Об аналитических свойствах функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. Хеильброн X. ^-функции и Ь-функции // Алгебраическая теория чисел / Под ред. Дж. Касселса, А. Фрелиха. М.: Мир, 1969.

6. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967.

УДК 511.3

В.Н.КУЗНЕЦОВ, Т.А. КУЗНЕЦОВА, В.В. КРИВОБОК

Об аналитических свойствах функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами

Рассмотри ряд Дирихле

то

/(5) = апп*' й = а + (!) п= 1

где ап — периодические и ап = 0( 1).

п^х

Данная работа посвящена доказательству следующего утверждения.

Теорема. Ряд Дирихле (1) определяет целую функцию первого порядка со следующим условием роста модуля в левой полуплоскости:

|/(в)| <се|в|1п|в|+А|в|, а< 0. (2)

Замечание. Хорошо известно [1], что теорема 1 имеет место в случае, когда ап = х(п), где х — неглавный характер Дирихле, то есть когда /(й) — Ь-функция Дирихле. При доказательстве этого факта существенным моментом является то, что Ь-функция Дирихле удовлетворяет функциональному уравнению типа Римана. Доказательство теоремы 1, приведенное в данной работе, получено без использования функционального уравнения (ряд вида (1) может не удовлетворять уравнению типа Римана), в его основе лежит метод редукции к степенным рядам, разработанный в

работах [2-3], который сводит задачу аналитического продолжения ряда Дирихле к граничному поведению соответствующего степенного ряда.

Доказательство теоремы 1 Рассмотрим степенной ряд, соответствующий ряду Дирихле (1):

то

„п

д(г ) = ^ апгп, (3)

п

п=1

то есть степенной ряд с теми же самыми коэффициентами, что и ряд Дирихле (1).

Пусть & — период коэффициентов ап, тогда для любого п имеем п =

= тк + I, 0 ^ I ^ к — 1, ап = а/. Тогда

то к—1 то

д(г) = 5^ апгп = ^ а/г =

,п = ^ а/г Рк (г)

п=1 /=0 т=1

1- гк'

где Рк (г) — полином степени к. В силу ограниченности сумматорной функции коэффициентов ап, Рк (1) = 0 и 1 — гк = 0 в точке г = 1. Отсюда получаем

( ) = Як—1(г)

д(г) 1 + г + г2 + ... + гк—1,

д(г) г = 1 .

Докажем, что функция /(й) продолжпма целым образом на всю комплексную плоскость с условием роста модуля (2).

Используем интегральное представление для Г-фупкции:

то

Г(й) = У е—Ч8—1(г, а> 0. 0

Сделаем замену переменных: £ = пх, получим

то

Г(й) = [ е—пх па х/-1 (х,

оо

тогда п-вГ = / е-пххв-1^х. о

Умножим обе части равенства на ап и просуммируем по п от 1 до то:

^апп Т(з) = / апе пхх5 ^х = / ^апе пх х5 ^х, а > 1

п=1

п=1

, п=1

Таким образом, при а > 1 получаем следующее интегральное представление:

то то р

/(5) • Г(й) = ^ д(б-х)х5-1^х = У д(б-х)х5-1^х + ^ д(е-х)х5-1^х. (4) 0 р о

Легко видеть, что

Е

п=1

Отсюда следует неравенство

апп

1 - е-

д(е х)х5 1^х

то

У^ апе пх I х5 1^х

, п=1

1е-

и так как при х ^ р

11

<

1- е-х 1- е-р'

то окончательно получаем:

д(е х)х5 1^х

1 - е-р

е хха 1^х =

р

то

"ТО

= М2 I е-хха-1^х < М3 у ха-1 ¿х

1.

Мзрс

а

.

р

Таким образом, интеграл

ФР(5) = / д(е х)х5 1^х

х

е

х

е

1

в любой полуполосе а1 ^ а ^ а2 абсолютно сходится и, следовательно, определяет целую функцию, удовлетворяющую оценке (6) при а < 0.

Рассмотрим теперь второй интеграл из равенства (16):

р

1 = /д(е—х>х"— 0

Как показано в [3], для данного интеграла имеет место разложение:

i = р-'Е

Ж k

ak pk

к + й'

к=0

при й = 1, 0, —1, —2,..., где ак = Яез3=—к(/(й) • Г(й)). Так как Яева=—кГ(й) = к^ (см-5 например, [4]), то

ак = Яез=—к(—1)кк^(—к). (6)

В работе [5] показано, что

ak = lim g(k)(x). (7)

x—^ 1 —0

Так как an являются периодическими и ряд g(z) определяет регулярную в точке z = 1 функцию, разложим g(z) в ряд Тейлора по степеням z — 1 :

g(z ) = t ^ — 1)П.

n=0 '

Из формулы для нахождения радиуса R сходимости ряда

1=нтд(п!|1).

Я п^то V п!

Из условия (6) следует, что степенной рядд (г) регулярен в точке г = 1 в том случае, когда

ак = 0(рк). (8)

Отсюда в силу условия (6) получаем:

|/(—к)| <сек 1пк+Ак. (9)

Выберем р таким образом, чтобы рр0 < 1, тогда в силу (8) получим, к

что ряд 0+7 сходится при s = — k и его сумма ограничена в области, не содержащей некоторые окрестности точек s = — k.

Так как Г-фупкция в левой полуплоскости имеет следующую асимптотику [6]:

|r(s)| = e—|s'lnlsl+ßlsl, B > 0,

то в силу условия (8) получаем, что функция

1 [ р

щ I g(e—x)xs—

является целой функцией, модуль которой при а < 0 удовлетворяет условию роста (2), что, в силу (4) и (5), завершает доказательство теоремы 1.

Библиографический список

1. Карацуба A.A. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1975.

2. Кузнецов В.Н. Аналог теоремы Сеге для рядов Дирихле // Мат. заметки, 1984. Вып. 6.

3. Кузнецов В.Н., Сецинская Е.В., Кривобок В. В. О рядах Дирихле, определяющих целые функции первого порядка // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 3.

4. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980.

5. Кузнецов В.Н., Кузнецова Т.А., Сецинская Е.В., Кривобок В.В. О рядах Дирихле, определяющих целые функции с определенным порядком роста модуля // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып. 4.

6. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967.