Об аналитическом продолжении гипергеометрического ряда преобразованием Эйлера-Кноппа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБ АНАЛИТИЧЕСКОМ ПРОДОЛЖЕНИИ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ЭЙЛЕРА—КНОППА

М. М. Кабардов

С.-Петербургский государственный университет, аспирант мат.-мех. ф-та, kabardov@bk.ru

1. Введение

Для суммирования слабосходящихся рядов принято исходный ряд заменять другим, сходящимся к той же сумме быстрее. Такие преобразования получили популярность со времен Эйлера. Метод суммирования (Е, 1), который он применял, получил развитие у многих исследователей. Одним из первых обобщений было нелинейное преобразование

где Дк — оператор конечной разности порядка к. Метод (Е, 1) получается из последнего при г = -1. Дальнейшее обобщение этого преобразования приводит к методу Эйлера— Кноппа, который мы исследуем ниже. Метод Эйлера—Кноппа состоит на самом деле в дробно-линейном отображении исходного степенного ряда и может быть сформулирован в более общем виде следующим образом.

Пусть задана функция С(у), голоморфная в некоторой окрестности начала координат, и пусть £(0) = 0. Тогда функция С™(у) может быть разложена в ряд С™(у) = ^2Ск=тСктУк. Обобщенным преобразованием Эйлера—Кноппа степенного ряда °°=1акгк будем называть ряд

(°° \ °° к

]Га^к =£ Ак(у(г)) , (1)

к=1 ) к= 1

где Ак = 5^ ^=1 Сктат, у(г) — функция, обратная к £ (у) в окрестности начала координат. Метод Эйлера—Кноппа (см. ниже теорему 1) получается при £ (у) = у/(1 + ру). Обобщение (Е, ч)-метода, приведенное в работах [1, 2], получается из преобразования (1) при у ^ 1, причем при формулировке обобщения метода (Е, я) предполагаются дополнительно голоморфность функции С(у) в замыкании единичного круга и условие £(1) = 1. Обычный метод (Е, я) получается при £(у) = у/(1 + Я — чу), у ^ 1. С преобразованием Эйлера и его обобщениями можно ознакомиться, например, в работах [1-4]. Далее мы подробнее рассмотрим преобразование Эйлера—Кноппа и задачу аналитического продолжения обобщенного гипергеометрического ряда.

© М. М. Кабардов, 2009

2. Преобразование Эйлера—Кноппа

Справедлива [3] следующая

Теорема 1 (Эйлер—Кнопп). Пусть дана последовательность {«к, к = 0, 1, 2, . ..} и

А*(р)= Е (к) (-Р)'-' «з, к = 0,1, 2,... (2)

3 = 0

Тогда

оо оо к

——г (3)

к=0 к=0 v у '

для всех значений г и р, при которых элементы сумм существуют и ряды сходятся.

Эта теорема не дает ответа на вопрос, при каких значениях параметра р из сходимости исходного ряда следует сходимость преобразованного. Также неизвестно, какой ряд предпочтительнее для вычисления в пересечении их областей сходимости. А так как данное преобразование мы будем использовать для ускорения сходимости степенного ряда, необходимо описать множество М значений параметра р, при которых область сходимости преобразованного ряда содержит круг сходимости исходного. При этом мы будем говорить, что преобразование (3) регулярно. Заметим, это понятие шире рассматриваемого обычно в теории суммирования рядов.

Пусть А(р) = Ііт |Ак(р)|

к—юо

определяется неравенством

1/к

Тогда область сходимости преобразованного ряда

А(р)

1 — рг

< 1.

(4)

Для дальнейшего нам понадобится

' 1 '

Лемма. А(р) = тах 3

где г3- — особые точки функции у>(г) =5^о=о «кгк.

Доказательство. В самом деле, записав преобразованный ряд в виде

~^2Лк(р) У < ^

1

к=0

(1/г — р)

___ р) к+ 1

мы видим, что (А(р)) 1 есть радиус круга сходимости в плоскости (т) при отображении т = г/(1 — рг). Также ясно, что

А(р)

тіп

3

1

1/г3 — р

откуда следует утверждение леммы. ■

С учетом леммы неравенство (4) преобразуется к виду

тах

3

1

—р

1 — рг

<1

Обозначим £ = 1/г и запишем наше неравенство в виде |£ — р| > А(р). В плоскости (£) оно определяет внешность круга с центром в точке р, содержащего все особые точки

г

р

г

3

г

г

3

tj = ^/zj. Чем меньше радиус этого круга, тем больше площадь соответствующего круга в плоскости (г).

Исходный ряд У] ~о акгк сходится в круге |г| < |го|, где го — ближайшая к началу координат особая точка у>(г). Преобразованный ряд У^=о А(р)гк(1 — рг)-к-1 сходится в «круге» |р — 1/г| > А(р).

Нужно найти значения р, при которых {|1/г — р| > А(р)} Э {|г| < |го|}, или, что то же самое, {|1/г — р| < А(р)} С {1/1г| < 1/|го|}. Очевидно, это те значения, которые определяются из неравенства

А(р) + \р\ < -1-. (5)

Ы

Если р = 0, то А(р) = 1/|го|, поэтому это неравенство определяет непустое множество. Пусть ^ = а^шах |^- |, tj = 1/^', Zj —особенности функции у>(г) = У^о ак%к. j

Задачу отыскания множества М решает Теорема 2. Суммирование Эйлера—Кноппа с параметромр регулярно тогда и только тогда, когда выполнено условие

|р| + А(р) = |^|.

Доказательство. Достаточность условия следует из определяющего неравенства (5) для множества М. Остается показать, что на множестве М неравенство |р| + А(р) < ^°| не имеет места.

В работе [5] было установлено, что если р € М, то |ак| = О ^(|р| + А(р))к^. Отсюда следует, что

1™ П I ^ = С < оо • (6)

к—то (|р| + А(р))к

Учитывая равенство Иш |ак|1/к = |t0|, из (6) получаем, что

к—►то

ко I к

Иш у:—.--- . ... = С. (7)

к—то (|р| + А(р))к

Из (7) следует, что неравенство |р| + А(р) < ^о| на М не выполняется, так как его следствие С = то противоречит неравенству (6). Отсюда и из неравенства (5) следует доказываемое утверждение. ■

Фактически мы доказали также, что функция %(р) = |р| + А(р) достигает абсолютного минимума на М, т. е.

М = | р| 111! %(?) = %(р)

3. Аналитическое продолжение гипергеометрического ряда

В качестве примера применения преобразования Эйлера—Кноппа рассмотрим один метод аналитического продолжения обобщенной гипергеометрической функции

то / \ / \ к то

С1 / I, \ _ {а1)к--Лап)к 2 _ ^ Л к и 1

пГ„-Ла’Ъ’г)-^о(Ь1)к...(ъп_1)кк\-^оХкг ' ь^0’

где (с)к —символ Похгаммера, (с)к = Г(с + к)/Г(с). Этот ряд сходится внутри круга |г| < 1, а на его границе имеет особенность в точке г =1. Аналитически продолжая

его, получаем функцию пЕП_1(а; Ь; г), голоморфную в плоскости (г) с разрезом вдоль положительной полуоси от точки г = 1 до г = то.

В плоскости (^ (при отображении t = 1/г) образом круга сходимости служит круг ^| > 1. Особые точки гипергеометрической функции переходят в точки t = 0 и t = 1. Следовательно, М = [0,1/2], р0пт = а^ тт -гг^Х = 1/2 и А(раПТ) = 1/2.

р^М 11 р|

Чтобы найти подмножество круга сходимости исходного ряда, на котором сходимость улучшается при преобразовании, определим коэффициент сходимости произвольного ряда У $п как величину

И/п

. ^п|

п——то

КС = Ит \дп\х

Очевидно, чем меньше КС, тем быстрее ряд сходится.

Ряд

гк

Е Лк (Ропт) З^Й"

к=о (1 РоПтг)

сходится в полуплоскости Иег < 1, которая, очевидно, содержит круг {|г| < 1} сходимости исходного ряда. Далее, так как Ит |1= 1, коэффициент сходимости

к—-то

исходного ряда (КСисх) в точке г € {|г| < 1} равен |г|. Коэффициент сходимости преобразованного ряда (КСпр) в той же точке г равен (при р = роПт = 1/2)

а-с^Жр)-^-И-

|1 — рг| |2 — г|

В круге {|г| < 1} выполнено неравенство |2 -г| > 1, и поэтому

КСир= < \г\ = КСисх.

|2 -г|

Значит, в круге сходимости исходного ряда имеем ускорение сходимости в |2 - г| раз.

Пусть теперь задана точка г' € [1, +то) и требуется выбрать параметр роПт = ропт(г') так, чтобы преобразованный по Эйлеру—Кноппу ряд сходился возможно быстрее, т. е. нужно найти

ропт = аг?шт А(р)

1 — рг'

В данном случае А(р) = шах(|р|, |р — 1|). Далее, ясно, что точки t = 0 и t = 1 принадлежат окружности дК(ропт, А(ропт)), т. е. |р — 1| = |р| (или Иер = 1/2). Таким

образом, роПт есть решение задачи

ропт = а^шт А(р)

1 — рг'

аг? шт

|р-1|=|р|

рг

1 - рг '

Так как точка г' фиксирована, можно решать эквивалентную задачу ?опт = аг?шах |г' — д| при условии |д — 1| = 1, а затем вычислить ропт = 1/допт.

г

Т

(Т)

Рис. 1. К нахождению параметра допт^').

Из рис. 1 видно, что решение допт лежит на прямой, проходящей через точки г' и 1, и из двух точек пересечения этой прямой и окружности |д — 1| = 1 точка допт, наиболее отдаленная от г'. Аналитически решение находится по формуле

роп

1

^опт

1 +

1 - г'

\Г^~\

-1

При этом

КСпр = А(р)

1 — рг'

1 + |1 — г'|

Найдем область сходимости преобразованного ряда при таком выборе параметра. Оно определяется из неравенства

А(р)

1 —

При р = ропт(г') = 1/допт(г') получаем, что

А(р)

< 1.

(8)

г г

1 — рг *?опт г

Неравенство (8) принимает вид |г| < |допт — г|. Последнее определяет полуплоскость, граничная прямая которой перпендикулярна отрезку [0, допт] и проходит через его середину ^опт/2 (см. рис. 2).

Очевидно, преобразование Эйлера—Кноппа гипергеометрического ряда при таком выборе параметра р регулярно, только если г' Є (—то, 1), а тогда ропт(г') = 1/2, что совпадает с найденным ранее.

г

г

г

Рис. 2. Полуплоскость сходимости преобразованного ряда при р = ропт(г').

Пусть г принадлежит пересечению (обозначим его К') единичного круга {|г| < 1} и полуплоскости |г| < |^опт(г') — г|. Тогда

КСпр = А(р)

г г

1 — рг ^ГОПт(^'/) ^

^пр

и ускорение сходимости получается в пересечении множества К1 с областью, определяемой неравенством |^опт(г') — г| > 1. На рис. 2 область К1 П {г| |^опт(г') — г| > 1} заштрихована.

Аналогичная задача выбора параметра дробно-линейного отображения для аналитического продолжения ряда „ЕП_і(а; Ь; г) решена Скороходовым [6] в следующей постановке.

Задача Р. Для фиксированной точки го = 0, 1 найти из некоторого семейства областей ^7 такой параметр 7опт(го), соответствующую ему область и конформное отображение г = г(и) единичного круга |и| < 1 на область что для прообраза ио точки го верно

7опт(го) =а^шт |^о(7; го)|.

7

Далее, рассматривая семейство дробно-линейных отображений

и

г(си)= (7 — 1)' .

7 — ш

Скороходов находит 7опт(^о) = —(1 — го)/|1 — го|, получая для преобразованного ряда скорость сходимости геометрического ряда со знаменателем

ы 1 + 11 — ^0 |

Там же рассмотрены и другие способы аналитического продолжения гипергеометриче-ского ряда.

1. Харди Г. Г. Расходящиеся ряды. М., 2006. 504 с.

2. Niethammer W. Numerical application of Euler’s series transformation and its generalizations // Numer. Math. 1980. Vol. 34. P. 271-283.

3. Gabutti B., Lyness J. N. Some generalizations of the Euler—Knopp transformation // Numer. Math. 1986. Vol. 48. P. 199-220.

4. Wynn P. A note on the generalized Euler transformation // The Comp. J. 1970. Vol. 14, N 4. P. 437-441.

5. Кабардов М. М. О применении метода суммирования Эйлера—Кноппа к ряду Лагерра // Методы вычислений. Вып. 22. СПб., 2008. C. 77-81.

6. Скороходов С. Л. Методы аналитического продолжения обобщенных гипергеометриче-ских функций pFp—i(ai,... , ap; bi,... , bp—1; z) // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. №7. C. 1164-1186.

Статья поступила в редакцию 12 марта 2009 г.