О многообразиях группоидов отношений с диофантовыми операциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Semisimple Graded Rings I. N. Balaba, E. N. Krasnova

Leo Tolstoy Tula State Pedagogical University, Russia, 300026, Tula, Lenina pr., 125, ibalaba@mail.ru, KrasnovaEN.ne@yandex.ru

The graded version of Wedderburn-Artin theorem is obtained. It gives description of semisimple G-graded ring for arbitrary group G. Homological classification of graded semisimple rings is given.

Key words: graded rings, graded modules, semisimple rings.

References

1. Nastasescu C., Oystaeyen F. van. Method of graded rings. Berlin, Springer, 2004, 295 p.

2. Hwang Y.-S., Wadsworth A. R. Correspondences between valued division algebras and graded division algebras. J. Algebra, 1998, vol. 220, pp. 73-114.

3. Bahturin Yu. A. Zaicev M. V., Sehgal S. K. Finite-dimensional simple graded algebras. Sbornik : Mathematics, 2008, vol. 199, no. 7, pp. 965-983. DOI:10.1070/SM2008v199n07ABEH003949

4. Balaba I. N. Mikhalev A. V. Isomorphisms of graded endomorphism rings of graded modules close to free ones. J. Math. Sci., 2009, vol. 156, no. 2, pp. 209-218.

5. Balaba I. N. Graduirovannye prostye artinovy kol'tsa [Graded simple artinian rings]. Algebra i matematicheskaia logika : materialy mezhdunar. konf., posviashch. 100-letiiu so dnia rozhdeniia prof. V. V. Morozova [Algebra and Mathematical Logika : Trans. Intern. Confer., dedicated to 100th anniversary of V. V. Morozov]. Kazan, 2011, pp. 43-44 (in Russian).

6. Liu S.-X., Beattie M., Fang H. Graded division rings

УДК 501.1

and the Jacobson density theorem. J. Beijing Normal University (Natural Science), 1991, vol. 27, no. 2, pp. 129-134.

7. Balaba I. N. Izomorfizmy graduirovannykh kolets lineinykh preobrazovanii graduirovannykh vektornykh prostranstv [Isomorphisms of graded rings of linear transformations of graded vector spaces]. Chebyshevckiy sbornik, 2005, vol. 6. no. 4(16), pp. 6-23 (in Russian).

8. Dascalescu S., Ion B., Nastasescu C., Rios Montes J. Group gradings on full matrix rings. J. Algebra, 1999, vol. 220, pp. 709-728.

9. Bahturin Yu. A., Sehgal S.K., Zaicev M.V. Group graging on associative algebras. J. Algebra, 2001, vol. 241, pp. 677-698.

10. Bahturin Ju. A., Zaicev M. V. Group gradings on matrix algebras. Canad. Math. Bulletin, 2002, vol. 45, pp. 499-508.

11. Zalesskii A. E., Mikhalev A. V. Group rings. J. of Soviet Math., 1975, vol. 4, no. 1, pp. 1-78.

О МНОГООБРАЗИЯХ ГРУППОИДОВ ОТНОШЕНИЙ С ДИОФАНТОВЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ

Д. А. Бредихин

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и моделирования, Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю. А., bredikhin@mail.ru

В работе находятся базисы тождеств многообразий, порожденных классами группоидов бинарных отношений с диофанто-выми операциями.

Ключевые слова: алгебры отношений, диофантовые операции, тождества, многообразия, группоиды.

ВВЕДЕНИЕ

Множество бинарных отношений Ф, замкнутое относительно некоторой совокупности О операций над ними, образует алгебру (Ф,О), называемую алгеброй отношений. Теория алгебр отношений является существенной составной частью современной общей алгебры и алгебраической логики. Основы абстрактно-алгебраического подхода к изучению алгебр отношений были заложены в работах

А. Тарского (А. ТагБЫ) [1,2]. Как правило, операции над отношениями задаются с помощью формул логики предикатов первого порядка. Такие операции называются логическими. Логические операции могут быть классифицированы по виду задающих их формул. Операция называется диофантовой [3] (в другой терминологии примитивно-позитивной [4]), если она может быть задана с помощью формулы, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь операции конъюнкции и кванторы существования. Диофантовы операции допускают описания с помощью графов [3-5]. Эква-циональные и квазиэквациональные теории алгебр отношений с диофантовыми операциями описаны в работах [5-7].

Предметом нашего рассмотрения будут алгебры отношений с одной бинарной диофантовой операцией, то есть группоиды бинарных отношений. Классификацию бинарных диофантовых операций над отношениями можно найти в [8]. Рассмотрение бинарных операций над отношениями играет в алгебраической логике предикатов роль, аналогичную роли бинарных булевых функций в пропозициональной логике высказываний. Поэтому естественен интерес к алгебраическим свойствам указанных операций, в частности, к свойствам, выразимым тождествами. Это приводит к необходимости изучения многообразий, порожденных различными классами группоидов бинарных отношений. Некоторые результаты в этом направлении можно найти в работах [8-10].

1. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ

Группоидом называется алгебра (А, ■) с одной бинарной операцией.

Сосредоточим свое внимание на следующей диофантовой операции над бинарными отношениями, определяемой формулой

где р и а — бинарные отношения, заданные на множестве X. Заметим, что отношение р * а представляет собой результат применения операции цилиндрофикации [11] к произведению р о а бинарных отношений р и а.

Алгебры отношений вида (Ф, *) является группоидом бинарных отношений.

Для заданного множества О операций над бинарными отношениями обозначим через Л{О} класс алгебр, изоморфных алгебрам отношений с операциями из О. Пусть Уаг{О} — многообразие, порожденное классом Л{О}.

Теорема. Группоид (А, ■) принадлежит многообразию Уаг{*} тогда и только тогда, когда он удовлетворяет тождествам:

и для каждого натурального к > 2 тождеству:

(хг1 (хг-2 (• • • (х^-2 (х1к-1 Хгк ) • • •)(хП (х»2 (' • • (хи_з (хН-2хгк-1 ) • • 0 = хП (х»2 (' • • (х^-1 хгь ) • • •) • (5к)

Заметим, что приведенный в теореме базис тождеств является бесконечным. В связи с этим естественно возникает следующая проблема, в настоящее время остающаяся открытой. Проблема. Является ли многообразие Уаг{*} конечно базируемым?

2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Доказательство теорем основывается на результатах работы [5]. Разобьем его на ряд последовательных шагов.

р * а = {(х, у) е X х X : (3 г, т)(х, г) е р Л (г, т) е а},

(ху)х = ху,

(ху)у = хУ, (х2 у)г = (х2 г )у,

(ху2)г = х(у2г)

(1) (2)

(3)

(4)

Шаг 1. Приведем ряд определений и обозначений, используемых в дальнейшем изложении, и сформулируем необходимый результат из работ [5].

Пусть Rel(U) — множество всех бинарных отношений на U. Всякая формула ф^0,z1,r1,... ,rm) логики предикатов первого порядка с равенством, содержащая m бинарных предикатных символов r1,... ,rm и две свободные индивидуальные переменные z0, z1, определяет m-арную операцию Fp на Rel(U):

F<p(Ri,..., Rm) = {(x, y) E U x U : Ф, y,RiRm)},

где p(x,y,R1,... ,Rm) означает, что формула ^ выполняется, если zo, z1 интерпретируются как x, y и r1,... ,rm интерпретируются как отношения R1,..., Rm из Rel(U).

Операция над бинарными отношениями называется диофантовой [3] (в другой терминологии примитивно-позитивной [4]), если она может быть определена формулой, содержащей в своей записи лишь кванторы существования и операцию конъюнкции. Диофантовы операции могут быть описаны с помощью графов [3-5].

Обозначим через N множество всех натуральных чисел. Помеченным графом назовем пару (V, E), где V — конечное множество, называемое множеством вершин, и E с V x N x V — тернарное

отношение. Тройку (u,k,v) E E будем называть ребром графа, идущим из вершины u в вершину v,

k

помеченным меткой k, и графически изображать следующим образом: u ^ •v. Мы также будем говорить, что вершины u и v инцидентны ребру (u, k, v).

Под двухполюсником мы понимаем помеченный граф с парой выделенных вершин, то есть систему вида G = (V, E, in, out), где (V, E) — помеченный граф; in = in(G) и out = out(G) — две выделенные вершины (не обязательно различные), называемые входом и выходом двухполюсника соответственно.

Понятие изоморфизма помеченных графов и двухполюсников определяется естественным образом. В дальнейшем все графы будут рассматриваться с точностью до изоморфизма. Мы также будем отождествлять двухполюсники, различающиеся лишь числом изолированных вершин, отличных от его входа и выхода.

Пусть F = F' — диофантова операция, задаваемая формулой С этой операцией может быть ассоциирован двухполюсник G = G(F) = G(<p), определяемый следующим образом: V(G) — множество всех индексов индивидуальных переменных, входящих в формулу in(G) = 0, out(G) = 1; (i,k,j) E E(G) тогда и только тогда, когда атомарная формула rk(zi,zj) входит в если формула zi = zj входит в то вершины i и j отождествляются.

Заметим, что двухполюсник, соответствующий операции *, задается следующим образом:

1 2 4

in = • ^ • ^ • • = out.

Пусть G = (V,E,in,out) и Gk = (Vk,Ek,ink,outk) (k = 1,...,m) — двухполюсники с попарно непересекающимися множествами вершин. Назовем композицией этих двухполюсников новый двухполюсник G(G1,..., Gm), определяемый следующим образом [4]: возьмем двухполюсник G и заменим каждое его ребро (u,k,v) E E на двухполюсник Gk, отождествляя при этом вершину ink с вершиной u и вершину outk с вершиной v.

Рассмотрим множество О = {Fpi ,...,FPn} диофантовых операций над отношениями, и пусть A = (A, f1,..., fn) - универсальная алгебра соответствующего типа. Положим G1 = G(^1), ..., Gn = G(ipn).

Для всякого терма p алгебры A определим следующим индуктивным образом двухполюсник G(p) = (V(p),E(p), in(p), out(p)) :

k

1) если p = xk, то G(p) представляет собой двухполюсник вида in• ^ •out;

2) если p = fk (p1,.. .,pm), то G(p) есть композиция Gk (G(p{),..., G(pm)).

Обозначим через pr(E) множество всех вершин помеченного графа, которые инцидентны хотя бы одному ребру. Пусть даны два помеченных графа (V1 ,E1) и (V2, E2). Отображение f : pr(E2) ^ pr(E1) называется гомоморфизмом E2 в E1, если (f (u),k,f (v)) E E1 для всякой тройки (u,k,v) E E2.

Пусть О1 = (VI ,Е1,гп1,опЬ1) и О2 = (У2,Е2,гп2,опЬ2) — двухполюсники. Отображение / : У2 ^ VI называется гомоморфизмом из О2 в С1, если / (т2) = гп1, /(оп12) = опЬ1 и (/(и),к,/(ь)) Е Е1 для всякой тройки (п,к,ь) Е Е2.

Мы будем писать Е1 -< Е2 (О1 -< О2), если существует гомоморфизм из Е2 в Е1 (из С2 в С1), и Е1 ^ Е2 (О1 ^ О2), если Е1 ^ Е2 и Е2 ^ Е1 (О1 ^ О2 и О2 ^ О1).

Обозначим через эквациональную теорию класса Л{0}. Теперь мы готовы сформулировать

основной результат работы [5]: тождество р = q принадлежит эквациональной теории Ед{&} тогда и только тогда, когда С(р) = О^).

Шаг 2. Рассмотрим счетное множество индивидуальных переменных X = {х1,..., хп,... }. Напомним, что термы группоида определяются следующим индуктивным образом: всякая индивидуальная переменная является термом; если р1 и р2 — термы, то выражение (р1р2) является термом, называемым произведением термов р1 и р2. В дальнейшем внешние скобки в записи термов, как правило, будут опускаться. Множество 2 всех термов относительно операции произведения термов образует счетно порожденную свободную алгебру в классе всех группоидов.

Обозначим через Е эквациональную теорию класса группоидов, удовлетворяющих тождествам (1)-(4) и (5к). Для термов р1 и р2 из 2 будем писать р1 = р2, когда тождество р1 = р2 принадлежит Е. Отношение = является отношением конгруэнции группоида 2, а фактор группоид 2/ = является свободным счетно порожденным группоидом в многообразии, задаваемым тождествами (1)-(4) и (5&).

Пусть (А, •) — группоид, удовлетворяющий тождествам (1)-(4). Тогда он удовлетворяет тождествам:

(хУ) = (хУ)2, (6)

((ху)г)1 = ((ху)1)г, (7)

(х(уг))1 = х((уг)1). (8)

Действительно, используя тождество (1), получаем (ху) = (ху)х = ((ху)х)(ху) = (ху)(ху) = (ху)2. Используя тождества (3), (6), получаем ((ху)г)1 = ((ху)2г)1 = ((ху)21)г = ((ху)1)г. Используя тождества (4), (6), получаем (х(уг))1 = (х(уг)2)Ь = х((уг)21) = х((уг)1).

Замечание 1. Из тождества (8) следует, что подгруппоид (А2, •), где А2 = {аЬ : а,Ь Е А} — множество разложимых элементов, является полугруппой и, следовательно, скобки, указывающие порядок выполнения действий в произведении элементов из А2, могут быть расставлены произвольным образом или просто опущены. В дальнейшем мы будем пользоваться этим свойством без особых упоминаний.

Обозначим через Лк, где к > 1, множество термов вида хг1 (хг2 (... (хгк-1 хгк)...). Положим

Л к = и {Лг : г > к}.

Лемма 1. Для любого терма р Е 2 существуют такие термы р1,р2, ...,рт из Л1 (т > 1), что р = (... (р1 р2)рз).. .)рт-1 )рт, и р1 Е Л2, если р Е Л1.

Доказательство. Покажем сначала, что если р = (... (р1р2)р3).. .)рт-1)рт и р Е Л1, то без ограничения общности можно считать, что р1 Е Л2. Действительно, если р Е Л1 и р1 Е Л1, то т > 1 и р1р2 Е Л2. Тогда, пологая р1 = р1р2, получим требуемое представление (... (р1р3)р4).. .)рп-1 )рт терма р.

Утверждение очевидно для р Е Ль Пусть теперь р = (... (р^2)рз).. .)рт-1 )рт и q = (... )

qз).. .)^п-1)^п.

Если п = 1, то pq = (... (р1р2)р3).. .)рт-1 )рт, то есть произведение pq имеет требуемое представление. Если п > 1, то, учитывая, что q1 Е Л2, и, используя тождества (8), получаем:

pq = (... (р1 р2)р3) . . .)рт-1)рт)(. . . q2)q3) . . .^п-1^п) =

(... (piР2)Рз).. -)pm-i)pm)(... (qiq2)qs)...)qn-i))qn = (... (PiP2)P3)...)Pm-i )Pm)(... (qiq2 )q3)...))qn-i)qn = ■■■ = (... (PiP2)рз).. .)Pm-i)Pm)qi)q2)q3).. .)qn-i)qn.

Таким образом, и в этом случае произведение Pq имеет требуемое представление. Лемма 1 доказана.

Шаг 3. Двухполюсник G(p) = (V(p),E(p),in(p), out(P)) для терма P из леммы 1 согласно определению может быть построен следующим образом.

Пусть р е Ак, то есть р = xh (xh (... (xik_± Xik)...). Тогда V (p) = {vo,vi ,v2 ,...vk+i}, E (p) = = {(vi-i,i,vi) : i = 1,...k}, и in(p) = vo, out(p) = vk+i:

• /4 il i2 ik \

in(p) = vo • — • — • ... • •vk • vk+i = out(p).

Пусть р = (... (pip2)P3).. .)Pm-i)Pm, где pi,p2,...,Pm из Лi (m > 1). Мы будем предполагать, что множества V(pi),V(р2),...,V(pm) попарно не пересекаются. Тогда V(р) = V(pi) U pr(E(р2)) U U ... Upr(E(pm)), E(р) = E(pi) U E(р2) U ... U E(pm) и in(p) = in(pi), out(p) = out(pi). Заметим, что в этом случае G(p) содержит m + 1 компоненту связности.

Следующая лемма непосредственно вытекает из строения соответствующих графов и определения гомоморфизма.

Лемма 2. Пусть р = xh (xi2 (... (xik-1 Xik)...), q = xjl (xj (... (xjl_1 Xjt)...) и E(р) ^ E(q). Тогда l < к и ji = it, j2 = it+i,...,ji = it+i-i для некоторого t е {1,...,k}. В частности, если E(р) = E(q), то р = q.

Лемма 3. Пусть р е Л2, q е Лi и E(р) ^ E(q). Тогда р = pq и рр = (pp)q для любого терма р. Доказательство. Пусть р = xh (xh (... (xik_ixik)...), q = xjl (xj (... (xjl_ixjl)...) и E(р) ^ E(q). Используя лемму 2 и тождества (1), (2), (5k), получаем:

р = (xil (xi2 (. . . (xik_1 xik ) . . .) = (xil (xi2 (. . . (xik_1 xik ) . . .)(xil (xi2 (. . . (xit + l_2 xit + l_1 ) . . .) = = (xil (xi2 (. . . (xik_l xik ) . . .)((xil (xi2 (. . . (xit + l_2 xit + l_l ) . . .)(xi2 (xi3 (. . . (xit + l_2 xit + l_l ) . . .) = = ((xil (xi2 (. . . (xik_l xik ) . . .)(xil (xi2 (. . . (xit + l_2 xit + l_l ) . . .)(xi2 (xi3 (. . . (xit + l_2 xit + l_l ) . . .) = = ((xil (xi2 (. . . (xik_l xik ) . . •)(xi2 (xi3 (. . . (xit + l_2 xit + l_l ) . . .) = ... = = ((xil (xi2 (. . . (xik_l xik ) . . .)(xit (xit + l (. . . (xit + l_2 xit + l_l ) . . .) = = ((xil (xi2 (. . . (xik_l xik ) . . .)(xjl (xij (. . . (xjl_l xjl ) . . .) = Pq.

Далее, используя тождество (8), получаем рр = p(pq) = (pp)q. Лемма 3 доказана.

Лемма 4. Пусть р е Л1 , q е Лi и E(р) ^ E(q). Тогда р = q и рр = (pp)q для любого терма р. Доказательство. Так как р е Л1, то р = xi, следовательно, согласно лемме 2 имеем q = р = xi. Отсюда, используя тождество (2), получаем рр = (рр)р = (pp)q. Лемма 4 доказана.

Шаг 4. Легко проверить, что операции * удовлетворяют тождествам (1)-(4) и (5k). Отсюда следует, что Е с Eq{*}. Таким образом, для доказательства теоремы достаточно показать, что всякое тождество из Eq{*} принадлежит Е. Согласно лемме 1 мы можем предположить, что

P = (... (PiP2)рз).. .)Pm-i)Pm и q = (... (qiq2)q3).. .)qn-i)qn.

Предположим, что тождество р = q принадлежит эквациональной теории Eq{*}. Тогда согласно сформулированному выше результату из работы [5] имеем G(p) = G(q), то есть существуют гомоморфизмы fi из G(q) в G(p) и f2 из G(p) в G(q). Поскольку всякая компонента связности графа E(q) при гомоморфизме^ будет отображаться в компоненту связности графа E(р) и всякая компонента связности графа E(р) при гомоморфизме f2 будет отображаться в компоненту связности графа E(q), существуют отображения ф из {1,...,m} в {1,...,n} и р из {1,...,n} в {1,...,m} такие, что f(E(qk)) С E(рф(k)) для k = 1,...,m и f(E(pk)) С E(q9(k)) для к = 1,...,n. Учитывая, что fi(in(qi)) = fi(in(q)) = in(p) = in(pi), имеем ф(1) = 1. Аналогично, р(1) = 1. Следовательно, G(pi) = G(qi), отсюда согласно лемме 4 имеем pi = qi.

Далее, используя леммы 3, 4 и тождества (6), (7), получаем:

Р = (• • • (РШ)Рз) • • -)Рш-1 )Рт = (• • • (Р1)2)Р2)Рз) • • •)Рш-1)Рш = = (. • • (Р1Р1)Р2)Р3) • • •)Рт-1 )Рт = (. • • (Р1Р1)Р2)Р3) • • •)Рф(1) ) • • •)Рт-1 )Рт = = (. • • (Р1 Р1 )Р2)Р3) • • •)Рф(1) ) • • •)Рт-1)Рт = (. • • (Р1 Р1 )Р2)Р3) • • •)Рт-1)Рш)?1 = • • • = = (• • • (Р1Р1)Р2)Р3) • • .)Рт-1 )Рш)91)?2) • • .)9п = (• • • (Р1Р2)Рз) • • ОРт-1 )Рт)?1 )?2) • • -)9п•

Аналогично получаем д = (• • • (?1 д2)д3) • • •)?п-1)?п)р1)р2) • • -)Рт• Отсюда, учитывая, что Р1 = д1, используя тождество (7), получаем р = д, то есть тождество р = д принадлежит £. Теорема доказана.

Библиографический список

1. Tarski A. On the calculus of relations // J. Symbolic Logic. 1941. Vol. 4. P. 73-89.

2. Tarski A. Some methodological results concerning the calculus of relations // J. Symbolic Logic. 1953. Vol. 18. P. 188-189.

3. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофанто-выми операциями // Докл. АН. 1998. Т. 360. С. 594595.

4. Boner P., Poschel F. R. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. 1991. Vol. 7. P. 50-70.

5. Бредихин Д. А. Эквациональная теория алгебр отношений с позитивными операциями // Изв. вузов. Математика. 1993. № 3. С. 23-30.

6. Andreka H, Bredikhin D. A. The equational theory

of union-free algebras of relations // Alg. Univers. 1994. Vol. 33. P. 516-532.

7. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // Сиб. мат. журн. 1997. T. 38. С. 29-41.

8. Bredikhin D. A. On relation algebras with general superpositions // Colloq. Math. Soc. J. Bolyai. 1994. Vol. 54. P. 11-124.

9. Bredikhin D. A. Varietes of groupoids associated with involuted restrictive bisemigroups of binary relations // Semigroup Forum. 1992. Vol. 44. P. 87-192.

10. Бредихин Д. А. О многообразии группоидов бинарных отношений // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 1, ч. 1. С. 93-98.

11. Henkin L, Monk J. D., Tarski A. Cylindric Algebras. North-Holland, Amsterdam, 1971. 311 p.

On Classes of Groupoids of Relations with Diophantine Operations

D. A. Bredikhin

Saratov State Technical University, Russia, 410054, Politechnicheskaya st., 77, bredikhin@mail.ru

In the paper the bases of identities of varieties generated by classes of groupoids of the binary relations with diophantine operations are found.

Key words: algebra of relations, diophantine operations, identities, varieties, groupoids.

References

1. Tarski A. On the calculus of relations. J. Symbolic Logic, 1941, vol. 4, pp. 73-89.

2. Tarski A. Some methodological results concerning the calculus of relations. J. Symbolic Logic, 1953, vol. 18. pp. 188-189.

3. Bredikhin D. A. On algebras of relations with Diophantine operations. Doklady Mathematics, 1998, vol. 57, no. 3, pp. 435-436.

4. Boner P., Poschel F. R. Clones of operations on binary relations. Contributions to general algebras, 1991, vol. 7, pp. 50-70.

5. Bredikhin D. A. The equational theory of algebras of

relations with positive operations. Rus. Math. (Izvestiya VUZ. Matematika), 1993, vol. 37, no. 3, pp. 21-28.

6. Andreka H., Bredikhin D. A. The equational theory of union-free algebras of relations. Alg. Univers., 1994, vol. 33, pp. 516-532.

7. Bredikhin D. A. On quasi-identities of algebras of relations with diophantine operations. Siberian Mathematical Journal, 1997, vol. 38, no. 1, pp. 23-33

8. Bredikhin D. A. On relation algebras with general superpositions. Colloq. Math. Soc. J. Bolyai, 1994, vol. 54, pp. 11-124.

9. Bredikhin D. A. Varietes of groupoids associated with relations. Izv. Sarat. Univ. N.S. Ser. Math. Mech. In-involuted restrictive bisemigroups of binary relations. form., 2013, vol. 13, iss. 1, pt. 1, pp. 13-21 (in Russian). Semigroup Forum, 1992, vol. 44. pp. 87-192. 11. Henkin L., Monk J. D., Tarski A. Cylindric Algebras.

10. Bredikhin D. A. On varieties of groupoids of binary North-Holland, Amsterdam, 1971, 311 p.

УДК 511

ОБ АРИФМЕТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ОБОБЩЕННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФИБОНАЧЧИ И ИХ СЛЕДСТВИЯХ

А. Н. Васильев

Преподаватель кафедры математики и информатики, Казахстанский филиал Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, г. Астана, Республика Казахстан, antonvassilyev@mail.ru

В работе изучены некоторые свойства распределения членов обобщенной последовательности Фибоначчи по бесквадратному модулю и получены следствия из этих свойств.

Ключевые слова: обобщенная последовательность Фибоначчи, тригонометрические суммы, плотность множества.

1. СВОЙСТВА ОБОБЩЕННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФИБОНАЧЧИ

Последовательность Фибоначчи, как известно, задается следующим образом: = 1, = 1, = + . Обобщенная последовательность Фибоначчи задается тем же рекуррентным соотношением и двумя начальными натуральными членами, т.е. = а, С2 = Ь, Сп+2 = Сп+1 + , где а, Ь — натуральные числа. Вторую последовательность на протяжении всей работы будем считать наперед заданной.

Пусть, на протяжении всей работы, d — бесквадратное (не делящееся ни на какой квадрат простого) натуральное число, большее 1 и взаимно простое с числами а, Ь и с числом (а2 + аЬ — Ь2) (это экзотическое условие будет мотивировано позже). Через р будем обозначать, как обычно, простое число. В первой части это будут простые, взаимно простые с числами а, Ь и с числом (а2 + аЬ — Ь2). Во второй части простые, выступающие делителями какого-нибудь d, также будут предполагаться удовлетворяющими этому дополнительному условию.

Введем малый d-период последовательности Фибоначчи = шт{т : т > 1, d | } и большой d-период последовательности Фибоначчи Т= шт{Т : Т > 1,^п+т = ^п(шоё d) V п}. Аналогично, большой d-период обобщенной последовательности Фибоначчи есть Т'= шт{Т : Т > 1, Сп+т = Сп(шоёd) V п} (периодичность по любому модулю доказывается просто). Аналога малого d-периода может не существовать (например, если а = 2, Ь = 1, d = 5).

Выделим необходимые нам свойства последовательности Фибоначчи в следующую лемму.

Лемма 1.1.

А) Fn —

_ V

2

1

V5

(формула Бине).

Б) Fn+m — Fn-1 Fm + FnFi

nFm+l-

^ T(d) | (a - e)•

В1) d | Fn ^ t(d) | n. В2) fFa = Fe(modd),

[Fa+i = Fe+i (mod d) Г) T(d)/t(d) e {1,2,4}.

Д) d — pip2 ...Ps ^ t(d) — [t(pi),t(p2),...,t(ps)].

/

2