Научная статья на тему 'О многообразиях группоидов отношений с диофантовыми операциями'

О многообразиях группоидов отношений с диофантовыми операциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
119
31
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
АЛГЕБРЫ ОТНОШЕНИЙ / ДИОФАНТОВЫЕ ОПЕРАЦИИ / ТОЖДЕСТВА / МНОГООБРАЗИЯ / ГРУППОИДЫ / ALGEBRA OF RELATIONS / DIOPHANTINE OPERATIONS / IDENTITIES / VARIETIES / GROUPOIDS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Бредихин Д. А.

В работе находятся базисы тождеств многообразий, порожденных классами группоидов бинарных отношений c диофантовыми операциями.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On Classes of Groupoids of Relations with Diophantine Operations

In the paper the bases of identities of varieties generated by classes of groupoids of the binary relations with diophantine operations are found.

Текст научной работы на тему «О многообразиях группоидов отношений с диофантовыми операциями»

Semisimple Graded Rings I. N. Balaba, E. N. Krasnova

Leo Tolstoy Tula State Pedagogical University, Russia, 300026, Tula, Lenina pr., 125, [email protected], [email protected]

The graded version of Wedderburn-Artin theorem is obtained. It gives description of semisimple G-graded ring for arbitrary group G. Homological classification of graded semisimple rings is given.

Key words: graded rings, graded modules, semisimple rings.

References

1. Nastasescu C., Oystaeyen F. van. Method of graded rings. Berlin, Springer, 2004, 295 p.

2. Hwang Y.-S., Wadsworth A. R. Correspondences between valued division algebras and graded division algebras. J. Algebra, 1998, vol. 220, pp. 73-114.

3. Bahturin Yu. A. Zaicev M. V., Sehgal S. K. Finite-dimensional simple graded algebras. Sbornik : Mathematics, 2008, vol. 199, no. 7, pp. 965-983. DOI:10.1070/SM2008v199n07ABEH003949

4. Balaba I. N. Mikhalev A. V. Isomorphisms of graded endomorphism rings of graded modules close to free ones. J. Math. Sci., 2009, vol. 156, no. 2, pp. 209-218.

5. Balaba I. N. Graduirovannye prostye artinovy kol'tsa [Graded simple artinian rings]. Algebra i matematicheskaia logika : materialy mezhdunar. konf., posviashch. 100-letiiu so dnia rozhdeniia prof. V. V. Morozova [Algebra and Mathematical Logika : Trans. Intern. Confer., dedicated to 100th anniversary of V. V. Morozov]. Kazan, 2011, pp. 43-44 (in Russian).

6. Liu S.-X., Beattie M., Fang H. Graded division rings

УДК 501.1

and the Jacobson density theorem. J. Beijing Normal University (Natural Science), 1991, vol. 27, no. 2, pp. 129-134.

7. Balaba I. N. Izomorfizmy graduirovannykh kolets lineinykh preobrazovanii graduirovannykh vektornykh prostranstv [Isomorphisms of graded rings of linear transformations of graded vector spaces]. Chebyshevckiy sbornik, 2005, vol. 6. no. 4(16), pp. 6-23 (in Russian).

8. Dascalescu S., Ion B., Nastasescu C., Rios Montes J. Group gradings on full matrix rings. J. Algebra, 1999, vol. 220, pp. 709-728.

9. Bahturin Yu. A., Sehgal S.K., Zaicev M.V. Group graging on associative algebras. J. Algebra, 2001, vol. 241, pp. 677-698.

10. Bahturin Ju. A., Zaicev M. V. Group gradings on matrix algebras. Canad. Math. Bulletin, 2002, vol. 45, pp. 499-508.

11. Zalesskii A. E., Mikhalev A. V. Group rings. J. of Soviet Math., 1975, vol. 4, no. 1, pp. 1-78.

О МНОГООБРАЗИЯХ ГРУППОИДОВ ОТНОШЕНИЙ С ДИОФАНТОВЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ

Д. А. Бредихин

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и моделирования, Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю. А., [email protected]

В работе находятся базисы тождеств многообразий, порожденных классами группоидов бинарных отношений с диофанто-выми операциями.

Ключевые слова: алгебры отношений, диофантовые операции, тождества, многообразия, группоиды.

ВВЕДЕНИЕ

Множество бинарных отношений Ф, замкнутое относительно некоторой совокупности О операций над ними, образует алгебру (Ф,О), называемую алгеброй отношений. Теория алгебр отношений является существенной составной частью современной общей алгебры и алгебраической логики. Основы абстрактно-алгебраического подхода к изучению алгебр отношений были заложены в работах

А. Тарского (А. ТагБЫ) [1,2]. Как правило, операции над отношениями задаются с помощью формул логики предикатов первого порядка. Такие операции называются логическими. Логические операции могут быть классифицированы по виду задающих их формул. Операция называется диофантовой [3] (в другой терминологии примитивно-позитивной [4]), если она может быть задана с помощью формулы, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь операции конъюнкции и кванторы существования. Диофантовы операции допускают описания с помощью графов [3-5]. Эква-циональные и квазиэквациональные теории алгебр отношений с диофантовыми операциями описаны в работах [5-7].

Предметом нашего рассмотрения будут алгебры отношений с одной бинарной диофантовой операцией, то есть группоиды бинарных отношений. Классификацию бинарных диофантовых операций над отношениями можно найти в [8]. Рассмотрение бинарных операций над отношениями играет в алгебраической логике предикатов роль, аналогичную роли бинарных булевых функций в пропозициональной логике высказываний. Поэтому естественен интерес к алгебраическим свойствам указанных операций, в частности, к свойствам, выразимым тождествами. Это приводит к необходимости изучения многообразий, порожденных различными классами группоидов бинарных отношений. Некоторые результаты в этом направлении можно найти в работах [8-10].

1. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ

Группоидом называется алгебра (А, ■) с одной бинарной операцией.

Сосредоточим свое внимание на следующей диофантовой операции над бинарными отношениями, определяемой формулой

где р и а — бинарные отношения, заданные на множестве X. Заметим, что отношение р * а представляет собой результат применения операции цилиндрофикации [11] к произведению р о а бинарных отношений р и а.

Алгебры отношений вида (Ф, *) является группоидом бинарных отношений.

Для заданного множества О операций над бинарными отношениями обозначим через Л{О} класс алгебр, изоморфных алгебрам отношений с операциями из О. Пусть Уаг{О} — многообразие, порожденное классом Л{О}.

Теорема. Группоид (А, ■) принадлежит многообразию Уаг{*} тогда и только тогда, когда он удовлетворяет тождествам:

и для каждого натурального к > 2 тождеству:

(хг1 (хг-2 (• • • (х^-2 (х1к-1 Хгк ) • • •)(хП (х»2 (' • • (хи_з (хН-2хгк-1 ) • • 0 = хП (х»2 (' • • (х^-1 хгь ) • • •) • (5к)

Заметим, что приведенный в теореме базис тождеств является бесконечным. В связи с этим естественно возникает следующая проблема, в настоящее время остающаяся открытой. Проблема. Является ли многообразие Уаг{*} конечно базируемым?

2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Доказательство теорем основывается на результатах работы [5]. Разобьем его на ряд последовательных шагов.

р * а = {(х, у) е X х X : (3 г, т)(х, г) е р Л (г, т) е а},

(ху)х = ху,

(ху)у = хУ, (х2 у)г = (х2 г )у,

(ху2)г = х(у2г)

(1) (2)

(3)

(4)

Шаг 1. Приведем ряд определений и обозначений, используемых в дальнейшем изложении, и сформулируем необходимый результат из работ [5].

Пусть Rel(U) — множество всех бинарных отношений на U. Всякая формула ф^0,z1,r1,... ,rm) логики предикатов первого порядка с равенством, содержащая m бинарных предикатных символов r1,... ,rm и две свободные индивидуальные переменные z0, z1, определяет m-арную операцию Fp на Rel(U):

F<p(Ri,..., Rm) = {(x, y) E U x U : Ф, y,RiRm)},

где p(x,y,R1,... ,Rm) означает, что формула ^ выполняется, если zo, z1 интерпретируются как x, y и r1,... ,rm интерпретируются как отношения R1,..., Rm из Rel(U).

Операция над бинарными отношениями называется диофантовой [3] (в другой терминологии примитивно-позитивной [4]), если она может быть определена формулой, содержащей в своей записи лишь кванторы существования и операцию конъюнкции. Диофантовы операции могут быть описаны с помощью графов [3-5].

Обозначим через N множество всех натуральных чисел. Помеченным графом назовем пару (V, E), где V — конечное множество, называемое множеством вершин, и E с V x N x V — тернарное

отношение. Тройку (u,k,v) E E будем называть ребром графа, идущим из вершины u в вершину v,

k

помеченным меткой k, и графически изображать следующим образом: u ^ •v. Мы также будем говорить, что вершины u и v инцидентны ребру (u, k, v).

Под двухполюсником мы понимаем помеченный граф с парой выделенных вершин, то есть систему вида G = (V, E, in, out), где (V, E) — помеченный граф; in = in(G) и out = out(G) — две выделенные вершины (не обязательно различные), называемые входом и выходом двухполюсника соответственно.

Понятие изоморфизма помеченных графов и двухполюсников определяется естественным образом. В дальнейшем все графы будут рассматриваться с точностью до изоморфизма. Мы также будем отождествлять двухполюсники, различающиеся лишь числом изолированных вершин, отличных от его входа и выхода.

Пусть F = F' — диофантова операция, задаваемая формулой С этой операцией может быть ассоциирован двухполюсник G = G(F) = G(<p), определяемый следующим образом: V(G) — множество всех индексов индивидуальных переменных, входящих в формулу in(G) = 0, out(G) = 1; (i,k,j) E E(G) тогда и только тогда, когда атомарная формула rk(zi,zj) входит в если формула zi = zj входит в то вершины i и j отождествляются.

Заметим, что двухполюсник, соответствующий операции *, задается следующим образом:

1 2 4

in = • ^ • ^ • • = out.

Пусть G = (V,E,in,out) и Gk = (Vk,Ek,ink,outk) (k = 1,...,m) — двухполюсники с попарно непересекающимися множествами вершин. Назовем композицией этих двухполюсников новый двухполюсник G(G1,..., Gm), определяемый следующим образом [4]: возьмем двухполюсник G и заменим каждое его ребро (u,k,v) E E на двухполюсник Gk, отождествляя при этом вершину ink с вершиной u и вершину outk с вершиной v.

Рассмотрим множество О = {Fpi ,...,FPn} диофантовых операций над отношениями, и пусть A = (A, f1,..., fn) - универсальная алгебра соответствующего типа. Положим G1 = G(^1), ..., Gn = G(ipn).

Для всякого терма p алгебры A определим следующим индуктивным образом двухполюсник G(p) = (V(p),E(p), in(p), out(p)) :

k

1) если p = xk, то G(p) представляет собой двухполюсник вида in• ^ •out;

2) если p = fk (p1,.. .,pm), то G(p) есть композиция Gk (G(p{),..., G(pm)).

Обозначим через pr(E) множество всех вершин помеченного графа, которые инцидентны хотя бы одному ребру. Пусть даны два помеченных графа (V1 ,E1) и (V2, E2). Отображение f : pr(E2) ^ pr(E1) называется гомоморфизмом E2 в E1, если (f (u),k,f (v)) E E1 для всякой тройки (u,k,v) E E2.

Пусть О1 = (VI ,Е1,гп1,опЬ1) и О2 = (У2,Е2,гп2,опЬ2) — двухполюсники. Отображение / : У2 ^ VI называется гомоморфизмом из О2 в С1, если / (т2) = гп1, /(оп12) = опЬ1 и (/(и),к,/(ь)) Е Е1 для всякой тройки (п,к,ь) Е Е2.

Мы будем писать Е1 -< Е2 (О1 -< О2), если существует гомоморфизм из Е2 в Е1 (из С2 в С1), и Е1 ^ Е2 (О1 ^ О2), если Е1 ^ Е2 и Е2 ^ Е1 (О1 ^ О2 и О2 ^ О1).

Обозначим через эквациональную теорию класса Л{0}. Теперь мы готовы сформулировать

основной результат работы [5]: тождество р = q принадлежит эквациональной теории Ед{&} тогда и только тогда, когда С(р) = О^).

Шаг 2. Рассмотрим счетное множество индивидуальных переменных X = {х1,..., хп,... }. Напомним, что термы группоида определяются следующим индуктивным образом: всякая индивидуальная переменная является термом; если р1 и р2 — термы, то выражение (р1р2) является термом, называемым произведением термов р1 и р2. В дальнейшем внешние скобки в записи термов, как правило, будут опускаться. Множество 2 всех термов относительно операции произведения термов образует счетно порожденную свободную алгебру в классе всех группоидов.

Обозначим через Е эквациональную теорию класса группоидов, удовлетворяющих тождествам (1)-(4) и (5к). Для термов р1 и р2 из 2 будем писать р1 = р2, когда тождество р1 = р2 принадлежит Е. Отношение = является отношением конгруэнции группоида 2, а фактор группоид 2/ = является свободным счетно порожденным группоидом в многообразии, задаваемым тождествами (1)-(4) и (5&).

Пусть (А, •) — группоид, удовлетворяющий тождествам (1)-(4). Тогда он удовлетворяет тождествам:

(хУ) = (хУ)2, (6)

((ху)г)1 = ((ху)1)г, (7)

(х(уг))1 = х((уг)1). (8)

Действительно, используя тождество (1), получаем (ху) = (ху)х = ((ху)х)(ху) = (ху)(ху) = (ху)2. Используя тождества (3), (6), получаем ((ху)г)1 = ((ху)2г)1 = ((ху)21)г = ((ху)1)г. Используя тождества (4), (6), получаем (х(уг))1 = (х(уг)2)Ь = х((уг)21) = х((уг)1).

Замечание 1. Из тождества (8) следует, что подгруппоид (А2, •), где А2 = {аЬ : а,Ь Е А} — множество разложимых элементов, является полугруппой и, следовательно, скобки, указывающие порядок выполнения действий в произведении элементов из А2, могут быть расставлены произвольным образом или просто опущены. В дальнейшем мы будем пользоваться этим свойством без особых упоминаний.

Обозначим через Лк, где к > 1, множество термов вида хг1 (хг2 (... (хгк-1 хгк)...). Положим

Л к = и {Лг : г > к}.

Лемма 1. Для любого терма р Е 2 существуют такие термы р1,р2, ...,рт из Л1 (т > 1), что р = (... (р1 р2)рз).. .)рт-1 )рт, и р1 Е Л2, если р Е Л1.

Доказательство. Покажем сначала, что если р = (... (р1р2)р3).. .)рт-1)рт и р Е Л1, то без ограничения общности можно считать, что р1 Е Л2. Действительно, если р Е Л1 и р1 Е Л1, то т > 1 и р1р2 Е Л2. Тогда, пологая р1 = р1р2, получим требуемое представление (... (р1р3)р4).. .)рп-1 )рт терма р.

Утверждение очевидно для р Е Ль Пусть теперь р = (... (р^2)рз).. .)рт-1 )рт и q = (... )

qз).. .)^п-1)^п.

Если п = 1, то pq = (... (р1р2)р3).. .)рт-1 )рт, то есть произведение pq имеет требуемое представление. Если п > 1, то, учитывая, что q1 Е Л2, и, используя тождества (8), получаем:

pq = (... (р1 р2)р3) . . .)рт-1)рт)(. . . q2)q3) . . .^п-1^п) =

(... (piР2)Рз).. -)pm-i)pm)(... (qiq2)qs)...)qn-i))qn = (... (PiP2)P3)...)Pm-i )Pm)(... (qiq2 )q3)...))qn-i)qn = ■■■ = (... (PiP2)рз).. .)Pm-i)Pm)qi)q2)q3).. .)qn-i)qn.

Таким образом, и в этом случае произведение Pq имеет требуемое представление. Лемма 1 доказана.

Шаг 3. Двухполюсник G(p) = (V(p),E(p),in(p), out(P)) для терма P из леммы 1 согласно определению может быть построен следующим образом.

Пусть р е Ак, то есть р = xh (xh (... (xik_± Xik)...). Тогда V (p) = {vo,vi ,v2 ,...vk+i}, E (p) = = {(vi-i,i,vi) : i = 1,...k}, и in(p) = vo, out(p) = vk+i:

• /4 il i2 ik \

in(p) = vo • — • — • ... • •vk • vk+i = out(p).

Пусть р = (... (pip2)P3).. .)Pm-i)Pm, где pi,p2,...,Pm из Лi (m > 1). Мы будем предполагать, что множества V(pi),V(р2),...,V(pm) попарно не пересекаются. Тогда V(р) = V(pi) U pr(E(р2)) U U ... Upr(E(pm)), E(р) = E(pi) U E(р2) U ... U E(pm) и in(p) = in(pi), out(p) = out(pi). Заметим, что в этом случае G(p) содержит m + 1 компоненту связности.

Следующая лемма непосредственно вытекает из строения соответствующих графов и определения гомоморфизма.

Лемма 2. Пусть р = xh (xi2 (... (xik-1 Xik)...), q = xjl (xj (... (xjl_1 Xjt)...) и E(р) ^ E(q). Тогда l < к и ji = it, j2 = it+i,...,ji = it+i-i для некоторого t е {1,...,k}. В частности, если E(р) = E(q), то р = q.

Лемма 3. Пусть р е Л2, q е Лi и E(р) ^ E(q). Тогда р = pq и рр = (pp)q для любого терма р. Доказательство. Пусть р = xh (xh (... (xik_ixik)...), q = xjl (xj (... (xjl_ixjl)...) и E(р) ^ E(q). Используя лемму 2 и тождества (1), (2), (5k), получаем:

р = (xil (xi2 (. . . (xik_1 xik ) . . .) = (xil (xi2 (. . . (xik_1 xik ) . . .)(xil (xi2 (. . . (xit + l_2 xit + l_1 ) . . .) = = (xil (xi2 (. . . (xik_l xik ) . . .)((xil (xi2 (. . . (xit + l_2 xit + l_l ) . . .)(xi2 (xi3 (. . . (xit + l_2 xit + l_l ) . . .) = = ((xil (xi2 (. . . (xik_l xik ) . . .)(xil (xi2 (. . . (xit + l_2 xit + l_l ) . . .)(xi2 (xi3 (. . . (xit + l_2 xit + l_l ) . . .) = = ((xil (xi2 (. . . (xik_l xik ) . . •)(xi2 (xi3 (. . . (xit + l_2 xit + l_l ) . . .) = ... = = ((xil (xi2 (. . . (xik_l xik ) . . .)(xit (xit + l (. . . (xit + l_2 xit + l_l ) . . .) = = ((xil (xi2 (. . . (xik_l xik ) . . .)(xjl (xij (. . . (xjl_l xjl ) . . .) = Pq.

Далее, используя тождество (8), получаем рр = p(pq) = (pp)q. Лемма 3 доказана.

Лемма 4. Пусть р е Л1 , q е Лi и E(р) ^ E(q). Тогда р = q и рр = (pp)q для любого терма р. Доказательство. Так как р е Л1, то р = xi, следовательно, согласно лемме 2 имеем q = р = xi. Отсюда, используя тождество (2), получаем рр = (рр)р = (pp)q. Лемма 4 доказана.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Шаг 4. Легко проверить, что операции * удовлетворяют тождествам (1)-(4) и (5k). Отсюда следует, что Е с Eq{*}. Таким образом, для доказательства теоремы достаточно показать, что всякое тождество из Eq{*} принадлежит Е. Согласно лемме 1 мы можем предположить, что

P = (... (PiP2)рз).. .)Pm-i)Pm и q = (... (qiq2)q3).. .)qn-i)qn.

Предположим, что тождество р = q принадлежит эквациональной теории Eq{*}. Тогда согласно сформулированному выше результату из работы [5] имеем G(p) = G(q), то есть существуют гомоморфизмы fi из G(q) в G(p) и f2 из G(p) в G(q). Поскольку всякая компонента связности графа E(q) при гомоморфизме^ будет отображаться в компоненту связности графа E(р) и всякая компонента связности графа E(р) при гомоморфизме f2 будет отображаться в компоненту связности графа E(q), существуют отображения ф из {1,...,m} в {1,...,n} и р из {1,...,n} в {1,...,m} такие, что f(E(qk)) С E(рф(k)) для k = 1,...,m и f(E(pk)) С E(q9(k)) для к = 1,...,n. Учитывая, что fi(in(qi)) = fi(in(q)) = in(p) = in(pi), имеем ф(1) = 1. Аналогично, р(1) = 1. Следовательно, G(pi) = G(qi), отсюда согласно лемме 4 имеем pi = qi.

Далее, используя леммы 3, 4 и тождества (6), (7), получаем:

Р = (• • • (РШ)Рз) • • -)Рш-1 )Рт = (• • • (Р1)2)Р2)Рз) • • •)Рш-1)Рш = = (. • • (Р1Р1)Р2)Р3) • • •)Рт-1 )Рт = (. • • (Р1Р1)Р2)Р3) • • •)Рф(1) ) • • •)Рт-1 )Рт = = (. • • (Р1 Р1 )Р2)Р3) • • •)Рф(1) ) • • •)Рт-1)Рт = (. • • (Р1 Р1 )Р2)Р3) • • •)Рт-1)Рш)?1 = • • • = = (• • • (Р1Р1)Р2)Р3) • • .)Рт-1 )Рш)91)?2) • • .)9п = (• • • (Р1Р2)Рз) • • ОРт-1 )Рт)?1 )?2) • • -)9п•

Аналогично получаем д = (• • • (?1 д2)д3) • • •)?п-1)?п)р1)р2) • • -)Рт• Отсюда, учитывая, что Р1 = д1, используя тождество (7), получаем р = д, то есть тождество р = д принадлежит £. Теорема доказана.

Библиографический список

1. Tarski A. On the calculus of relations // J. Symbolic Logic. 1941. Vol. 4. P. 73-89.

2. Tarski A. Some methodological results concerning the calculus of relations // J. Symbolic Logic. 1953. Vol. 18. P. 188-189.

3. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофанто-выми операциями // Докл. АН. 1998. Т. 360. С. 594595.

4. Boner P., Poschel F. R. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. 1991. Vol. 7. P. 50-70.

5. Бредихин Д. А. Эквациональная теория алгебр отношений с позитивными операциями // Изв. вузов. Математика. 1993. № 3. С. 23-30.

6. Andreka H, Bredikhin D. A. The equational theory

of union-free algebras of relations // Alg. Univers. 1994. Vol. 33. P. 516-532.

7. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // Сиб. мат. журн. 1997. T. 38. С. 29-41.

8. Bredikhin D. A. On relation algebras with general superpositions // Colloq. Math. Soc. J. Bolyai. 1994. Vol. 54. P. 11-124.

9. Bredikhin D. A. Varietes of groupoids associated with involuted restrictive bisemigroups of binary relations // Semigroup Forum. 1992. Vol. 44. P. 87-192.

10. Бредихин Д. А. О многообразии группоидов бинарных отношений // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 1, ч. 1. С. 93-98.

11. Henkin L, Monk J. D., Tarski A. Cylindric Algebras. North-Holland, Amsterdam, 1971. 311 p.

On Classes of Groupoids of Relations with Diophantine Operations

D. A. Bredikhin

Saratov State Technical University, Russia, 410054, Politechnicheskaya st., 77, [email protected]

In the paper the bases of identities of varieties generated by classes of groupoids of the binary relations with diophantine operations are found.

Key words: algebra of relations, diophantine operations, identities, varieties, groupoids.

References

1. Tarski A. On the calculus of relations. J. Symbolic Logic, 1941, vol. 4, pp. 73-89.

2. Tarski A. Some methodological results concerning the calculus of relations. J. Symbolic Logic, 1953, vol. 18. pp. 188-189.

3. Bredikhin D. A. On algebras of relations with Diophantine operations. Doklady Mathematics, 1998, vol. 57, no. 3, pp. 435-436.

4. Boner P., Poschel F. R. Clones of operations on binary relations. Contributions to general algebras, 1991, vol. 7, pp. 50-70.

5. Bredikhin D. A. The equational theory of algebras of

relations with positive operations. Rus. Math. (Izvestiya VUZ. Matematika), 1993, vol. 37, no. 3, pp. 21-28.

6. Andreka H., Bredikhin D. A. The equational theory of union-free algebras of relations. Alg. Univers., 1994, vol. 33, pp. 516-532.

7. Bredikhin D. A. On quasi-identities of algebras of relations with diophantine operations. Siberian Mathematical Journal, 1997, vol. 38, no. 1, pp. 23-33

8. Bredikhin D. A. On relation algebras with general superpositions. Colloq. Math. Soc. J. Bolyai, 1994, vol. 54, pp. 11-124.

9. Bredikhin D. A. Varietes of groupoids associated with relations. Izv. Sarat. Univ. N.S. Ser. Math. Mech. In-involuted restrictive bisemigroups of binary relations. form., 2013, vol. 13, iss. 1, pt. 1, pp. 13-21 (in Russian). Semigroup Forum, 1992, vol. 44. pp. 87-192. 11. Henkin L., Monk J. D., Tarski A. Cylindric Algebras.

10. Bredikhin D. A. On varieties of groupoids of binary North-Holland, Amsterdam, 1971, 311 p.

УДК 511

ОБ АРИФМЕТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ОБОБЩЕННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФИБОНАЧЧИ И ИХ СЛЕДСТВИЯХ

А. Н. Васильев

Преподаватель кафедры математики и информатики, Казахстанский филиал Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, г. Астана, Республика Казахстан, [email protected]

В работе изучены некоторые свойства распределения членов обобщенной последовательности Фибоначчи по бесквадратному модулю и получены следствия из этих свойств.

Ключевые слова: обобщенная последовательность Фибоначчи, тригонометрические суммы, плотность множества.

1. СВОЙСТВА ОБОБЩЕННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФИБОНАЧЧИ

Последовательность Фибоначчи, как известно, задается следующим образом: = 1, = 1, = + . Обобщенная последовательность Фибоначчи задается тем же рекуррентным соотношением и двумя начальными натуральными членами, т.е. = а, С2 = Ь, Сп+2 = Сп+1 + , где а, Ь — натуральные числа. Вторую последовательность на протяжении всей работы будем считать наперед заданной.

Пусть, на протяжении всей работы, d — бесквадратное (не делящееся ни на какой квадрат простого) натуральное число, большее 1 и взаимно простое с числами а, Ь и с числом (а2 + аЬ — Ь2) (это экзотическое условие будет мотивировано позже). Через р будем обозначать, как обычно, простое число. В первой части это будут простые, взаимно простые с числами а, Ь и с числом (а2 + аЬ — Ь2). Во второй части простые, выступающие делителями какого-нибудь d, также будут предполагаться удовлетворяющими этому дополнительному условию.

Введем малый d-период последовательности Фибоначчи = шт{т : т > 1, d | } и большой d-период последовательности Фибоначчи Т= шт{Т : Т > 1,^п+т = ^п(шоё d) V п}. Аналогично, большой d-период обобщенной последовательности Фибоначчи есть Т'= шт{Т : Т > 1, Сп+т = Сп(шоёd) V п} (периодичность по любому модулю доказывается просто). Аналога малого d-периода может не существовать (например, если а = 2, Ь = 1, d = 5).

Выделим необходимые нам свойства последовательности Фибоначчи в следующую лемму.

Лемма 1.1.

А) Fn —

_ V

2

1

V5

(формула Бине).

Б) Fn+m — Fn-1 Fm + FnFi

nFm+l-

^ T(d) | (a - e)•

В1) d | Fn ^ t(d) | n. В2) fFa = Fe(modd),

[Fa+i = Fe+i (mod d) Г) T(d)/t(d) e {1,2,4}.

Д) d — pip2 ...Ps ^ t(d) — [t(pi),t(p2),...,t(ps)].

/

2

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.