CC BY
10
УДК 512.57
Д. А. Бредихин, А. В. Попович
О БЕСКОНЕЧНОЙ БАЗИРУЕМОСТИ МНОГООБРАЗИЙ АЛГЕБР БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ
Множество бинарных отношений, замкнутое относительно некоторой совокупности операций над ними, образует алгебру, называемую алгеброй отношений. Для всякого множества Q операций над бинарными отношениями обозначим (R{Q, с}) класс алгебр (упорядоченных
алгебр), изоморфных алгебрам (упорядоченных отношением включения с алгебр) отношений с операциями из Q. Пусть Var{Q} (Var{Q, с}) есть многообразие, порожденное классом R{Q} (R{Q, с}). В работах [1, 2] найдены бесконечные базисы тождеств многообразий Var{o, V} и Var{o, V, с}, где o — операция умножения бинарных отношений и V
мая следующим образом:
V(p) = {(x,x) : (3z)(z,z) е р}.
Теорема 1 (см. [1]). Алгебра (A, •, *) типа (2,1) принадлежит, многообразию Var{o, V} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим тождествам: (xy)z = x(yz) (1), (x*)2 = x* (2), xy* = y*x (3), (xy)* = (yx)* (4), (xy*)* = x*y* (5), x*(xk)* = x* (6) для любого простого числа k.
Теорема 2 (см. [2]). Упорядоченная алгебра (A, •, *, <) типа (2,1) принадлежит многообразию Var{o, V, с} тогда и только тогда, когда
xy* < x
Основной результат работы формулируется в следующей теореме.
Теорема 3. Многообразия Var{o, V} и Var{o, V, с} не являются конечно базируемыми, то есть они не могут быть охарактеризованы никакой конечной системой тождеств.
Доказательство. Приведем ряд определений и обозначений, используемых в дальнейшем изложении. Обозначим через N множество всех натуральных чисел. Помеченным графом назовем пару G = (V, E), где V = V(G) - конечное множество, называемое множеством вершин, и E = E(G) с V х N х V - тернарное отношение. Тройку (u,k,v) е E будем называть ребром графа, идущим из вершины u в вершину v, помеченным меткой k, и графически изображать следующим образом: u A •v. Под двухполюсником мы понимаем помеченный граф с парой выделенных вершин, то есть систему вида G = (V, E, in, out),
где (У, Е) - помеченный граф; ;п = ;п(О) и оиЪ = оиЬ(О) — две выделенные вершины (не обязательно различные), называемые входом и выходом двухполюсника соответственно.
Двухполюсник определяет операцию над бинарными отношениями (см. [1]). Двухполюсники Оо = (Уо,Ео,то,оЫо) и Оу = (Уу,Еу,;пу,оиЬу), соответствующие операции умножения отношений о и операции V, задаются следующим образом: У0 = {у1,у2,у3}7 Ео = {(VI, 1,У2), (У2, 2,Уз)}, Ыо = VI, ОиЬо = Уз И Уу = {^0,^1}, Еу = {(У1,1,У1)} гпу = оиЬу = Уо.
Пусть О = (У,Е,;п,оиЬ) и Ок = (Ук,Ек,;пк,оиЬк) (к = 1,...,ш) ............. двухполюсники с попарно непересекающимися множествами вершин. Назовем композицией этих двухполюсников новый двухполюсник О(О1,..., От),определяемый следующим образом: возьмем двухполюсник О и заменим каждое его ребро (и, к, у) € Е на двухполюсник Ок, отождествляя при этом вершину ;пк с вершин ой и и вершину оиЬк с вершиной V.
Обозначим через рг(Е) множество всех вершин помеченного графа, которые инцендентны хотя бы одному ребру. Пусть даны два помеченных графа О1 = (У1,Е1) и О2 = (У2,Е2). / : рг(Е2) ^ ^ рг(Е1) называется гомоморф измом О2 в О1} если (/(и), к,/ (у)) € Е1 для всякой тр ойки (и, к, у) € € Е2. Пусть О1 = (У1,Е1,;п1,оиЬ1) и
О2 = (У2, Е2,;п2,оиЬ2) - двухполюсники. Отображение / : У2 ^ У\ называется гомоморфизмом из О2 в О1? если /(;п2) = /(оиЬ2) = оиЬ1 и (/ (и), к, / (у)) € Е1 для всякой тр ойки (и, к, у) € Е2. Мы будем писать Е1 -< Е2 (О1 -< О2), если существует гомоморфизм из Е2 в Е1 (из О2 в О^ и Е1 ^ Е2 (О1 = О2), если Е1 ^ Е2ж Е2 < Ех (О1 ^ О2ъ О2 < Ох).
Обозначим через 2 эквациональную теорию алгебр типа (2,1), удовлетворяющих тождествам (1)-(6), и пусть £ - множество термов алгебры (А, •, *) типа (2,1^. Для термов р1 и р2 из £ будем писать р1 = р2, когда тождество р1 = р2 прннадлежит 2. Пусть Л - множество всех непустых
слов над алфавитом {х:1,..., хп,... }, © - пустое слово и Л = Л и {©}•
р
а0, а1,... ,ап (п > что р = а0(а1 )*... (ап), где а0,... ,ап € Л.
Сопоставим терму р двухполюсник О(р) = (Ур,Ер,;п(р),оиЬ(р))., который строится следующим образом (см. [1]).
Пусть р = а = ©. Тогда Ур = Уа = {у0}, Ер = Еа = 0 и ;п(р) = = ;п(а) = оЫ(р) = оиЬ(а) = У0. Пусть р = а = х^Х{2 ... х,Ьп. Тогда Ур = = Уа = {У1,... ,Уп+1} Ер = Еа = {(Ук,;к,Ук+1) : к € [1,п]} и ;п(р) = = ;п(а) = у^ оЫ(р) = оиЬ(а) = уп+1:
гп(а) = г>г А- •А.....А ^п+1 = оиЬ(а).
Пусть р = а*, где а = хч хг2... Тогда Ур = Уа* = {Уо,У1,..., уп}, Ер = Еа* = {(^,%к: к е [1,п- 1}}и{(Уп/1п,У1)} и гп(р) = оиЬ(р) = = гп(а*) = оиЬ(а*) = у0. Заметим, что Еа* есть петля, которая получена из Еа посредством отождествления вершин г>1 и Уп+1.
Пусть р = а0(а\)*... (ап)* и п > 0. Мы будем предполагать, что множества Уа0, Уа* ..., Уа* попарно те пересекаются. Тогда Ур = Уа0 и ирг(Е0*) и ... и рг(ЕаП ),ПЕр = Еао и Е(а* и ... и Еа:я гп(р) = гп(ао) оиЬ(р) = оиЬ(а0).
Обозначим через | У | число элементов конечного множества У. Лемма 2 (см. [1]). Пусть Еа* — Ер* и / - гомоморфизм из Ер * в Еа*. Тогда существуют такие Х,^ е А, что а = Х^ и в = (^Х)к для некоторого натурального к > 1, и для каждой вер шины V е рг(Еа*) выполняется условие | /-1^) |= к.
Пусть О - множество всех двухполюсников С(р)7 где р = = а0(а1)*... (ап)* для некоторого а0,...,ап е А. Определим две опе-О
данных Сд е О положим С • д = С0(С,Я) и С* = Су (С), где С0 и Су - двухполюсники, соответствующие операциям о и V над отношениями.
к
Будем писать С — д (к > 2), если существует гомоморфизм / из д в
С, удовлетворяющий условию: для любой вершины V из С | /-1 (V) |< к.
к к к к
Далее, будем писать С — д, если С = С1 — С2 — ... — Сп = д для
к к к
некоторых С1, С2,... ,Сп е О, и С = д, если С — д и д — С. Легко
к
проверить, что отношение = является конгруэнтностью алгебры (О, •,*)
к
и фактор алгебра Ак = (О, •,*)/ = удовлетворяет тождествам (1)-(5), а
кк
фактор система А< = (О, •,*, —)/ = является упорядоченной алгеброй, которая удовлетворяет тождествам (1)-(5) и (7).
Обозначим Рг множество всех простых чисел, Рг[1,п} = РЯ П [1,п} и Рг(п) - множество всех простых делителей п.
Лемма 3 . Если С (а*) - С ((а1 )*), то Рг(1) С Рг[1,к}.
К /чч к к к
Предположим, что С(а*) — С ((а)*), то есть С(а*) = С1 — С2 — ... —
к
Сп-1 — Сп = С((а1 )*) для некоторых С1,С2,... ,Сп-1,Сп е О, и ¡^ -соответствующий гомоморфизм из С{Ъ С—1 (г = 2,... ,п).
Положим (Сп-1 = ¡п(Сп), С п-2 = ¡п-1(С п-1), ...,С 1 = ¡2(С2).
к к к к к Легко видеть, что О(а*) -< О1 -< (О 2 -< ... -< Оп-1 -< Оп = О ((а1 )*).
Пусть / - композиция гомоморфизмов /п, /п-1,..., ¡2- Согласно лемме
2 имеем /-1(у) = к < к для всякой вершины у € У (О —1) такой, что
у = ;п(О ^-1) = оЫ(О—1). Отсюда следует, что /-1(у) = к2к3 .. .кп для
всякой вершины у € У(О(а*)) такой, что у = ;п(О(а*)) = оиЬ(О(а*)).
Таким образом, согласно лемме 2 имеем I = к2к3.. .кп, следовательно,
Рт(1) С Рт[1,к]. Лемма 3 доказана.
Пусть I - простое число такое, что I € Рг[1,к]. Предположим, что , к к ,
О (а*) о О((а*)1 == О (а*), тогда О(а*) -< О((а*)1), следовательно, по
лемме 3 I € Рт[1,к]7 что противоречит сделанному предположению. Таким образом, система тождеств (1)-(6) ((1)-(6) и (7)) не эквивалентна никакой своей подсистеме, следовательно, многообразие Уат{о, V} (Уат{о, V, с}) не является конечно базируемым. Теорема 3 доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений е операцией идентификации неподвижной точки// Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвузов, сб. науч. тр.. 2010. С. 90-98
2. Бредихин Д. А., Попович, А. В. Об упорядоченных полугруппах отношений с операцией идентификации неподвижной точки// Вестник Саратовского технического университета. 2011. №4. вып. 1. С. 52-56.
УДК 514.764
А. В. Букушева
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ С ФИНСЛЕРОВОЙ СТРУКТУРОЙ
В статье исследуются специальные классы распределений с финсле-ровой структурой [1]. В соответствии с уже ставшим классическим подходом к изучению собственно финслеровых пространств (фундаментальная функция задана на всем касательном расслоении финслерова пространства), от финслерова многообразия переходят к его касательному расслоению с метрикой Сасаки - Финслера [2]. В случае субфинслерова пространства [3] вместо касательного расслоения удобно использовать его подрасслоение — распределение с финслеровой структурой. Существенным отличием использования подрасслоения является нечетность размерности многообразия, на котором осуществляются основные построения. В этом случае на распределении с финслеровой структурой естественно определить почти контактную метрическую структуру — аналог структуры многообразия с метрикой Сасаки - Финслера [4].
