О задаче равномерного распределения риска финансового портфеля Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Kunyvskii В. Е., Moroz В. Z., Vo-skresenskii V. Е. On integral models of an algebraic torus / Max-Planek-Institut fur Mathematik, Preprint Series, 2001, №12,

2, Popov S. Yu., Voskresenskii V. E. Galois lattices and reduction of algebraic tori//Communications of Algebra. 2001. № 9. P. 213-223.

3. Водолазов A. M. Целые модели разложимых алгебраических торов бесконечного типа //Современные проблемы алгебры, теории чисел и функционального анализа: межвуз, сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 1. С. 14-23.

4. Bhargava Л/.. Cahen P.-J., Yeramian J.Finite generation properties for various rings of integer-valued polynomials // J. of Algebra. 2009. Vol. 322, № 4. P. 1129-1150.

УДК 517.518.82

И. Ю. Выгодчикова

О ЗАДАЧЕ РАВНОМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РИСКА

ФИНАНСОВОГО ПОРТФЕЛЯ

Пусть 9i - доли активов n видов, из которых инвестор формирует портфель, bj, i = 1,s, s < n ограничения на доли активов, заставляющие инвестора отказаться от подневольного желания «получить высокий доход любой ценой» и учесть неценовые оценки качества активов. В качестве рисковых показателей могут выступать среднеквадрати-ческие отклонения доходностей, либо иные показатели негативного для инвестора характера.

Требуется равномерно распределить риски (а{) между всеми активами, взвесив их по долям активов в портфеле, за счёт выбора этих долей:

Ф(0) := max —> min, (l)

i=l,n OeD

В = |в = (01,...,бу е : ^ег = 1, вг < Ъг1г = 1,51 . (2)

решена задача равномерного распределения риска с целевой функцией (1) и такими же ограничениями, как в известной задаче минимизации риска финансового портфеля Г. Марковица.

Теорема 1. Решение задачи (1),(2) существует тогда и только тогда, когда либо з < и, либо з = пи Ъ% > 123

Доказательство. 1. При в = п множество Б не пусто тогда и только тогда, когда выполняется неравенство Еп=1 Ь ^ 1 например,

в = ..., 6П_1,1 — ЕГ=11 € Б, а ПРИ в < п множество Б не пусто для любых например, в = I Ь1,..., 0,..., 0,1 — ЕЬ I € Б.

\ п—в—1 /

2. Возьмём пропз вольно в € Б, положим Б0 :=

{в = (в1,..., вп) : 1 — Ф(0) Еп=1,^=г < в» < ш1п {ф(в~)/аг, Ьг} , г = м}.

Левая часть г-го неравенства, г = 1,п, - результат подстановки в^- < Ф(в^ = 1,п\{г} в соотношение Еп=1 в.? = 1- Ясно, что решение задачи (1-2) совпадает с решением задачи: Ф(в) —> шт^^, причём в € Б0. Поскольку функция Ф(-) непрерывна, а множество Б0 не пусто, ограничено и замкнуто, то решение задачи существует. Теорема доказана.

Далее, если только в = п, считаем, что ЕП=1 Ь > 1- Положим V = = ЕП=1 ^ Рассмотрим следующие надмножества множества Б:

n

D(0) = <| в = (0!,... А) е Rn : ^ = U , (3)

= S в = (в1;

¿=1

n

D(l) = <j в = (01,... ,0n) е Rn : ^вг = 1, 01 < Ь/ ¡> ,1 е М. (4) Рассмотрим задачу

'г = 1, в/ <

¿=1

max а"гвг —^ min . (5)

i=1,n 0€D(Ö)

Следующее утверждение очевидно.

Теорема 2. Решением задачи (5), а также задачи (1),(2), при выполнении неравенства

max (1/ (^j v) - bj) < 0 (6)

j=1,s

является вектор в* = (в1 *,... , вп*): в* = 1/ (о"^) г = 1,п.

Для в = (в1,... ,вп) € обозначим 1(в) = {г = 1~п : Ф(в) = агвг},

1В(в) = {; = М : в» = Ьг}.

Лемма 1. Пусть вектор в € Б является решением задачи (1),(2). Тогда, 1 (в) и 1В (в) = 1~П.

Доказательство. Предположим, что 3i0 e 1,n\ {I(0) U IB(0)}. При малом £ > 0 вектор 0е = (0f,..., 0П) : 0^ = 0,o + £, 0f = 0« — £/(n — 1), i = 1, n\ {io}, принадлежит множеству D, причем Ф(0е) < Ф(0), что противоречит оптимальности 0.

Лемма доказана.

Рассмотрим задачу

max a,0, —> min . (7)

i=in OeD(l)

Теорема 3. 1. При 1/ (а/v) — 6/ < 0 решением задачи, (7) будет, вектор 0* = (01 *,... А* )•' 0- = 1/ (a,v ), i = 1^. 2. При 1/ (а/ v) — 6/ > 0 решением задачи (7) будет вектор вектор 0* = (01*,... , 0n*):

0* = 6/,0* = (1 — 6/) / (1+ a,/a ) ,i e 1~n\{Z} . (8)

V j=i,j=i,j=/ )

Доказательство. По теореме 1 решение задачи (7) существует. Случай 1/ (а/v) — 6/ < 0 рассмотрен в теореме 2. Пусть 1/ (а/v) — 6/ > 0. В силу леммы 1 и ввиду I(0*) = 1,n имеем IB(0*) = {/}, I(0*) = 1,n\{/}, то есть 0* = 6/? 0*a*/0*a* = 1, i, j = 1,n\ {/}, ^П=1 0* = 1 откуда получаем (8).

Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть 1 e 1,s удовлетворяет двойному неравенству

a,/aj + 6//6, ) <6/ < 1/ (а/v). (9)

,j=/ /

Тогда, решением задачи (1),(2) будет вектор 0* = (01*,..., 0n*); компоненты которого определены в (8).

Доказательство. По теореме 3 вектор с компонентами, определёнными в (8), будет решением задачи (7). Покажем, что он будет и решением задачи (1),(2). Оценим Vi = 1,s\{/}, 0* — 6, =

= 0 — 6. 0 + ЕП=и=у = ai/aj + Ь,/6,)) / ^ + ЕП=и=,,;= а</а,-) < 0.

Итак, 0*, являясь решением задачи (7), принадлежнт множеству D С С D (1) следовательно, minOeD Ф(0) = minOeD(/) Ф(0) = Ф(0*).

Что и требовалось доказать.

Пример. Пусть n = 3, a1 = 5,a2 = 4, a3 = 1, 61 = 0.25, 62 = 0.4, 63 = 0.5. Выполняется (9) для /=3, 0* = (2/9, 5/18,1/2).

25

m_ax (6//6,) / 11+ V

j=1,j=«

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект НШ-ЩЗ.2010.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Выгодчикова И. Ю. О формировании портфеля ценных бумаг е равномерно распределённым риском // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 12. С. 18-20.

УДК 514.764

С. В. Галаев

О ПРОДОЛЖЕНИИ ВНУТРЕННЕЙ СВЯЗНОСТИ НЕГОЛОНОМНОГО МНОГООБРАЗИЯ С ФИНСЛЕРОВОЙ МЕТРИКОЙ

В статье вводятся понятия внутренней связности и продолженной связности неголономного многообразия коразмерности 1. Для случая контактного пространства с финслеровой метрикой доказывается существование и единственность метрической продолженной связности. Тензор кривизны продолженной метрической связности в случае неголономного многообразия с римановой метрикой оказывается равным тензору кривизны Вагнера, построенного им для произвольного неголономного многообразия коразмерности 1 с внутренней аффинной связностью [1]. Подробные доказательства всех сформулированных утверждений содержатся в [2].

Введение. В качестве обобщения известного подхода к определению связности с помощью горизонтального распределения, заданного на касательном расслоении к гладкому многообразию X в работе [3] вводится понятие связности над распределением. В [4] аналогичный объект называется связностью на расслоении вдоль распределения на базе, Неголо-номное многообразие есть гладкое многообразие с заданным на нем распределением Б. Это распределение, в ряде случаев называемое неголо-номным многообразием, вообще говоря, неинтегрируемо. Понятие внутренней геометрии неголономного многообразия было введено Вагнером (см. [4]). Развивая геометрию неголономных многообразий, В. В. Вагнер вводит понятие внутренней геометрии неголономного многообразия как совокупности тех свойств объектов, заданных в неголономном многообразии, которые зависят только от самого неголономного многообразия и от его оснащения [5]. Параллельный перенос внутри неголономного многообразия осуществляется с помощью связности V, которую, следуя терминологии В. В. Вагнера, мы называем внутренней связностью неголономного многообразия. Помимо внутренней связности в ряде работ рас-