О разрезах, примыкающих к дискриминантному множеству алгебраического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.55

О РАЗРЕЗАХ, ПРИМЫКАЮЩИХ К ДИСКРИМИНАНТНОМУ МНОЖЕСТВУ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Е.Н. Михалкин

Красноярский государственный педагогический университет,

ул. А. Лебедевой, 89, 660049, г. Красноярск, Россия, e-mail: mikhalkinObk.ru

Аннотация. Рассматривается алгебраическое уравнение с независимыми коэффициентами. Исследуется взаимное расположение дискриминантного множества и двух семейств комплексных гиперплоскостей £±, в дополнении к которым главное решение является голоморфной функцией. Фактически £± являются разрезами в пространстве коэффициентов, примыкающими к дискриминантному множеству рассматриваемого уравнения.

Ключевые слова: алгебраическое уравнение, гипергеометрический ряд, интегральное представление, дискриминантное множество.

1 Интегральный и гипергеометрический подходы к решению общего алгебраического уравнения

Общее алгебраическое уравнение имеет вид

ап^п + ап—\хп 1 + ... + + ао — 0.

Его решение (как алгебраическая функция коэффициентов а0,... ,ап) обладает двойной однородностью и простой заменой сводится [1] к уравнению вида

гп — гк + у1гп1 + ... + ургпр, п > к > 0, п1 > ... > пр > 0; (1)

иными словами, любые два коэффициента мы можем "заморозить полагая их равными

+ 1 и -1.

Сначала рассмотрим уравнение (1) при к — 0, п > П1, т. е. уравнение вида

гп + х1гаг + ... + хргПр — 1 — 0, п1 > ... > пр > 0 (2)

(здесь через х^ обозначен коэффициент —у^ уравнения (1)).

В 1921 году Меллин [2] привёл интегральную формулу и разложение в гипергеометрический ряд для решения уравнения (2) (см.также [3]). Указанная формула была получена им для ветви г0(х) с условием г0(0) — 1, и названа главным решением уравнения (2). Несложно увидеть, что все остальные ветви получаются из г0(х) по формуле

^(х) — е-7'г(е^х), ] — 1,... ,п — 1,

2■кi ^

где е = е п — первообразный корень.

Работа поддержана грантом Президента РФ № МК-2539.2008.1

Теорема 1 (МеШп) Главное решение уравнения (2) представимо в виде интеграла

1_ [ V-'------" V) ГЫ-..ГЫ

(2тгг)р ./ г {± м 'А м ... м Не

где Г — гамма функция Эйлера, y — точка из многогранника

{u G R+ : n1u1 + ■ ■ ■ + npup < 1}, xz = x-zi ... xpZp, dz = dz\ Л ■ ■ ■ Л dzp, а n'k = n — nk, k = 1,... ,p.

Теперь рассмотрим уравнение (1), опуская ранее оговоренное предположение k = 0, n > Ui. В 1927 году Биркелан ([4], [5]), используя формулу Лагранжа, привёл разложение в гипергеометрический ряд для n — k корней Zj (x), не обращающихся при y1 = ... = yp = 0 в нуль, этого уравнения. Формула Биркелана следующая:

!_yV*(T'r~1}

(4)

ш>о 1 p

где

1 I

v = ¿ (nv - n)lv> T = ;-------------------т + 1>

en-k , Г — / UV

v=1 v=1 n - k

(A, i) = A(A + 1) •... - (A + I - 1) = -. (A, 0) = 1.

111 = h + ... + lp.

(см. [6]).

Далее нас будет интересовать подход Меллина, т.е. мы будем рассматривать уравнение (2). В статье [7], на основе формулы Меллина, была получена интегральная формула для решения (2) с интегрированием по отрезку элементарной функции. А именно, справедлива следующая

Теорема 2 Ветвь алгебраической функции г0(х) решения уравнения (2) с условием г0(0) — 1 допускает представление в виде интеграла

z0(x) = 1 Н--------— [ t1”" (1 — t) ” еln Г1 — е ” mxkt £ (1 — t) " ) —

2nin I L V f—' /

pn üfc жі ,ük. ,4^' n Xl.t, n n — 11 n

с k=1

pn

-е--1п[1-}^е-пжгХкіп(1-і)-) dt, (5)

k=1

где ветви логарифма определены в области пространства Ср переменного х = (жі,..., хр), полученной удалением из Ср двух семейств комплексных гиперплоскостей

£_ = U (Е xk-t »' (1 - t) " е пт = 1},

te[0;1] k=1

Р 'Ui/-, ,\^ '2íl.

П

S+ = U Πxkt " (1 - t) n e n m = 1}

te[0;1] k=1

1

и выбираются условием 1п 1 = 0. Таким образом, г0(ж) голоморфно продолжается из окрестности нуля в область Ср \ (£_ и £+).

Область сходимости интеграла (5) шире области сходимости интеграла Меллина-Барнса (3). Этот факт позволяет описать монодромию решения уравнения (2) в случае, когда оно содержит один параметр.

2 Применение к триномиальному уравнению

Рассмотрим уравнение вида (2) в случае p = 1, т. е. когда в уравнении всего один параметр x1, который мы обозначим через x. Соответствующее уравнение

га + xzm — 1 = 0, 0 < m < п (6)

назовём триномиальным уравнением. Для него главное решение (5) запишется в виде

I Г г

II Ь п пг, т • пг, т _ • . „ ,

^(х) = 1 + —— -------^ е п 1п( 1 - е п у) - е гг 1п( 1 - е гг у) &, (7)

2тп ^ I -I

гп п—т гп п—т

где у = (1 — ¿) п . Максимальное значение функции ¿^(1 — ¿) 11 на отрезке [0,1]

п — т

равно п п , поэтому множества £=р в формулировке Теоремы 2 представляют

собой пару лучей

Т,Т=1те±п^ : т> , ,т, .п_т

Отметим, что сектор, ограниченный продолжениями этих лучей до их пересечения (в начале координат), является областью сходимости интеграла Меллина-Барнса (3), представляющего главное решение £о(х) триномиального уравнения (6) (имеется ввиду сектор, содержащий луч х > 0). Действительно, интеграл (3) имеет вид

I г lг(±-^z)Г(z)

---- г^_±п---п ) 1 / ¿Г сЬ,

2тгг У Г 1 + ыл + 1 ’

7+Ж КП П '

где 0 < 7 < ^, и согласно [8], его область сходимости вычисляется по формуле

п ím п — m\ т

\argx] < - — + 1-----------= —тг.

2 \ п п ) п

Далее рассмотрим случай, когда m и п взаимно просты. В этом случае дискриминант уравнения (6) допускает наиболее краткую запись и он равен (см. [1])

А = (— 1)п[(— 1Гпп — mm(n — m)n-mxn].

Таким образом, дискриминантное множество составляет следующая последовательность точек

¿т + М

е п

Хк =------™, А: = О,..., п - 1,

^п—т^ „

лежащих на одной окружности. Заметим, что точки х0 и хп-т дискриминантного множества — есть начала лучей £_ и £+, вне которых, по Теореме 2, г0(х) голоморфна и однозначна. Поэтому, обозначив через а и петлю, проходящую через х = 0 и окружающую лишь точку хк, мы приходим к следующему утверждению:

Следствие 1 Главная ветвь г0(х) триномиального уравнения (6) переходит в себя при обходе всех петель аи, кроме а0 и ап-т.

Используя рассуждение симметрии и то, что остальные ветви имеют вид (х) = е-7' г(е^ х),

j = 1,... ,п — 1, где £ = е~ — первообразный корень, получаем

Следствие 2 Каждая ветвь (х) имеет ветвление лишь в паре точек х

■т п—т

е^(±т-2Л

3 Геометрия разрезов £+ и £_ в случае тетраномиального уравнения

Степенные ряды и интегралы Меллина-Барнса (в частности, интеграл (3)) сходятся вплоть до ближайших особых точек функций, которые они представляют. Аналогичным свойством обладает и интеграл (5). Поскольку особым множеством для алгебраической функции г(х) является дискриминантное множество V - множество нулей дискриминанта А (х) уравнения (2), то весьма полезно рассмотреть информацию о взаимном расположении дискриминантного множества и областей сходимости указанных функциональных объектов.

В статье будет описано взаимное расположение дискриминантного множества и комплексных гиперплоскостей £±, которые были определены в Теореме 2. Напомним, что в случае триномиального уравнения семейство гиперплоскостей £± представляет собой пару лучей, выходящих из точек дискриминантного множества.

Итак, исследуем взаимное расположение дискриминантного множества с гиперплоскостями £± в случае тетраномиального уравнения

гп + хтгт + хргр — 1 = 0, п > т > р > 0. (8)

В рассматриваемом случае семейство гиперплоскостей £± примет вид

П ' Р П Р р .

Е+= и {хт1^(1 — ¿) п + ХрЬ™ (1 — 1)~^е^т = 1},

*е[0;1]

П — Р П Р р

Е_ = и {хт1~ (1 — ¿) п е~~т + хр1~> (1 — = 1}.

*е[0;1]

Обозначим гиперплоскости семейства £± через £± (¿), и пусть А±(х; ¿) - линейные функции переменного х = (хр,хт), определяющие £±(£):

т п— Т | т Р п — Р . р

(1 — е ~7Тг + ХрЬ™ (1 — 1)~^е «7Гг — 1.

Согласно [1], дискриминантное множество

V = {х € С2 : А(хр,хт) = 0}

уравнения (8) допускает параметризацию

Р

х _ _________________^_ | _ {n-p)s+{n-m) \ ’>

Р (n—p)s-\-(n—m) I ps-f-m

Xm = п ( (n-p)s+(n~m) I s £

(9)

(n-p)s+(n-m) V ps+m

Обозначим через K - множество критических точек логарифмической проекции

V^ R2 : (Xp,Xm) ^ (log |Xp|, log |xm|) дискриминантной гиперповерхности V.

Теорема 3 Комплексные гиперплоскости семейства Е± касаются дискриминантного множества V вдоль подмножества

( ч _ (n — p)s + (n — m) ]

А± = * (s) : s е EPi, --—------------- > 0 } С А,

[ ps + m J

где x± (s) - ветви параметризации (9), определяемые условиями

( (п — p)s + (п — т) \ п 7г

arg

\ ps + m J n

В точке x±(s) с V касается гиперплоскость семейства Е±, соответствующая парамет-

PV *=%$)■

Доказательство 1 Точки касания V и E±(t) определяются системой

F±(xW,t) = 0, = 0. (10)

Пусть s G RPi, причем > 0. Тогда параметризация (9) запишется следую-

щим образом:

xp(s) = x{p\s) = e^1+2l)1----------------т (" ,

p \ ' г ^ ' (n-p)s+(n-m) у ps+m у ’

/ \ —

Г ('я') — r{l)(<C\ - eEf1(1+21)_____п____ ( (n-p)s+(n-m) ) п / — _1 J7 _ 9

¿т{Ь) — Хт{Ь) — er, (n-p)s+(n-m) \ ps+m ) ’ 1 ~ ^ • ч z-

Найдем производные и %ш-. Как показывают, вычисления

r ds ds

дхр £Pi(i+2/) (in — p)s + (n — m) \ 11 p{n — p)s + m(n — m)

g n v ' ft ,

ds V Ps + m У ((n — p)s + (n — m))2(ps + m)

дхт limit 1+2Л ({'п — p)s + (п — т) ^ 11 р{'п — p)s + ш{п — т)

—е п у п

ds \ ps + m J ((n — p)s + (n — m))2(ps + m)

тогда

P

dF±(x(s),t) p, . n-m f (n — p)s + (/?. — ?n) \ 11 p('/?. — p)s + m,(n — m)

-------------= t” (1 — t) ” n ------------------------- —-------------------г-—---------- x

ds \ ps + m J ((n — p)s + (n — m))2(ps + m)

x

c^(l+2/±l)n f (n ~ p)s + (n ~ ШЛ " t’-^e^(l+2l±l)

ps + m

Приравняем полученное произведение к нулю. Несложно заметить, что для выполнения второго уравнения системы (10), l следует выбирать равным —1 для удовлетворения

условию д^+Ид)'*) _ о и I = о для выполнения условия _ g Очевидно, что

& ds & ds '

x(-1)(s) = x+ (s), x(0)(s) = x-(s). При указанном выборе ветви мы приходим к уравнению

1 - t _ (п - p)s + (п - т) t ps + m

(которое получается приравниванием к нулю выражения, стоящего в квадратной скобке), откуда находим t(s) = Отметим, что так как функция ^ при 0 < t < 1

строго монотонна, то уравнение (11) не имеет других корней, кроме найденного.

Итак, при условии ~^г~т^ > 0 и при указанном выборе вет,вей, для t = выполняется второе равенство системы (10). С помощью достаточно простых вычислений несложно показать, что при t(s) = выполняются условия F+(:г^-^) = 0 и

F- (x(0)) = 0, т.е. справедливо и первое равенство системы (10).

Замечание. Достаточно простые вычисления показывают, что при

(n-p)s+(n-m) . r\ dF±(x(s),t) r\ /in\

--- , 4--1 < и не может ВЫПОЛНЯТЬСЯ равенство — а = и системы 11) . I.e. при ЭТИХ

ps+m ^ os \ ^

значениях s касания комплексных гиперплоскостей £± и дискриминантного множества

V не происходит.

Далее рассмотрим кубическое уравнение

Z3 + X2Z2 + XiZ — 1 = 0 (12)

(т.е. уравнение (8) при n =3, m =2, p = 1). В этом случае подмножество К± множества К критических точек логарифмической проекции V —— R2 определяется следующим условием:

К± = < : s G EPi, ^ > 0

\ s + 2

Покажем, что множество К± является огибающей к семейству гиперплоскостей Е±. Для этого, согласно [9], нужно показать, что при рассматриваемых s и t = t(s), во-первых, выполняется, система равенств

Р^{,);т~0,8Р^У'тшО, (13)

во-вторых, справедливо неравенство

ді2

Справедливость первого тождества системы равенств (13) была показана при доказательстве Теоремы 3. Проверим второе тождество из (13):

<№±(;Г; () = 1 / 1-Л > 屄 _ ! / М 5 е±» +

ді 3 \ і 3 \ 1 — і

2 /і — 3 _і_2тгі 1 ( І \ 3 і 2тгі

+Н—е 8 -гЛ—)е '•

Тогда для точек множества К± имеем следующую цепочку равенств:

, I 2 1.1

5F±(^ (в);^(в)) 5 {28 + 1\3 {2з + 1\3 2в {28 + 1\3{в + 2^

ді 5 + 2 V 5 + 2/ + 2 у в + 2 V 5 + 2/ \28 + 1

2 /2в + 1\ 1 (2з + 1\* 1 (2з + 1\ 1 / 5 + 2 N 1

5 + 2\ 5 + 2 У V5 + 2/ 5 + 2^ 5 + 2 У \2з + 1

2з+1^ 2 - і + —і = о.

5 + 2 + 2 5 + 2у

Перейдем к доказательству неравенства (14). Как показывают вычисления

а^±0Г;<:) = 2___1____ ( М_У ±* Х2 е±¥

а*2 9*2(*-1) 1 V1 — */ и-<

Вычисления показывают, что применительно ко множеству К± получим следующее равенство:

2(

д2^±(ж±(5); і(з)) 18(5 + 1)4

д£2 (в + 2)2(2в + 1)2’

Итак, д Рдг2Х'^ Ф 0 для всех 5 - удовлетворяющих условию > 0. Таким образом,

доказано

Предложение 1 В случае кубического уравнения (12) множество К± является огибающей к семейству гиперплоскостей £±.

Литература

1. M. Passare, A. Tsikh, Algebraic equations and hypergeometric series / M. Passare, A. Tsikh //In the book "The legacy of Niels Henrik Abel". Springer. 2004. P. 653-672.

2. H.J. Mellin, Resolution de l’équation algébrique générale à l’aide de la fonction gamma // C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 1921. V.172, P. 658-661.

3. А.Ю. Семушева, А.К. Цих, Продолжение исследований Меллина о решении алгебраических уравнений. В кн.: Комплексный анализ и дифференциальные операторы (к 150-летию С.В. Ковалевской), Красноярск: КрасГУ. 2000. С. 134-146.

4. R. Birkeland, Les équations algébriques et les fonctions hypergéométriques // Ark. Norske Vid.-Akad. Oslo. 1927. №8. P. 1-23.

5. R. Birkeland, Uber die Auflösung algebraischer Gleichungen durch hypergeometrische Funktionen // Math. Ztschr. 1927. №26. P. 566-578.

6. Н.Г. Чеботарёв, Теория Галуа, М.: Объединённое научно-техническое издательство НКТП СССР, 1936. 156 с.

7. Е.Н. Михалкин, О решении общих алгебраических уравнений с помощью интегралов от элементарных функций // Сиб. матем. журн. 2006. Т.47, №2. С. 365-371.

8. О.Н. Жданов, А.К. Цих, Исследование кратных интегралов Меллина-Барнса с помощью многомерных вычетов // Сиб. мат. журн. 1998. Т.39, №2. С. 282-298.

9. В.А. Залгаллер, Теория огибающих, М.: Наука. 1975. 100 с.

ON THE SLITS WHICH TOUCH THE DISCRIMINANT SET OF

ALGEBRAIC EQUATION

E.N. Mikhalkin

Krasnoyarsk State Pedagogical University,

A. Lebedevoj str., 89, Krasnoyarsk, 660049, Russia, e-mail: mikhalkinObk.ru

Abstract. The paper deals with a general algebraic equation. We study as two families of complex hyperplanes £± arrangements to the discriminant set of this equation. The principal solution to equation is a holomorphic function in the complement to £±. In fact, these two families of hyperplanes are a slits in the space of coefficients which touch the discriminant set of this equation.

Keywords: algebraic equation, hypergeometric series, integral representation, discriminant set.