Математические закономерности пожаров на железнодорожном транспорте Текст научной статьи по специальности «Математика»

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЖАРОВ

Д. В. Катцын

канд. техн. наук, начальник отдела Департамента технической политики ОАО "Российские железные дороги", г. Москва, Россия

О

! и/

И. Г. Малыгин

д-р техн. наук, профессор, заведующий лабораторией Института проблем транспорта РАН им. Н. С. Соломенко, г. Санкт-Петербург, Россия

л

А. А. Таранцев

д-р техн. наук, профессор, заслуженный работник высшей школы РФ, профессор Санкт-Петербургского университета ГПС МЧС РФ, г. Санкт-Петербург, Россия

УДК 614.841.48

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПОЖАРОВ НА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ ТРАНСПОРТЕ

На основе анализа данных о пожарах в ОАО "Российские железные дороги" выведены статистические закономерности, характерные для начала XXI века. Проведены оценки: динамики числа пожаров, взаимосвязи числа пожаров и капитальных затрат на противопожарные мероприятия, влияния сезонности и дней недели на число пожаров. Определены законы распределения частоты возникновения пожаров. Ключевые слова: пожарная безопасность; железнодорожный транспорт; пожары.

Введение

Железнодорожный транспорт является одним из важнейших звеньев в обеспечении жизнедеятельности Российской Федерации. В связи с этим пожары на железнодорожном транспорте представляют особую опасность, поскольку приводят не только к прямому ущербу, но и к сбоям в графике движения поездов, а также к угрозе для близлежащих зданий, сооружений и для находящихся в них людей.

Глобализация рынка транспортных услуг, структурные изменения отечественной экономики, проведение реформы железнодорожного транспорта требуют поиска новых научно обоснованных путей обеспечения необходимого уровня пожарной безопасности железнодорожного транспорта.

Одной из задач успешной борьбы с пожарами на железнодорожном транспорте является изучение статистики пожаров и выявление закономерностей, необходимых для принятия объективных управленческих решений. В связи с этим расчет математических закономерностей пожаров на железнодорожном транспорте является чрезвычайно актуальной задачей.

Оценка динамики числа пожаров

Накопленные за период с 2003 по 2009 годы статистические данные о числе пожаров П в целом на

© Катцын Д. В., Малыгин И. Г., Таранцев А. А., 2011

подвижном составе и объектах инфраструктуры ОАО "РЖД" [1] (табл. 1) свидетельствуют о неуклонном снижении общего числа пожаров. В связи с этим представляется целесообразным построение математической модели динамики пожаров П^) (? — время в годах), которая позволит прогнозировать возможное их число на ближайший период и принимать соответствующие решения.

Поскольку показатель П(см. табл. 1) нежелательно описывать степенными полиномами (ввиду возможности получения отрицательных прогнозных значений), с использованием метода наименьших квадратов (МНК) [2] была построена экспоненциальная модель:

Прасч = 179 + 113е "°,7('-2003), (1)

где ? — год.

Адекватность модели (1) была оценена по критерию Фишера [3] (Г = 54,97): доверительная вероятность составила более 95 %. Об адекватности модели (1) можно также судить, сравнивая значения П и Прасч из табл. 1 с рис. 1.

Модель (1) может использоваться для краткосрочного (на 1-2 года) прогноза числа пожаров на объектах ОАО "РЖД". Она может ежегодно уточняться по мере появления новых статистических данных.

Таблица 1. Динамика пожаров на подвижном составе и объектах инфраструктуры ОАО "РЖД" за 20032009 гг.

Показатель Год (г)

2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Число пожаров П 293 232 211 191 189 188 184

Расчетное число пожаров П расч 292 235 207 193 186 182 181

Примечание. ЗначенияПрасч чений. округлены до целых зна-

П т

250

Статистические данные

179 + ПЗе-0'7^-2003)

200

1501

2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Годы

Рис. 1. Динамика числа пожаров на подвижном составе и объектах инфраструктуры ОАО "РЖД" (сравнение статистических данных с расчетными по формуле (1))

Оценка взаимосвязи числа пожаров и капитальных затрат на противопожарные мероприятия

Учитывая опасность пожаров на железнодорожном транспорте, руководство ОАО "РЖД" ежегодно выделяет все больше средств на противопожарные мероприятия, что во многом обуславливает снижение числа пожаров (табл. 2).

На основе статистических данных табл. 2 также с использованием МНК [2] была получена линейная регрессионная модель зависимости числа пожаров П от величины затрат Б:

П « 194-0,025 Б.

(2)

Адекватность модели (2) также оценивалась по критерию Фишера: доверительная вероятность не ниже 85 % (рис. 2).

Таблица 2. Сравнительная динамика затрат на противопожарные мероприятия Б и числа пожаров

Показатель Год

2006 2007 2008 2009 2010

Б, млн руб. 120 160 300 335 426

П 191 189 188 184 -

Я 195

190

185

180

2006

2007

По формуле (2) 2008 -

2009 *

0

100

200

Я, млн руб.

Рис. 2. Зависимость числа пожаров на подвижном составе и объектах инфраструктуры ОАО "РЖД" от затрат на противопожарные мероприятия

Оценка влияния сезонности и дней недели на число пожаров

По имеющимся статистическим данным представляется целесообразным оценить влияние дней недели и месяцев года на частоту пожаров на подвижном составе и объектах инфраструктуры ОАО "РЖД". Такая оценка была проведена по данным за 2009 г. (табл. 3).

Из табл. 3 и рис. 3 следует, что в 2009 г. наиболее часто пожары возникали на подвижном составе и объектах инфраструктуры ОАО "РЖД" в апреле, наиболее редко — в октябре. По дням недели наибольшее число пожаров отмечалось в середине недели, по вторникам и средам, а наиболее редко — в конце недели, по пятницам и субботам (рис. 4).

Это может быть объяснено в первом случае переходом с зимнего на летний и с летнего на зимний режимы эксплуатации, а во втором — напряженностью графика перевозок в середине недели.

Определение законов распределения частоты возникновения пожаров

Поскольку динамика числа пожаров на подвижном составе и объектах инфраструктуры ОАО "РЖД" носит выраженный случайный характер, представляется целесообразным найти закон распределения частоты пожаров. Для этого может быть использован перечень основных законов распределения дискретных случайных величин [4] (табл. 4), поскольку

Таблица 3. Число пожаров на подвижном составе и объектах инфраструктуры ОАО "РЖД" в 2009 г. по месяцам и дням недели

Месяц День недели

Понедельник Вторник Среда Четверг Пятница Суббота Воскресенье Всего

Январь 0 4 2 1 2 3 3 15

Февраль 4 4 0 2 2 1 5 18

Март 3 4 3 0 0 6 2 18

Апрель 1 5 6 1 1 4 4 22

Май 1 1 2 3 5 1 5 18

Июнь 3 1 7 1 4 0 4 20

Июль 3 3 5 5 2 1 0 19

Август 3 3 2 3 2 2 2 17

Сентябрь 4 4 1 0 1 2 2 14

Октябрь 1 2 3 4 0 1 0 11

Ноябрь 2 2 2 2 3 0 3 14

Декабрь 3 3 3 3 2 1 0 15

Всего 28 36 36 25 24 22 30

число пожаров в течение суток — дискретная величина, принимающая значения 0, 1, 2, 3, ... с соответствующими вероятностями (частотами) р0, р1, P2, P3, . .

Обработка статистических данных по пожарам на подвижном составе и объектах инфраструктуры ОАО "РЖД" [1] позволила получить частоты {р}, которые приведены в табл. 5 (в строке "Статистическая частота").

По полученным статистическим данным по частотам пожаров были вычислены начальные моменты а, по формуле [5]: 8

а, = Е ^ р' -= 1 •••' 4> (3)

I = 0

где I — число пожаров в сутки; , — номер начального момента.

Их значения составили: а1 = 1,82; а2=6,32; а3 = = 28,80; а4= 155,61.

По начальным моментам были определены коэффициенты вариации (относительный разброс) Ку, асимметрии (перекошенность) Аз и эксцесса (островершинность) Ех [4]:

Ку = (а2 -а2)0,5 аГ1; (4)

Аз = (а3 - 3а1 а2 + 2а]5)(а2 - а2 )-1,5; (5)

Ех = (а4 - 4а1 а3 + 12а2а2 - 3а2 - 6а/ )х (6) х (а2 - а}2)-2.

По выражениям (4) - (6) с учетом начальных моментов для данных табл. 5 были рассчитаны значения коэффициентов вариации, асимметрии и эксцесса: Ку = 0,958; Аз = 1,021; Ех = 1,249.

Рис. 3. Динамика пожаров на подвижном составе и объектах инфраструктуры ОАО "РЖД" по месяцам 2009 г.

Рис. 4. Динамика пожаров на подвижном составе и объектах инфраструктуры ОАО "РЖД" по дням недели 2009 г.

Для удобства использования номограмм (рис. 5 и 6) были вычислены нормированные значения: Ку (1 + |Ку|)-1 = 0,489; Ля (2 + |Ля|)-1 = 0,337; Ех (6 + + |Ех|)-1 = 0,172.

С их помощью удалось установить, что наиболее точно частота пожаров на подвижном составе и объектах инфраструктуры ОАО "РЖД" может быть описана законами Пуассона Ps1 452 или Паска-

Таблица 4. Законы распределения дискретных случайных величин

№ Закон, обозначение Распределение, моменты, параметры Примечание

1 Равномерный, КЙаДп рх = п1; хi = [а (п - г) + Ь(г - 1)]/(п - 1), г е [1, п]; п = 3; Мг = 0,5(а + Ь); О = (Ь - а)2(п + 1)/ 12(п - 1); Ку = (Ь - а)[(п2- 1)/3]0'5 [(а + Ь)(п - 1)]-1; Ля = 0; Ех = -1,2(п2+ 1)/(п2 - 1); п* = [(Ех* - 1,2)/(Ех* + 1,2)]0,5; а* = Мг* - (3,6£*/ц)°-5; Ь* = Мг* + (3,6£*/ц)°-5; ц = (Ех*2 - 1,44)0,5-Ех*; х = {а [п - 1 - Ц(пг)] + ЬЦ(пг)}, г е [0; 1) Образование потока дискретных случайных чисел на промежутке от а до Ь. Ц(г) — целая часть числа г

2 Биномиальный, В1,,п рх = Спх,х(1 - ,)"-х; х = 0, 1,2, 3, ...; , е (0; 1); п = 2; Мг = п,; Ку = [(1 - ,)/(п,)]0"5; Ля = (1 - 2,) [(1 - ,) п,]-0'5; Ех = [1 - 6,(1 - ,)]/[п,(1 - ,)]; п* = (Мг*)/(Мг* - О*); ,* = 1 - й*/Мг*; Ех = Ля2 - 2пч; Ля =Ку- (пКу)-1 При п ^ <ю стремится к нормальному закону

3 Бернулли, Вг, рх = ,х(1 - ,)1-х; х = 0,1; Мг = ,; Ку = [(1 - ,)/,]0,5; п = 1; х = 1 при г < ,; Ля = (1 - 2,)[(1 - ,),]-0,5; Ех = [,(1 - ,)]-1 - 6; ,* = Мг*; х = 0 при г > ,; Ех = Ля2 - 2; Ля = Ку - Ку"1 Вг, = Б^д, ВГ05 = <О. Вегпои11г>

4 Пуассона, Р$, рх = 2хехр(-г)/х!; х = 0, 1, 2, 3, ...; 2 > 0; п = 1; Мг = О = г; Ку = Ля = 2"0,5; Ех = Ля2; 2* = Мг* Закон редких событий <3.-О. Рогяяоп>

5 Отрицательный биномиальный, Бп,,ж рх = Схт,х-т(1 - ,)т-1; х = т, т +1, т + 2, ...; т >0; , е [0; 1]; п = 2; Мг = (т +1)/,; Ку = [(1 - ,)/(т + 1)]0,5; Ля = (2 - ,)[(т + 1)(1 - ,)]-0,5; Ех = [6 + ,2/(1 - ,)] /(т + 1); Ех = Ля2 + 2(т + 1)-1; Ля = Ку + [(т + 1)Ку]-1

6 Пойа (предельная форма), Роь, а рх = р0 П[1 + (а -1)//|(1 + аЬ)-1;р0=[1 + (аЬ)-1]-а; х = 1,2,3, ...; Ь > 0; у-1 а > 1; п = 2; Мг = Г1; Ку = (а"1 + Ь)0,5; Ля = (Ь + 2а"1)/Ку = Ку - (аКу)-1; Ех = 2а"1 + Ля2; Ь* = 1 /Мг*; а* = (Мг*)2/(О* - Мг*) Медицина — моделирование эпидемий инфекционных заболеваний. РоЬ>„ = Ря1/Ь <0. Ро1га>

7 Гипергеометрический, Оgм,N п рх = С^СКС^)-1, х = тах(0; М- N + п), ., т1п(М; п); N > М; п > х; п = 3; у = п -х; Мг = пМ/ЛГ; Ку = [^-М)^- п)/^- 1)пМ]°-5, N> 1; Ля = N - 2M)(N - 2n)(N - 2)-1(N - l)0•5[nM(N- M)(N - п)]-0,5, N > 2; Ех = ^^- 1)(к1 + к2 - 6)/[n(N- 2)^- 3)(N- п)], N> 3; к1 = NN + 1) - 6п (N - п)]/^-М) М; к2 = 6п (N - n)(5N - 6) / N - Щ2 Контроль качества продукции

8 Геометрический (Фарри), Ое, рх = ,(1 - ,)х; х = 0, 1,2, ...; , е [0; 1];п= 1; Мг = ,"1 - 1; Ку = (1 - ,)-0,5; Ля = (2 - ,)(1 - ,)-0,5; Ех = 6 + ,2/(1 - ,); Еп = - к^2, - (1 - ,"1) log2(l - ,); ,* = (1 + Мг*)-1; Ех = Ля2 +2; Ля = Ку + Ку"1 Ое, = Ре,д; Ое, = Ро„_,. При , ^ от стремится к экспоненциальному закону

9 Паскаля, Рс,,„ рх = С£,ж(1 - ,)х; х = 0, 1,2, ...; т > 0; , е [0; 1]; 1 = х + т - 1;п = 2; Мг = - т(1 - ,-1); Ку = [т(1 - ,)]-0,5; Ля = (2 - ,)[т(1 - ,)]-0,5; Ех = [6 + ,2/(1 -,)]/т; ,* = Мг*/О*; т* = (Мг*)2/(О*-Мг*); Ля = Ку + (тКу)-1; Ех = Ля2 + 2т"1 Целочисленный аналог закона Эрланга, отрицательный биномиальный-2 <В. Раяса1>

10 Логарифмиче-ский-1, Ь1, рх = ,х/1п(1 - ,) х; х = 1, 2, 3,...; , е [0; 1]; с = -,/ 1п(1 - ,); п = 1; Мг = с/(1 - ,); М0= 1; Ку = (с"1 - 1)0,5; Ля = (1 + ,-3с + 2с2) / [с0,5(1 - с)1,5]; Ех = [6 + 4, + ,2 - (7 + ,) с + 12с2 - 6с3] / [с(1 - с)2]

11 Логарифмиче- " 1 г ii ский-2, Ьж рх = (1 + х"1); х = 1,2, ..., т -1; т >2;п = 1; М0 = 1; Мг = т - 1 (т - 1)!; ■> ж~1 47 1 О = 2(т - 1) 1ogm(т - 1)! - [^(т -1)!]2-1ogж П к2к-1 к-2

12 Бореля-Таннера, Н1т,, рх = т(,х)х-т/[х(х- т)!ехр(,х)], х = т, т + 1, т + 2, ...; т > 1, , е (0; 1); п = 2; Мг = т/(1 - ,); О = т, /(1 - ,)3; Ку = [т (,"1- 1)]-0,5; Ля = (1 + 2,) / [т,(1 - ,)]0,5; Ех = (6,2 + 8, + 1) / [т, (1 - ,)]; т* = 0,5Мг*(К0,5 - Мх*/О*); ,* = 1 + 0,5Мг*/Д* + К0,5; К = (Мг*/О*)2+ 4Мг*/ О*; Ля = (1 + 2,) ,"0,5Ку2; Ех = (6, + 8, + 1)[, (1 +2,)2]-1Ля2 Распределение числа обслуженных заявок из очереди в одноканальной СМО с пу-ассоновским входным потоком и постоянным временем обслуживания (, - приведенная нагрузка, т >0 — число заявок в очереди к началу обслуживания) <Е. Воге1, 3. С. Таппег>

Примечание. Мг — математическое ожидание; п — число параметров закона; Ц(х) — целая часть числах; С к = п!/к!(п - к)! — число сочетаний из п по к.

Звездочкой * обозначены параметры законов, определяемые по экспериментально найденным характеристикам (моментам).

Таблица 5. Частота возникновения пожаров на подвижном составе и объектах инфраструктуры ОАО "РЖД"

Закон Число пожаров в сутки

распределения 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Статистическая частота 0,2410 0,2974 0,1897 0,1077 0,0821 0,0359 0,0256 0,0103 0,0103

Закон Пуассона 0,2341 0,3349 0,2468 0,1194 0,0434 0,0105 0,0031 0,0006 ~0,0001

Закон Паскаля 0,2524 0,2787 0,2051 0,1258 0,0694 0,0358 0,0154 0,0083 0,0038

Ку

Рис. 5. Номограмма "относительный разброс - относительная перекошенность" для некоторых законов распределения дискретных случайных величин

Рис. 6. Номограмма "относительная островершинность - относительная перекошенность" для некоторых законов распределения дискретных случайных величин

КУ \+КУ 1,0

0,5

Статистические //У /

данные /

\ / ✓ \ / X <У /

^ \ / /

1

Ре /ХХХ^ 1 ^ \

л \

х\ \

^ччv \

/ХХ\^Рс\Х

0,5

1,0

Аз 2+Ая

Рис. 7. К определению закона распределения в координатах "относительный коэффициент вариации - относительный коэффициент асимметрии"

Рис. 8. К определению закона распределения в координатах "относительный коэффициент эксцесса - относительный коэффициент асимметрии"

ля Рс0632.3 (рис. 7 и 8). Насколько точно эти законы соответствуют статистическим данным, проверено по критерию Пирсона [5] (доверительная вероятность не менее 95 %) и следует из рис. 9.

Рис. 9. К оценке соответствия статистических данных (О) по пожарам на подвижном составе и объектах инфраструктуры ОАО "РЖД" законам распределения Пуассона (+) и Паскаля (х)

Таким образом, вероятность того, что за сутки на подвижном составе и объектах инфраструктуры ОАО "РЖД" произойдет ровно г пожаров, может быть для ближайшего периода оценена из следующих выражений:

• по закону Пуассона (Рз1 452):

р, = 1,452 ехр(-1,452)/г!; • по закону Паскаля (Рс0 632 3):

Рг = с

г + 2

0,6323 • 0,368г =

(7)

(8)

= (г + 1) (г + 2) • 0,1262 • 0,368г, где г — число пожаров в сутки; г = 1, 2, 3, ... .

Выводы

Таким образом, на основе статистических данных о пожарах на объектах железнодорожного транспорта в начале XXI века получен тренд, позволяющий прогнозировать число пожаров. По данным за 2009 г. определены статистические законы распределения числа пожаров за сутки и выдвинута гипотеза о влиянии дня недели и месяца года на частоту возникновения пожаров.

I

0869-7493 ППЖАРПНЗРЫНПБЕЗППАСНПСТЬ 2011 ТОМ 20 №3

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Отчет о статистике пожаров в ОАО "РЖД". — М.: ОАО "РЖД", 2009.

2. Математическая статистика / Под ред. проф. А. М. Длина. — М.: Высшая школа, 1975.

3. Митропольский А. К. Техника статистических вычислений. — М.: Наука, 1971.

4. Таранцев А. А. Случайные величины и работа с ними / Под ред. В. С. Артамонова. — СПб.: Изд-во СПбУ ГПС МЧС России, 2007.

5. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — Изд. 5-е, стереотип. — М.: Высшая школа, 1998.

Материал поступил в редакцию 19 декабря 2010 г. Электронный адрес авторов: г_54@таИ.ги.

Учебное пособие

В. Н. Черкасов, В. И. Зыков

Обеспечение пожарной безопасности электроустановок

Рецензенты: Федеральное государственное учреждение Всероссийский ордена «Знак почета» научно-исследовательский институт противопожарной обороны МЧС России, кафедры физики и пожарной безопасности технологических процессов Академии ГПС МЧС России.

В учебном пособии рассмотрены общая схема электроснабжения потребителей, классификация электроустановок и причины пожаров от них, а также вероятностная оценка пожароопасных отказов в электротехнических изделиях и пожарная безопасность комплектующих элементов. Приведены нормативные обоснования и инженерные решения по обеспечению пожарной безопасности электроустановок и защите зданий и сооружений от молний и статического электричества. Учебное пособие предназначено для практических работников в области систем безопасности и может быть использовано для подготовки и повышения квалификации специалистов соответствующего профиля.