Уравнения равновесия потоков в сетевых моделях на основе математических операций мультиплексирования и демультиплексирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.322.01

Н. Ф. Бахарева УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ПОТОКОВ В СЕТЕВЫХ МОДЕЛЯХ НА ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ МУЛЬТИПЛЕКСИРОВАНИЯ И ДЕМУЛЬТИПЛЕКСИРОВАНИЯ

Аннотация. Рассматривается задача декомпозиции сетевых моделей на отдельные узлы на основе полученных математических моделей мультиплексирования и демультиплексирования потоков. При этом потоки описываются на уровне двух первых моментов распределений времени между событиями в них. Полученные уравнения равновесия потоков позволяют декомпозировать сетевые модели на отдельные узлы и рассчитывать их характеристики. Ключевые слова: характеристики распределения потоков, математические ожидания и дисперсии, математическое мультиплексирование и демультиплексирование потоков, аппроксимация законов распределений и потоков, уравнения равновесия потоков в сетевых моделях.

Abstract. In article is considered the task of decomposition of network models on separate knots on the basis of the received mathematical models of multiplexing and demultiplexing of streams. Thus streams are described at level of the two first moments of allocations of time between events in them. The received equations of balance of streams allow decomposition network models on separate knots and to calculate their characteristics.

Keywords: characteristics: of allocation of streams, population means and dispersions, mathematical multiplexing and demultiplexing of streams, approximating of laws of allocations and streams, the equations of balance of streams network models.

Введение

Для анализа производительности сети, заключающегося в определении всех основных узловых и сетевых характеристик, ее модель прежде должна быть декомпозирована на отдельные узлы с вычислением характеристик входных и выходных потоков в каждом узле. После этого уже могут быть вычислены узловые и сетевые характеристики.

Знание (прогнозирование) характеристик потоков важно также для оптимального или близкого к нему управления ими для ограничения загрузки буферов узлов коммутаций (УК), каналов связи и согласования скоростей передачи и приема информации между узлами «источник - адресат» и т.д.

В настоящее время не существует аналитических методов для точного определения характеристик потоков в сетевых моделях.

1 Постановка задачи и подход к ее решению

Пусть мы имеем открытую сетевую модель с матрицей вероятностей передач P = {p.j}, (i, j = 1, ..., n), где pj - вероятность того, что заявка, покидающая узел Si, поступит в узел Sj. Для начала пусть узел представляет собой одноканальную систему GI/G/1 c бесконечной очередью, для которой определены числовые характеристики случайного времени обслуживания: Хц. - среднее значение; - дисперсия времени обслуживания. Для внеш-

него потока задана совокупность средних значений Хо. и дисперсий Do вре-

мени между соседними заявками рекуррентного потока, входящего в узел Si. В последующем узел может быть представлен как система массового обслуживания (СМО) с конечной очередью с потерями, а также с конечной очередью и без потерь.

Для декомпозиции такой модели на отдельные узлы на уровне средних значений и дисперсий времен поступления и обслуживания заявок не существует точных методов. Во многих случаях, например в [1, 2], пользуются только уравнениями равновесия потоков на уровне их интенсивностей Х,. Такой подход при произвольных потоках в сети массового обслуживания означает описание случайного потока событий только его средним значением, т.е. математическим ожиданием без учета моментов высших порядков. Как известно, случайный процесс на практике чаще всего определяется такими его характеристиками, как математическое ожидание, дисперсия и ковариационная функция. Поэтому учет дисперсий (вторых моментов распределений) интервалов времен существенно может улучшить результаты расчетов. Описание потоков на уровне двух первых моментов распределений интервалов времен означает их аппроксимацию непрерывным диффузионным процессом с соответствующими характеристиками [3, 4].

Для этого рассмотрим структуру отдельного узла с номером г сетевой модели (рис. 1), где А - точка мультиплексирования потоков; В - точка демультиплексирования потока.

из сети

Рис. 1 Структура потоков в г-й СМО сетевой модели

Решением системы уравнений равновесия потоков относительно интенсивностей Х, потоков на входе и выходе каждой СМО сети определяем средние значения интервалов времен между соседними заявками т = Хг71 для каждого потока в сети:

п

Хг =Х0г + £ РрХ], г = 1..., П (1)

} =1

где Хог - интенсивность потока извне в г-й узел (рис. 1).

Для вывода уравнений равновесия потоков относительно дисперсий времен между соседними заявками в потоках предварительно докажем следующие утверждения.

Утверждение 1. Пусть тв^1х, Рвых, - соответственно средние

значения и дисперсии времен между заявками в выходном потоке из СМО

G^/G/1/да и обслуживания. Тогда справедливы следующие аналитические выражения для определения т^ьк, Явых :

^вых = Т|1 + р0тХ ; (2)

Аых = ^ + р0 яХ + р0 (1 - р0 ^)2, (3)

где р0 - вероятность того, что обслуженная заявка оставляет СМО пустой;

/ 1 \ / /

Тх и и'Х - среднее значение и дисперсия остаточного времени Тх , в течение

которого СМО ожидает поступления непосредственно следующей заявки, т.е. времени простоя СМО.

Рассмотрим моменты времени t\ ухода очередной заявки из СМО и ^ -ухода непосредственно следующей за ней заявки. Случайная величина Д = t2 - ^ существенно зависит от состояния СМО в момент ухода очередной заявки. Если в момент времени ^ СМО окажется занятой, то величина Д будет равна времени обслуживания т^ непосредственно следующей заявки.

Если же в момент времени ^ СМО окажется пустой, то величина Д будет равна сумме времени обслуживания т^ и остаточного времени тХ. Тогда

можем записать следующие выражения для случайной величины Д и ее

квадрата Д по аналогии с законом распределения вероятностей:

д I т^ свероятностью 1 - р0,

I ( + т^ | с вероятностью р0 ;

2 1 '

д2 I т^ с вероятностью 1 - р0 ,

( + т^ ) с вероятностью р0 .

Отсюда, переходя к математическому ожиданию и дисперсии величины Д и учитывая, что М(твых) = М(Д) и £>вых = М(Д2) - [М(Д)]2, после преобразований получим формулы (2) и (3). Утверждение 1 доказано.

Утверждение 2. Пусть мы имеем точку мультиплексирования потоков (т. А на рис. 1 или рис. 2), где сходятся два независимых потока заявок с параметрами: т = 1/ Х, (г = 1, 2) - среднее время между соседними заявками в потоке г; Ят, - дисперсия этого же времени. Тогда среднее значение и дисперсия времени в суммарном потоке между соседними заявками будут равны:

Те = Т1 V (1 + Т2); (4)

Ях,=(Х1/ Х2)3 ^ +(Х 2/ Х2)3 ЯТ2. (5)

Пусть Щ?) означает число событий за время t. Тогда среднее значение потока Щ^): N = t/ т, где т - среднее время между событиями в потоке N(0.

Аппроксимируем дискретный поток ЩУ) непрерывным диффузионным процессом х(У). Процесс х(У) при больших У будет гауссовской случайной величи______________________________ _3

ной со средним значением У/ т и дисперсией Ат • У/ т [1]. Тогда сумма двух

независимых потоков N^ (у) = N1 (у) + N2 (у) также будет гауссовской слу-

_ _ _ _ 3

чайной величиной со средним У / т2= У / т + У / Т2 и дисперсией Ат2 • У/ т2 =

_3 _3

= Ят1 • У / т + Ят2 • У / Т2 . Отсюда можно записать следующие равенства: 1/ "% = 1/ Т| + 1/ Т2 - для среднего времени между соседними событиями

_3 _______3 \ _3

(т1 / Т1 + Ят2 / Т2 I • т2 - для дисперсии того же

времени. Из последних равенств следует справедливость выражений (4) и (5). Таким образом, эти равенства получены на основе диффузионного приближения дискретных процессов на уровне двух первых моментов распределений интервалов времен. Утверждение 2 доказано.

(ч А,)

(ч А3)

Рис. 2 Мультиплексирование (агрегирование) потоков

Замечание 1. На основании результатов утверждения 2 легко доказывается справедливость утверждения о том, что сумма нескольких пуассонов-ских потоков дает снова пуассоновский поток.

Замечание 2. Допустимость принятого диффузионного приближения можно обосновать следующим образом. Теория сетей массового обслуживания основывается на двух основных допущениях:

1) статистическая независимость потоков в сети МО;

2) рекуррентность входных в СМО потоков.

Заметим, что формула (4) точная для любых независимых потоков, а формула (5) - лишь приближенная вследствие допущения рекуррентности агрегированного потока.

Для проверки справедливости выражений (4) и (5) применялось имитационное моделирование, результаты которого приведены в табл. 1. Заявки генерировались по экспоненциальному, равномерному, нормальному и ги-перэкспоненциальному законам распределений времени между заявками (число испытаний 10000). Результаты моделирования показывают, что формула (4) справедлива для любых законов распределений потоков, а формула (5) точна только для экспоненциального закона распределения. При этом, если коэффициенты вариаций потоков меньше 1, то формула (5) занижает дисперсию агрегированного потока. В случае, когда коэффициенты вариаций больше 1, формула (5) обеспечивает хорошие результаты. Это можно объяснить тем, что гиперэкспоненциальное распределение есть средневзвешенное экспоненциальных.

А

Таблица 1

— /—* V т1 S21 Т2/ Т2 Dt2/S22 — /—* тх ' Tz Dx / ^

Законы распределения - равномерные (0:1)

0,5/0,499 0,083/0,083 0,5/0,50 0,083/0,083 0,25/0,250 0,021/0,037

Законы распределения - равномерный (0:1) и экспоненциальный с параметром X = 2

0,5/0,499 0,083/0,084 0,5/0,497 0,25/0,247 0,25/0,248 0,042/0,046

Законы распределения - экспоненциальные с А = 2

0,5/0,50 0,25/0,251 0,5/0,499 0,25/0,249 0,25/0,253 0,0625/0,0628

Законы распределения - гиперэкспоненциальные с функцией плотности /(t) = (2р2 /т )exp{-2pt/т) + [2(1 -p)2/x]exp{-2(1 -p) t/т), гдеp = 0,8873, т = 1,0

1,0/1,023 4,0/4,026 1,0/1,011 4,0/4,012 0,5/0,502 1,0/1,013

Законы распределения - гиперэкспоненциальные с функцией плотности /(г) = (2р2/т )ехр{-2рг /т} + [2(1 -р)2/т]ехр{-2(1 -р) г/т} , гдер = 0,9472, т = 1,0

1,0/0,994 9,0/8,918 1,0/1,014 9,0/9,442 0,5/0,496 2,25/2,351

Примечание. Здесь и в остальных таблицах через т и Д. обозначены теоре-

—* г-,2

тические моменты, а через т и - соответствующие статистические оценки.

Утверждение 3. Пусть мы имеем точку демультиплексирования потока (т. В на рис. 1), в которой заявки с вероятностью р уходят из потока (просеянный поток 2 на рис. 3). Назовем эту операцию с потоком р-преобразова-

нием. Тогда среднее значение и дисперсия времени между соседними событиями в просеянном потоке будут равны:

Тр = т / р; (6)

Бтр = Д / Р + Т2 (1 - р)/р2. (7)

Рис. 3 Демультиплексирование потока (р-преобразование потока)

Представим поток событий с параметрами ( т, Дт), где т, Дт - среднее значение и дисперсия времени между соседними событиями, как последовательность случайных точек {г} на оси времени 0г. Случайные интервалы времени между ними обозначим соответственно через Т1, Т2, Т3,... При разрежении потока 1 случайный интервал времени в потоке (2 - Тр) равен: Т - с вероятностью р; (т + Т2) - с вероятностью рд; (Т1 + Т2 + Т3) - с вероятностью рд2 и т.д. Запишем выражение для величины Тр следующим образом:

т р =

т с вероятностью р,

(Т1 + Т2) с вероятностью pq,

(Т1 + Т2 + Т3) с вероятностью pq2, (Т1 + Т2 + ... + Ту ) с вероятностьюр$

і-1

Здесь вероятность q = 1 - р. Заметим, что р-преобразование потока является случайным его разрежением, в отличие от детерминированного просеивания при получении потока Эрланга из простейшего потока.

Определим математическое ожидание величины тр с учетом того факта,

2 2

что поток рекуррентный, т.е. М(т) = М(т), М(тг-) = М(т ):

^ у

М(тр) = М(т) • р2 і • аі-1 = рМ(т)—(

2 3

+ а + а +.

= рМ (т)—

1 -<

= рМ (т) •

(1 - а)2

■ = М (т)/ р.

Для определения дисперсии вычислим второй начальный момент

М (тр):

М( тр ) = р 2 Г к • М (т2) + (к2 - к) • (М (т))2

к=1

к -1

=р • ^ к • £т + к2 • (М (т) )2

к=1Г

„к -1

= р • £т 2 к • ак-1 + р •(М (т) )2 2 к2 к=1 к =1

„к -1

= Я/р + (1+q)'(м(т)) /р2.

2

Из полученных равенств для М(т ) и М(тр) следует справедливость

выражений (6) и (7). Утверждение 3 доказано.

Следствие. Полученное из формулы (7) выражение для квадрата коэф-

2 2

фициента вариации просеянного потока Ср = р' с + q позволяет судить о

характере распределения этого потока. Как видно из последнего выражения, разрежение (р-преобразование) исходного потока существенно влияет на его закон распределения. При этом для пуассоновского потока его свойство сохраняется.

Замечание. Для проверки справедливости выражений (6) и (7) также использовалось имитационное моделирование. Заявки генерировались по экспоненциальному, равномерному и нормальному законам распределений времени между заявками (число испытаний 10000). Результаты имитационно-

го моделирования, приведенные в табл. 2, полностью подтверждают справедливость утверждения 3 для любых законов распределений.

Таблица 2

Закон распределения - экспоненциальный с параметром Х = 2; р = 0,2; q = 0,8

т / т* _ /_* тр / тр _ /_* тq / тq ст

0,5/0,498 0,25/0,249 2,5/2,491 6,25/6,121 0,625/0,622 0,39/0,389

Закон распределения - экспоненциальный с параметром Х = 0,5; р = 0,2; q = 0,8

2,0/2,01 4,0/4,01 10,0/9,96 100,0/99,33 2,5/2,51 6,25/6,308

Закон расп ределения - равномерный с параметрами а = 1, Ь = 3; р = 0,2; q = 0,8

2,0/2,001 0,333/0,333 10,0/9,99 81,666/84,23 2,5/2,51 1,666/1,703

Закон распределения - нормальный с параметрами тт = 2, ат = 0,5; р = 0,2; q = 0,8

2,0/1,993 0,25/0,249 10,0/9,98 80,25/80,59 2,5/2,497 38,75/38,26

Утверждение 2 наталкивает на необходимость корректировки формулы (5) в сторону повышения ее точности.

2 Повышение точности математической модели мультиплексирования потоков

В работе [5] без вывода приведено выражение для функции распределения интервала времени т2 результирующего потока при мультиплексировании двух потоков с интенсивностями и ^2 :

^ (') = 1 “ I Р!Т (° 1Р2Т Ши + Е2Т (*) IР1Т (и^ Г , (8)

Х1 -Х

^ (Г) = 1 “

. Т

где ¥/ (г) = 1 “ ^/■ (г), (/ = 1, 2), а ^}(г) - функция распределения интервалов

времени между событиями в потоке/.

Используя выражение (8), определим функцию плотности для результирующего потока для последующего вычисления первых двух моментов его распределения. Введем обозначения:

га га

&1 (0 = I [1 “ Р1 (и)] Ли , g2 (г) = I [1 “ ^2 (и)]ёи .

г г

Заметим, что gl(0) = % g2(0) = Т2 , т е. эти функции в т. 0 равны соответствующим средним значениям интервалов времен в потоках. Несложно показать, что тогда функция плотности

Л (г) = ^ (г) =-Мм^(г) - g2(^)]'.

Х1 + Х 2

Математическое ожидание, т.е. среднее значение интервала между событиями в результирующем потоке:

га га

= |г Л (г)Ж = . 1 2 |г[gl(г)g2 (г)]" ёг =

Лі Л

!А2

Лі +^2

*(&і(0 • &2(0) 0 - |[&(0&2(0] Ж

Здесь первое слагаемое в правой части равно нулю при определенных ограничениях на функции распределения ^}(г), а именно для функции из семейства экспоненциальных распределений. Тогда

х! =-

Лі +^2

Лі + Л 2

хі • т2 -

і

Лі + Л 2 Л!

-± (9)

что полностью подтверждает справедливость формулы (8).

Формула (9) совпадает с аналогичной формулой (4).

Определим теперь второй начальный момент распределения интервала Т2 для вычисления дисперсии этой случайной величины:

Лі + Л 2

Лі + Л 2

Ы*) • &2(0] І0 -21* •[Ы) • &2(*)Г Ж* |•

Первое слагаемое в правой части последнего выражения при тех же ограничениях на функции /) опять будет равно нулю. Тогда, вычисляя второй интеграл по частям, получим

М(т|) - -2

Лі + Л 2

• (^і(*) • &2(*) ) |0 -1 &!(*) • &2 (*М*

Здесь первое слагаемое снова равно нулю. Тогда окончательно имеем

М(х|) - 2

Лі +Л 2

| яі(*) • &2 (*) ж;

(іо)

дисперсия времени между событиями в результирующем потоке:

Б(хд - М(х!) -

і

(Лі +Л 2)

2 •

(іі)

Под интегралом в выражении (10) стоит произведение двух функций, и, таким образом, в общем случае дисперсию величины т2 - интервала времени между событиями результирующего потока - нельзя будет выразить в виде элементарной функции от дисперсий и математических ожиданий составляющих (кроме случая пуассоновских потоков). Этот интеграл можно вычислить только при конкретных выражениях функций распределений -?/(г). Тогда остается единственно возможный путь для вычисления этого интеграла через элементарные функции - это аппроксимация функций gi (г) ( = 1, 2) на уровне двух первых моментов распределений интервалов времени.

оо

оо

Рассмотрим конкретные примеры распределений. В качестве первого примера возьмем два экспоненциально распределенных потока с параметрами: ^1(г) = 1 - , ^2(г) = 1- . Тогда по формуле (10) получим

2 2

М(х2) = 2/ —1 +Х2) , следовательно, дисперсия £>х^ величины х2 -

2

£>х^ = 1/(А^ + ^2) , что полностью совпадает с выражением (5), если туда

2

вместо дисперсий подставить их значения 1/ \ . Это означает, что при

мультиплексировании потоков, распределенных по экспоненциальному закону, снова получается пуассоновский поток.

В качестве следующего примера рассмотрим два независимых потока событий, распределенных по равномерному закону на интервале (0;1). Тогда дисперсия величины х2 по формуле (11) равна

2 • 2 г

^ = 2--------Г

Т£ 2 + 2 ■>

0

1 1

Г (1 - и )Ли Г (1 - и )Ли

г г

V2

1

(г -1)4

= 2 Г(' ^ Лг -1/16 = 1/10 -1/16 = 3/80.

^ 4

0

Формула же (5) в этом случае дает результат 1/48, следовательно, она занижает (как было сказано выше) дисперсию результирующего потока в случае, когда его составляющие имеют коэффициент вариации меньше единицы. Также показывается, что в том случае, когда коэффициенты вариаций с^] составляющих результирующего потока больше единицы, формула (5)

будет давать хорошие результаты (см. табл. 1). Следовательно, функции распределения р](г) необходимо аппроксимировать отдельно при с^ j < 1 и

сХ j > 1

3 Определение параметров аппроксимирующих функций распределений

Как известно из теории массового обслуживания, такими функциями распределения в первом случае является гипоэкспоненциальное распределение, а во втором - гиперэкспоненциальное.

Функция распределения в первом случае:

*

Р (г) =

°,г £1„,

г / \ / 1 (12)

1 - ехр{-(г-X л ) j 2|,г >х л,

во втором случае:

р] (г) = 1 - р}ехр( - 2р]г/тл) - (1 - рл )ехр [-2(1 - рл)г/ тл ] . (13)

Теперь возникает задача выбора параметров распределений (12) и (13). Для этого определим функции g ] (г), подставив в их выражения (12) в случае

с% л ^ и] 1 2:

Iх /1 +х /2 — *,1 -х /Ь

8/ (0 = 1 (14)

7 [х/2 • ехр{-(^ — X/1) /X/2 }, ^ > х,1.

В случае / > 1 в выражение для функции ,/) подставим (13).

Если же один поток будет иметь коэффициент вариации меньше единицы, а другой - больше единицы, то функции (^), очевидно, будут скомбинированы из выражений (12) и (13). Параметры искомых аппроксимирующих функций распределений (12) и (13) подберем, используя метод моментов, приравняв первые два момента данных распределений. Математическое ожидание случайной величины, распределенной по закону (12), равно

ху =

| Ґ • ехр{-(ґ -Xуі)/Xу2}/ху2 •<

— • ехр{ — — Xуі)/Ху2 } + | ехр{-(ґ — Xуі) /Ху2}-

= хуі + ху 2-

Аналогично найдем дисперсию распределения (12):

я*. =х? 2 (/=1,2).

Используя метод моментов, запишем:

х/1 +х / 2 =х/ , х 2 = Ох,..

Отсюда параметры функции распределения (12) равны х ,1 = х, - ЮГ , х, 2 = О,

/1 “ 7 V^хг ^2~^”х

Аналогично те же операции проделаем с функцией распределения (12). В этом случае функция плотности такова:

г* (#) = 2р1/ \ 2Р/* 1 , 2(1 — Р/)2 \ 2(1 — Р/)(1

Ч ' 1

ху 1 ху I ху 1 ху

Математическое ожидание случайной величины, распределенной по х/ =х /.

этому закону, равно х* =х /. Дисперсию этой величины найдем, дважды

Г 2 *

проинтегрировав по частям интеграл 11 //■ (()& :

0

Б*. =х^ [1/ 2 Р/ +1/2(1 — р/)] -х^2. (16)

Вероятность р подберем из уравнения (16) с учетом того, что х/ = X/, / = 1, 2. Тогда

х Л

х л

оо

(17)

Таким образом, параметры функций распределений Ґ* (ґ), аппрокси-

мирующих законы распределений ^/'(0, составляющих результирующего потока, полностью определены для с^/ -1 и с^/ > 1. Тогда, подставив функции

8/ (0 (/ = 1, 2) с однозначно определенными их параметрами в выражения

(10), (11) после вычисления всех интегралов, можем определить дисперсию интервала времени мультиплексированного потока. Такой путь является единственным для определения более точного значения этой дисперсии. Действия по вычислению интегралов здесь опущены вследствие ограниченного объема статьи. Они отчетливо видны на схеме алгоритма программы на рис. 4.

Возвращаясь к структуре узла сетевой модели, приведенной на рис. 1, по аналогии с уравнениями равновесия потоков на уровне их средних значений (1), можем теперь записать уравнения равновесия относительно их дисперсий:

Здесь (П/—1 * П/) означает попарное мультиплексирование выходных потоков от (/ — 1) -го и /-го узлов, поступающих на вход /-го узла после их

Оо/ - дисперсия потока По от внешнего источника, поступающего на вход /го узла; О - операция вычисления дисперсии. Тогда решение уравнений (1) и

(18) позволяет декомпозировать сетевую модель на отдельные узлы на уровне двух первых моментов распределений потоков для последующего расчета их характеристик.

Следует заметить, что в классической литературе по теории массового обслуживания недостаточно внимания уделено вычислению моментных характеристик мультиплексированных (агрегированных) потоков и демультиплексированного (разреженного) потока. Например, в [6] приводятся формулы вычисления дисперсии результирующего потока для случая предельного пуассоновского потока, а разреженного - для случая потоков Пальма. Вышеприведенные результаты автора справедливы для любых стационарных потоков.

Полученные математические результаты по математическому мультиплексированию двух различных потоков реализованы в виде процедуры Ми1-йр1 с соответствующими параметрами. Схема алгоритма этой процедуры приведена на рис. 4.

В табл. 3 приведены результаты имитационного моделирования по мультиплексированию потоков в сравнении с результатами расчетов по полученным математическим моделям (10), (11) с функциями распределений

(18)

/•-преобразования с дисперсиями у =- О .■ вых +

(/', у = 1,2, п);

Рис. 4 Схема алгоритма процедуры мультиплексирования двух потоков

Анализ результатов табл. 1 и 3 показывает, что формула мультиплексирования потоков (3) точнее для потоков, коэффициенты вариаций которых больше или равны единице, чем при аппроксимации (13). И наоборот, фор-

мула для вычисления дисперсии результирующего потока в случае, когда коэффициенты вариаций составляющих потоков меньше единицы (см. п. 3), а также в смешанном случае, точнее формулы (3).

Таблица 3

— /— * т1/ т1 ^ 4 т2/ т2 0%2/4 — /—* тх ' тх / 4

Законы распределения - равномерный (0:1) и равномерный (0:1)

0,5/0,499 0,083/0,083 0,5/0,50 0,083/0,083 0,25/0,250 0,029/0,037

Законы распределения - равномерный (0:1) и экспоненциальный с параметром X = 2

0,5/0,499 0,083/0,084 0,5/0,497 0,25/0,247 0,25/0,248 0,041/0,046

Законы распределения - экспоненциальный с X = 2 и экспоненциальный с X = 2

0,5/0,50 0,25/0,251 0,5/0,499 0,25/0,249 0,25/0,253 0,0625/0,0628

Законы распределения - гиперэкспоненциальный и гиперэкспоненциальный с функцией плотности

/(() = (2р2/ т )ехр{-2pt / т} + [2(1 - р)2/ т]ехр{-2(1 - р) (/ т},

где р = 0 8 00 ^1 , т II 0

1,0/1,023 4,0/4,026 1,0/1,011 4,0/4,012 0,5/0,502 0,625/0,999

Законы распределения - гиперэкспоненциальный и гиперэкспоненциальный с функцией плотности

/(t) = (2р2/ т )ехр{-2pt / т} + [2(1 - р)2/ т]ехр{-2(1 - р) t / т}.

где р = 0 ,9472, т = 1,0

1,0/0,994 9,0/8,918 1,0/1,014 9,0/9,442 0,5/0,496 1,25/2,351

Законы распределения - гипергиперэкспоненциальный и гиперэкспоненциальный с функцией плотности

/(t) = (2р2/ т )ехр{-2pt / т} + [2(1 - р)2/ т]ехр{-2(1 - р) t / т}.

где р = 0,8873, т= 1,0 и равномерный (0,2)

4,0/3,996 1,0/0,996 0,333/0,333 0,5/0,500

1,0/1,001

0,204/0,246

Список литературы

1. Клейнрок, Л. Вычислительные системы с очередями : пер. с англ. / Л. Клейн-рок ; под ред. Б. С. Цыбакова. - М. : Мир, 1979. - 597 с.

2. Вишневский, В. М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей / В. М. Вишневский. - М. : Техносфера, 2003. - 512 с.

3. Тарасов, В. Н. Вероятностное компьютерное моделирование сложных систем / В. Н. Тарасов. - Самара : Самарский научный центр РАН, 2002. - 194 с.

4. Тарасов, В. Н. Организация интерактивной системы вероятностного моделирования стохастических систем / В. Н. Тарасов, Н. Ф. Бахарева // Известия Самарского научного центра РАН. - 2003. - № 1. - С. 119-126.

5. Шнепс, М. А. Системы распределения информации. Методы расчета : справочное пособие / М. А. Шнепс. - М. : Связь, 1979. - 342 с.

6. Овчаров, Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания / Л. А. Овчаров. - М. : Машиностроение, 1969. - 324 с.

Бахарева Надежда Федоровна

кандидат технических наук, доцент, кафедра программного обеспечения и управления в технических системах, Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

E-mail: [email protected]

УДК 681.322.01 Бахарева, Н. Ф.

Уравнения равновесия потоков в сетевых моделях на основе математических операций мультиплексирования и демультиплексирования /

Н. Ф. Бахарева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2009. - № 4 (12). - С. 12-25.

Bahareva Nadezhda Fedorovna Candidate of engineering sciences, sub-department of engineering systems software and control, Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics