О задаче слияния случайных потоков сигналов Текст научной статьи по специальности «Математика»

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЖАРОВ

А. А. Таранцев

д-р техн. наук, профессор, заслуженный работник высшей школы РФ, профессор Санкт-Петербургского университета ГПС МЧС РФ, г. Санкт-Петербург, Россия

А. А. Холостов

докторант, канд. техн. наук, доцент Академии ГПС МЧС России, г. Москва, Россия

УДК 614.841

О ЗАДАЧЕ СЛИЯНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПОТОКОВ СИГНАЛОВ

На основе компьютерного моделирования процесса слияния пуассоновского (экспоненциального) потока сигналов с интервальным и регулярным потоками получены и обобщены основные характеристики суммарного потока. Ключевые слова: моделирование; потоки сигналов (сообщений, вызовов).

Введение

Функционирование сложных систем, связанных с информационными потоками (диспетчерские службы, автоматизированные системы пожа-ровзрывобезопасности, системы комплексной безопасности [1,2] и др.), требует изучения закономерностей во взаимодействии таких потоков [3]. При этом одной из характерных задач является исследование процесса слияния случайных потоков сигналов (сообщений, вызовов) с образованием суммарного потока, поступающего в единый узел обработки [4]. Типичными потоками сигналов во многих случаях являются пуассоновские (например, для пожарной охраны [5]), хотя имеют место и другие виды потоков—регулярные, эрланговские [6] и др.

Проблема

Задача построения результирующего закона плотности распределения Ф0(г) промежутков времени t между моментами поступления сигналов в суммарном потоке, полученном при слиянии двух потоков с законами плотности распределения промежутков времени между сигналами соответственно Ф^О и Ф2(г), является достаточно сложной с точки зрения применения аналитических методов.

Аналитическая зависимость результирующего закона ф0(0 получена для простейших (стационарных, пуассоновских) потоков, для которых плотность распределения времени между поступлением сигналов имеет вид:

Ф. (г) = Хе^, (1)

где X. — параметр (частота поступления сигналов) .-го потока.

© Таранцев А. А., Холостое А. Л., 2011

Тогда величина ф0(г) принимает вид [6]:

Фо(г) = Ле, (2)

где Л — обобщенный параметр суммарного потока;

Л = X + Х2 + ... + Хп;

п — число сливающихся потоков.

Задача слияния простейшего потока с потоками Пальма представляет значительный интерес. Например, в случае, когда в диспетчерский пункт экстренной службы поступает как простейший поток с частотой Х1, так и регулярный поток или поток сигналов, время между которыми распределено равномерно в промежутке от а до Ь.

При слиянии потоков Пальма имеет место соотношение

г о1 = ¿Г1 + г 21 +... + С, (3)

где — средний интервал времени между сигналами в г-м потоке (г е [1, п]).

Применительно к простейшим потокам, когда = X, результирующий закон принимает вид, описываемый выражением (2).

В общем же случае для получения результирующего закона ф0(г) можно использовать методы имитационного моделирования [7, 8].

Моделирование узла суммирования случайных потоков

Для решения данной проблемы была создана специальная компьютерная программа, моделирующая на основе метода Монте-Карло [7, 8] узел суммирования экспоненциального и интервального потоков, в котором образуется результирующий случайный поток с плотностью распределения ф0(г) случайных

0869-7493 ПОЖАРОВЗРЫВОБЕЗОПАСНаСТЬ 2011 ТОМ 20 №4

17

промежутков времени между сигналами от обоих потоков.

Было проведено тестирование программы и определен необходимый объем выборки числа сигналов в потоках. Результаты тестирования позволяют утверждать, что точность получаемых данных фактически определяется точностью используемых датчиков случайных чисел СУЯЗЯ и СУЯЗиЯ [9], используемых в программе.

При компьютерном моделировании слияния экспоненциального и интервального потоков (рис. 1) с использованием разработанной программы результирующие законы в виде плотности распределения Фо(0 получали в виде гистограмм (рис. 2), что не мешало находить основные закономерности. В частности, в ходе тестирования программы было также смоделировано слияние двух вариантов указанных потоков, плотности которых ф1(?) и ф2(?) отличались лишь пропорциями, и получены соответствующие результирующие законы с плотностями ф0(?) (см. рис. 2), которые имели аналогичные пропорции. Это позволило широко использовать нормировку относительно интенсивности X, перейти благодаря этому от абсолютных значений параметров законов к приведенным (нормированным) и тем самым снизить трудоемкость исследований.

Результаты моделирования

В ходе серии компьютерных экспериментов исследовалось влияние приведенного математического ожидания потоков (параметр Xt2) и относительной "ширины" интервального потока Д2/12 (Д2 = Ь - а; t2 = (Ь + а)/2) на вид результирующего закона ф0(?). На рис. 3 представлены полученные результирующие законы при различных соотношениях Д2/t2 (показаны штрих-пунктиром), а на рис. 4 — при различных значениях параметра Xt2 (слияние экспоненциального и регулярного потоков, величина Xt2 показана штрих-пунктиром). В результате выявлен общий характер результирующего закона (рис. 5) и установлено, что он имеет выраженную правую границу, совпадающую с правой границей Ь интервального потока (см. рис. 5, а) или периодом ^ следования сигналов в регулярном потоке (см. рис. 5, б).

Поскольку результирующие плотности распределения ф0(?) получались в виде гистограмм, что не всегда удобно для анализа, было решено перейти к обобщенным характеристикам — приведенному математическому ожиданию Xt0 и коэффициентам вариации Ку, асимметрии А и эксцесса Ех [6]. Это позволило представить результаты моделирования в виде обобщающих зависимостей (рис. 6). Из полу-

Рис. 2. Результирующие плотности распределения (в виде гистограмм) промежутков времени между сигналами в суммарном потоке: 1 — X = 1; а = 0; Ь = 1; 2 — X = 0,5; а = 0; Ь = 2

Рис. 3. Результирующие плотности распределения при слиянии экспоненциального потока с интервальными (а, б) и регулярным (в) потоками: а — X = 1; а = 0; Ь = 2; б — X = 1; а = 0,5; Ь = 1,5; в — X = 1; а = Ь = 1

18

0869-7493 ПОЖАРОВЗРЫВОБЕЗОПАСНаСТЬ 2011 ТОМ 20 №4

ф

1,5 1,0 0,5

О Ф

1,0

0,5

О Ф 1,0

0,5 О

а

—Фо

е* /

1 --!—

0,5

1,0 Хг

б

Фо

— --

0,5

Фо

1,0

Хг

-XI

0,5

1,0

1,5

2,0 Хг

Рис. 4. Результирующие плотности распределения при слиянии экспоненциального и регулярного потоков: а — X = 1; а = Ь = 0,5; б—X = 1; а = Ь = 1; в — X = 1; а = Ь = 2

„-Ул

\ '"Л \ Фо ч \ / \ \ / ч X ч \ ч \ 1 6 е~х<

Рис. 5. Характерный вид результирующих плотностей распределения при слиянии экспоненциального потока с интервальным (а) и регулярным (б) потоками

ченных результатов, в частности, следует, что приведенное математическое ожидание результирующего закона не зависит от относительной ширины интервального потока, а определяется только параметром Хх2 (см. рис. 6, а). При этом может быть использовано аппроксимирующее выражение

х о = г 2/(1 + Хх 2), (4)

отражающее эффект суммирования интенсивно-стей при слиянии потоков.

Ех 6

Д^:

■о- 0

-о- 1

-А- 2

0,1 N \ А 10 юэ

Хг2

- 1,2

Рис. 6. Основные характеристики результирующих законов в зависимости от соотношения математических ожиданий суммируемых потоков (параметра Хг2) при различных значениях приведенного интервала Д2/г2: а — приведенное математическое ожидание; б, в, г — коэффициенты вариации, асимметрии и эксцесса соответственно

0869-7493 ООЖАРОВЗРЫВОБЕЗООАСООСТЬ 2011 ТОМ 20 №4

19

Коэффициенты же вариации, асимметрии и эксцесса суммарного потока зависят как от параметра Xt2, так и от соотношения Д2/^ (см. рис. 6, б-г), но из анализа всех характеристик следует, что при больших значениях параметра Xt2 (более 10) проявляется эффект поглощения интервального потока экспоненциальным, поскольку сигналы интервального потока перестают быть статистически различимыми на фоне более частых сигналов экспоненциального потока, т. е. t0 ^ X, Ку ^ 1, Ля ^ 2, Ех ^ 6. Наоборот, при малых значениях параметра Xt2 (менее 0,1) и Д2 > 0 проявляется эффект поглощения экспоненциального потока интервальным согласно (4), т. е. t0 ^ Ля ^ 0, Ех ^ -1,2. Коэффициент вариации результирующего закона при этих условиях стремится к отношению

Kv ^

- a

43(Ь + а)

что соответствует закону равномерной плотности [6]. Выводы

На основе анализа результатов компьютерного моделирования слияния экспоненциального и интервального потоков можно утверждать следующее:

а) математическое ожидание результирующего потока не зависит от "ширины" интервального потока Д2, а обуславливается только математическими ожиданиями обоих потоков (эффект суммирования интенсивностеи);

б) на коэффициенты вариации, асимметрии и эксцесса результирующего закона ф0(0 влияет соотношение математических ожиданий (параметр Xt2) и относительная "ширина" интервального потока Д2/Ь, что позволяет уйти от использования соответствующих абсолютных значений (правило относительности) и несколько упростить анализ;

в) при значительной разнице в соотношениях математических ожиданий суммируемых потоков

>10 или Xt2 <0,1) проявляется эффект поглощения потока с редким следованием сигналов потоком с более частыми сигналами;

г) правая граница результирующего закона ф0(0 соответствует наименьшей правой границе Ь интервального потока (эффект "отрезания").

Таким образом, становится возможным находить результирующий закон распределения времени между поступлением сигналов, например, в диспетчерские службы для объективной оценки параметров их функционирования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Топольский Н. Г. Основы автоматизированных систем пожаровзрывобезопасности объектов. — М. : МИПБ МВД России, 1997. — 164 с.

2. Топольский Н. Г. Интеллектуальные интегрированные (комплексные) системы безопасности и жизнеобеспечения — от объектов до территорий // Материалы XIII научно-практической конференции "Системы безопасности" (СБ-2004). — М.: Академия ГПС МЧС России, 2004. — С. 8-10.

3. Риордан Дж. Вероятностные системы массового обслуживания. — М. : Связь, 1966.

4. Таранцев А. А. Инженерные методы теории массового обслуживания. — Изд. 2-е перераб. и доп. — Спб : Наука, 2007. — 175 с.

5. Брушлинский Н. Н. Системный анализ деятельности Государственной противопожарной службы. — М. : МИПБ МВД РФ, 1998.

6. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — Изд. 5-е, стереотип. — М. : Высшая школа, 1998.

7. Бусленко Н. П., Голенко Д. И., Соболь И. М. и др. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). — М. : Физматгиз, 1962.

8. Соболь И. М. Метод Монте-Карло. — М. : Наука, 1985.

9. Давидович М. И., Петрович М. Л. Прикладная статистика. Статистическое оценивание // Программное обеспечение ЭВМ. — АН БССР, Ин-т математики, 1987, вып. 4.

Материал поступил в редакцию 20 декабря 2010 г.

Электронные адреса авторов: t_54@mail.ru; holostov@mail.ru.

20

ISSN 0869-7493 ООЖАРООЗРЫООБЕЗООАСНОСТЬ 2011 ТОМ 20 №4