О сложности приближенной реализации липшицевых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №4

49

УДК 519.95

О СЛОЖНОСТИ ПРИБЛИЖЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ЛИПШИЦЕВЫХ ФУНКЦИЙ

С. Б. Гашков, Я. В. Вегнер

Рассмотрим класс Ш[а, Ь] вещественных функций одной переменной, определенных на отрезке [а,Ь], не превосходящих по модулю 1 и удовлетворяющих условию Липшица с константой 1. Для произвольной функции / £ Ш [0,1] рассматривается задача приближенной реализации с погрешностью е схемой из функциональных элементов; базис состоит из конечного числа липшицевых функций и произвольного ограниченного множества вещественных констант. Такие базисы называются липшицевыми. Под сложностью понимаем количество функциональных элементов в схеме без учета констант. Через РЬ[а, Ь] обозначаем множество кусочно-линейных функций на отрезке [а, Ь].

В статье [1] для класса Ш[0,1] доказана нижняя оценка сложности приближенной реализации функций в липшицевых базисах, равная С/у/ё, но не доказано, что она достижима. В данной работе доказывается достижимость оценки по порядку для базиса {х + у,х — у,х * у, |х|} и [0,1], где х * у = тт(тах(х, 0), 1) тт(тах(у, 0), 1).

Теорема. Любую функцию / £ Ш[0,1] можно приблизить с заданной погрешностью е схемой из функциональных элементов сложности 0( 1/у/е) в липшицевом базисе {х + у, х — у, х * у, |ж|} и [0,1].

Доказательство. Пусть задана погрешность е; далее считаем, что е < 1/4. Определим параметры 8 = \1/у/е\, и = 1 /й2, V = 1/в. Тогда при е —0

1/и = 1/е + 0{1/у/е), 1/у = 1/у/е + 0(1), и^е, V < у/ё.

Разобьем отрезок [0,1] на отрезки [кь, (к + 1)V], к = 0,...,в — 1.

Лемма 1. Пусть заданы функция / £ Ш[а,Ь], /(а) = /(Ь) = 0, и величина 5, такая, что Ь — а = п5, п £ N. Тогда найдется функция / £ РЬ[а, Ь] с угловыми коэффициентами ±1, /(а) = /(Ь) = 0, которая может менять поведение только в точках {а + 15/2 : г = 0,1,...,2п — 1} и которая приближает функцию /(х) на отрезке [а, Ь] с погрешностью 5.

Зафиксируем функцию / £ Ш[0,1] и представим ее в виде суммы /(х) = Дх)+д1(х), где /\ £ РЬ[0,1], Дкь) = /(кь), к = 0,...,з; в остальных точках Дх) продолжена по линейности; д:(х) — липшицева функция с константой 2. Рассмотрим набор функций д\,к(х), к = 0,...,в — 1; функция д\,к(х) является сужением функции д:(х) на отрезок [кь, (к + 1)ь]. Функция д\,к(х) липшицева с константой 2, обращающаяся в нуль на концах отрезка. Применяя к функции д\,к/2 лемму 1, где 5 = и/4, найдем функцию /2,к(х) £ РЬ[кь, (к + 1)ь] с угловыми коэффициентами ±1, меняющую поведение только в точках кь +15/2, г = 1,...,8з — 1, равную нулю в концах отрезка и приближающую функцию д1 ,к(х)/2 с погрешностью 5 < е/4, так что ||д1 ,к — 2/2 ,к|| < е/2.

Далее, рассмотрим функции Дк £ РЬ[кь, (к + 1)ь], к = 0,...,з — 1; функция /з,к(х) совпадает с /2, к(х) на отрезках [кь,кь + и] и [(к + 1)ь — и, (к + 1)ь] и доопределена по линейности на отрезке Дк = [кь + и, (к + 1)ь — и]. Представим функцию Дк(х) в виде суммы Дк(х) = /з,к(х) + дз,к(х), где дз,к(х) — липшицева функция с константой 2, равная нулю на концах отрезка Дк и вне его. Применяя к функции дз,к/2 на отрезке Дк лемму 1с 5 = и/8, находим функцию Дк(х) с угловыми коэффициентами ±1, меняющую поведение только в точках кь + и + 15/2 и приближающую функцию дз,к/2 с погрешностью 5 < е/8, так что Цдз,к — 2Дк|| < е/4.

Определим функции /з(х) = /з,к(х) при х £ [кь, (к + 1)ь], к = 0,...,в — 1,

/ /4,к (х), если х £ Дк, к = 0,...,в — 1, 0 иначе.

Схема, вычисляющая Дх) +2 (/з(х) +2/4(х)), приближает функцию /(х) с погрешностью е. В леммах 3, 4 и 9 будет показано, что функции /1 (ж), Дж) и /4(ж) реализуются точно схемами сложности 0( 1/ у/ё). Очевидно, что функцию 2х = х + х можно реализовать со сложностью 1.

Лемма 2. Пусть задана величина 5, 0 <5 < 1. Тогда функцию (х) = тах(0, тт(5, х)) можно реализовать схемой конечной сложности.

Лемма 3. Функцию /1 можно реализовать схемой сложности 0( 1/у/ё).

/4 (х)

50

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №4

Доказательство. Функция fi(x) кусочно-линейная, с фиксированными угловыми коэффициентами dk на каждом из отрезков [kv, (k + 1)v], причем \dk\ < 1. Реализуем функцию fi(x) по формуле

S-i S-i

fi(x) = fi(0) + ^ dk * hv(x - kv) - ^ (-dk) * hv(x - kv),

k=0, k=0, dk >0 dk <0

где все константы принадлежат отрезку [0,1]. Поскольку s = 1 / у/б + 0( 1), с учетом леммы 2 получаем, что сложность схемы составляет 0( 1/у/е). □

Лемма 4. Функцию /з можно реализовать схемой сложности 0( 1/у/ё).

Доказательство. Доопределим каждую функцию f3,k(x) на отрезке [0,1] значением 0, реализуем ее схемой конечной сложности и сложим выходы схем. Каждая функция f%,k(x) может изменить поведение лишь в конечном числе точек, ее угловые коэффициенты лежат в отрезке [-1,1], так что функция fs,k(x) представляется в виде конечной суммы ступенек. Общая сложность схемы составит 0( 1/у/ё). □

Лемма 5. Для любого натурального n имеются отображение фn из множества двоичных наборов длины n в отрезок [0,1] и схема Sn в базисе {x + y,x — y,x * y, \x\} U [0,1] слож,ности O(n) с одним, входом и n выходами, такие, что для любого двоичного набора (xi,..., xn) выполнено Sn(pn(xi,..., xn)) = (x1 , . .., xn) ■

Доказательство. Эта лемма аналогична лемме 3 из [2]. Доказательство проводится с небольшими изменениями. □

Лемма 6. Функцию pi(x) Е PL[0,1], принимающую значения 0 в точках 2iv, значения 1 в точках (2i + 1)v и доопределенную в остальных точках по линейности, можно реализовать схемой сложности o(log s) = O(log 1/е).

Доказательство. Эта функция реализуется многократным применением функции 1 - \2x - 1\, в которую подставляется величина x * s/2 s. □

Лемма 7. Функцию p2(x) Е PL[0,1], принимающую значения 0 в точках 2iv, значения v в точках (2i + 1)v и доопределенную в остальных точках по линейности, можно реализовать схемой сложности o(log s) = O(log 1/е).

Лемма 8. Пусть задан произвольный набор значений Ck Е [0,1], k = 0,...,s - 1. Тогда функцию c(x) Е PL[0,1], постоянную на каждом отрезке Ak, k = 0,...,s - 1, и принимающую на нем значение с^, можно реализовать схемой сложность, O(s) = 0( 1/у/ё).

Доказательство. Рассмотрим функцию H(x) = h2v(x - 1/2 + v)/2v, представляющую собой ступеньку ширины 2v и высоты 1. Пусть t — наименьшее неотрицательное целое число, такое, что 2f'2v > 1; t = log1/e + O(1). Тогда 1/(2*2v) Е [0,1], и функцию H(x) можно реализовать схемой, вычисляющей выражение d(d(... d(1/(2*2v) * h2v(x - 1/2 + v))...)), где функция d(x) = x + x применяется t раз.

Рассмотрим функцию 1нечет(x) = H(pi(x - v/2)), обладающую свойством: она принимает значение 0 на отрезках A2i и значение 1 на отрезках A2i+i. Функция I4eT(x) = 1 - H(pi(x - v/2)) обладает противоположным свойством: она равна 1 на отрезках A2i и 0 на отрезках A2i+i. Если функция 1нечет(x) построена, функция 1чет (x) реализуется со сложностью 1.

Рассмотрим функцию c4eT(x), постоянную на каждом отрезке [2iv, (2i + 1)v], i = 0,..., |_(s - 1)/2j, равную на них константам C2i и доопределенную по линейности между этими отрезками, и функцию снечет(x), постоянную на каждом отрезке [(2i + 1)v, (2i + 2)v], i = 0,..., [_s/2j -1, равную на них константам C2i+i и доопределенную по линейности между этими отрезками. Эти функции реализуются со сложностью O(s). Тогда функция c(x) строится по формуле c(x) = 1чет(x) * счет(x) + 1нечет(x) * снечет (x). □

Лемма 9. Функцию /4 можно реализовать схемой сложность, 0{ 1/у/е).

Доказательство. Пусть задан набор кусочно-линейных функций f4,k(x), k = 0,...,s-1. Обозначим через g4,k(x) четную 2v-периодическую функцию, совпадающую с функцией f4(x) на отрезке [kv, (k + 1)v]. Для каждого k составим набор из нулей и единиц ak длины n = \ Ak\/(и/16) = 16s - 32; нуль или единицу ставим в зависимости от знака углового коэффициента функции g4,k(x) на отрезке [u+iu/16, u+(i+1)u/16]. Коэффициенту +1 сопоставляем 1, коэффициенту -1 сопоставляем 0. Определим константу ck = фn(a.k).

Рассмотрим кусочно-линейную функцию z(x) = max(0,v/2 - u -\x - v/2\). Композиция функций z(p2(x)) обладает свойствами: z(p2(x)) = 0 при x Е U Ak; z(p2(x)) возрастает с угловым коэффициентом +1 на каждом из отрезков [kv + u, kv + v/2] и убывает с угловым коэффициентом -1 на каждом из отрезков [kv + v/2, (k + 1)v - u].

Покажем, как построить схему, реализующую функцию f4(x). По лемме 8 реализуем функцию c(x), равную на каждом отрезке Ak константе ck. К выходу подсхемы для c(x) подсоединим схему Sn из леммы 5. Схема Sn имеет n выходов, обозначим их через si(x), i = 0,...,n - 1. Реализуем функции

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2008. №4

51

h(i)(x) = hu/16(p2(x) — u — iu/16) для i = 0,...,n — 1. Подадим выходы si(x) и h(i)(x) на входы подсхемы,

вычисляющей d(si(x) * h(i)(x)) — h(i)(x), где d(x) = x + x. Обозначим выход этой подсхемы через gi(x). Реализуем композицию z(p2(x)). Схема реализует значение

n-1

F(x) = min^z(p2(x)), max^—z(p2(x)), ^gi(x^ j.

i=0

Сложность схемы составляет 0( 1/y/e). Можно показать, что построенной схемой реализуется функция f4(x). □

Леммой 9 завершается доказательство теоремы. □

Работа выполнена при частичной поддержке грантов РФФИ № 05-01-0099, 08-01-00863, НШ-1807.2003.1, ОМН РАН (проект "Оптимальный синтез управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гашков С.Б. О сложности приближенной реализации непрерывных функций схемами и формулами в полиномиальных и некоторых других базисах // Матем. вопросы кибернетики. Вып. 5. М.: Наука, 1995. 144-207.

2. Turan G, Vatan F. On the computation of Boolean functions by analog circuit of bounded fan-in //J. Comput. and Syst. Sci. 1997. 54, N 1. 199-212.

Поступила в редакцию 27.06.2007

УДК 519.6

О ЗАДАЧЕ ТИПА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ И. Н. Ващенко

В работе рассматривается задача наименьших квадратов специального вида с ограничениями типа неравенств. Показано, что ее решение принадлежит фиксированному подпространству малой размерности. Полученный результат позволяет принципиально сократить вычислительные затраты при решении задач асимптотической стабилизации по начальным данным.

Теорема 1. Пусть H — полное сепарабельное евклидово пространство с нормой || • У, порожденной скалярным произведением; X и С — его конечномерные линейные подпространства, такие, что PxС = X, где Px — ортогональный проектор на X. Тогда для произвольного элемента a Е H решение l* задачи

Px (a — l) = 0, l ЕС, ||l|H inf (1)

существует, единственно и принадлежит подпространству P^X, где Pl — ортогональный проектор на С. При этом dim PlX = dim X, PxPlX = X и вектор l* Е PlX может быть найден как решение невырожденной системы линейных уравнений Px (a — l*) = 0.

Теорема 2. Пусть в условиях теоремы 1 оператор L является невырожденным линейным оператором на X. Тогда решение l** задачи

LPx (a — l) = 0, l ЕС, ||l|| ^ inf (2)

существует, единственно и принадлежит подпространству P^X. Теорема 3. В условиях теоремы 2 решение lQ задачи

HLPx (a — l)|| < Q,Q > 0, l ЕС, ||l|| ^ inf (3)

существует, единственно и принадлежит подпространству P^X.

Замечание. Пусть в условиях теоремы 3 точка xQ доставляет минимум в экстремальной задаче

HLPXa — xH < Q, x Е X, ||x|| ^ inf, а lQ — решение задачи (3). Тогда равенство LPxlQ = xQ может не выполняться.