О методах обращения преобразования Лапласа Текст научной статьи по специальности «Математика»

О МЕТОДАХ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА*

Н. И. Порошина1, В. М. Рябов2

1. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

1. Введение. Интегральное преобразование Лапласа Г(р) функции-оригинала

представляет собой мощный инструмент для решения широкого класса прикладных задач математической физики. Одним из его главных достоинств является алгебра-изация процедур математического анализа, с помощью которой удается свести интегральные и дифференциальные уравнения к более простым. Кроме того, изображение Лапласа является аналитической функцией в некоторой полуплоскости И,е р > А, что позволяет привлечь к исследованию решаемой задачи результаты теории функций комплексного переменного.

Как правило, при решении задач операционными методами наиболее трудным этапом является процесс обращения, т. е. определение оригинала по его изображению. Существуют таблицы соответствия функций-оригиналов и их изображений [1], теоремы разложения, формула обращения Римана—Меллина, позволяющие теоретически точно находить оригинал. Но решение практических задач часто приводит к изображениям, к которым не могут быть применены эти классические приемы обращения. Следовательно, возникает необходимость разработки и применения приближенных методов.

Наиболее полно возможные подходы к задаче обращения и их реализация описаны в книге [2]. Обзор других способов обращения, не вошедших в [2], приведен в статье [3]. Теоретические основы операционного исчисления содержатся в классических работах [1, 4-6]. Вопросам приложения операционного исчисления к решению прикладных задач, среди прочих, посвящены фундаментальные труды [7, 8].

Не существует универсального метода обращения, дающего удовлетворительные результаты для произвольного изображения Г (р). Любой конкретный метод обращения должен учитывать специфику поведения изображения (или функции-оригинала), что прежде всего находит отражение в выборе подходящих систем функций в пространствах оригиналов и изображений, с которыми легко работать и с помощью которых могут быть хорошо приближены заданные образы и оригиналы. Выбор метода обращения существенно зависит от способа задания информации об изображении искомого оригинала. Перечислим типичные ситуации:

1) известны значения изображения Г (р) и его производных в некоторой фиксированной точке, отличной от бесконечности;

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №11-01-00637).

© Н. И. Порошина, В. М. Рябов, 2011

I (*),

2) известны значения изображения ^(р) и его производных в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки;

3) известны значения изображения ^(р) на вещественной полуоси р > 0;

4) известны значения изображения ^(р) во всей полуплоскости И,ер > Л.

Наша цель заключается в указании подходящих методов обращения, их достаточно подробном описании либо отсылке к соответствующей литературе, а также в разработке новых методов.

2. Ряды Лагерра. Искомая функция-оригинал разыскивается в виде ряда по многочленам Лагерра

/(г) = ехр(аг) ^ акЪк(Ьг) (1)

к=0

при подходящем выборе параметров а и Ь, Ь > 0. Многочлены Лагерра имеют вид

ш = т

В частности, в случае ограниченного оригинала целесообразно разыскивать его в виде ряда по функциям Лагерра (а = -Ь/2 в формуле (1)):

/ (г) = ^2 ак 1к (Ьг), 1к (г) = ехр(-г/2)Ьк (г). (3)

к=0

Изображения по Лапласу функций Лагерра легко вычисляются:

к

С(1к (Ы)) — (-1)

к 1 /Ь/2 - р

Ь/2 + р у Ь/2 + р,

Применяя преобразование Лапласа к обеим частям представления (3) и полагая

Ь/2 - р

Ь/2 + р’

(4)

придем к разложению

где

Отсюда находим

к=0

( —1)кйк гк — С(г), (5)

ак

— (-1)кС(к)(0)/к!, к — 0,1,...

Следовательно, коэффициенты ряда (5) выражаются через значения изображения и его производных в точке р — Ь/2.

Как правило, такой информацией мы не располагаем, так что описанная схема обращения пригодна лишь в случае точного аналитического задания изображения.

Заметим, что при замене переменной (4) правая полуплоскость Иер > 0, в которой заведомо аналитично изображение в случае ограниченного оригинала, конформно отображается на внутренность единичного круга |г| < 1, где аналитична функция

С(г). Предположим, что все особые точки изображения расположены в конечной части полуплоскости Иер < 0, тогда функция С(г) будет аналитична на некотором круге |г| < г, г > 1. В этом случае для приближенного определения коэффициентов ряда (5) можно использовать интерполяционные методы по значениям С(г) в узлах интерполирования, обеспечивающим равномерную сходимость (см. [9-11]). Описанная схема легко переносится на случай а = -6/2.

Задача ускорения сходимости рядов Лагерра вида (3) за счет специального выбора входящего в функции Лагерра параметра 6 в зависимости от расположения особых точек изображения, видимо, впервые была рассмотрена в работе [12], позже эта задача изучалась в статье [13]. В работах [14-17] разработан метод поиска оптимального комплексного значения параметра 6.

3. Обращение преобразования Лапласа с помощью метода Виддера.

В основе этого метода лежит следующая

Теорема 1 [4]. Если /(£) имеет ограниченную вариацию на отрезке [0, Т] при

О

любом Т > 0 и интеграл / ехр(— р^)/(£) сМ = ^(р) сходится абсолютно при некото-

0

ром р, то

Нт Ц^жп+1^М(Жп) = *[/(* _ о) + /(* + 0)],

п——о п! 2

где хп = (п + вп) /£, 0 ^ вп ^ 1.

Введём оператор Виддера Шп, полагая вп = 0:

(в)

Если функция /(х) непрерывна в точке х = £, то при п ^ то приближение Шп (/, £) сходится к /(£). При этом скорость сходимости будет зависеть от степени гладкости функции и в случае непрерывности второй производной она будет величиной 0(1/п), но дальнейшее увеличение гладкости оригинала не увеличивает скорость сходимости, т. е. метод Виддера быстро насыщаем.

Существует специальный метод ускорения сходимости метода Виддера. Выберем к различных натуральных чисел П1 < П2 < ... < п^ и положим с1у = пу/п1,^’ = 1,к. Составим линейную комбинацию

к

Ш (п,к,/,*)=£ Сук ^п3 (/,*) (7)

3 = 1

с коэффициентами Сук, определяемыми из системы линейных алгебраических уравнений

к к к к

^^С3к = 1, ^ЗС3к= 0, ^ЗС3к= 0, . .. ^ЗС3к^ ^ = °.

у=1 у=1 у=1 у=1

Решение этой системы легко находится:

Й I

Г;1 П,/; ^ =

г=1 ^

*=3

Справедлива следующая

Теорема 2 ([18]). Пусть [01,61] С [а, 6] (0 <а<а! <61 <6< то), и / € С (0, то), / € С2к([а, 6]), тогда при п ^ то равномерно относительно 4 € [01,61] справедливо равенство

2к

пк(Ш(п, к, /, 4) - /(4)) =53 Мт4т/(т)(4) + о(1),

т=к

где Мт — константы, не зависящие от 4 и /.

Итак, при п ^ то имеет место равенство Ш(п, к,/, 4) — /(4) = 0(п-к). Вычисление Шп(/, 4) непосредственно по формуле (6), содержащей производные изображения высокого порядка, затруднительно. Поэтому для преодоления этой трудности используем путь, описанный в работе [19]: пусть п, т — натуральные числа (т > п) и г € (0,1). Положим

ИЧ,„(/, fl.it (2(1- ~„(Д)) , (9)

т ^=1 1 — гет(^) /

где ет(х) = ехр(27г~), у>(р) = рР(р). Предположим, что значения функции <р(р) вычислены с погрешностью, по модулю не превосходящей £, и искомый оригинал ограничен: |/(4)| ^ М; тогда справедливо неравенство

|Шп,т(/,*) — Шп(/,*)| < Д,

где

Мгт £ , ч

Д=---------- ------ —. (10)

1 гт (1 г)гп

При любом фиксированном п при £ ^ 0, т. е. с увеличением точности вычислений функции у>(р), можно выбрать параметры г, т так, что Д ^ 0. Отметим, что значение т следует выбирать из условия, что первое слагаемое справа в оценке (10) приближенно равно второму слагаемому, поскольку увеличение т суммарную погрешность не уменьшает, а лишь увеличивает объем вычислений по формуле (9). Таким образом, для вычислений по формуле (7) вместо Шщ (/, 4) используем приближения к ним (/,4), вычисленные по формуле (9) при подходящем ту.

Рассмотрим теперь следующую задачу: при фиксированном числе слагаемых к в формуле (7) выбрать такие номера приближений по Виддеру из заданного диапазона

к

от п1 до пк, чтобы коэффициент В = ^2 сук^-к имел наименьшее возможное значение

3=1

по абсолютной величине (этот коэффициент определяет главный член погрешности приближения (7) к искомому оригиналу). В работе [19] показано, что оно достигается, если использовать приближения Шп с номерами пк, пк — 1,..., пк — к +1.

Однако при таком выборе чисел ^1,...,^к мы получим наибольшие по модулю значения чисел с3к, и в правой части (7) складываются большие числа разных знаков, что может привести к потере точности вычислений. Отсюда возникает следующая задача: для фиксированных значений к, п1, пк выбрать числа ^1,..., с!к так, к

чтобы величина У~] |с3к | была минимальна (тогда формула (7) наиболее устойчива по

3=1

отношению к ошибкам в используемых приближениях по Виддеру).

Рассмотрим на отрезке [1/пк, 1/пі] смещенный многочлен Чебышёва

~ ( 2х-------— \

Тк-1(х)=Тк-1[-------. И1 . Пк , *>1.

J_________________]_

П1 п,.

Возьмём точки

1

хз+1 - 2

(~~~)СОБ(і~і)+~ + ~ \П1 Пк ) \К — 1/ П1 Пк

в которых модуль многочлена Тк-і(х) достигает максимума, т. е. \Тк-і(х^)\ = 1, _?’ =

1,к. Положим ш, = 1/х,, і = 1,к, а затем по числам = ш,/ті, і = 1,к,

к

построим числа вида (8). Тогда, как показано в работе [19], величина ^ \~С]к\

~ ,=1

принимает минимальное значение, равное (— 1)к—1^Гк—1(0).

Числа ш,, вообще говоря, не целые, и поэтому следует в качестве искомых номеров приближений по Виддеру взять ближайшие целые к ним, т. е. положить П = |т + 1/2], і = 1, к. Такие номера будем называть чебышёвскими.

Методы Виддера с успехом могут быть применены для вычисления скачков оригинала в точках разрыва первого рода [20, 21].

4. Обращение преобразования Лапласа по значениям изображения на вещественной оси. Один из вариантов метода обращения, использующий значения изображения в равноотстоящих точках вещественной полуоси р > 0, был предложен в [22]. В работах [23, 24] проведено его детальное исследование и приведены числовые параметры конкретных частных случаев общей схемы, так что здесь мы не будем повторять их результаты.

Известна следующая

Теорема 3 ([4], с. 385). Пусть /(і) Є Ь(0, то) и ее преобразование Лапласа равно

р Ж

Р(р) = ехр(— рі)/(і) (і.

Jo

Тогда для почти всех положительных значений і имеет место формула обращения

(_1 )ПіП—1 рЖ

т = Ит 1 ,, } ... е-*У"-'рЫ(р)<1р. (И)

п^ж п!(п — 2)! Jo

п!(п — 2)!

Вхождение в эту формулу производной изображения ограничивает возможности ее применения. Однако интегрированием по частям она может быть представлена иначе:

/*Ж

/(і) = Ііт / в—ріР2и—1 (рі)Р(р) (р,

п^ж_/0

(- 1)"-1(2п-1)! " (п\ (-р)^-1 2п-і[Р) п\(п — 2)! 1)Ґ

/0

где

(~1)п-1(2п- 1)! ^ (п\ (-р^-і-1 гНп - 2^1

,=0

Нетрудно проверить, что этот многочлен выражается через многочлены Лагерра общего вида

П / \ гт

SГ^ П + а ) х"°

Ьп(х]а)=^(-1Г( ' — (12)

^=0 \П — ш ) ш!

простой формулой:

nl

p

P2n-l(p) = 7-------TWJLn(p ]П - 1).

(n — 2)!

В результате этих преобразований утверждение (11) теоремы запишется в виде

1 I'

f(t) = lim /„(t), fn{t) = ---------— е-ррп~1Ьп(р-, n-l)F{jp/t)dp.

n^tx> t(n — 2)! Jо

Для приближенного вычисления последнего интеграла применим квадратурную формулу типа Гаусса с весом e-p вида

р ОО m

/ e-p^(p) dp «V Akф(рк), (13)

Jo k=i

точную для всех многочленов степени не выше 2m — 1.

Такой метод обращения преобразования Лапласа, пригодный и для определения величин скачков оригинала в точках разрыва первого рода, был предложен и исследован в работе [25]. Скорость его сходимости невелика, однако ее можно увеличить, построив линейные комбинации fn(t), вычисленные для различных n [25]. Однако для этого могут потребоваться формулы (13) с большим числом узлов m (например, несколько сотен). Покажем, как их можно эффективно построить.

Узлы формулы (13) совпадают с корнями многочленов Лагерра (2), т. е.

Рт(Рк) = 0, к=1,т. (14)

Будем находить корни уравнения (14) методом Ньютона:

РІ+1 = Рк - Ь™(Рк)/Ьт(РІ), з =0,1,... (15)

Начальные приближения ко всем корням многочленов (12), для которых метод (15)

сходится, берем из приближенных равенств [26] (нам нужен лишь случай а = 0,

поскольку Ьт(р) = Ьт(р ; 0))

(1 + а)(3 + 0.92а)

Р1 ~

p2 — pl

1 + 2.4m + 1.8а ’ 15 +6.25а

1 + 0.9а + 2.5т’

Pfc+2 — Pfc+i 1 /1 +2.55k 1.26kа

Рк+1 — Рк 1+0.3^ 1.9к 1 + 3.5к

После нахождения с требуемой точностью всех узлов вычисляем коэффициенты формулы (13):

Лк = ТГГГ~\У2^ к=1,гп.

{Р'ЛРк ))2

При вычислениях многочленов Лагерра следует использовать рекуррентное соотношение

(п + 1)Ь„+1(ж ; а) = (а + 2п +1 — ж)Ь„(ж ; а) — (а + п)Ь„_1(ж ; а), п = 1, 2,...,

Ьо(ж ; а) = 1, Ьх(ж ; а) = 1 + а — ж,

а значения их производных исключать с помощью соотношения

хЬП(х ; а) = пЬ„(ж ; а) — (а + п)Ь„_і(ж ; а).

5. Деформирование контура интегрирования. Как известно, обращение преобразования Лапласа задается интегралом Римана—Меллина

где 7 — абсцисса сходимости интеграла Лапласа. Напомним, что интеграл (16) понимается в смысле главного значения, он не зависит от с ив случае разрыва оригинала в точке £ мы получаем полусумму предельных значений оригинала слева и справа от точки £.

Положим в формуле обращения (16) р = с + гт, тогда ехр(р£) = ехр(с£) ехр(гт£). При фиксированном £ первый сомножитель постоянен, а второй пробегает единичную окружность на комплексной плоскости бесконечное число раз. С ростом £ первый сомножитель и скорость пробегания окружности вторым сомножителем неограниченно возрастают, так что попытка приблизить интеграл в (16) римановыми суммами вряд ли приведет к цели.

Например, в простейшем случае для / (£) = 1 имеем ^ (р) = 1/р, так что при любом с > 0 сомножитель ехр(с£) быстро растет с увеличением £, однако оригинал постоянен и не зависит от с.

С целью уменьшения осцилляций сомножителя ехр(гт£) и ограничения скорости роста сомножителя ехр(с£) заменим линию интегрирования в (16) эквивалентным контуром Ь, начинающемся и заканчивающемся в левой полуплоскости так, что Ие (р) ^ —то на обоих его концах. Такая замена возможна, если выполнены два условия:

1) внутри контура Ь содержатся все особенности изображения ^ (р);

2) |^(р)| ^ 0 равномерно в полуплоскости Ие (р) < 7 при |г| ^ то.

Далее всюду предполагается, что эти условия выполняются.

В работе [27] был предложен контур

Он состоит из двух симметричных относительно вещественной оси плоскости г ветвей, исходящих из точки г(0) = 1 налево и при и ^ ±1 стремящихся к асимптотам г = ±пі.

Так как кривая Ь содержит внутри себя особые точки изображения и выполнены условия леммы Жордана [6],

Для приближенного вычисления этого интеграла в статье [27] применяется формула трапеций. Заметим, что при малых и с ростом £ сомножитель ехр(г(и)£) неограниченно растет. Однако это затруднение легко преодолевается предварительной заменой переменной вида р1 = р£ в интеграле (16), в результате чего экспоненциальный сомножитель становится ограниченным и при и ^ ±1 быстро стремится к нулю.

(16)

В работе [28] предложены другие, более эффективные контуры, для которых удается получить априорные оценки погрешности. Результаты этой работы были использованы в [29].

6. Построение обобщенных квадратурных формул. Для обращения преобразований Лапласа широко применяются различные квадратурные формулы [2], в частности, квадратурные формулы наивысшей степени точности (КФНСТ) (их таблицы приведены в [30]). Однако они плохо приспособлены для обращения изображений, соответствующих медленно протекающим длительным процессам, характерным для задач наследственной вязкоупругости [31]. В таком случае целесообразно вместо КФНСТ построить и использовать обобщенные квадратурные формулы наивысшей степени точности (ОКФНСТ) вида

точные для функций <р(р) = p~a3,j = 0,2п — 1, или для оригиналов вида

ts-1Q2n-i(t“) (Q — произвольный многочлен).

Такие формулы были введены в работе [32] и подробно исследованы в статье [33]. В частности, в статье [33] доказана

Доказано [33], что такой многочлен существует и определяется однозначно, а его корни, т. е. узлы ОКФНСТ, удовлетворяют неравенствам Ие(р^) > 0, к = 1,п.

Отметим, что узлы и коэффициенты формулы (17) суть комплексные числа.

Вопросы оценки погрешности ОКФНСТ рассматривались в работе [35].

Эти формулы оказались весьма эффективными при решении задач линейной вязкоупругости [34].

Классические КФНСТ получаются в случае а =1.

7. Метод обращения преобразования Лапласа с помощью разложения оригинала в обобщенные степенные ряды. Для больших значений аргументов целесообразно использовать другой подход к вычислению, который основан на следующей теореме (см. [1]):

Теорема 5. Пусть

k=l

(1T)

Теорема 4. Для того чтобы формула (17) была точна для функций у>(р)

р aj, j = 0, 2п — 1, необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1) формула (1B) интерполяционная;

2) построенный по узлам формулы (1T) многочлен

n

^n(x) = П (ж — Pfc“)

k=l

удовлетворяет условиям

то = 0, п — 1, с > 0.

причем функция ^ (р) удовлетворяет условиям леммы Жордана, имеет конечное число особых точек и все особые точки являются полюсами или точками ветвления, и в окрестностях особых точек р = ро с наибольшей вещественной частью функция ^(р) разлагается в ряды вида

Иш„^то Лп = то и |р — ро| < 1о, здесь е„ и Ли зависят от ро. Тогда функция /(£)

разлагается в асимптотический ряд

где ^2Р0 означает суммирование по всем особым точкам ро.

Примечание. Если Av = n — целое неотрицательное число, то 1/Г(-Av) = 0. Этот подход был успешно применен для решения линейных интегральных уравнения Болцмана—Вольтерра с сингулярными ядрами [31, 34].

Литература

1. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М., 1961. 524 с.

2. Крылов В. И., Скобля Н. С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. М., 1974. 224 с.

3. Порошина Н. И., Рябов В. М. Об обращении преобразования Лапласа некоторых специальных функций // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. Вып. 3. С. 50-60.

4. Widder D. V. The Laplace transform. Princeton, 1946. 406 p.

5. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М., 1971. 288 с.

6. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М., 2002. 688 с.

7. Лурье А. И. Операционное исчисление и его приложение к задачам механики. М.; Л.,

8. Слепян Л. И., Яковлев Ю. С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. Л., 1980. 344 с.

9. Смирнов В. И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.; Л., 1964. 440 с.

10. Амербаев В. М., Утембаев Н. А. Численный анализ лагерровского спектра. Алма-Ата, 1982. 188 с.

11. Гайер Д. Лекции по аппроксимации в комплексной плоскости. М., 1986. 216 с.

12. Boutros Y. Z. Numerical methods for the inversion of Laplace transform. Zurich, 1964.

64 p.

13. Лебедева А. В., Рябов В. М. Об обращении преобразования Лапласа с помощью рядов Лагерра и квадратурных формул ll Методы вычислений. Вып. 19. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. С. 123-139.

14. Кабардов М. М. О суммировании рядов Лагерра методом Эйлера—Кноппа в задаче обращения преобразования Лапласа ll Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2008. Сер. 1. Вып. 4. С. 84-89.

15. Кабардов М. М. Геометрическая интерпретация метода суммирования Эйлера— Кноппа в задаче обращения преобразования Лапласа Ц Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2009. Сер. 1.

то < Aq < Аі < ... < An < ...,

1951. 433 с.

Вып. 2. С. 31-36.

16. Кабардов М. М. Об аналитическом продолжении гипергеометрического ряда преобразованием Эйлера—Кноппа // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2009. Сер. 1. Вып. 3. С. 24-30.

17. Кабардов М. М., Рябов В. М. Ускорение сходимости рядов Лагерра в задаче обращения преобразования Лапласа // Журн. вычислит. математ. и математ. физ. 2009. Т. 49. №4. С. 601-610.

18. May C. P. Saturation and inverse theorems for combinations of a class of exponential-type operators // Canad. J. Math. 1976. Vol. 28. N6. P. 1224-1250.

19. Рябов В. М. О некоторых задачах, возникающих при обращении преобразования Лапласа // Методы вычислений. Вып. 16. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1991. С. 59-68.

20. Рябов В. М. Вычисление значений и скачков оригинала методом Виддера // Вестн. Ленингр. ун-та. 1989. Сер. 1. №1. С. 114-116.

21. Рябов В. М. О точности вычисления значений и скачков оригинала методом Виддера // Вестн. Ленингр. ун-та. 1989. Сер. 1. №15. С. 35-38.

22. Рябцев И. И. Приближенное вычисление оригинала по значениям изображения в равноотстоящих точках действительной оси // Математика. 1966. № 3. С. 139-143.

23. Рябов В. М. Метод обращения преобразования Лапласа, использующий значения изображения на вещественной оси // Вестн. Ленингр. ун-та. 1982. Сер. 1. №1. С. 48-53.

24. Рябов В. М. О точности некоторых методов обращения преобразования Лапласа // Методы вычислений. Вып. 14. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. С. 59-71.

25. Рябов В. М. Формула обращения преобразования Лапласа, основанная на теореме Виддера // Вестн. Ленингр. ун-та. 1982. Сер. 1. №22. С. 35-39.

26. Stroud A.H., Secrest D. Gaussian quadrature formulas. New York, 1966. 374 p.

27. Talbot A. The accurate numerical inversion of Laplace transform // J. Inst. Maths. Applics. 1979. Vol. 23. P. 97-120.

28. Weideman J. A. C., Trefethen L. N. Parabolic and hyperbolic contours for computing the Bromwich integral // Math. Comput. 2007. Vol. 76. N259. P. 1341-1356.

29. Порошина Н. И., Рябов В. М. О вычислении интеграла Римана—Меллина // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. Вып. 4. С. 55-61.

30. Крылов В. И., Скобля Н. С. Справочная книга по численному обращению преобразования Лапласа. Минск, 1968. 296 с.

31. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М., 1977. 384 с.

32. Рябов В. М. О многочленах, вознкающих при численном обращении преобразования Лапласа // Методы вычислений. Вып. 12. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. С. 46-53.

33. Рябов В. М. Свойства квадратурных формул наивысшей степени точности, применяемых для обращения преобразования Лапласа // Журн. вычислит. матем. и математ. физ. 1989. Т. 29. №7. С. 1083-1087.

34. Екельчик В. С., Рябов В. М. Об использовании одного класса наследственных ядер в линейных уравнениях вязкоупругости // Механика композитных материалов. 1981. №3. С. 393-404.

35. Матвеева Т. А., Рябов В. М. Обобщенные квадратурные формулы численного обращения преобразования Лапласа // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2000. Вып. 4. С. 7-11.

Статья поступила в редакцию 22 апреля 2011 г.