Об алгебрах отношений с операцией идентификации неподвижной точки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.57

Д.А. БРЕДИХИН

Об алгебрах отношений с операцией идентификации

неподвижной точки

Множество бинарных отношений, замкнутое относительно некоторой совокупности операций над ними, образуют алгебру, называемую алгеброй отношений. Теория алгебр отношений является важной составной частью современной алгебраической логики. Одной из основных проблем при изучении алгебр отношений является проблема нахождения базиса тождеств многообразий, порожденных различными их классами [1-8].

Для всякого множества О операций над отношениями обозначим через Я{О} класс алгебр изоморфных алгебрам отношений с операциями из О. Пусть Уат{О} есть многообразие, порожденное классом Я{О}.

Мы сосредоточим свое внимание на операции произведения отношений о и унарной операции V определяемой следующим образом. Для всякого бинарного отношения р положим

V(р) = {(х,х) : (Зг)(г,г) е р}.

Заметим, что V(р) совпадает с тождественным отношением, если р содержит неподвижную точку, и V(р) есть пустое отношение в противном случае. По этим соображениям, операция V может быть рассмотрена как операция идентификации неподвижной точки.

Основной результат работы формулируется в следующей теореме.

Теорема. Алгебра (А, •, *) типа (2,1) принадлежит, многообразию Уат{о, V} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим тождествам:

(ху)г = х(уг), (1)

/ * \ 2 *

(х ) = X ,

* *

ХУ = У x, (ХУ)* = (Ух)*,

(ХУ * )* = х * у *,

х *(хк)* = х * для любого простого числа к.

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Доказательство теоремы

Доказательство теоремы основывается на результатах работы [5]. Разобьем его на ряд последовательных шагов.

ШАГ 1. Приведем ряд определений и обозначений, используемых в дальнейшем изложении, и сформулируем необходимый результат из работ [5].

Пусть Яе1(и) — множество всех бинарных отношений на и. Всякая формула ф(г0, г1,т1,... ,гт) логики предикатов первого порядка с равенством, содержащая т бинарных предикатных символов г\,... ,гт и две свободные индивидуальные переменные г0, определяет т-арную операцию па Яв1(и):

^(Я1,...,Ят) = {(х,у) е и х и : <р(х,у,Я1,...,Ят)},

где ^(х, у, Я1,..., Ят) означает, что фор мула ^выполняется, если г0, интерпретируются как х, у и Г1,... , гт интерпретируются как отношения Яь...,Ят из Яе1(и).

Операция над бинарными отношениями называется примитивно-позитивной [9] (в другой терминологии диофантовой [6]), если она может быть определена формулой, содержащей в своей записи лишь кванторы существования и операцию конъюнкции. Примитивно-позитивные операции могут быть описаны с помощью графов [9].

Обозначим через N множество всех натуральных чисел. Помеченным графом назовем пару О = (V, Е), где V = V(О) - конечное множество,

называемое множеством вершин, и E = E(G) С V х N х V — тернарное

отношение. Тройку (u, k,v) G E будем называть ребром графа, идущим

из вершины u в вершину v, помеченным меткой k, и графически изоб-

k

ражать следующим образом: u ^ •v. Мы также будем говорить, что вершины u и v ннцендентны ребру (u, k,v).

Под двухполюсником мы понимаем помеченный граф с парой выделенных вершин, то есть систему вида G = (V, E,in,out), vjiß (V, E) — помеченный граф; in = in(G) и out = out(G) — две выделенные вершины (не обязательно различные), называемые входом и выходом двухполюсника соответственно.

Понятие изоморфизма помеченных графов и двухполюсников определяется естественным образом. В дальнейшем все графы будут рассматриваться с точностью до изоморфизма.

Пусть F = F^ — примитивно-позитивная операция, задаваемая формулой ç. С этой операцией может быть ассоциирован двухполюсник G = G (F ) = G(ç), определяемый следующим образом: V (G) — множество всех индексов индивидуальных переменных, входящих в формулу ç; in(G) = 0 out (G) = 1; (i,k,j ) G E (G) тогда и только тогда, когда атомарная формула rk(zi, Zj) входит в ç; если формула zi = Zj входит в ç, то вершины inj отождествляются.

Заметим, что двухполюсники, соответствующие операции умножения отношений о и операции V, задаются следующим образом:

1 2

in = = out

in—out-

Пусть G = (V,E,in,out) и Gk = (Vk ,Ek ,ink ,outk ) (k = l,...,m) ...................... двухполюсники с попарно непересекающимися множествами вершин. Назовем композицией этих двухполюсников новый двухполюсник

G(G1,..., Gm), определяемый следующим образом [9]: возьмем двухполюсник G и заменим каждое его ребро (u,k,v) G E на двухполюсник G&, отождествляя при этом вершину ink с вершин ой u и вершину outk с v

Рассмотрим множество примитивно-позитивных операций над отношениями Q = {Fipi, ..., F(fin}, и пусть A = (A, f\,..., fn) — универсальная алгебра соответствующего типа. Положим Gi = G(^), ..., Gn = G(^n)-

Для всякого терма p алгебры A определим следующим индуктивным образом двухполюсник G(p) = (Vp,Ep,in(p),out(p)) :

1) если p = Xk, то G(p) представляет собой двухполюсник вида in -— •out;

2) ecmip = fk(p1,... ,pm), то G(p) есть композиция Gk(G(p1),..., G(pm)). Обозначим через pr(E) множество всех вершин помеченного графа,

которые инцендентны хотя бы одному ребру. Пусть даны два помеченных графа G1 = (V^E^ и G2 = (V2, E2). Отображение f : pr(E2) — pr(E1) называется гомоморфизмом G2 в G15 если (f (u), к, f (v)) G E1 для всякой тройки (u,k,v) G E2.

Пусть G1 = (V1, E1,in1,out1) и G2 = (V2, E2,in2,out2) — двухполюс-

f : V2 - V1 G2 G1

еслп f (in2) = in1? f (out2) = out1 и (f (u), k, f (v)) G E1 для всякой тройки (u,k,v) G E2. Мы будем писать G1 -< G2, если существует гомоморфизм из G2 в G1, и G1 = G2, тел и G1 -< G2 и G2 -< Gb

Обозначим через Eq{^} эквациональную теорию класса Те-

перь мы готовы сформулировать основной результат из [5]:

Тождество р = д принадлежит, эквациональной теории Eq{Щ тогда и только тогда, когда О(р) = О(д).

ШАГ 2. Обозначим через 2 эквациональную теорию алгебр типа

(2,1), удовлетворяющих тождествам (1)—(6), и пусть £ — множество термов алгебры (А, •, *) типа (2,1). Для термов р1 и р2 из £ будем писать р1 = р2, когда тождество р\ = р2 припадлежит

Пусть Л множество всех непустых слов над алфавитом {х\,... ,хп,... }, © - пустое ело во и Л = Л и {©}•

Лемма 1. Для любого терма р Е £ существуют такие а0,а\,... ,ап (и ^ 0) что р = а0(а\)*... (ап)*, где ао,... ,ап Е Л.

Доказательство

Доказательство проводится индукцией. Утверждение очевидно для р = Предположим,что р = ао(а^*... (ап)*. Тогда используя тождество (4) получаем

(р)* = (аоЫ*... (ап)*)* = («оЫ*... К-ОТЫ* = ... =

^ (ао(«1)*)*... (ап)* = (ао)*Ы*)... К)*.

Далее, предположим, что р1 = а0(а1)*... (ап)* и р2 = в0(в1)*... (@т)*- Тогда, используя тождество (4), получаем

р1р2 = ао(«1)* . . . (ап)*во(А)* . . . (вт)* = аово(«1)* . . . К)*(в 1)* . . . (вт)*

Лемма доказана.

ШАГ 3. Согласно определению, двухполюсник

^(р) = (Ур, Ер,т(р),оиЬ(р)) для р Е £ может быть построен следующим образом.

Пусть р = а = ©.Тогда Ур = Уа = {^о}, Ер = Еа = 0, и т(р) = = т(а) = оиЬ(р) = оиЬ(а) = уо.

Пусть р = а = хп хп ... Хгп. Тогда Ур = Уа = {У1,..., ^+1}, Ер = Еа = = {(Vк,4,^к+1) : к Е [1,и]}, и т(рр) = т(а) = г>1? оиЬ(р) = оиЬ(а) =

= ^п+ь

т(а) = г>г -1 • — •... • — •уп+1 = оиЬ(а).

Пусть р = а*, где а = хч х12... х1п .Тогда Ур = Уа* = {ъо, , Ер = Еа* = {{ук,гк,Ук+г) : к е [1,п - 1]} и {(уп,гп,у1)} и гп(р) = = оиЬ(р) = гп(а*) = оиЬ(а*) = ъ0. Заметим, что Еа* есть петля, которая получена из Еа посредством отождествления вершин и ъп+1.

Пусть р = а0(а\)*... (ап)* и п > 0. Мы будем предполагать, что множества Уа0 ,Уа* ..., Уа* попарно те пересекаются. Тогда Ур = Уа0 и ирг(Еа1) и ... и рт(Еа*п), Ер = Еао и Еа* и ... и Еа*пя гп(р) = гп(ао), оиЬ(р) = оиЬ(а0). Заметим, что в этом случае С(р) содержит п + 1 связанных компонент.

Лемма 2. Если С(а) -< С(/3), то а = /3.

Доказательство ПуСТЬ а х%<2 . . . х1п) в Х3*Х32 . . . Х3т ^ Уа {ъ1, . . . , ^п}5

Ув = К,... ТогДа М) = /Мв)) = ;'п(а) = /) = ...■> I (у'т) = ут = I (оиЬ(в)) = оиЬ(а) = уп. Следовател ьно, т = пи Хз* = х*,.. .Хзп = х^п, то есть а = в- Лемма доказана.

Обозначим через | У | число элементов конечного множества У.

Лемма 3. Пусть Еа* -< Ер* и I — гомоморфизм из Ер* в Еа*. Тогда существуют такие Х,д е А, что а = Хд и в = (дХ)к Для некоторого натурального к ^ 1, и для каждой вер шины V е рт(Еа*) выполняется условие | I-1(ъ) |= к.

Доказательство

ПуСТЬ а = хг* хп ...хгп, в = хп х]2 ...х]т, рт(Уа*) = {Ъ1,...,Ъп}7 рт(Ур*) = ,..., ъ'т} и I — гомоморфизм из Ер* в Еа*. Очевидно, что п < т. Предположим, что I) = V/. Тогда I(ъ'2) = ъ/+1 и хз* = х..., I(ъ'п+1) = и хзп = Если т = п, то а = Хд, в = дХ и | I-1(ъ) |= 1, где Х = хп хп ... хч_* и д = хг, хч+1 ...х1гГ Есл и т > п, то I = ъ/+1

и Хjn+1 = х>Н) ..., /(«т) = «/? и хт = х^. Отсюда следует, что т = ки И | /-1 («) |= к для некоторого натурального к ж а = Ад, в = (дА)к, гДе Л = х^ х^2... х^ж д = х^ х^г+1.. .х;п. Лемма доказана.

ШАГ 4. Легко проверить, что операции о апс1 V удовлетворяют тождествам (1)—(6). Отсюда следует, что 2 С Ед{о, V}. Таким образом, для доказательства теоремы достаточно показать, чтоЕд{о, V} С 2.

Рассмотрим произвольное тождество р1 = р2. Согласно лемме 1 мы можем предположить, что р1 = ао(а1 )*... (ап)* и р2 = во(в1)*... (вт)*-

Лемма 4. Пусть С(р1) -< С(р2). Тогда ао = во и существует такая функция д из {1,...,т} в {1,..., и}, что (ад(/))* = (ад(/))*(в/)* для I = 1,... ,т.

Доказательство

Так как С(р1) -< С(р2), существует гомоморфизм / из С(р2) в С(р1). Так как ](т(р2)) = /(ги(во)) = ¿и(р1) = ги(ао) и /(оиЬ(р2)) = = /(оиЬ(во)) = ои^(р1) = ои£(ао), имеем /) = Уа0. Следовательно,

ао = во

Легко видеть, что тождества (1)—(6) влекут тождество

х* (хк )* = х* (6')

к

Заметим, что гомоморфизм / отображает связанную компоненту графа С(р2) в связанную компоненту графа С(р1), следовательно, для всякого I = 1,...т имеем /(рг(Е(^1)*)) = рт(Е(ад{1))*) где д — функция из {1,..., т} в {1,... ,и}. Согласно лемме 3 имеем ад(/) = А/д/ и в = (д/А/ )к для некоторого натурального к ^ 1. Отсюда, используя тождества (2), (4) и (6'), получаем (ад(/))* = (ад(/))*(ад(/))* = (ад(/))*(А/д/)* = = (ад(/))*(д/А/)* = (ад(/))*((д/А/)к)* = (ад(/))*(в/)*• Лемма доказана.

Следующая лемма доказывается аналогично.

Лемма 5. Пусть G(p2) G(pi). Тогда ao = во и существует такая фуНКЦИЯ q ИЗ {1,...,n} В {1, ..., ш}, ЧТО (в<1(1))* = (вд{1))*(а1 )* Для l = 1,... ,n.

Предположим, что тождество pi = p2 принадлежит эквациональной теории Eq{o, V}. Тогда, согласно сформулированному выше результату из [5], имеем G(p\) = G(p2). Следовательно, используя леммы 4 и 5 и тождества (2), (3), получаем

pi = ao(ai)*... (agi) ... (an)* = ao(ag(i))*(ai)*... (ag(i))* ... (an)* =

= ao(ag(i))*(ei)*(ai)*... (ag^)*... (an)* = = ao(Pi)*(ai)*... (agi)*... (an)* = ... = ao(A)... (Pm)*(a i)*... (an)*. Аналогично показываем, что

p2 = 0o(0i)*... (вт)* = eo(ai)*... (an)*(вг)... (вт)*.

Следовательно, используя тождество (3), получаем pi = p2, то есть тождество pi = p2 принадлежит Е. Таким образом, Eq{o, V} С Е. Теорема доказана.

В заключение сформулируем проблему, естественно вытекающую из полученного результата.

Проблема. Является ли многообразие Var{o, V} конечно базируемым, то есть, может ли оно быть охарактеризовано конечным числом тождеств?

Библиографический список

1. Tarski A. On the calculus of relations// J. Symbolic Logic. 1941. V. 6.

2. Henkin L., Monk J.D., and Tarski A. Cylindric Algebras. North-Holland, Amsterdam, 1971.

3. Schein B.M. Relation algebras and function semigroups// Semigroup Forum. 1970. V. 1.

4. Andreka HBredikhin D.A. The equational theory of union-free algebras of relations// Alg. Univers. 1994. V. 33.

5. Бредихин Д. А. Эквациональная теория алгебр отношений с позитивными операциями// Изв. вузов. Матем. 1993. № 3.

6. Бредихин Д.А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовы-ми операциями // Сибирск. матем. журн. 1997. Т. 38.

7. Бредихин Д.А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Доклады Российской Академии Наук. 1998. Т. 360.

8. Bredikhin D.A. On varieties of semigroups of relations with operations of cylindrofication // Contributions to General Algebra. 2005. V. 16.

9. Boner F, Pôschel F.R. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. 1991. V. 7.

УДК 511.3

B.B. КРИВОБОК, O.A. ПОЛЯКОВА Об одном обобщении основной теоремы алгебры

Целью данной работы является доказательство существования бесконечного множества нулей у достаточно широкого класса целых функций. Наиболее общий результат в этом направлении получен относительно целых функций конечного порядка. Известно [1], что целые функции конечного порядка, для которых для любого c > 0 найдется последовательность положительных чисел {rn}, стремящаяся к бесконечности,

такая, что

тах |/(г)| > еСГп, и = 1, 2,...,

И=Гп

где а — порядок целой функции / (г), имеют бесконечное множество нулей.