Области сходимости гипергеометрических рядов многих комплексных переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics 2009, 2(2), 221-229

УДК 517.55

Области сходимости гипергеометрических рядов многих комплексных переменных

Анастасия Ю.Семушева*

Институт фундаментальной подготовки, Сибирский федеральный университет, пр. им. газеты "Красноярский рабочий" 95, Красноярск, 660025,

Россия

Август К.Цих^

Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный 79, Красноярск, 660041

Россия

Получена 18.03.2009, окончательный вариант 21.04.2009, принята к печати 30.04.2009 Обобщается известный результат Я.Горна об областях сходимости гипергеометрических 'рядов многих комплексных переменных.

Ключевые слова: область сходимости, гипергеометрический ряд, носитель ряда, параметризация Горна-Капранова, амеба.

1. Гипергеометрические ряды и результат Горна

Существует несколько определений гипергеометрических функций [1]. Видимо, самым простым и универсальным из них является определение гипергеометрического ряда, данного Горном в 1889 году [5]: степенной ряд (ряд Лорана)

^2 = у>(вь..., вп)х181... (1)

называется гипергеометрическим, если отношения соседних коэффициентов представляют собой рациональные функции переменных в:

---= ДДв), г = 1,..., п; (2)

1

здесь е^ = (0,..., 1,..., 0). Согласно теореме Оре-Сато [8] общий вид для коэффициентов гипергеометрического ряда следующий:

п Г«^) +

4>(в) = Я(в) ■ Г ■ -; (3)

Пг«в ,в) + з)

3=1

* e-mail : [email protected] t e-mail : [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

здесь R(s) — рациональная функция, t £ (C \ {0})n, Г — гамма-функция Эйлера, A, Bj £ Zn, Ci,dj £ C, наконец, (,} — знак скалярного произведения.

Отметим одно важное обстоятельство. Как правило, ряд (1) с коэффициентами вида

(3) расходится, если суммирование брать по всей решетке Zn (нагладный пример тому

+^

— ряд геометрической прогрессии xs). Сам ряд (1) следует считать формальным, из

которого можно строить неформальные (т. е. с непустой областью сходимости) ряды каким-либо естественным выбором массива суммирования S С Zn (см. [1, 6, 7]).

В работе [5] Горн привел рецепт для описания области сходимости гипергеометрических рядов двух и трех переменных, рассматривая в качестве массива суммирования положительные ортанты

Z+ и Z+. Приведем результат Горна для двукратных рядов Я(жьж2)= ip(si ,S2)xiSl X2S2,

s 1,S2^0

где, по определению гипергеометричности,

к, / ^ . y(s1 + l,s2) , y(sl,s2 + 1)

Ri(si, S2) :=--—, R2(si,s2):=-:-—

¥>(si,s2) ^(si,s2)

являются рациональными функциями от si и s2. В [5] вводятся пределы

$i(qi,q2)= lim Ri(qil, q2l), $2(qi,?2)= lim Ä2(qil, q2l)

1—1—

и отмечается, что функции Ф^ рациональны и однородны степени нуль, т. е. фактически зависят от отношения qi : q2. C помощью этих функций и вычисляется область сходимости G ряда H(xi,x2). А именно, хорошо известно, что области сходимости степенных рядов являются областями Рейнхардта [2], т. е. полностью определяются модулями |xi|, |x21 переменных. Согласно результату Горна, если точка (|xi|, |x21) лежит на границе изображения Рейнхардта |G| для области сходимости G, то она лежит или на прямой

или на прямой

A: |xi | =

B: |Х2| =

1

Фl(1,0)

Ф2(0, 1)

или на кривой G, параметризованной в виде

1

|xi| =

Фl (qi,q2)

|x2 1 =

1

Ф2(?Ь?2)

qi, q2 > 0.

(4)

Более точная формулировка результата Горна заключена в следующих двух утверждениях. Утверждение 1. Если точка (ж0, ж!]) лежит вне бицилиндра

Д = |xi| <

1

Фl(1,0)

, |Х21 <

1

Ф2(0, 1)

либо для некоторого положительного направления qi : q2

|x?| >

1

Фl(ql,q2)

|x2| >

1

Ф2(ql ,q2)

то степенной ряд H(xi,x2) расходится в точке (ж",^).

1

Утверждение 2. Если точка (ж°, ж2) лежит в бицилиндре Д и для всех положительных направлений 91 : 92 выполняется хотя бы одно из неравенств

|ж1| <

1

Ф^Ш, 92)

то ряд Н(ж1,ж2) сходится в точке (ж5,ж0).

|ж21 <

1

^2(^1, 92)

Теперь рассмотрим п-кратный гипергеометрический ряд с суммированием по положительному ортанту, где, по определению гипергеометричности, выполняются равенства (2) и, следовательно, коэффициенты у>(в) имеют вид (3). Множитель Д(в) в (3) не дает существенного влияния на область сходимости ряда Н (кроме случая Д(в) = 0, когда область сходимости есть Сп), а множитель влияет лишь растяжением на область сходимости (|^| раз по переменной ж1, ... ,|£„| раз по переменной жп). Поэтому мы будем вести речь о рядах вида

Н(ж1,...,ж„) = ^(в1,...,5„)ж181 ...ж„8", (5)

у которых коэффициенты имеют вид

Р

п Г((А^) + а)

Ф) = ^-• (6)

Пг((в3- ,в) + ;)

5=1

На самом деле мы не только распространим результат Горна на произвольное число переменных, но и обобщим его на случай, когда векторы А^, В; вещественные. Следуя идее Горна, введем для коэффициента у>(в) вида (6) пределы

Ф<(91,...,9п) = 111ш ^т^|я=г9, г = 1,...,п, (7)

составленные для произвольного вектора ц = (91,..., цп) € \{0}. Функции Ф®(ц) однородны степени нуль; они рациональны, если В; целочисленные, и выражаются в радикалах, если А$, В; имеют рациональные координаты. С помощью функций ФДц) и вычисляется область сходимости О ряда (5) с коэффициентами вида (6).

2. Формулировка обобщения теоремы Горна и примеры

Обозначим I = {1,..., п} и для произвольного непустого подмножества J С I мощности | J| определим вектор-функции

Ф/(9/, 0^) = (Ф; (ц/, 0Л/: М^1 - М^1,

где (ц/, 0/\/) — вектор с п координатами, у которого на местах с номерами ] € J стоят ц;, а на всех остальных местах — нуль.

Теорема 1. Для почти всех значений параметров {е4}; } в (6) область сходимости О ряда (5) представляет собой пересечение областей

О = р| О/,

1<|/ |<п

где О] состоит из всех ж = (ж1,...,жп) таких, что для любого qJ € К]' выполняется

хотя бы одно из неравенств | <

1

31 ^ \Ф (qJ, 0/\])\

В случае \ J\ = п отображение

, з е

ф

1

1

г-1 ^ V,

где V — сингулярная гиперповерхность для суммы ряда, называется параметризацией Горна-Капранова.

Пример 1. Этот пример взят из статьи Горна [5]:

Н(ж1,ж2)= Г(в1 + 52 + а,1)Г(в1 - 2в2 + а2)Г(в2 - 251 + аз^1 ж]2, (8)

где а1, а2, аз — произвольные комплексные, но не целые числа (что обеспечивает конечность значений гамма-функций). Согласно результату Горна область сходимости указанного ряда ограничена тремя линиями:

А: \ж1 \ = 4, В: \ж2\ = 4,

0: \ж1\

(2^ - q2 )2

(2q2 - ql)(ql + q2)

, \ж2 \

(ql - 2q2 )2

(2ql - q2)(ql + q2)'

где ql, q2 неотрицательные и изменяются в секторе 1 ql ^ q2 ^ 2ql (см. рис. 1).

Рис. 1. Область сходимости

На самом деле область под кривой 0 — это область сходимости "подряда" ряда (8) с массивом суммируемости

5 = {(51,52) € : -51 < 52 < 251},

а не с полным положительным октантом Z+, который Горн взял "насильно".

Для того чтобы лучше понять ситуацию, удобнее рассматривать не схему Рейнхардта, а ее логарифмический образ. Иными словами, рассмотрим отображение

(zi,... 7 Zn ) ^ (log |zi .. ., log |zn|)

из (C \ 0)n в Rn. Сингулярное множество суммы степенного ряда (1) (которое, как правило, есть алгебраическая гиперповерхность (см. [6]) при указанном отображении переходит в так называемую амебу этой гиперповерхности. Известно, что дополнение к амебе состоит из выпуклых связных компонент, в прообразах которых сходятся степенные ряды, представляющие данную функцию [6].

Рис. 3. Область сходимости "подряда" Рис. 4. Область сходимости ряда (8)

На рис. 2 в системе координат ui = log |xi|, U2 = log |x21 изображена амеба для сингулярного множества суммы „подряда"

У^ r(si + S2 + ai)r(si - 2s2 + a2)r(s2 - 2si + a3)xixs22

ряда (8). Область сходимости "подряда" проектируется в связную компоненту дополнения к амебе, затемненную на рис. 3, а область сходимости ряда (8) проектируется лишь в часть

S1<S2^2S1

этой компоненты (см. рис. 4), выделенную условием

и1 < ^4, и2 < ^4.

Пример 2. В работе [3] вычислен фундаментальный период трехмерного многообразия Калаби-Яу в виде гипергеометрического ряда Горна:

Н1(ж1,ж2)= £ Г2( Г+451 + 4в(2^)12)( 1)2 ж181 ж2-. (9)

вгТ^Ъ Г2(в1 + в 2 + 1)( в 1!)2(в 2!)2

Для определения области сходимости ряда в множестве параметров в = ( в 1, в 2) € 2+ зафиксируем направление 9 = (91,92) = 0 и рассмотрим "ц-диагональную" подпоследовательность Сг. По формуле Стирлинга при I — то имеем

(4191 + 4/92)4г(91+92)+2

|Сг| "

(/щ)21'1+1(/91 + 192)2г91+2г92+1(192)2г92+1(2п)2 С помощью формулы Коши-Адамара составляем параметризацию Горна-Капранова:

(|ж1''|ж2|) ^44(,Г!+92)'2' 44(97+^)'

Заметим, что граница области сходимости ряда (9) выписывается в виде

2 2 1

|ж1|2 + |ж2|2 - 44|ж1| - 2|ж1||ж2| - 44|ж2| + = 0.

Область сходимости ряда (9) представлена на рис. 5, а на рис. 6 изображена амеба для сингулярного множества этого ряда, причем затемненная компонента дополнения этой амебы и есть область сходимости ряда (9) в логарифмических координатах.

Рис. 5. Область сходимости ряда (9) Рис. 6. Амеба сингулярного множества

3. Доказательство обобщения теоремы Горна

Вначале опишем асимптотическое поведение коэффициентов <^(в) гипергеометрического ряда (5) вдоль рациональных направлений. Для этого в множестве параметров в = («1,..., вр) € Z+ зафиксируем точку (направление) д = (д1,..., дп) = 0 и рассмотрим "д-диагональную" подпоследовательность

п Г((А<,/д> + е*) С = ^(/д) = -.

Пë ,/q> + dj ) j=1

Запишем векторы Aj, Bj в координатах:

Ai = (Aji,..., Aj„), Bj = (Bji,..., Bjn)

и введем вектор

p r

J = z Ai -£ B.

i=1 j=1

Напомним, что случай J = 0 соответствует неконфлуэнтному гипергеометрическому ряду [6].

Предложение 1. Для почти всех значений параметров |cj}; {dj} и почти всех направле-

œ

ний q G Z+ радиус сходимости pq диагонального подряда ¥>(/q) определяется по формуле

1=0

в случае (J, q> =0

где

pq = 0, если (J, q> < 0, pq = то, если (J, q> > 0;

pq = |*iq1 ... i„qn |, (10)

*<(д) = """ Г...(в. (11)

<Аьд>А" ... (Ар,д>А- 1 }

Доказательство. Для вычисления радиуса сходимости рд воспользуемся формулой Коши-Адамара и асимптотической формулой Стирлинга

r(z + 1) - л/2Пг2+2e-z

при Re z ^ +то. Имеем при / ^ то

— = lim ^^ :

pq l—œ

lim

П r((Aj, /q> + Ci)

i=1_

П r((Bj,/q> + dj)

j=1

—

Иш

г—►то

п ^2Л((А,19) + с* - 1)<А"г?>+с*-2е-М-М-с* ¿=1_

П , ¿9) + ; - 1)(В'г?>+^-1 е-(В

;=1

При этом

П (А*,9)

¿=1

(А* ,9>

• 11ш I*-1

£ (А*,<г>-£ (в ,9> £ (в,<г>-£ (а*,9>

П (В; ,9)

;=1

(В ,д> г—то

£ <А*,<г>-£ (В ,9> £ (В ,д>-£ (А*,д>

11ш I*-1 3=1 е3-1

г—>то

0, если£ (А£,9) < £ (В;,9), ¿=1 ;=1

Р г

то, если £ ^,9) > £ (В;, 9),

¿=1 ;=1 Рг

1, если £ 9) = £ (В;, 9)

¿=1 ;=1

Нас интересует только третий случай, когда область сходимости нетривиальная. Теперь, собирая основания при показателях степеней 91,..., 9„, получаем формулу (10) с выражениями (11) для □ Предложение 1 показывает, что нетривиальные области сходимости имеют лишь некон-флуэнтные гипергеометрические ряды. Этот случай, соответствующий (¿, 9) = 0, мы и будем рассматривать далее. Отметим, что в таком случае функции ^¿(9) в (11) однородны степени нуль, т. е. зависят лишь от направления 91 : ... : 9„. Кроме того, эти функции

связаны с пределами (7) соотношениями ^ = — .В случае целых A¿, В; это легко прове-

Ф¿

рить, используя формулу Г(г + 1) = ^Г(^); для произвольных вещественных A¿, В; можно воспользоваться формулой Стирлинга, как в доказательстве предложения 1.

то г

Предложение 2. Пусть р9 -радиус сходимости 9-диагонального "подряда" £ <£>(9/)(ж9)

г=о

степенного ряда (5). Тогда область сходимости этого ряда есть внутренность пересечения

П{ж : |ж91 <Р9}. (12)

Доказательство следует из того, что в каждой внутренней точке указанного пересечения все диагональные подряды сходятся, и потому члены ряда там ограничены. □ Теперь доказательство теоремы заканчивается следующим образом. Во-первых, заметим, что область сходимости О/ каждого подряда с суммированием по грани а/ = {в; > 0,^' € = 0, к € I\ .} (эта область задается ограничениями только на ж;,] € .) должна содержать область сходимости О всего ряда, причем

О = р| О/.

1<1 / К"

Поскольку сужение гипергеометрического ряда на каждую грань а/ является гипергеометрическим рядом, то описания областей сходимости О/ с использованием параметризаций Горна-Капранова Ф; (9;, ) для каждого подряда однотипны.

3=1

3=1

е

Из предложения 2 и формулы (10) следует, что вектор (Ф1(д),..., Фп(д)) локально (для подряда с суммированием в некотором малом конусе направлений д) параметризует поверхность сопряженных радиусов сходимости. Таким образом, точка ж попадает в область сходимости GJ, | J| = п тогда и только тогда, когда для д > 0 выполняется хотя бы одно из неравенств

|xj | < |Ф; (q)| =

что и требовалось доказать.

1

Ф (q)

j = 1,

Авторы поддержаны грантами СФУ и гранта Рособразования "Развитие научного потенциала высшей школы" р 2.1.1/4620. Второй автор также поддержан грантом РФФИ 08-01-90250 Узб.

п

Список литературы

[1] И.М.Гельфанд, М.И.Граев, В.С.Ретах, Обобщенные гипергеометрические системы уравнений и ряды гипергеометрического типа, Успехи матем. наук., 47(1992), №4, 1-88.

[2] Б.В.Шабат, Введение в комплексный анализ, Ч. 2, М., Наука, 1976.

[3] V.V.Batyrev, I.Ciocan-Fontanine, B.Kim, D. van Straten, Conifold transitions and mirror symmetry for Calabi-Yau complete intersections in Grassmannians, Nucl. Phys., B514(1998), №3 , 640-666.

[4] I.Gelfand, M.Kapranov, A.Zelevinsky, Discriminants, resultants and multidimensional determinants, Birkhauser, Boston, 1994.

[5] J.Horn, Uber die Convergenz der hypergeometrischen Reihen zweier und dreier Veran-derlichen, Math. Ann, 34(1889), 544-600.

[6] M.Passare, T.Sadykov, A.Tsikh, Singularities of hypergeometric functions in several variables, Compositio Math., 141(2005), 787-810.

[7] T.M.Sadykov, On the Horn system of partial differential equations and series of hypergeometric type, Math. Scand, 91(2002), 127-149.

[8] M.Sato, Theory of prehomogeneous vector spaces (algebraic part), Nagoya Math. J., 120(1990), 1-34.

Domains of Convergence of Hypergeometric Series of Several Complex Variables

Anastasiya Yu.Semusheva August K.Tsikh

We generalize the well-known result of Ja.Horn on the domain of convergence for hypergeometric series of several complex variables.

Keywords: domain of convergence, hypergeometric series, parametrization of Horn-Kapranov, the support of a series, amoeba.