций одной переменной.

2. Одномерный случай

Пусть f(x) £ Е", а > 1, и является периодической функцией, определенной на вещественной оси и имеющей ограниченную вариацию на периоде, равном 1. Тогда она разлагается в абсолютно сходящийся ряд Фурье вида

f(x) = ^ с(т)e2lTimx, с(т) = с(т; f) = f(x)e-2*imx dx.

т=—ж о

Далее для любого натурального числа N определим функцию

F(x) = FN(x) = £ ё(т)е2™, с(т) = с(т; f) = ± J^f е-™^.

N/2<m<N/2 k=l ^ '

Пусть R(x) = f(x) — F(x) погрешность при замене функции /(x) на функцию F(x). Оценим сверху величины |R(x) | и

Д2 = sup J lR(x)l2 dx,

' о

где / принадлежит определённому выше классу функций. Справедливо следующее утверждение. Теорема А. Д2 < N1-2а.

Доказательство. Выразим коэффициенты с(т) тригонометрического многочлена Р(х) через коэффициенты Фурье функции / (х). Для любых целых кит имеем

4»; -I—-{

1, если к = т, 0, если к = т,

~ (. e2vikx\ =1 у* tb-pH = ( 1 если к = т (mod N), \ ; ) N \ 0, если кфт (mod N).

i=i

Таким образом, используя последние соотношения, находим

N / х N

N

1 " / 7 \ 1 "

с( т) = с(т; f) = 1 £ f ) е-™ " = Ь ЕЕ ^^# " =

к=1 ^ ' к=11=-<х>

-irEе - = Е с(1)-

1=—<х к=1 1=—<х

I=т (mod N)

Равенство Ляпунова-Парсеваля даёт 1

flR(x)l2dx = ^ |с(т) - с(т)12 + ^ |с(т)12 + ^ |с(т)(2

0 N/2<m<N/2 -N/2<m m>N/2

Отсюда, используя предыдущее равенство, получим

2

1

2

У lR(x)l2 dx = ^

-N/2<m<N/2

( )

I=—<х I=т (mod N)

+

+ \с(т)\2 + Y, \°(m)\2 = R1 + r2 + R3,

m<-N/2 m>N/2

где штрих в суммировании означает, что I = т. Следовательно,

2

Ri = Е \ Е c(N^ + т)\2« Е

-N/2<m<N/2 |g|>l 0<m<N/2

R2 + Rs < N-2a+1.

у_

^ (Nq — т)с

-2а+1

Теорема доказана.

Теорема Б. Справедлива оценка

\вд\ < N-a+1.

Доказательство. Имеем

R{x)= ^ (с(т) - c(m))e2nix + ^ c(m)e2nimx + ^ c(m)e2nimx.

-N/2<m<N/2 m<-N/2 m>N/2

Поскольку

+те '

с(т) — с(т) = с(1),

1=—<х l=m (mod N)

отсюда находим

\R(x)\< Y \с(т) — ё(т)\ + Е \с(т)\ < N-a+1.

lml<N/2 lml>N/2

Теорема доказана.

3. Многомерный случай

Пусть функция / (х\,... ,хп), имеющая пер иод 1 по каждой переменной, разлагается в абсолютно сходящийся ряд Фурье

те те

/ (Х1,...,ХП)= ^ ••• ^ (1)

т-1=-те тп=-те

причём будем предполагать, что / € а > 1, то есть для всякого набора (т\,..., тп) € Zn, справедливо неравенство

1с(т\,... ,тп)1 < (т\ ...тп)-а, т = тах {1, |ш|}, (2)

и коэффициенты Фурье определяются равенствами

1 1

с(тг,..., тп) = с(т] / ■■■ ] / (хъ ..., Хп)е-2-г{ш1Х1+^+шпХп) ^ ... (3)

0 0

Пусть, далее, N = ... Мп, причём Мг х N1/п ,г = 1,...,п, (N3,^) = 1 при 8 = 1,1 < < п. Наконец, найдем для М3, определяемого условием М3И3 = И, вычеты

М* из сравнения MSMs* = 1 (mod Ns), 1 < s < п. Из китайской теоремы об остатках любой вычет х по модулю N единственным способом представляется в виде

ж = МхМ{хх + ■ ■ ■ + МпМ*пхп,

(4)

где вычеты хг пробегают все классы вычетов по модулю Nr,r = 1,... ,п.

Пусть min [N\,..., Nn} = L. Определим при |mi| < N\,..., |mra| < Nn, набор чисел

c(mi,.. .,тп) = c(m) = ^

N Nn ,

e-E f(

Ь = 1 k„ = 1 4

M*k\ M*nkn

N! Nn

функцию

Положим

— 2iri

M* M* mnk

xe

Щ

апт„к„

Nn

R(x\, ...,Xn) = f (xi, ...,Xn) - F (xi,. . .,Xn).

(5)

F (Xl,...,Xn)= Y ■■■ E c(mi,...,mn)e2ni(mixi+-+m«x«'). (6)

-Ni/2<mi <Ni/2 -Nn/2<mn<Nn/2

(7)

1

A2 = sup ■ ■ ■ lR(x\,..., xn)|2 dx\... dxn

f J J

0 0

(8)

Теорема 1. Пусть / € Е^. Тогда тригонометрический многочлен Р(х\,... ,хп), определённый равенством (6), является интерполяционным и справедлива оценка А2 ^ N2(1-а)/п. Доказательство. Пользуясь равенством Ляпунова-Парсеваля, находим

1

J■ ■ J lR(x\,..., xn)|2 dx\... dxn =

00

£

Y lc(mi,...,m,n) - c(mi,...,m,n)l2 +

-N1/2<m1 <N1 -N„/2<m„<N„

+ E ■■■J2Hmi,...,imn)l'2

т\ т„ Зз:\та\>Ьа

Имеем для коэффициентов Фурье функции /(х) и тригонометрического многочлена Р(х) при к\,... ,кп € Z следующие соотношения

1

с(т; е2™(кх)) = [ е2™^х dx ={ 1 еСЛИ X = т,

7 [ 0, если к = т,

C(m;e277i(kx)) = ■ ■■£

N-1 Nn-10 . ( M{(hl-mi , M* (kn-mn)l

N1 "'

N

1 2 7

e V

+•••+:

'inyK„—m„)i„

h=0 ln=0

1, если к = m (mod IV), 0, если к ^ m (mod N),

x

и

где выражение к = m (mod N) означает, что выполняются п сравнений вида ks = т3 (mod Ns), s = 1,... ,п. Наконец, имеем

с(т) = с(т; f) = -1

ki = 1 к„ = 1 n ' I s=1 s )

1

N

■£■■■£ (Е-Е соЦ« t ) Ч -2« t ^p}

ki = 1 k: = 1 \li=-tt 1„=—ж К s=1 ) I \ s=1 )

M*ks(ls - т3)

Nn

£ ■■■ £ с®

1 Ni N: п

k1 = 1 k: = 1 I s=1

Ns

E ••• E c(l1,...,L).

ll=mi (mod Ni) ln=mn (mod N:)

Таким образом, получим

1 1

У '"J |R(x1,..., xn)|2 dx1... dxn = R1 + R2,

о 0

где

R1=

-Ni/2<mi<Ni/2 —N„<m„<N„/2

E ... E с(1,..

li=mi (mod Ni) l:=m: (mod N:)

i = mi := m:

. , In)

R2 = E'" E I с(т1,... ,тп)|2 .

mi m: 3 s:|ms|>Ns/2

Сначала оценим R1. Находим

R1 « Е ••• Е

—Ni <mi< Ni/2 —N:/2<m: <N:/2

E " ' E (N1q1 +т1... NnQn + т,п)~

qi=1 qn=1

Поскольку при Ns > 1 и тs > 0 (s = 1,... ,п)

E (NsQs + т3)—a <

qs=1

+

d x

<

a 1

(Ns + т3)« ' J (Nsx + т3)а ~ a - 1N«'

ПОЛУЧИМ

(\ i

1—2«

Теперь оценим R2. Имеем

R2 « -^Ж2(1—«)/n a 1

2

2

1

Теорема 2. Пусть / £ ЕЩ. Тогда тригонометрический многочлен Р(х\,..., хп), определённый равенством (6), является интерполяционным и для функции К(х\,..., хп), определённой равенством (7), справедлива оценка К(х1,... ,хп) ^ N(1-а)/п. Доказательство. По формуле (7) имеем

Р (х1 ,...,хп)= Е ••• Е с(т,1,...,тп)е

-М1/2<т1<М1/2 -Ип/2<тп<Ип/2

2т (т1Х1+-----+тпхп)

где

с(т1,...,тп) = с(т) = N1^- L/hNl"х

к1 = 1 кп = 1 К 1 п 7

N1 ^^ N

М*гп1к1 , , M*mnfcл

-2тг1 +•••+-

Отсюда получим

где

1Е(х1,...,хп)1 < К1 + К2,

= £ ■■■ £

-И1/2<т1 <N/2 -Ип<тп<Ип/2

Е ... Е с(11,..., 1п)

1\=т\ (шоё N) 1п=тп (шоё Nn) к=т1 I п=т„

К2 = Е • • • Е Iс(т1,..., тп)|.

т 35

Наконец, поскольку / £ ЕЩ, находим

т\ т„ 3 s:|тs|>Ns/2

Е ••• Е (N^1 + т1 ...Ж^Гт)'

91 = 1 дп = 1

Пользуясь оценкой

а 1

£< Гт-)-а < а - ШГ

Яз = 1 5

получим

о-г) N

Теперь оценим К2. Имеем Теорема доказана.

К2 < -—N(1-а)/п. а 1

4. Заключение

Отметим, что в настоящей работе в теоретико-числовом методе взяты простейшие узлы интерполяции в многомерном случае, обеспечивающие интерполяционный характер рассматриваемых формул, поэтому результаты теорем 1 и 2 могут быть улучшены. Естественно, если известны условия "неравноправия" переменных, то изменяя соотвествующие условия порядка,

N

п

приведенные выше, в этом случае получим интерполяционные формулы, в которых степени интерполяционных тригонометрических многочленов по различным переменным будут отличаться друг от друга.

Другая сторона, связанная с арифметикой количества узлов интерполяции и применением китайской теоремы об остатках, также может быть модифицирована для большей привязки к условию решаемой задачи.

Наконец, последнее замечание касается использования алгебраических полей, более точно, арифметики колец целых чисел в них. Здесь будут продолжены исследования китайских математиков Хуа Ло-кена [6] и Ван Юаня [7], а также развита теория С.М.Воронина [8], продолженная в работах Н.Т.Темиргалиева.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И. M. Метод тригонометрических сумм в теории чисел, 2-е изд., М.: Наука, 1980, 144 с.

2. Крылов А. Н. Лекции о приближенных вычислениях, М.: Гостехиздат, 1950, гл.III.

3. БабенкоК. И. Основы численного анализа, М.: Наука, 1986, 744 с.

4. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы: Учеб.пособие., М.: Наука, 1987, 600 с.

5. Коробов H. M. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, МЦНМО, 2004, 288 с.

6. HuaL.-K. Selected Papers. New York Inc.: Springer Verlag, 1983, pp. 888.

7. Wang Y. Selected Papers. Bejing, 1999, pp. 458.

8. Воронин С. M. Избранные труды. M.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006. 480 с.

9. Архипов Г. И. Избранные труды. Орел: Изд-во Орловского гос.ун-та, 2013. 464 с.

10. Arkhipov G. I., Chubarikov V. N., KaratsubaA. A. Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis. De Gruvter expositions in mathematics; 39. Berlin, New York, 2004. 554 c.

11. Рябенький В. С. О таблицах и интерполяции функций из некоторого класса // ДАН СССР. - 1960. - Т.131, № 5. - С.1025-1027.

12. Чубариков В. И. Арифметические суммы от значений полинома// Докл. РАН — 2016. — Т.466, № 2. - С.152-153.

13. Чубариков В. И., Шарапова М. Л. Об одной кубатурной формуле для периодических функций// Вестн. Моск. ун-та. Сер.1, Математика, механика. 2017. № 6. 59-62.

14. Чубариков В. Н., Шарапова М. Л. Об аналоге квадратуры Гаусса для периодических функций// Вестн. кибернетики. 2017. 28, № 2. 60-65.

15. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу: Учеб. для вузов, 4-е изд., испр. — М: Дрофа, 2004. 640 с.

REFERENCES

1. fl]IMV Vinogradov I. M. Method of trigonometric sums in Number Theory, 2-nd edition, M.: Nauka, 1980, pp.144.

2. [2]ANK KrylovA. N. Lectures on numerical calculations, M.: Gostehizdat, 1950, ch.III.(in Russian).

3. [3]KIB BabenkoK. I. Founndations of numerical analysis, M.: Nauka, 1986, pp. 744.(in Russian).

4. [4]BGK BahvalovN.S., GidkovN.P., Kobel'kov G. M. Numerical methods: Text-book, M.: Nauka, 1987, pp. 600.(in Russian).

5. [5]NMK KorobovN. M. Number theoretical methods in numerical analysis, MZNMO, 2004, pp. 288.(in Russian).

6. [6]LKH HuaL.-K. Selected Papers. New York Inc.: Springer Verlag, 1983, pp. 888.

7. [7]WY Wang Y. Selected Papers. Bejing, 1999, pp. 458.(in Chinesse).

8. [8]SMV VoroninS.M. Selected Papers. M.: Publ. N.E.Bauman MGTU, 2006. pp. 480.(in Russian).

9. [9]Ar Arkhipov G. I. Selected Papers. Orel: Publ. Or'el State Univ., 2013. pp. 464.(in Russian).

10. flOjACK Arkhipov G. I., Chubarikov V. N., KaratsubaA. A. Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis. De Gruvter expositions in mathematics; 39. Berlin, New York, 2004. 554 c.

11. [11]R Rvaben'kii V. S. On tables and interpolation of functions from some class// DAN SSSR . - 1960. - V.131, № 5. - p.1025-1027.

12. [12]Ch4 Chubarikov V. N. Arithmetical sums from polynomial values// Dokladv RAS — 2016. — V.466, № 2. - p.152-153.

13. [13]Ch5 Chubarikov V. N., ScharapovaM. L. On a cubature formulae for periodic functions// Bull. Moscow Univ. Ser.I, Math, mech. 2017. № 6. p. 59-62.

14. [14]CS Chubarikov V. N., ScharapovaM. L. On analogue of .Gaussian quadrature for periodic functions// Bull, of Cybernetics. 2017. 28, № 2, p. 60-65.(in Russian).

15. [15] ASC Arkhipov G. I., Sadovnichii V. A., Chubarikov V. N. Lectures on mathematical analysis: University text-book, 4-th edition. — M: Drofa, 2004. pp. 640. (in Russian).

Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова, Механико-математический факультет Получено 11.12.2017