CC BY
18
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект НШ-4383.2010.1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Выгодчикова И. Ю. О формировании портфеля ценных бумаг е равномерно распределённым риском // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 12. С. 18-20.
УДК 514.764
С. В. Галаев
О ПРОДОЛЖЕНИИ ВНУТРЕННЕЙ СВЯЗНОСТИ НЕГОЛОНОМНОГО МНОГООБРАЗИЯ С ФИНСЛЕРОВОЙ МЕТРИКОЙ
В статье вводятся понятия внутренней связности и продолженной связности неголономного многообразия коразмерности 1. Для случая контактного пространства с финслеровой метрикой доказывается существование и единственность метрической продолженной связности. Тензор кривизны продолженной метрической связности в случае неголономного многообразия с римановой метрикой оказывается равным тензору кривизны Вагнера, построенного им для произвольного неголономного многообразия коразмерности 1 с внутренней аффинной связностью [1]. Подробные доказательства всех сформулированных утверждений содержатся в [2].
Введение. В качестве обобщения известного подхода к определению связности с помощью горизонтального распределения, заданного на касательном расслоении к гладкому многообразию X в работе [3] вводится понятие связности над распределением. В [4] аналогичный объект называется связностью на расслоении вдоль распределения на базе, Неголо-номное многообразие есть гладкое многообразие с заданным на нем распределением О. Это распределение, в ряде случаев называемое неголо-номным многообразием, вообще говоря, неинтегрируемо. Понятие внутренней геометрии неголономного многообразия было введено Вагнером (см. [4]). Развивая геометрию неголономных многообразий, В. В. Вагнер вводит понятие внутренней геометрии неголономного многообразия как совокупности тех свойств объектов, заданных в неголономном многообразии, которые зависят только от самого неголономного многообразия и от его оснащения [5]. Параллельный перенос внутри неголономного многообразия осуществляется с помощью связности V, которую, следуя терминологии В. В. Вагнера, мы называем внутренней связностью неголономного многообразия. Помимо внутренней связности в ряде работ рас-
сматриваются связности, осуществляющие параллельный перенос векторов, лежащих в распределении О, вдоль произвольных кривых многообразия X. Такие связности называются усеченными связностями. По сути, усеченная связность является связностью в векторном расслоении, определяемом неголономным многообразием. Среди усеченных связно-стей в работе [2] был выделен класс продолженных связностей неголо-номного многообразия. Применительно к неголономному многообразию с допустимой финслеровой метрикой внутренние связности изучались в работах [6, 7]. В настоящей статье доказывается существование метрической продолженной связности, однозначно определяемой внутренней связностью контактного пространства с финслеровой метрикой.
1. Внутренние связности неголономного многообразия. Всюду в работе под многообразием X понимается связное С ^-многообразие размерности (2п + 1) п > 2. Все встречающиеся па X функции и геометрические объекты считаются бесконечно дифференцируемыми. Мы предполагаем, что на многообразии X задана 1-форма Л такая, что ранг формы ш = (Л равен 2п и имеет место разложение TX = О 0 где О = кет\ = кетш. Гладкое распределение О мы, следуя В. В. Вагнеру, будем называть неголономным многообразием, а распределение
- его оснащением,. Под допустимым векторным полем к произвольному распределению О будем понимать такое векторное поле, все значения которого лежат в данном распределении, а под допустимой 1-формой будем понимать всякую 1-форму, обращающуюся в нуль на соответствующем оснащении Наконец, допустимое тензорное поле к распределению О
- есть линейная комбинация тензорных произведений допустимых векторных полей и допустимых 1-форм. Допустимые тензорные поля типа (р, д) к распределению О обозначим /р(О).
Карту К(ха) (а, в, Т = 1, 2,...., 2п + 1; а,Ь,с = 1, 2,..., 2п) на многообразии X будем называть адаптированной к неголономному многообразию О, если дп = ^ /о(О^). Нетрудно установить, что любые две адаптированные карты связаны между собой преобразованиями вида:
гра _ гра I ,-у>а \ грп _ грп (^а грп \
х — х (х ) ^ х — х (х , х ).
Пусть Р : TX ^ О - проектор, определяемый разложением TX = О 0 и К(ха) - адаптированная гарта. Векторные поля Р(да) = еа = да — ГПдп линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение О: О = .врап(е0). Таким образом, мы имеем на многообразии X неголономное поле базисов (еа,дп) и соответствующее ему поле кобазисов ((ха,0п = (хп + Гп(ха). Векторные поля (еа) определяют в неголономном многообразии линейные координаты,
называемые Вагнером градиентными.
Будем говорить, что в неголономном многообразии D задана внутренняя связность, если распределение D = n—1(D) разбивается в прямую сумму вида D = HD 0 VD, где VD - вертикальное распределение на
D
Таким образом, задание внутренней связности эквивалентно заданию объекта Gan(xa,xn) такого, что HD = span(ea), где еа = дп — Tva3n — Gbadn+b. В частном случае, когда внутренняя связность определяется линейной связностью, имеют место равенства Gb(xa, xn+a) = Гbc(xa)xn+a.
2. Продолженные связности неголономного многообразия с допустимой финслеровой метрикой. Будем называть связность в
D
ем HT = HD 0 span и, где = dn, продолженной связностью неголономного многообразия. Легко установить, что векторное поле и в этом случае должно иметь вид и = dn — Gandn+a. Таким образом, задание продолженной связности сводится к определению объекта G^ Имеет место
Теорема. Существует единственная продолженная связность неголономного многообразия с допустимой финслеровой метрикой, сохраняющей длину параллельно переносимого вектора.
Подробное доказательство теоремы содержится в [2]. Здесь лишь заметим, что допустимая финслерова метрика определяется гладкой функ-
D
влетворяюгцей обычным свойствам. По существу, доказательство теоремы сводится к вычислению объекта G^
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вагнер В. В. Геометрия (n — 1)-мерного неголономного многообразия в n-мерном пространстве // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М, : Изд-во Моск. ун-та, 1941. Вып. 5. С. 173-255.
2. Galaev S. V. Extension of the interior connection of a nonholonomie manifold with a Finsler metric // UEL : http://arxiv.org/abs/1103.4337. 2011.
3. Вершик A. M., Гершкович В. Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1987. JV2 16. С. 5-85.
4. Манин Ю. И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. М, : Наука, 1984. 173 с.
5. Вагнер В. В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий: VIII Междунар, конкурс на соискание премии им. И. И. Лобачевского (1937). Отчёт. Казань : Казан, фнз.-мат. общ-во, 1940. 327 с.
6. Галаев С. В., Челышев В. Т. О допустимых тензорных структурах на неголономном многообразии.// Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2. С. 19-21.
7, Букушева А. В., Галаев С. В. О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию // Математика, Механика: сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2005, Вып. 7, С, 12-14,
УДК 514.764
С. В. Галаев, А. В. Гохман
О ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТРИЧЕСКИХ ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
В статье вводится понятие внутренней геометрии многообразия почти контактной метрической структуры. В терминах внутренней геометрии дается описание некоторых классов пространств с почти контактной метрической структурой. Вводится новый тип почти контактных метрических пространств - эрмитовых почти контактных метрических пространств.
Введение. В терминологии В. В. Вагнера [1,2] многообразие почти контактной метрической структуры является неголономным многообразием коразмерности 1 с дополнительными, называемыми им внутренними, структурами. Мы определяем внутреннюю геометрию почти контактного метрического пространства X как совокупность тех свойств, которыми обладают: гладкое распределение О, задаваемое контактной формой п допустимое поле аффинора ^ (называемое нами допустимой почти комплексной структурой) такое, что = — 1; поле допустимых тензоров римановой метрики д, связанное с допустимой почти комплексной структурой равенством ) = д(Х,У) где X, У - допустимые векторные поля. К объектам внутренней геометрии почти контактного метрического пространства следует отнести и те объекты, которые являются производными от уже указанных внутренних структур: косо-симметрическая 2-форма ш = (п векторное поле У называемое полем Риба, определяющее оснащение распределения О - У € и однозначно определяемое равенствами п(У) = 1 кегш = б'рап(У) в случае, когда форма ш имеет максимальный ранг; внутренняя связность V, осуществляющая параллельный перенос допустимых векторов вдоль допустимых кривых и однозначно определяемая полем д; связность V1, являющаяся естественным продолжением связности V и осуществляющая параллельный перенос допустимых векторов вдоль произвольных кривых многообразия X.
1. Допустимые тензорные структуры. Пусть X - гладкое многообразие нечетной размерности п, ^^) - )-модуль гладких векторных полей па X ( оператор внешнего дифференцирования. Все
29
