Нахождение точки разрыва и величины скачка оригинала по его изображению по Лапласу Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 518:517.948

В. М. Рябов

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2008, вып. 1

НАХОЖДЕНИЕ ТОЧКИ РАЗРЫВА И ВЕЛИЧИНЫ СКАЧКА ОРИГИНАЛА ПО ЕГО ИЗОБРАЖЕНИЮ ПО ЛАПЛАСУ*

1. Введение. Задача обращения интегрального преобразования Лапласа состоит в нахождении решения уравнения

Г(Р) /

в котором Е(р) —известное изображение, f (х) —искомый оригинал. Для простоты считаем, что Ї (х) ограничена на полуоси х А 0, так что функция К(р) заведомо регулярна в полуплоскости Ке (р) > 0. Очевидно, что функция у>(р) = рК(р) регулярна в той же полуплоскости.

можные неровности поведения оригинала { (х), в частности, определить, в каких точках { (х) может испытывать разрывы и вычислить величины скачков в этих точках искомого оригинала и его производных.

Теоретические основы методов обращения и определения скачков заложены в классическом труде [1]. Любой метод обращения в произвольной точке х > 0 дает, как правило, приближение к величине (£ (х + 0) + { (х — 0))/2 и, тем самым, в окрестности точек разрыва приближенное решение не может правильно отражать поведение оригинала. Вопросы построения конкретных методов обращения и скорости их сходимости к предельной величине изучались ранее в работах [2-7].

Цель настоящей работы состоит в разработке эффективных приближенных методов определения точек разрыва оригинала и величин скачков в них с помощью приближенных методов Виддера обращения преобразования Лапласа.

2. Методы Виддера. Известен следующий результат:

Теорема 1 ([1], с.289). Если функция ^ (Ь) имеет ограниченную вариацию на отрезке [0,Т] при любом Т > 0 и интеграл (1) сходится абсолютно при некотором р,

Операция интегрирования в (1) сглаживает особенности в поведении функции ^ (х). В задаче обращения по гладкому изображению К (р) необходимо восстановить все воз-

где, хп - (п + ви.)/і, ^ 1.

Вводом дпа оператора Виддора, соотпетстпутощио случаям в.„ — 0 и в.п

ІРабота выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-00984). © В.М.Рябов, 2008

Если /(х) непрерывна в точке х = 1, то при п А ж приближения Шп(£,1) и вп^) сходятся к £ (1).

Вычисление величин Шп(£,1) и вп^) непосредственно по определяющим их формулам (2), содержащим производные изображения высокого порядка, затруднительно. Один из возможных путей преодоления этой трудности предложен в работе [7]. Применительно к нашему случаю поступим следующим образом: пусть п,т — натуральные числа (т > п) и г О (0,1). Положим

где Єт(х) = ехр(2піх/т).

Предположим, что значения функции р(р) вычисляются с погрешностью, по модулю не превосходящей е, и искомый оригинал ограничен: | і(;)| АМ, тогда справедливы неравенства [2], вытекающие из представлений (3), (4):

Очевидно, что при любом фиксированном n при e А 0, т. е. с увеличением точности вычисления функции p(p), можно выбрать параметры r, m так, что Д А

0. Отметим, что значения m следует выбирать из условия, что первое слагаемое справа в формуле (5) приближенно равно второму слагаемому, поскольку дальнейшее увеличение m суммарную погрешность не уменьшает, а лишь увеличивает объем вычислений по формулам (3), (4).

3. Вычисление скачков оригинала методами Виддера. Пусть функция f (x) имеет единственный разрыв первого рода в точке t и пусть существуют конечные односторонние пределы f+j)(t) = f(j)(t + 0), f-j)(t) = f (j)(t - 0), j = 0,1,... Предположим, что оригинал f (x) в интервалах (0,t) и (t, +ж) допускает представления в виде сходящихся рядов

В этих предположениях в работе [2] доказана

Теорема 2. Пусть оригинал f (t) имеет ограниченную вариацию на отрезке [0, T] при любом T > 0, его изображение равно F(p) и производная f'(t) также является функцией-оригиналом. Тогда при t > 0 справедлива формула

V2ty 1)1)1 v“:ir, : .S. I — I ())-/(*-()).

Отсюда получаем приближенную формулу для вычисления скачка: ((Ь + 0) - ((Ь - 0) « УАпп (^(/, Ь) - Бп-1(/, Ь)).

В работе [2] показано, что вместо правой части приближенного равенства (6) можно взять функцию

$ >^=(-ОУп)(?)' <^р)=рЕ(р).

Теорема 3. Для любого Ь > 0 при п А ж справедливо асимптотическое представление Фп(£) в виде ряда по степеням \jyfn вида

в котором Ь) не ,зависят от п.

Доказательство этой теоремы здесь не приводим, поскольку оно дословно повторяет аналогичное доказательство из работы [3] для операторов Виддера (2). Приведем первые члены

разложения (7):

Как видим, скорость сходимости этой величины к пределу, равному величине скачка оригинала, невелика, поэтому следует применять алгоритм ускорения сходимости. Отметим, что в качестве приближенного значения величины Шп^) — впт^) следует использовать

значение

Итак, найдены значения £ (1 + 0) + £ (1 — 0) и £ (1 + 0) — £ (1 — 0), а тем самым и £ (1 + 0)/ (1 — 0). (6)

Опишем процедуру ускорения сходимости метода вычисления скачков, аналогичную приведенной в [3] для ускорения методов Виддера (2).

Пусть по формуле (6) вычислены приближенные значения величин Фп;. (£,1), ) = 1, 2,..., к, где числа И = по^ —целые, а рациональные числа ^ удовлетворяют неравенству ^ < d2 < • • • < dk. Составим линейную комбинацию

Фил£.-,чф.

з=1

(9)

с коэффициентами с^, определяемыми из системы линейных алгебраических уравне-

3=1 3 1

ъ*.

і 1

= о.

— (к — 1) а

- о.

где о. — 0.5 .

Заметим, что для справедливости этого утверждения достаточно включения f О С2к на (0, 1) и (1, ж). Следовательно, за счет выбора по и к линейная комбинация (9) позволяет определить значение £ (1 + 0) — £ (1 — 0) с требуемой степенью точности. Для наибольшей устойчивости правой части (9) по отношению к ошибкам вычисления функции ФпА) желательно выбрать к номеров таких, чтобы сумма модулей коэффициентов С)к представления (9) была наименьшей.

Описанный далее способ выбора номеров вытекает из результатов работы [6] применительно к представлению (7), и поэтому подробно здесь его приводить не будем.

Пусть нам известен диапазон [по, пкон] изменения номеров приближений. Будем счи-

2 2

тать, что по = то, Икон = тКон, где числа то, тКон натуральны. Вычисляем величины

затем полагаем у] = 1 /х] и в качестве оптимальных номеров берем числа

И) = Ьу +0.5Л", ] = 1, 2,...,к.

Скобки означают целую часть числа. Эти узлы назовем чебышёвскими.

Точка скачка Ь может быть найдена следующим образом. Пусть, например, известны значения величины (6), вычиненные по формуле (8) для некоторых для т, Ш1 и п2, т2. Запишем вытекающее из приближенного равенства (6) уравнение

Точка скачка оригинала близка к решению этого уравнения. Если таковых несколько, построим аналогичное уравнение для других пар чисел п1, т1 и п2, т2 и определим точку скачка как общий корень этих уравнений.

З а м е ч а н и е. Для вычисления входящих в уравнение (10) величин (8) следует предварительно воспользоваться ускорением сходимости описанного выше типа, поскольку характер зависимости этих величин от п в силу соотношений (6) и (7) такой же, как и для Ф„а).

Пример. Пусть функция-оригинал равна

Ее изображение Р(р) для краткости не приводим.

0 04 0 02

0

-0 02

-0 04

P'tit:. I. График левой части уравнения (10).

Для определения точки скачка оригинала возьмем два набора чебышёвских номеров приближений на отрезках [100, 400] и [81, 256], положим k = 6, mj = 2nj + 1 и построим график функции, стоящей в левой части уравнения (10) (см. рис. 1).

Очевидно, что точка t = 1 —точка скачка оригинала, ибо в ней правые части равенств (6) достигают максимума и приближенно равны друг другу, в то время как в других точках, где график пересекает ось абсцисс, а не касается ее, как в точке максимума, просто случайно совпадают значения двух функций.

Величина скачка по формуле (9) находится с шестью верными знаками. Как видим, предлагаемый метод весьма эффективен.

Summary

V. M. Ryabov. Finding the point of jump and the value of jump of determining function by using its Laplace transform.

The methods for finding the point of jump and the value of jump of determining function based on Widder's inversion formulas are proposed. Литература

1. Widder D. V. The Laplace transform. London: Princeton Univ. Press, 1946. 406 p.

2. Рябов В. М. Вычисление значений и скачков оригинала с помощью формул Виддера // Вестн. Ленингр. ун-та. 1989. №1. С. 114-116.

3. Рябов В. М. О точности вычисления значений и скачков оригинала методом Виддера // Вестн. Ленингр. ун-та. 1989. № 15. С. 35-38.

4. Рябов В. М. Численные методы обращения преобразования Лапласа // Методы вычислений. Вып. 13. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. С. 97-116.

5. Рябов В. М. О точности некоторых методов обращения преобразования Лапласа // Методы вычислений. Вып. 14. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. С. 59-71.

6. Рябов В. М. О некоторых задачах, возникающих при обращении преобразования Лапласа // Методы вычислений. Вып. 16. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1991. С. 59-68.

7. Jagerman D. L. An inversion technique for the Laplace transform // The Bell Syst. Techn. J. 1982. Vol. 61. №8. P. 1995-2002.

Статья поступила в редакцию 13 сентября 2007 г.