О задаче типа наименьших квадратов Текст научной статьи по специальности «Математика»

h(i(x) = hu/i6(p2{x) — u — iu/16) для i = 0,...,n — 1. Подадим выходы Si(x) и h(i)(x) на входы подсхемы,

вычисляющей d(si(x) * h(i(x)) — h(i)(x), где d(x) = x + x. Обозначим выход этой подсхемы через gi(x). Реализуем композицию z(p2(x)). Схема реализует значение

n-1

F (x) = min^ z(p2(x)), max^—z(p2(x))^^^gi(x)^.

i=0

Сложность схемы составляет 0( 1/y/e). Можно показать, что построенной схемой реализуется функция U(x). □

Леммой 9 завершается доказательство теоремы. □

Работа выполнена при частичной поддержке грантов РФФИ № 05-01-0099, 08-01-00863, НШ-1807.2003.1, ОМН РАН (проект "Оптимальный синтез управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гашков С.Б. О сложности приближенной реализации непрерывных функций схемами и формулами в полиномиальных и некоторых других базисах // Матем. вопросы кибернетики. Вып. 5. М.: Наука, 1995. 144-207.

2. Turan G, Vatan F. On the computation of Boolean functions by analog circuit of bounded fan-in //J. Comput. and Syst. Sci. 1997. 54, N 1. 199-212.

Поступила в редакцию 27.06.2007

УДК 519.6

О ЗАДАЧЕ ТИПА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ И. Н. Ващенко

В работе рассматривается задача наименьших квадратов специального вида с ограничениями типа неравенств. Показано, что ее решение принадлежит фиксированному подпространству малой размерности. Полученный результат позволяет принципиально сократить вычислительные затраты при решении задач асимптотической стабилизации по начальным данным.

Теорема 1. Пусть И — полное сепарабельное евклидово пространство с нормой || • У, порожденной скалярным произведением; X и С — его конечномерные линейные подпространства, такие, что РхС = X, где Рх — ортогональный проектор на X. Тогда для произвольного элемента а е И решение I* задачи

Рх (а — 1) = 0,1 еС, (1)

существует, единственно и принадлежит подпространству Р^Х, где Рс — ортогональный проектор на С. При этом ё1ш РсХ = ё1ш X, РхРсХ = X и вектор I* е РсХ может быть найден как решение невырожденной системы линейных уравнений Рх (а — I*) = 0.

Теорема 2. Пусть в условиях теоремы 1 оператор Ь является невырожденным линейным оператором на X. Тогда решение 10* задачи

ЬРх(а — 1) = 0,1 еС, ||1| ^ 1п£ (2)

существует, единственно и принадлежит подпространству PсX. Теорема 3. В условиях теоремы 2 решение I* задачи

У ЬРх (а — ОН < Я, Я > 0,1 еС, ||1|| ^ Ы (3)

существует, единственно и принадлежит подпространству PсX.

Замечание. Пусть в условиях теоремы 3 точка х* доставляет минимум в экстремальной задаче

ЦЬРха — хН < Я, х е X, ||х|| ^ И, а I* — решение задачи (3). Тогда равенство ЬРх 1* = х* может не выполняться.

Теорема 4. Пусть в условиях теоремы 2 выполняется E < ||1*||, где l* — решение задачи (2). Тогда решение l*E задачи

lllll < E,E > 0, l еС, HLPx(a — l)|| - inf (4)

существует, единственно и принадлежит подпространству P^X.

Замечание. Если в условиях теоремы 2 выполняется lllO Ц < E, то минимум в задаче (4) равен нулю и решение может не быть единственным.

В частном случае теорема 1 доказана в работе [1], в работе [2] на ее основе строится численый алгоритм.

Уравнения вида (1), (2) возникают при решении задач асимптотической стабилизации по краевым условиям [1, 2] и начальным данным [3], а уравнения вида (3), (4) — при решении задач асимптотической стабилизации по правой части. Полученные результаты позволяют существенно упростить алгоритм построения решения и уменьшить вычислительные затраты.

Пример. Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения типа теплопроводности

du д2u , г

те

u(t, 0) = u(t, 1) = 0, u(0, x) = a(x) = ^ ак sin(nkx).

к=1

Используя метод Фурье, получаем, что решение имеет вид

те

u(t,x) = ^2 акe(b-n к ~)t sin(nkx). к=1

Пусть целое q удовлетворяет неравенствам n2q2 < b < п2(q + 1)2. Тогда величина llu(t,x)ll стремится к нулю при t — с тогда и только тогда, когда все коэффициенты ак, 0 < k < q, нулевые.

Рассмотрим задачу асимптотической стабилизации по начальным данным: найти функцию l(x) е L2[0,1] с минимальной нормой и носителем supp l С [1/2,1], такую, что для начального условия a(x) = a(x) — l(x) решение u(t, x) стремится к нулю при t — со. Требуется, чтобы у начального условия а первые q гармоник разложения по синусам были равны нулю. Задача построения функции l может быть сформулирована в терминах теоремы 1, если

H = L2[0,1], С = {l е H | suppl С [1/2,1]},

X = (р(к) (x), k = 1,...,q), ^(x) = sin(nkx),

PCX = &k\x),k = 1 ,...,q), = sin(7rb:)|[1/2,1].

По теореме 1 решение l* представляется в виде 1* = Ylk= ■

Для численной реализации алгоритма построения решения l* рассмотрим конечно-разностный аналог данной дифференциальной задачи. Произвольная функция задается своими значениями в точках {hk, k = 0,..., N}, h = 1/N, где N + 1 — число узлов сетки. В этом случае H С RN+1 и для данной задачи имеем

H = {(0,hi ,...,hN-1, 0)T },

С = {(0, ...,0,lp,..., In-i, 0)T} cH,p = [(N + 1)/2],

X = (ip(h\k = 1 ,...,<?), v[k) =(o, 8ш(тгф,..., o)T,

а система (1) принимает вид

P (а — l) = 0;

a е H,l еС; с матрицей P = . ... .

lllh - inf w?

T

Тогда

РсХ = &к\к = 1,...,д),

Обозначим через С матрицу, столбцами которой являются столбцы координат векторов к = 1,...

С = : : .

Согласно теореме 1, в данном случае решение I* задачи (1) представляется в виде

к=1

Отсюда следует, что искомые коэффициенты х = (х\,..., хд)т могут быть найдены при решении системы линейных алгебраических уравнений РСх = Ра с симметричной положительно определенной матрицей размера д х д. Отметим, что таким образом решалась задача асимптотической стабилизации по краевым условиям в работе [2].

Численные расчеты подтверждают, что элемент I* подпространства РсХ, удовлетворяющий условию Рх(1* — а) =0, имеет наименьшую норму. Для сравнения вместо подпространства С = РцХ рассмотрим подпространство

( = ,к = 1,...,д),

, 2 N — 2 \Т

Ф{к) = (о,..., 0, в'ш^тгк—),..., в'т^тгк———), ,

т.е.

соответствует функции (х) = в1п(^ку)|[1/2,1], У = 2х — 1. Отметим, что нормы элемента I* и соответствующего элемента I — решения в подпространстве ( — могут отличаться на порядок. В таблице приведены результаты расчетов для начального условия а(х) = х(1 — х)ех и различных значений д.

q i 2 3 4 5 6 7 8 9 10

\\ih 0,51 1,08 4,44 22,2 123 730 4520 3 • 104 2 • 105 106

rib 0,43 0,67 2,02 7,66 32,1 142 660 3157 104 7- 104

Численные расчеты показывают, что правильный выбор подпространства С значительно уменьшает не только вычислительные затраты, но и норму получаемого значения.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты № 08-01-00415-a, 08-05-00738-a. Автор приносит благодарность С. А. Горейнову, И. С. Григорьеву за содержательные замечания и идеи, предложенные при обсуждении статьи, а также А. А. Корневу за постановки задач и помощь в оформлении работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Fursikov A.V. Feedback stabilization for the 2D Oseen equations: additional remarks. Control and estimation of distributed parameter systems // International series of numerical mathematics / Ed. by W. Desch, F. Kappel, K. Kunish. Basel: Birkhaser Verlag, 2003. 169-188.

2. Chizhonkov E.V. Numerical aspects of one stabilization method // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2003. 18, N 5. 363-376.

3. Корнев А.А. Метод асимптотической стабилизации по начальным данным к заданной траектории // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. 46, № 1. 37-51.

Поступила в редакцию 31.10.2007