CC BY
23
В заключение отметим, что подстановка определенных с точностью до произвольной амплитуды F0 функций Фі и Nj в уравнения (17) дает возможность подобным образом определить амплитуду 2й гармоники поля F02, проникшего за пределы полупроводника (z < 0), и амплитуду этой же гармоники F2 в полупроводнике (z < 0) во взаимосвязи с квадратом амплитуды Fq первой резонансной гармоники. Необходимые для этого соотношения возникают из условий, аналогичных (9), (10):
"0 для г є[0, Р0),
— F02sin2y 0 для г e[p0,R]; г
- Re-
<зф
дг
z=0
Re J
R дФ 2
дг
rdr = F(
1
02
z=0
2k0B
cos2y0-
(48)
Реализация приведенных соотношений в процедуре решения задачи для Ф 2 и N2 , аналогичной изложенной, приведет к установлению математической взаимосвязи между величиной F02 и Fq, описывающей результат нелинейного воздействия СВЧ сигнала с амплитудой F0 и резонансной частотой ю на полупроводник. Очевидно, что подобное рассуждение можно распространить и на более высокие гармоники исходного СВЧ сигнала. Полученные решения для высоких гармоник могут быть также использованы для дальнейшего уточнения собственных резонансных частот системы на основании (8), полученных при решении (13).
5. Заключение
В данной работе в квазистатическом приближении изложен алгоритм решения задачи о резонансных частотах резонатора коаксиального типа, нагруженного полупроводниковой структурой с учетом искривления энергетических зон у её поверхности и нелинейного характера взаимодействия носителей свободного заряда с СВЧ полем. Этот алгоритм дает возможность проводить анализ нелинейного воздействия СВЧ сигнала на полупроводник с учетом неравномерного распределения равновесной плотности свободного заряда путем получения собственных резонансных частот системы.
Литература: 1. Гордиенко Ю.Е. Вычисление комплексных резонансных частот СВЧ резонаторных датчиков апертурного типа / / Радиоэлектроника и информатика. 2001. №2. С. 4-7. 2. СлипченкоН.И., КостычевЮ.Г., Золотарёв В.А. Оценка эффективности метода Трефт-ца при анализе электродинамических систем для СВЧ диагностики полупроводников и диэлектриков // Радиоэлектроника и информатика. 2001. №1. С. 20-24. 3. Лисюк Ю.В. Поглощение СВЧ мощности в ОПЗ высокоомных полупроводников // Изв. вузов. Физика. 1981. №11. С. 18-22. 4. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1973. 5. Веллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968.
Поступила в редколлегию 12.03.2005
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Гордиенко Ю.Е.
Слипченко Николай Иванович, канд. техн. наук, профессор, проректор по научной работе ХНУРЭ. Научные интересы: твердотельная электроника, микроволновая микроскопия, радиофизика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: (057) 702-10-20.
УДК 517.9
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭВОЛЮЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ВОЛНОВОДЕ С ДИСПЕРСНОЙ СРЕДОЙ
ВЛАСЕНКО Л.А._______________________
Описывается математическая модель эволюции электромагнитного поля в волноводе, заполненном слоистой средой с пространственной дисперсией. В результате разделения переменных в начально-краевой задаче для уравнений Максвелла возникает уравнение в частных производных не типа Коши-Ковалевской. Получена теорема существования и единственности решения соответствующей смешанной задачи. Приводится численный метод нахождения решения.
1. Введение
Цель работы: исследование эволюции электромагнитного поля в волноводе с дисперсной средой. В рассматриваемом случае поле удовлетворяет хорошо известным уравнениям Максвелла, а классические материальные уравнения нарушаются из-за наличия дисперсии. Описание электромагнитного
поля сводится к нахождению его компонент, которые появляются в результате применения метода разделения переменных. Трудности вызывает нахождение компоненты, которая удовлетворяет уравнению в частных производных, не разрешенному относительно старшей производной по времени (уравнению не типа Коши-Ковалевской). В статье установлены условия однозначной разрешимости соответствующей смешанной задачи.
Задачи исследования: представить смешанную задачу в виде абстрактной задачи Коши; указать условия однозначной разрешимости абстрактной задачи; применить абстрактные результаты к начальнокраевой задаче не типа Коши-Ковалевской; описать численный метод нахождения решения соответствующей смешанной задачи. В работах [1,2] также исследуется электромагнитное поле в волноводе с дисперсной средой и одна из компонент поля описывается уравнением не типа Коши- Ковалевс -кой. В работе [1] это уравнение является невырожденным (оператор при старшей производной по времени обратим). В [2], как и в данной статье, уравнение не типа Коши-Ковалевской является вырожденным. В этой статье, в отличие от работы [2], абстрактное уравнение, отвечающее соответствующей смешанной задаче, изучается в вещественном пространстве, поэтому применяются дру-
14
РИ, 2005, № 1
гие методы для его исследования; для разрешимости уравнения в частных производных указываются ограничения на коэффициенты среды, отличающиеся от ограничений из [2]. Для нахождения численного решения вырожденного уравнения не типа Коши-Ковалевской невозможно применить хорошо известные разностные методы (см., например, [3,4]) из-за неустойчивости разностной схемы. Поэтому разработан новый численный метод нахождения решения. Все результаты статьи являются новыми.
D = sE -^b^e, B = pH, (3)
dz dz
где є,ц — положительные функции от z , функция
b(z) может принимать отрицательные значения. Материальные уравнения (3) отвечают слоистой среде с пространственной дисперсией. Частный случай материальных уравнений (3) был рассмотрен в [1, раздел 1], соотношения (3) общего вида были введены в [2, раздел 7].
2. Описание математической модели
Рассмотрим цилиндрический волновод, изображенный на рис. 1.
В случае изотропной и однородной среды, характеризуемой материальными уравнениями (2) с постоянными є, р , исследуют электромагнитные поля вида
Рис. 1. Цилиндрический волновод
Внутренность волновода заполнена неоднородной слоистой средой с пространственной дисперсией. Боковая поверхность £ — идеальный металл, свободных зарядов и свободных источников нет, поперечное сечение S — простая связная область с гладкой границей 5S . Хорошо известно (см., например, [5, глава IX], [6, часть IV]), что эволюция электромагнитного поля в волноводе описывается уравнениями Максвелла в дифференциальной форме
rotH = — D, rotE = -—B;
St St (1)
divD = 0, divB = 0, (n,H)|s= 0, [n,E]|s= 0.
Здесь E — напряженность электрического поля; H — напряженность магнитного поля; D — электрическая индукция; B — магнитная индукция; n — нормаль к поверхности. Система уравнений (1) не определяет однозначным образом электромагнитные поля. Она дополняется материальными уравнениями, устанавливающими связи между векторами индукции D , Ви векторами напряженности
полей E, H . Материальные уравнения определяются свойствами материальной среды. Классические материальные уравнения в изотропных средах имеют вид
D = еЕ, В = pH. (2)
Соотношения (2) нарушаются в анизотропных средах, когда появляется дисперсия [5, § 58, 60, 83], [6, часть IV, глава 1, § 6], [1, раздел 1]. В случае среды с пространственной дисперсией вектор индукции
D может зависеть не только от поля E , но и от его пространственных производных [5, § 83], [1, раздел 1]. В данной статье мы предполагаем, что материальные уравнения имеют вид
E = e irotE(x,y,z), H = e irotH(x,y,z), (4)
где ю — собственная частота электромагнитных колебаний. Вектор-функции E,H представляют в виде суперпозиции так называемых модовых E -и H - волн, которые образуют полную систему. Модовые E - волны имеют чисто поперечное магнитное поле (Hz = 0 ), модовые H - волны имеют чисто поперечное электрическое поле ( Ez = 0). Систему модовых E - и H - волн получают путем разделения переменных x,y от z (см., например, [5, глава X, § 71]).
Для неоднородной среды или среды с дисперсией (в частности, для среды, характеризуемой материальными уравнениями (3), в которых хотя бы одна из функций s,p,b не является постоянной, т.е. зависит от z ) строить электромагнитные поля в виде (4) и находить вектор-функции E,H путем разделения переменных x,y от z не представляется возможным. Поэтому в случае материальных уравнений (3) в работах [1, раздел 2], [2, раздел 2] было предложено разделять переменные x,y от переменных z,t. Обобщая вид модовой H - волны в волноводе, заполненном изотропной и однородной средой, электромагнитное поле в случае материальных уравнений (3) ищут в виде
E =
0(x,y)e(z,t) H - r(x,y)h(z,t)
0 5 II _ F(x,y)f (z,t)_
(5)
Здесь e,h,f,F — достаточно гладкие скалярные функции; 0,Г — достаточно гладкие двумерные вектор-функции. Если в материальных уравнениях (3) s,p,b являются постоянными, то можно построить модовые H - волны вида (4), разделив переменные x,y от z [1, раздел 5]. В этом случае, кроме модовых h - волн, существуют и другие электромагнитные поля общего вида (5).
Предполагаем, что в поперечных сечениях z = 0 и z = £ волновод ограничивают металлические пластины. Это означает выполнение условий
(Z0,H) lz=0 = (Z0,H) lz=/ = 0
РИ, 2005, № 1
15
Эти условия эквивалентны следующим:
f(0,t) = f(Tt) = 0. (6)
Метод разделения переменных, описанный в [2, раздел 2], показывает, что функции e,h,f,F и вектор -функции 0, Г находятся следующим образом. Функция F(x,y) является решением задачи Неймана в двумерной области:
2F
AF(x,y) + у2F(x,y) = 0, (x,y) є S, — |5S = 0. (7)
on
Задача (7) имеет счетное множество собственных функций F(x,y) = Fn(x,y), отвечающих вещественным собственным числам у2 =уП ^ ж (n ^ ж ). Выберем у2 = уП . Пусть p,q — константы такие, что pq = -у2 . Вектор-функции qr(x,y),q0(x,y) находим из соотношений
qr(x,y) = VF(x,y), q0(x,y) = [VF(x,y),Z0]. (8)
Функция f(z,t) является решением уравнения
5 д
єр----b— р
dz dz
52f
St2
_d_ 1 d_
dz p Sz
M-
f = 0
(9)
2
с краевыми условиями (6). Для однозначного нахождения решения f(z,t) задачи (9),(6) рассмотрим начальные условия вида
f(z,0) = g0(z), -^f(z,0) = gi(z). (10)
ot
Функции pe(z,t),ph(z,t) определяются из соотношений
применить хорошо известные классические теоремы (см., например, [9, глава 4, §2]). Некоторые задачи для уравнений не типа Коши- Ковалевской (такие уравнения также называют уравнениями типа С.Л. Соболева) исследовались в [10-13,2].
В данной статье предлагается метод, основанный на переходе от смешанной задачи (9),(6),(10) к ее абстрактной форме — задаче Коши в абстрактном пространстве; доказывается однозначная разрешимость абстрактной задачи Коши, а затем осуществляется обратный переход к смешанной задаче.
Обозначим через L2 = L2[0, £] пространство интегрируемых с квадратом на [0,1] функций. Введем пространство Соболева = W|[0, £] функций u(z)
таких, что u(z) и ее обобщенные производные u'(z).u''(z) принадлежат L2 . Также рассмотрим пространство
о о
W22 = W22[0, £] = {u(z) є W22, u(0) = u(0 = 0}.
В пространстве L2 смешанная задача (9), (6), (10) допускает представление в виде абстрактного уравнения
Au''(t) + Bu(t) = 0, t > 0 (11)
с начальными условиями
u(0) = u0, u'(0) = u1. (12)
Операторы A,B порождаются дифференциальными выражениями
d , d
Au = epu(z) - —b——(pu), Bu = y2u(z) ——(pu)
d 1 d
dz dz
dz p dz
of 1 d
pe(z,t) = p— (z,t), ph(z,t) = -—[pf].
oz p oz
Таким образом, для нахождения модового поля в виде (5) нам необходимо установить, что смешанная задача (9),(6),(10) имеет единственное решение
f(z,t), где у2 =уП — собственное число задачи Неймана (7), которому отвечает собственная функция Fn(x,y). Тогда, подставляя в (5) функцию F(x,y) = Fn(x,y), решение f(z,t) смешанной задачи (9), (6), (10), а также определяемые с помощью соотношений (8) вектор-функции
Г (x,y)h(z,t) = -Uqr (x,y)ph(z,t)]
У2
и 0(x,y)e(z,t) = -Uq0(x,y)pe(z,t)],
yZ. >
мы однозначно находим электромагнитное поле.
3. Абстрактное представление смешанной задачи
Уравнение (9) не является уравнением типа Коши-Ковалевской. Под уравнением типа Коши-Ковалевской подразумевают уравнение, разрешенное относительно старшей производной по времени. Рдд примеров уравнений и систем уравнений не типа Коши-Ковалевской рассмотрен в [8, с. 57-58, 78, 133]. Для разрешимости таких уравнений нельзя
и имеют область определения DA = DB = W| ,
u(t)(z) = f (z, t), u0(z) = g0 (z), ui(z) = gi(z). Любую функцию v : z,t ^ v(z,t) будем также рассматривать как функцию от t со значениями в пространстве функций от z и записывать как v(t)(z). Описание пространств функций от t и z можно найти в [8, раздел 1.2].
В работе [2] смешанная задача (9), (6), (10) и абстрактная начальная задача (11), (12) исследовались в комплексном пространстве. Здесь мы будем рассматривать случай вещественного пространства. Для разрешимости смешанной задачи (9), (6), (10) в работе [2] налагались специальные ограничения на функции s,p,b (см. предложение 7.1). Это было связано с методом доказательства. В данной статье мы применим другой метод доказательства разрешимости смешанной задачи и откажемся от этих ограничений на є,p,b, но предположим их постоянность. Предложенный в данной статье метод доказательства также можно применить для комплексных пространств.
4. Условия существования и единственности решения абстрактной задачи Коши
Пусть в (11) операторы A,B являются замкнутыми, линейными, действуют из вещественного банахова пространства X в вещественное банахово про-
РИ, 2005, № 1
16
странство Y , имеют области определения DA,DB соответственно. Символ Cn([0,ro),X) обозначает пространство функций u :[0, да) ^ X , которые n раз непрерывно дифференцируемы в норме X при всех t > 0 . Функцию u(t) є C2([0,да),Х) назовем решением уравнения (11), если Au(t) є C2([0, <»),Y) и функция u(t) удовлетворяет уравнению (11). Из определения решения u(t) следует, что
u(t) є D = Da п Db для всех t > 0 ,
Bu(t) є C([0,C»),Y) .
Решением задачи Коши (11),(12) называется решение уравнения (11), которое удовлетворяет начальным условиям (12). Всюду в дальнейшем мы будем требовать D ф {0} .
Пусть X,Y — комплексные оболочки пространств X,Y и A,B — комплексные расширения операторов A,B (см. [7, с. 25-26]). Рассмотрим пучок операторов XA + B , определенный на D = Da П Db . Через L(X,Y) обозначается пространство ограниченных линейных операторов из X в Y, L(X) = L(X,X) . Аналогично будем рассматривать пространства ограниченных линейных операторов L(X,Y) и L(X). Предположим, что выполнено следующее условие:
(H) Для всех комплексных чисел X таких, что | X |> C (Cj > 0 ), пучок операторов XA + B имеет резольвенту R(X) = (XA + B)_1 є L(Y,X) и справедлива оценка ||R(X)||< C2 (C2 > 0).
Если выполнено условие (H), то из [14, раздел 6] следует, что существуют прямые разложения
D = D1 + D2, Y =Y1+Y2 , Y1 = AD ,
D2 = KerA П D , Y2 = BD2 , D1 = (vA + B)“1Y1.
Здесь KerA — ядро оператора A. При определении D1 рассматриваются те комплексные числа v , для которых существует ограниченный обратный оператор. Линеал D1 не зависит от выбора таких точек v . Например, достаточно выбрать v > C2 . Пусть P1,P2 — взаимно дополнительные проекторы на DbD2 соответственно, Q1,Q2 — взаимно дополнительные проекторы на YbY2 соответственно. Оператор G = AP1 + BP2 = Q1A + Q2B определен на d и имеет ограниченный обратный G_1 є L(Y,X). В [14] установлены свойства оператора G .
Условие (H) использовалось при доказательстве теорем существования и единственности для вырожденных уравнений первого порядка (см., например, [14]). В данной статье мы применим это условие, чтобы установить однозначную разрешимость вырожденного уравнения второго порядка (11), а также чтобы описать множество допустимых начальных векторов u0,u1 (12). Из теоремы 1 сле-
дует, что не любые векторы u0,u1 єD могут быть начальными для решения задачи Коши (11),(12); начальные векторы обязательно должны удовлетворять специальным условиям согласования (13). Наличие этих условий обусловлено вырожденнос-тью уравнения (11). Для невырожденного уравнения P2 = 0 и необходимость в условиях (13) отпадает.
Теорема 1. Пусть выполнено условие (H). Тогда для любых векторов u0,u1 є D таких и только таких, что выполнены условия
P2u0 = 0, P2u1 = 0, (13)
существует единственное решение u(t) задачи Коши (11),(12), причем P2u(t) = 0 при всех t > 0 .
Доказательство. Любое решение уравнения (11) представимо в виде u(t) = P1u(t) + P2u(t). Применяя к (11) проекторы Q1,Q2, убеждаемся в том, что уравнение (11) эквивалентно системе двух уравнений
v"(t) + Q1BG _1v(t) = 0, B[P2u(t)] = 0, (14)
где v(t) = GP1u(t). Учитывая, что G_1BP2 = P2, получаем P2u(t) = 0 для всех t > 0 . Первое уравнение в (14) рассматривается в пространстве Y1. Так как оператор T = Q^G-1 ограничен в Y1, то это уравнение имеет единственное решение для любых начальных данных v(0) = v0 є Y1,v'(0) = v1 є Y1:
v(t) = (cosT1/2t)v0 + (T_1/2 sinT1/2t)v1,
где оператор-функции cosT1/2t и T _1/2sinT1/2t определяются сходящимися по норме операторов рядами
cosT1/2t =
Z (-1)k
k=0
Tkt2k (2k)! ’
T “1/2sinT1/2t =
Z (-1)k
k=0
Tkt2k+1
(2k +1)!
[7, c. 113-114]. Отсюда следует, что для любых начальных векторов u0,u1 є D , удовлетворяющих соотношениям (13), существует единственное решение задачи Коши (11),(12), определяемое по формуле
u(t) = G 1[(cosT1/2t)Au0 + (T 1/2sinT1/2t)Au1]. (15)
Понятно, что условия (13) являются также необходимыми для разрешимости задачи Коши (11), (12). Теорема 1 доказана.
5. Приложение результатов раздела 4 к исследованию разрешимости смешанной задачи
Вернемся к смешанной задаче (9), (6), (10), описанной в разделе 2. Эта задача допускает представление
в абстрактной форме (11), (12). Здесь X = Y = L2 . Для простоты рассмотрим случай постоянных ко-
РИ, 2005, № 1
17
эффициентов є,р,Ь . Тогда выражения для операторов а и в упрощаются:
Au = -bpu''+epu, Bu = -u''+y 2u.
Предположим, что є/Ь = -(nп/£)2 при каком-нибудь натуральном числе n. Тогда KerA ф {0} и уравнение (11), отвечающее краевой задаче (9), (6), является вырожденным. Пусть для определенности Ь = -z£2/п2. В этом случае KerA = Lin{sin(nz/f)}. При сделанных предположениях уравнение (9) принимает вид
єр
д 2 St2
" £2 d2f " ——- + f + " 52f 2f“ t + y2f
n2 5z2 Sz2
= 0.
(16)
Пространство X = Y есть комплексное пространство L2 ; операторы A,B определяются теми же самыми дифференциальными выражениями, что и операторы A,B , а их области определения Da,Db
есть комплексное пространство W| . Для всех комплексных чисел
(nn / И2 +У2
КФ------о----
sp(n2 -1)
n = 2,3,...
і
J gi(z)sin( nz/t)dz = 0, i = 0,1, (18)
0
смешанная задача (16), (6), (10) имеет единственное решение f(z,t) в области [0,£] х [0,да) такое, что
f(t)(z) є W22 для всех t > 0 , f(t)(z) є C2([0,<»),L2), 32f
— (t)(z) є C2([0,да) ,L2). Решение f(z,t) такжеудов-
oz2
t
летворяет соотношению J f(z,t)sin(Tz/ Odz = 0 .
0
6. Численное решение смешанной задачи
Нахождение решения f(z,t) смешанной задачи (16),(6),(10) по формуле (15) вызывает большие практические трудности. Поэтому в данной статье предлагается численный метод нахождения решения смешанной задачи.
Пусть достаточно гладкие функции g(0z), g1(z) удовлетворяют условиям (18), причем gi(0) = giH) = 0, i = 0,1. Из теоремы 2 следует, что точное решения f(z,t) смешанной задачи (16),(6),(10) удовлетворяет соотношениям
существует резольвента R(X) є L(X):
R(X)u = X
unsin(nrez/ £)
n=1 у2 + (nn / t)2 + Xep(1 - n2)
2 f
где un = —Ju(z)sin(n^z/^)dz.
£ 0
Отсюда следует, что операторы A,B удовлетворяют ограничению (H). Находим подпространства Y2 = D2 = KerA = {sin(nz/£), Y1 = KerA1, линеал D1 = KerA1 П D , проекторы
2 ^
P2u = —Ju(s)sin(ns/f)ds • sin(nz/1), P1 = I - P2 ,(17) 1 0
Qi = P; (i = 1,2 ) и операторы
Gu = єр(П / :rc)2u''+u) + (1 + y2)uj sin( nz/1),
G 1u = u1 2 sin(rcz/ £) + £ ---un _ sin(nrcz/ £)
1 + y2 n=2 sp(1 - n2)
QjBG_1u = £ (ДЛ/Є) +2y2 unsin(mz/£). n=2 SP(1 - n2)
Здесь I — единичный оператор, область определе-
о
ния оператора G есть Dg = W^ .
Из теоремы 1 следует теорема существования и единственности решения f(z,t) смешанной задачи (16), (6), (10).
о
Теорема 2. Для любых функций g0(z),g1(z) є W2 таких и только таких, что выполнены условия
f(z,t) = P1f(z,t), Pf(z,t) = 0 .
Для нахождения численного решения смешанной задачи (16),(6),(10) применим метод сеток или конечных разностей [3,4]. Зададим сеточную область: {(zi,tj)} , z; = ih (i = 0,1,...,n ), tj = G + Д (j = 0,1,...,m). Шаг h по z связан с шагом т по t соотношением т = rh, где r — некоторая константа. Обозначим через f(h) сеточную функцию, определенную в точках сетки (zptj) и принимающую значения fl. Производные в (16) и во втором соотношении в (10) заменим конечными разностями. Тогда в сеточной области уравнение (16) аппроксимируется разностным уравнением
(£/^f1 + [h2 - 2П/л)2]^-1 + (£/л)2^1 -
- [2(£ / п)2 +т2 /(ep)]fij_1 +
+ [4(і /п)2 - 2h2 + 2т2 /(ер) + y2h2x2 /(epf -- [2(£ / п)2 +T2/(ep)]fj_1 + (£ / ^f1 + (19)
+ [h2 - 2(£/л)2]^+1 + (£/^)2fij;b11 = 0, i = 1,...,n -1, j = 1,...,m -1,
где
f0 = fil = 0, fi0 = g0(zi), f1 = g0(zi) + ^g1(ziX (20) i = 1,...,n-1, j = 0,...,m. ( )
При достаточной гладкости функции f(z,t) порядок аппроксимации будет O(x2 + h2). В [4, c. 125-128] была построена разностная схема, которая аппроксимирует уравнение типа С.Л. Соболева в двумерной области пространственных переменных x,y :
д2u д2 Г д2u sV Sx2 St2 ^Sx2 Sy2 y
= 0.
(21)
18
РИ, 2005, № 1
В отличие от разностной схемы из [4], отвечающей уравнению (21), разностная схема (19) не является устойчивой и поэтому ее нельзя применять для нахождения численного решения fl. Неустойчивость схемы (19) вызвана следующими причинами. Во-первых, уравнение (16), в отличие от (21), будучи записано в абстрактной форме (11), является вырожденным. Во-вторых, из-за вырожденнос-ти уравнения (16) на каждом слое t = tj точное решение f(z,tj) принадлежит линеалу Dj, который не совпадает с линеалом D . Поэтому P2f(z,tj) = 0 . Численное решение fl, вообще говоря, этим свойством не обладает. Учитывая сказанное выше, изменим разностную схему (19) и укажем метод нахождения численного решения f(h) = (fi } смешанной задачи (16),(6),(10).
Перепишем (19) в векторно-матричной форме. Введем в рассмотрение решение разностного уравнения (19) на j -м слое fj = (f1J,...,fJ_1)tr. Обозначим через Л,Aj симметричные якобиевы матрицы размеров (n -1) х (n -1), у которых все элементы, не принадлежащие главной диагонали, первой надди-агонали и первой поддиагонали, равны нулю; элементы главной диагонали матрицы л равны h2 - 2(1 / л)2 , а элементы первой наддиагонали и первой поддиагонали равны (£ / л)2 ; элементы главной диагонали матрицы Aj равны
2h2 - 2т2 /(єр) - y2h2x2 /(єр) - 4(£/ л)2 , а элементы первой наддиагонали и первой поддиагонали равны
2(£/л)2 +т2/(єр). Матрица л обратима. В этих обозначениях соотношения (19),(20) дают
Afj+1 = A1fj-Af-i-1, j = 1,...,m-1, откуда fj+1 = A_1A1fj - fj_1, j = 1,...,m -1. (22)
В рассмотрение введем разностные проекторы p(h),p(h), которые являются приближенными значениями проекторов P1,P2 (17). Разностные проекторы p(h),P2(h) = (Pij} есть матрицы размеров (n -1) х (n -1); коэффициенты pij определяются согласно численному методу вычисления интеграла в (17), P(h) = I - P2h , где I — единичная матрица соответствующего размера. Например, если в качестве численного метода интегрирования выбрать
метод Симпсона, то когда j - четное, и pij =
4h
pij = "37 sin( Л2і/ ^)sin( KZj/ ^)
8h
—sin^zi / £)sin(rczj /1), ког-
да j - нечетное. Если u = (u(z1),_,u(zn_1))tr, то P^h)u дает приближенные значения функции (P2u)(z) (17) в точках zb...,zn_1. Как было отмечено выше, точное решение f(z,t) обладает тем свойством, что P2f(z,t) = 0 и, в частности, на j -м слое P2f (z,tj) = 0 . Однако численное решение fj, найденное по формулам (22), этим свойством не обладает: P^h)fj ф 0 . Поэтому для вектора fj нужно
сделать поправку, которая “возвращает его в линеал D1 ”. Вместо векторов fj будем находить векторы fj: fj+1 = P1(h)A“1A1fj - fj_1, j = 1,...,m -1.
Для различных начальных функций g0(z),g1(z) из (10), которые удовлетворяют условиям (18), различных параметров среды є, р и различных собственных чисел у2 задачи Неймана в области S (7) найдены численные решения f(h) смешанной задачи (16),(6),(10). Графики функций f(h) представлены на пне. 2-4.
15 10
ъ
ч- 0
5
-10
-15
Рис. 2. Численное решение f(h) смешанной задачи (16),(6),(10) при g0(z) = sin(4z) , g1 (z) = sin(2z), є = 1.5 , p = 1.5 , у2 = 2
1 У-f ' У
Рис.3. Численное решение f(h) смешанной задачи (16),(6),(10) при g0(z) = sin(8z), g1 (z) = 0 , є = 1.3 , P = 1.5 , у2 = 1
г-, ' з
t 00 z
Рис.4. Численное решение f(h) смешанной задачи (16),(6),(10) при g0(z) = 0 , g1 (z) = sin(5z) - sin(2z),
є = 1.5 , Ц = 1.3 , у2 = 1
РИ, 2005, № 1
19
7. Выводы
Описана математическая модель эволюции электромагнитного поля в конечном волноводе со слоистой дисперсной средой. Для описания электромагнитного поля необходимо находить решения уравнения в частных производных не типа Коши-Ковалевской. Это уравнение не является разрешаемым относительно старшей производной по времени, что существенно усложняет исследование модели. Установлена новая теорема существования и единственности решения начально-краевой задачи для уравнения не типа Коши-Ковалевской. Результаты статьи могут найти практическое применение при исследовании электромагнитных полей в волноводах. Для практического применения результатов данной статьи разработан новый численный метод нахождения решения смешанной задачи для уравнения не типа Коши-Ковалевской.
Литература: 1. Руткас А.Г. Модовые поля в волноводе со слоистой диспергирующей средой. Харьков: Препринт N 360, АН УССР. Ин-т радиофизики и электроники, 1987. 34c. 2. Rutkas A.G., Vlasenko L.A. Implicit operator differential equations and applications to electrodynamics // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2000. Vol. 23, N 1. P. 1-15. 3. Годунов C.K, Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. 440 с. 4. Рябенький В.С., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. 171 с. 5. Ландау Л.Д., Лившиц Е.Л. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматгиз, 1959. 532 с. 6. Левин В.Г. Курс
теоретической физики. Т.1. М. : Наука, 1969. 910 с. 7. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука,1970. 536 с. 8. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с. 9. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977. 504 с. 10. Соболев С.Л. Об одной задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1954. Т. 18, N 1. C. 3-50. 11. Гальперн С.А. Задача Коши для системы линейных уравнений с частными производными // Докл. АН СССР. 1958. N 4. C. 640-643. 12. Костюченко А Г, Эскин Г.И. Задача Коши для уравнений Соболева-Гальперна // Труды Московского математического общества. 1961. Т. 10. С. 273-284. 13. Власенко Л.А., Руткас А.Г. Разрешимость и полнота для электродинамической системы не типа Ковалевской // Математические заметки. 1993. Т. 53. Вып. 1. С.138-141. 14. Rutkas A.G., Vlasenko L.A. Existence, uniqueness and continuous dependence for implicit semilinear functional differential equations // Nonlinear Analysis. TMA. 2003. V. 55, N 12. P. 125-139.
Поступила в редколлегию 31.01.2005
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Руткас А.Г.
Власенко Лариса Андреевна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры моделирования и мат. обеспечения ЭВМ Харьковского национального университета им. В.Н.Каразина. Научные интересы: моделирование, дифференциальные уравнения. Адрес: Украина, 61001, Харьков, ул. Плехановская, 2/5, кв. 29, дом. тел.: (057) 732-28-35.
УДК 621.317
КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ПОСТОЯНСТВА ВЫБОРОК ДЛЯ АЛГОРИТМОВ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ В ЦИФРОВЫХ ОСЦИЛЛОГРАФАХ
БАРАНОВ Н.Г., КЛЮЧНИКИ.И.,
ЛОДЫГИН М.А._________________________
Приводятся результаты сопоставительного анализа критериев оценки выборок визуализируемых сигналов. Показывается, что по совокупности параметров наиболее оптимальным является критерий, предложенный авторами.
Введение. Ранее [1] был предложен способ определения постоянства получаемых выборок аналогово -го сигнала на основе расчёта так называемого критерия С. Этот критерий предназначен для быстрого сравнения получаемых выборок и определения степени их идентичности, при этом сравнение текущей и предыдущей выборок производится таким образом, что появление результата обеспечивается в момент получения последней выборки. Актуальной является проблема сопоставимости данного критерия с уже используемыми аналогичными критериями и в первую очередь с наиболее близкими и широко используемыми в технике.
Целью проведённых исследований является обоснование выбора наиболее перспективного в алгоритмах обработки сигналов цифровых осциллографов критерия оценки постоянства выборок сигналов на основе сопоставительного анализа критериев, используемых по указанному назначению.
Задачи настоящей работы: нахождение наиболее близкого критерия-аналога, проведение их сравнительного анализа, определение преимуществ предложенного критерия над аналогом применительно к обработке аналоговых сигналов.
Суть исследования. Процесс сравнения выборок сигнала, производимый с использованием критерия С, имеет много общего с задачей статистического контроля качества [2], решаемой для проверки возмущения в ходе некоторого процесса. В этих случаях, как правило, используется ряд статистических критериев, с помощью которых проверяются гипотезы о постоянстве дисперсий контролируемого показателя или гипотезы о равенстве этого показателя номинальному значению. При условии, что размер всех выборок одинаков, применяется критерий Кохрена [3]. Поэтому именно он представляется наиболее близким к критерию С.
Используя критерий Кохрена, т.е. производя проверку гипотез о равенстве соответствующих значений предыдущей и текущей выборок, можно анализировать выборки, поступающие из АЦП . В результате анализа проверяемой и конкурирующей гипотез на
20
РИ, 2005, № 1
