CC BY
28
УДК 517.929
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2009, вып. 2
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ СИСТЕМ*
И. Е. Зубер1, А. Х. Гелиг2
1. С.-Петербургский государственный университет,
д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник, a@ag1050.spb.edu
2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, зав. лаб., a@ag1050.spb.edu
1. Введение. По-видимому, первой работой по исследованию неопределённых систем можно считать статью [1], в которой рассмотрен характеристический многочлен линейной системы произвольного порядка, коэффициенты которого могут принимать любое значение из замкнутого полиэдра. Было показано, что для гурвицевости всех многочленов этого семейства достаточно гурвицевости четырёх специально построенных многочленов. В дальнейшем исследование неопределённых систем привлекало внимание многих авторов. Из последних работ укажем на критерии робастной абсолютной устойчивости непрерывных систем [2], исследование устойчивости неопределённых систем с запаздывающим аргументом [3], а также неопределённых импульсных систем [4]. Вопросам робастной стабилизации неопределённых систем посвящены работы [5, 6].
В данной статье рассматривается класс неопределённых непрерывных и импульсных систем, коэффициенты которых ограничены и являются функционалами произвольной природы. Для непрерывных систем найдены границы изменения коэффициентов, которые гарантируют экспоненциальную устойчивость в целом. Для импульсных систем получены условия на границы изменения коэффициентов и нижняя оценка частоты импульсации, при которых состояние равновесия устойчиво в целом (глобально асимптотически устойчиво).
2. Устойчивость непрерывных систем. При £ ^ £о рассматривается неопределённая система
х = А(^)х, (1)
где А(-) — т х т-матрица, коэффициенты которой (•) являются функционалами про-
извольной природы. Например, а^(•) = а^(£, ж(£),ж(£ — т),^(£)), где ф(Ь) —неконтролируемое внешнее возмущение. Предполагается, что выполнена локальная теорема существования решения и продолжимость на [£о, +го) любого решения, остающегося в ограниченной области. Относительно коэффициентов а^ (•) предполагается лишь выполнение следующих ограничений:
|а^-(-)| < ао (г = 1,...,т,]<г + 1) (2)
аг,г( ) > —а* (г = 1, .. ., т) (3)
Ц40)|| < (к = 2,..., т), (4)
* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для
государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант №НШ-
2387.2008.1) и РФФИ (грант №09-01-00245).
© И.Е.Зубер, А.Х.Гелиг, 2009
где ^(0 = а^О), 5к(•) = (а!,й(),а2,к(•),..., ак_1,к(•))*, ||3к()|| —евклидова норма вектора 6к(•), ао, а* и 3+ —положительные постоянные.
Задача заключается в нахождении соотношений между параметрами ао, а*, 3+, при выполнении которых система (1) экспоненциально устойчива в целом, то есть любое решение ж(£) удовлетворяет оценке
где Н = diag(hl,..., Нт), Н > 0, (г = 1,..., т). Производная по £ от функции V(ж(£)), взятая в силу системы (1), имеет вид
где а — положительный скалярный параметр. Домножив это неравенство слева и справа на матрицу Н2, получим эквивалентное неравенство
где I — единичные матрицы.
Нашей дальнейшей целью является определение таких Н > 0 (г = 1,..., т), при которых неравенство (8) выполняется при любых Л(), удовлетворяющих условиям (2)— (4). Обозначим через А1О матрицу, полученную из Л() приравниванием к нулю всех элементов, стоящих выше главной диагонали, а через Л2О —матрицу, полученную из Л() приравниванием к нулю элементов, стоящих на главной диагонали и ниже её. Очевидно соотношение
||х(і)|| < к(||х(іо)|| ехр(-є(і - іо)),
(5)
где £ > 0, а к(А) —непрерывная функция, к(0) = 0.
Для решения поставленной задачи рассмотрим функцию Ляпунова
V (ж) = ж*Н-1ж,
(6)
V = х* (Л* (-)Н-1 + Н-1Л(-)) х.
Потребуем выполнение неравенства
Л*(-)Н-1 + Н-1Л() < -аН-2,
(7)
НЛ*() + Л(-)Н < -а/,
(8)
(9)
где
£(•)= ^(0 + ОКО,
31(') = НЛ*(.) + НЛ1(.) + С + а/,
О(-) = НЛ*(.) + НЛ2(-) - С, С = аіа8(с1,..., ст|.
Выберем ^1,..., Л.т, С1,..., ст и 3+ (к =1, 2,..., т) таким образом, чтобы выполнялись
неравенства
31(0 < 0, 0г(0 < о,
(10)
(11)
из которых вытекает свойство (9). Матрицы ^( • ) и ^( • ) имеют следующий вид: ^( • )
( 2а1д( • )Н2 + С1 + а а2д(• )Н-1
а2,1( • )Н1 2а2,2( • )Н-2 + С2 + а
ат,1( • )Н1 \
ат,2( • )Н2
V
ат,1( • )Н1
ат,2( • )Н2
2ат,т( • )Нт Ст + а /
—С1 а1,2( • )Н2
а1,2( • )Н2 —С2
\ а1,т( • )Нт а2,т( • )Нт
а1,т( • )Нт ^ а2,т( • )Нт
/
Обозначим через Дк(^( • )) и Дк (^( • )) главные диагональные миноры матриц ^( • ) и ^2 (• ) соответственно, отсчитываемые сверху. Тогда для справедливости соотношений (10), (11) согласно критерию Сильвестра достаточно выполнения неравенств
(-1)*'Д-ш• )) > д+,
(—1-д-ш • )) > а+ , 1, .
При ] = 1 неравенства (12), (13) имеют вид
где Д+ и А++ —положительные постоянные, ] = 1, . .., т.
—2ац(• )Н-1 — С1 — а > Д++
С1 > А+.
(12)
(13)
(14)
(15)
В силу свойства (3) неравенство (14) вытекает из соотношения
2а*Н1 — С1 — а > Д++.
Взяв С1 > А+, мы удовлетворим этой оценке, если Н-1 выберем согласно неравенству
> -—(Д+ + +а).
2а
При ] = 2 очевидны представления
Д1Ш • )) = — Д1Ш • ))
—2а22( • )Н2 — С2 — а —
(а21(•)Н1)
—Д1(^1( • ))
Д2(^2( • )) = С1С2 — а12( • )Н2.
(16)
(17)
В силу (17) неравенство (12) при ] = 2 можно представить в форме
—2ац( • )Н2 — С1 — а +
(Д21(-)М2
^Ш-)) ' -ыяш
>
Д+
Ввиду свойств (2), (3) и (12) (при ] = 1) для выполнения этой оценки достаточно, чтобы параметры Н2 и С2 удовлетворяли соотношению
+ Д+
2а*/12 — с2 - о. — 1/2 > _|_,
Д1
(18)
С
т
2
где = а0^2/Д+. Для справедливости свойства (13) (при к = 2) достаточно, в силу
(17) и (4), чтобы параметр С2 удовлетворял неравенству
(3+ )2^2 А+ . .
е2>^И + - (19)
Исключив С2 из соотношений (18), (19), приходим к квадратичному относительно h-2 неравенству
(£+)2 2
(^2+)2
——/г-2 — 2а*/12 + С2 < 0, (20)
А1 где
+ А+ Д+
С2-« + ^2 +Х++Х+-
Для существования /12, удовлетворяющего неравенству (20), необходимо и достаточно положительности дискриминанта, то есть выполнения неравенства
а2 А +
(3+)2 < (21)
Выбрав в качестве Л-2 полусумму корней квадратного трёхчлена, получим формулу
Н2 = Ш' (22)
После этого С2 определяется из соотношения (19).
Предположим, что найдены такие ^1,..., ^&_1, С1,..., е^_1 и оценки для 3+ при ] ^
к — 1, что неравенства (12), (13) выполняются при ] ^ к — 1. Запишем к-й главный
диагональный минор матрицы ^( • ) в виде
Afc (Qi( • )) =
K_i( • ) qfc_i( • )
q*_i( • ) 2afc,fc( • )hk+cfc+ a
где матрица К_1( • ) и столбец ^^_1( • ) зависят от уже найденных Л-1,..., ^^_1, С1,..., е^_1. Воспользовавшись формулой Шура, представим Д^(^1( • )) в следующем виде:
( —1)ЙДЙ (^1( • )) = ( —1)Й 1ДЙ_1(^1( • )) [Чк_1( • )К__'1( • )?Й_1( • ) — 2ай,й( • )^й — Сй — а] .
Потребовав, чтобы правая часть этого выражения была больше Д+ , приходим к неравенству
+ 1 Д+
(')^к—1 (')Чк—1 (') — 2а.кк{ )Нк ~ С]~ — а >
(-1)к-1Дк_1( • )•
Поскольку ( —1)к-1Дк_1( • ) > Д+i и —afc,^( • ) > a*, для справедливости последнего неравенства достаточно выполнения оценки
+ Д+
2a*/ifc — Ck — о. — Vj, > —— , (23)
Дк_1
где v+ = sup q*_i( • )K__1i( • )qfc_i( • )-26
Представим k-й главный диагональный минор матрицы Q2( • ) в виде
Д^2( • ))
Pk-l( • ) gk( • )
-ck
Здесь #*( • ) = ^.*3*( • ), а матрица Р*_1( • ) зависит от ^1,..., ^^_1, с1, ..., с^_1, 3+,..., 3+_1. Раскрывая определитель Д* (^( • )) по формуле Шура, приходим к выражению
(—1)*дй^• )) = (—1)й_1Дй_1(д2( • )) [с* — 3£(• )р_11 ( • )зк(• )^2].
Поэтому [ ]
(-1)kДk(Q2( • )) > A+-l [ck - hfc(3+)2Mfc] ,
где = sup ||Pk-l(• )| Очевидно, что неравенство (ІЗ) будет выполнимо при j = k, если [ ]
A+-1 [ck - h2k(3+)2M+ >A+. (24)
Исключив ck из (2З), (24), приходим к квадратичному относительно hk неравенству
(3+ )2M+ hk — 2а*hk + Ck < 0, (25)
/+ + A+/A+ +Д+/Д + дится к оценке
где Ck = а + v+ + A+ /A+_l + Д+ /Д+_1. Условие положительности дискриминанта сво-
(К)2 < -Йг- (26)
2
М+ Ck
При этом hk можно выбрать в виде
= WM' ,27)
После этого определим с* из неравенства (24):
сй > ^к(б+)2(4 +
а*_1
Отметим, что во всех проведённых рассуждениях Д+ и А+ (к = 1,..., т) являются произвольными положительными параметрами. Например, можно положить Д+ = А+ = 1.
Таким образом, определены диагональные элементы Л-1,..., Л.т матрицы Н и оценки величины 3+ в условии (4), при которых справедливо неравенство
V < —аж+Н_2ж,
из которого вытекает экспоненциальная устойчивость в целом. Получен следующий результат.
Теорема. Пусть в неопределённой системе (1) элементы матрицы А( • ) обладают свойствами (2)-(4), а величины 3+ удовлетворяют оценкам (21), (26). Тогда система
(1) экспоненциально устойчива в целом.
3. Устойчивость импульсных систем. Предположим, что в системе (1) диагональные элементы а^( • )ж* заменены на а^( • )£*[ж*], где £*[ж*] —сигнал на выходе *-го
импульсного модулятора, осуществляющего комбинированную амплитудно-частотную модуляцию [7]. Предполагается, что все модуляторы функционируют синхронно, и
Относительно моментов импульсации предполагается лишь выполнение ограничения
Уравнения, описывающие импульсную систему, имеют вид
жг 1 ( • )ж1 + • • • + аг,г_ 1 ( • )жг + аг,г£г + аг,г+1 ( • )жг+1 + • • • + аг,п ( • )жп (^ 1, • • • , т) • (29)
Очевидно, что правая часть этой системы при Т ^ 0 (стремление частоты импульсации к бесконечности) сходится к правой части системы (1), которая называется «эквивалентной» непрерывной системой. Возникает вопрос, если устойчива эквивалентная непрерывная система, то будет ли устойчива импульсная система при достаточно малом Т (достаточно высокой частоте импульсации)? Известно [8], что в общем случае ответ на этот вопрос отрицательный.
Далее будет получена нижняя граница частоты импульсации, при которой устойчива в целом импульсная система (29), если непрерывна система (1) удовлетворяет условиям теоремы 1. Представим систему (29) в виде
где А( • ) — т х т-матрица, такая же, как в системе (1), Б = diag (в1д( • ),..., ат,т(• )), £ = (£1,..., £т)*. Взяв функцию Ляпунова в виде (6), получаем для её производной по £ в силу системы (30) следующее выражение:
где / = 2||ж||||£ — ж||||БН 1 у. Очевидно, что ||БН 1|| ^ ||Б||||Н 1у ^ «о\/т\\Н 1|| = V.
где ц — положительный параметр, выбором которого распорядимся ниже. Оценим вы-
0 < £п+1 — ^ Т, п = 0,1,2,...
(28)
ж = А( • )ж + Б(£ — ж),
(30)
V = ж* (А*( • )Н_1 + Н_1А( • )) ж + (£ — ж)*БН_1ж + ж*Н_1Б(£ — ж).
В силу оценки (7)
V < —аж*Н_2ж + /,
(31)
Поэтому справедливо неравенство
(32)
ражение
воспользовавшись (28) и неравенством Виртингера [9], следующим образом:
Из (30) в силу (2) вытекает неравенство
||Ж||2 ^ 2а0т2||ж||2 + 2та0||£ — ж|| Отсюда ввиду (33) следует соотношение
*п+1
J < к1Т2 / ||ж||2^ + к2Т2^ (34)
где кі = 8«2т2/п2, К2 = 8аот/п2. Если Т удовлетворяет оценке
К2Т2 < 1, (35)
то из (34) вытекает неравенство
*п+1 22
J < к3Т / ||ж| Л, (36)
где кз = кх/(1 — К2Т2). Проинтегрировав соотношение (32), приходим в силу (36) к оценке
£тг+1 £гг+1
I №<и^ (м + г/2^зГ2) / 1И12сй- (37)
Поскольку в силу неравенства Эйлера
—ж*Н_2ж ^ —А_||ж||2, где А_ —минимальное собственное число матрицы Н_2, из (31), (37) следует оценка
*гг+1
К+1 — К, < —pJ 1|ж||2^, (38)
где р = аЛ- — ^ — V К3Т /^, УП = V(ж(£п)). Выберем теперь ^ > 0 из условия р > 0, равносильного неравенству
^2 — Л-а^ + v2кзT2 < 0.
Такое ^ найдётся, если положителен дискриминант квадратного трёхчлена, что равносильно неравенству
2 а2 Л2 , ^
Т2 < -т^. (39)
4v2кз
Просуммировав неравенства (38), получим равномерную относительно N оценку
Уу + р J ||ж||2Л < V). (40)
І0
Отсюда следует включение
INI € L2[to, +го). (41)
Поэтому, ввиду (32), (36), f € L2[t0, +го). А тогда, согласно (30),
||Х|| € +^)- (42)
Из (41), (42) вытекает, что ||x(t)|| — 0 при t — +го. Согласно (40) при x0 — 0 справедлива асимптотика
sup ||x(tn)| —^ 0 при||жо|| — 0. (43)
П
При t € [tn,tn+i] справедливы соотношения
t tn+l
1И0-4*п)к/|Н<*<^/|Н3-0 при „-00.
tn tn
Отсюда в силу (43) следует, что sup ||x(t)|| — 0 при ||xo|| — 0, то есть имеет место
t>to
устойчивость по Ляпунову. Сформулируем полученный результат.
Теорема 2. Если выполнены условия (2)-(4), величины 3+ удовлетворяют оценкам (21), (26) и справедливы неравенства (35), (39), то неопределённая импульсная система (29) устойчива в целом.
Литература
1. Харитонов В. Л. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14, №11. С. 2086-2088.
2. Liu Derong, Mochalov Alexander. Criteria for robust absolute stability of time-varying nonlinear continuous-time systems // Automatica. 2002. Vol. 38. P. 627-637.
3. Huijun Gao, Peng Shi, Junling Wang. Parameter-dependent robust stability of uncertain time-delay systems // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2007. Vol. 206. P. 366373.
4. Lin Xinzhiliu, Zhang Hongtao. Robust stability of impulsive switched systems with disturbance // Anziam J. 2004. Vol. 48. P. 259-270.
5. Martins N. C., Dahleh M.A., Elia N. Feedback stabilization of uncertain systems in the presence of a direct link // IEEE Transaction on Automatic Control. 2006. Vol. 51, N 3. P. 438-447.
6. Collins E. G., Sadhukhaw J. r. D., Watson L. T. Robust controller synthesis via nonlinear matrix inequalities // Internal Journal of Control. 1999. Vol. 72, N11. P. 971-980.
7. Gelig A. Kh., Churilov A. N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems. Birkhauser, Boston, 1998. 262 p.
8. Кипнис М. М. Символическая и хаотическая динамика широтно-импульсной системы управления // Докл. РАН. 1992. Т. 324. №2. С. 273-276.
9. Гелиг А. Х., Зубер И. Е., Чурилов А. Н. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2006. 269 с.
Статья поступила в редакцию 9 августа 2008 г.
УДК 518:517.432.1
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2009, вып. 2
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА—КНОППА В ЗАДАЧЕ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
М. М. Кабардов
С.-Петербургский государственный университет, аспирант, kabardov@bk.ru
1. Введение. Использование разложения функций в ряды по многочленам Лагерра в задаче обращения преобразования Лапласа имеет длинную историю. Это объясняется тем, что изображение ряда Лагерра конформным отображением приводится к степенному ряду, который допускает применение удобных схем ускорения сходимости ряда Лагерра. Также на разложении в ряд Лагерра основан один из методов обобщения операционного исчисления (см. [1]). В работах [2, 3] рассматривалась схема ускорения сходимости ряда Лагерра, основанная на применении преобразования Эйлера—Кноппа к соответсвующему степенному ряду. Там же были предложены способы выбора параметра суммирования Эйлера—Кноппа в частных случаях расположения особенностей изображения. В статье [4] предложен способ выбора параметра в общем случае и обсуждены вопросы влияния регулярности преобразования Эйлера—Кноппа. В данной работе рассматривается метод ускорения сходимости, равносильный применению суммирования Эйлера—Кноппа, и который может служить его геометрической интерпретацией. При этом в отличие от суммирования каким-либо другим методом отпадает необходимость исследования регулярности.
Приведем краткое описание схемы суммирования ряда Лагерра. Пусть
где Ь — положительный параметр, Ь>2А. Подставив разложение (2) в (1), найдем
Преобразованием г = (в — Ь)/в полуплоскость Ив в > Ь/2 отображаем на круг |г| < 1. Пусть в.Р(в) регулярна в некоторой окрестности точки в = то. Тогда из представления
(2) следует, что функция
(1)
Оригинал представим в виде ряда по многочленам Лагерра:
/ (*> = £ (Ь^) і
(2)
(3)
© М. М. Кабардов, 2009
