CC BY
2
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
2024, Т. 166, кн. 2 С. 250-261
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ
УДК 512.643.8, 517.954, 517.968
doi: 10.26907/2541-7746.2024.2.250-261
О ЗАДАЧЕ К-ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ НА ЕДИНИЧНОЙ ОКРУЖНОСТИ В ПАРАБОЛИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ
С.В. Рогозин, Л.П. Примачук, М.В. Дубатовская
Белорусский государственный университет, г. Минск, 220050, Беларусь
Аннотация
Исследована разрешимость задачи К-линейного сопряжения (задачи Маркушевича) на единичной окружности. Эта задача эквивалентна векторно-матричной краевой задаче Римана. Ее коэффициент в параболическом случае вырождается (является треугольной матрицей-функцией). В этом случае дано полное описание факторизации матричного коэффициента и вычислены частные индексы этой факторизации. Основной метод исследования развит в серии статей авторов и основан на алгоритме Г.Н. Чеботарева. Построенная факторизация позволяет представить картину разрешимости задачи К-линейного сопряжения на единичной окружности в параболическом случае.
Ключевые слова: К-линейное сопряжение, параболический случай, факторизация матриц-функций, алгоритм Г.Н. Чеботарева, частный индекс
Пусть Г - простая замкнутая гладкая кривая, которая делит расширенную комплексную плоскость С на две области {0} и Э {оо}. Задача И-линейного сопряжения (или К-линейная краевая задача, или задача Маркушевича) заключается в нахождении двух функций , аналитических в , Б- соответственно, удовлетворяющих следующему краевому условию
Иное название этой задачи связано со статьей А.И. Маркушевича [1], в которой изучен вырожденный случай задачи (1)
Задача К-линейного сопряжения имеет долгую историю. Это связано в основном с ее многочисленными приложениями (см. исторический обзор [2]). В частности, эта задача описывает потенциальный тепловой поток в 2Б-композиционных материалах (см., например, [2-4]), а также применяется для изучения задач теории оболочек (см., например, [5]).
Если 6(£) = 0, то задача (1) совпадает с известной краевой задачей Римана (см. [6]), разрешимость которой полностью определяется индексом Коши первого
Введение
<p+(t) = a(t)<p-(t) + b(t)<p-(t) + f(t), t G Г.
(1)
<p+(t) = <p-(t), t€T = {t€C:|t| = l}.
коэффициента, т. е. 1пёг а(*). Если а(*) = 0, то задача (1) нормально разрешима. Л.Г. Михайлов [7] выделил три случая разрешимости задачи (1): 1) |а(*)| > |Ь(*)|; 2) |а(*)| = |Ь(*)|; 3) |а(*)| < |Ь(*)|, названные им эллиптическим, параболическим и гиперболическим случаями соответственно. Первое точное решение задачи (1) в эллиптическом случае было получено Б. Боярским [8] при достаточно строгих ограничениях и с использованием специфического искусственного метода. Приближенный метод решения применен в [9] (в частности, при некоторых ограничениях на коэффициенты, соответствующих параболическому случаю). Задача К-линейного сопряжения (1) исследовалась многими авторами (см. краткое описание результатов в [10, §20], а также [2,4].) В частности, в [11] доказано, что задача (1) на единичной окружности (т. е. с С = Т) эквивалентна векторно-матричной задаче С-линейного сопряжения
Ф+(*) = О(*)Ф-(*) + #(*), * е Т,
(2)
где
О(*)
1
а{1)
0
1
а{1)
1
аЩ
К*)|2Ч_Ь(*)|2 Ъ{Ь)
-ад 1
а{ь)№-Ъ{ь)№
( у+(*) \
у2
V )
ф-(г ) =
Ф-(^)
(3)
и неизвестные аналитические векторы связаны с , у соотношениями
( \
V )
(4)
Следовательно, в этом случае решение задачи К-линейного сопряжения (1) эквивалентно сводится к факторизации матричного коэффициента О(*) векторно-матричной задачи (2) (см., например, [12,13]), последнее означает представление матрицы О(*) в следующем виде
О(*) = О+(*)Л(*)О- (*),
(5)
где О+(*), О (*) - невырожденные квадратные матрицы-функции, аналитически продолжимые вместе со своими обратными [О+ (*)]-1, [О-(*)]-1 в области П+ = В = {г € С : \г\ < 1}, = С\В соответственно, и Л(£) = сМад{гт1 ,гт2} с целыми числами «1, «2. Числа «1, «2 называют частными индексами факторизации (5) или частными индексами матрицы О(*).
Задача факторизации п х п-матриц-функций заключается в нахождении множителей О+(*), О-(*) и вычислении частных индексов «1, «2,..., «п (согласно представлению, аналогичному (5)). Это старая задача, первоначально связанная с решением векторно-матричных краевых задач, но теперь связанная со многими другими математическими проблемами и имеющая множество приложений (см. обзорную статью [14], а также статьи [15-17], в которых специальное внимание уделено мероморфным матрицам-функциям). Предложено несколько методов конструктивного решения задачи факторизации, в том числе подход Г.Н. Чеботарева [18], который факторизовал треугольную матрицу-функцию второго порядка, применив метод цепных дробей.
0
В настоящей статье мы уделим внимание параболическому случаю задачи К -линейного сопряжения на единичной окружности. Использовав обобщение метода Чеботарева, мы получим явную факторизацию коэффициента О(г) соответствующей краевой задачи Римана (2) и вычислим частные индексы. Это позволит получить полное описание картины разрешимости задачи К-линейного сопряжения (1). Обсуждена также устойчивость частных индексов рассматриваемой задачи. Всюду ниже будем предполагать, что коэффициенты задачи (1) удовлетворяют условию Гёльдера (см., например, [6]). Это обусловлено тем, что при решении используются свойства сингулярного интегрального оператора, ограниченно действующего в пространствах Гёльдера. В принципе, предлагаемый ниже алгоритм может быть использован и в случае более общих предположений на коэффициенты (см., например, [12]), однако это потребовало бы расширения технического аппарата статьи. Такой подход предполагается применить в последующих публикациях.
1. Об устойчивости краевой задачи К-линейного сопряжения
Напомним определение факторизации и частных индексов.
В классической постановке задача факторизации заключается в представлении квадратной невырожденной матрицы-функции О € О(М(Г))ПХП (вообще говоря, непрерывной), определенной на простой замкнутой гладкой кривой Г на комплексной плоскости С, в следующем виде
где невырожденные матрицы О+ (г), О-(г) допускают аналитическое продолжение в Б+ и Б- соответственно. Здесь Б+, Б- - области на сфере Римана, лежащие слева и справа от кривой Г в соответствии с ориентацией, выбранной на Г. Л(г) - п х п-диагональная матрица,
и г+ € Б+, г € Б -некоторые (фиксированные) точки. В частности, если Г = К, то можно выбрать г+ = г, г- = —г, и если Г - ограниченная кривая и 0 € Б+, то
Целые числа Ж1,..., ш„ называют частными индексами, а матрицы О-(г), О+(г) -минус-, плюс-факторами. Факторизация типа (6) называется левосторонней или классической левосторонней факторизацией. Если она существует, то частные индексы определяются однозначно с точностью до порядка, т. е. являются инвариантами задачи факторизации. Поменяв местами О+ (г) и О-(г) в (6), мы придем к определению правой факторизации. В приведенном выше определении сиволом М(Г))ПХП обозначен класс всех квадратных п х п-матриц-функций, определенных на Г, а символом О - класс обратимых матриц-функций. Для описания результатов, касающихся конструктивных методов факторизации, мы отсылаем читателя к недавним статьям [13,14,19] и ссылкам в них.
Одним из важных вопросов, связанных с исследованием разрешимости векторно-матричных краевых задач, является исследование устойчивости частных индексов их матричных коэффициентов. Этот вопрос ставился и обсуждался еще в ранних работах Б. Боярского [20], а также И.Ц. Гохбергом и М.Г. Крейном [21]. Говорят (например, [22, с. 50]), что неособенная п х п-матрица-функция О(х) имеет
О(г) = О+ (г)Л(г)О-(г),
(6)
г — г+
г.
г — г-
устойчивое множество частных индексов, если существует такое число 6 > 0, что любая матрица-функция ^(ж) из 6-окрестности О(ж) (т. е. — О|| <6) имеет такое же множество частных индексов (правых или левых), что и матрица О(ж). Если это не так, то О(ж) имеет неустойчивое множество частных индексов. В зависимости от устойчивости/неустойчивости множества частных индексов матричного коэффициента векторно-матричной задачи последняя также называется устойчивой/неустойчивой соответственно. Было доказано (см. [20-22], а также [11]), что множество частных индексов «1,..., «п устойчиво тогда и только тогда, когда шах^- «^ — шт^ «^ < 1 .В неустойчивом случае небольшая деформация матрицы-функции О(ж) может привести к изменению частных индексов. В силу этого применение некоторых приближенных методов решения векторно-матричных краевых задач в неустойчивом случае не всегда приводит к правильному результату (с подробным обсуждением можно познакомиться в [23]).
Обсудим ниже специфику понятия устойчивости в случае задачи К-линейного сопряжения на единичной окружности и эквивалентной ей задачи С-линейного сопряжения (2). Предположим для определенности, что коэффициенты а(*), 6(*) и с(*) в краевом условии (1) непрерывны по Гёльдеру на единичной окружности Т и а(*) = 0 на Т. Матричный коэффициент задачи (3) может быть переписан в виде
Очевидно, что det О2(*) = |а(*)|2 и, таким образом, det О2(*) = 0. Следовательно, частные индексы матрицы О2(*) (которые обозначены ё¿,г = 1, 2) равны а = ±к при некотором к е N0. Следовательно, частные индексы матрицы О(*) равны (« — к, « + к) при « = indт а(*).
Общий результат, описывающий устойчивость задачи К-линейного сопряжения, представлен в следующем утверждении.1
Теорема 1 ([11, Т^. 3-5]).
• Краевая задача К-линейного сопряжения (1) является устойчивой в эллиптическом случае, т. е. когда |а(*)| > |6(*)|.
• Краевая задача К-линейного сопряжения (1) является устойчивой в параболическом случае, т. е. когда |а(*)| = |Ь(*)|, при выполнении дополнительного условия «ь = indт 6(*) > 0.
• Краевая задача К-линейного сопряжения (1) является устойчивой в параболическом случае, т. е. когда |а(*)| = |Ь(*)|), при выполнении дополнительного условия «ь = indт 6(*) < 0.
2. Факторизация матричного коэффициента в параболическом случае
В этом разделе мы получим явную факторизацию матричного коэффициента задачи (2), использовав некоторое обобщение подхода Г.Н. Чеботарева [18]. В параболическом случае матрица О2(*) в коэффициенте имеет вид
Заметим, что явная факторизация задачи К-линейного сопряжения не построена в [11]. Точная оценка так называемых дефектных чисел, т. е. чисел линейно независимых решений и условий разрешимости (1), приведена, например, в [24].
О(*) = О1(*)О2(*), где
Удобно переписать эту матрицу в форме
и изучить в дальнейшем факторизацию матрицы А (г), для которой частные индексы равны частным индексам матрицы О2(г).
Обозначим через х± (г), у±(г) канонические функции (см. [6]) следующих краевых задач:
х+(г) = б(г)х- (г), у+Ц) = -Щу-Ц).
Рассмотрим интеграл типа Коши
1 г х-(г) ¿г
а(г)
2пг У у+(г) г — г'
т
Тогда следующая кусочно-аналитическая матрица-функция
х(г) 0
х(г) V )а(г) У(г)
удовлетворяет краевому условию (2), т. е.
X+(г) = А(г)х-(г), г € т.
Ниже представлены порядки компонент матрицы X-(г) на бесконечности:
жъ ж —жъ + р —жъ
где р > 1 - порядок а-(г) на бесконечности. Заметим, что тёт det А(г) = 0.
Если жъ < —жъ + р (т. е. 2жъ < р), то матрица X-(г) имеет нормальную форму на бесконечности (см., например, [25]), и частные индексы матрицы А (г) равны (жъ, —жъ).
Утверждение 1. Если жъ < 0, то частные индексы матрицы А(г) равны (жъ, — жъ). Доказательство. Действительно, если жь < 0, то жь < —жь □
В случае жь > О представим отношение _А в виде непрерывной дроби в
Из теоремы 1 следует, что в случае жъ < 0 задача (1) неустойчива, но в случае жъ = 0 она устойчива.
окрестности бесконечно удаленной точки
Здесь ^0,^1,^2,... - полиномы, имеющие на бесконечности порядки, равные Ау, у = 0,1, 2,..., с А0 = р и Ау > 1, у = 1, 2,... . Представление (7) эквивалентно следующим соотношениям:
=д0(^ + Й1(г) 1-а-(г)д0(г) = а-(г)Е1(г),
^ =д2(г) + Д3(г) ^ 1 - 112{г)(12{г) = 112{г)11з{г), [>
Здесь Д(г), ] = 1, 2, 3,..., - функции, аналитические в окрестности бесконечно удаленной точки и имеющие там порядки Аj, ] = 1, 2, 3,..., соответственно. Следовательно, мы построили семейство полиномов Qj(г), ] е N0, и семейство функций Д (г), ] е N, аналитических в окрестности бесконечно удаленной точки.
Утверждение 2. Пусть «ь = indт 6(*) > 0 и (£ 1, £2) - частные индексы матрицы А(*). Если величина «ь равна одному из следующих чисел: р = Ао, р + А1 = Ао + А1, р + А1 + А2 = Ао + А1 + А2,... ,то частные индексы матрицы А(*) равны (£ 1,Ж2) = (0,0).
Доказательство. Пусть «ь = р. Тогда порядки матрицы Х-(г) на бесконечности имеют вид
р то 0 —р
Умножим матрицу X-(г) справа на полиномиальную матрицу
Т1(г )=(; —^)
и воспользуемся первым соотношением (8). Тогда
X ) = Х - ЫТ1Ы=Г Х-) —^) ^
XI (г) = Х (г)Т1(г)^ у-(г)а-(г) у-(г)[1 — а-(^(г)],/
х-(г) —х-(г )
у-(г)а-(г) у-(г)а-(г)Д1(г)
Порядки матрицы Х- (г) на бесконечности таковы:
р0 0А1
Поскольку А1 > 0, то порядки на бесконечности обоих столбцов матрицы Х- (г) равны 0. Таким образом, эта матрица имеет нормальную форму на бесконечности, и частные индексы матрицы А(*) равны (0,0).
Пусть «ь = р + А1 = Ао + А1. Умножим матрицу Х- (г) справа на полиномиальную матрицу
10
Т2(г) =
—Ql(z) 1
и используем второе соотношение (8). Получим
Х-(г) = Х-(г)Т ) А х-(г)(1 + №)) —х-(гш*) А
Х2 (г)= Х1 )Т2(гу-(г)[1 — Ql(z)Дl(z)] у-(г)а-(г^(г) ^
х- (г)(1 + Qо(z ^(г)) —х-(¿Ш^) у-(г)а-(г ^(^(г) )а-(^(г)
Порядки матрицы Х- (г) на бесконечности
Ао + А1 — (Ао + А1) Ао + А1 — Ао \ = / 0 А1
—Ао — А1 + Ао + А1 + А2 —Ао — А1 + Ао + А1 у \ А2 0
Поскольку Аj > 0, то порядки на бесконечности обоих столбцов матрицы Х- (г) равны 0. Таким образом, эта матрица имеет нормальную форму на бесконечности, и частные индексы матрицы А(*) равны (0,0).
Если жь = p + Ai + = Ао + Ai + А2, то умножим матрицу X (z) справа на полиномиальную матрицу
и используем третье соотношение (8). В результате получим тот же результат для частных индексов матрицы А(£).
Замечание 1. Из [11, Thm. 2] следует, что утверждение об устойчивости частных индексов (значит, и устойчивости задачи) также имеет место для всех оставшихся нерассмотренными значений индекса второго коэффициента жь, а именно, при жь G (p/2,p) U (p,p + 1) U (p + 1,p + 2),... . Тем не менее нам пока неизвестен прямой способ доказательства данного утверждения, подобный приведенному в утверждении 2. Таким образом, вопрос о прямом доказательстве утверждения об устойчивости в указанных случаях в настоящее время является открытым.
3. Разрешимость краевой задачи R-линейного сопряжения
На основе метода, описанного выше, были вычислены частные индексы матричного коэффициента G(t) краевой задачи (2). Следовательно, можно полностью описать картину разрешимости как задачи (2), так и исходной краевой задачи R-линейного сопряжения. Следуя [7,11, 12], сформулируем соответствующие результаты в терминах так называемых дефектных чисел l и l' (первое из них означает количество линейно-независимых решений однородной задачи, т. е. при c(t) = 0, над полем вещественных чисел, а второе - количество независимых вещественных условий разрешимости неоднородной задачи). Как было указано в разделе 1, частные индексы матрицы G(t) равны (ж + к, ж — к), где ж = indf a(t) и к -некоторое неотрицательное целое число. Дальнейший анализ показал, что к = 0 в устойчивом случае и к = жь = indf b(t) в неустойчивом случае. Таким образом, получен следующий результат (который согласуется с [12, Sec. 9.2]).
Теорема 2. (i) Пусть либо |a(t)| > |b(t)|, либо |a(t)| = |b(t)| и жь > 0. Тогда дефектные числа краевой задачи (2) равны l = max{0, 2ж}, l' = max{0, —2ж} .
(ii) Пусть |a(t)| = |b(t)| и жь < 0, А = ж + жь < 0, ^ = ж — жь > 0. Тогда дефектные числа краевой задачи (2) равны l = 2ж — 2жь, l' = 2ж + 2жь.
Замечание 2. Данное утверждение справедливо также и для краевой задачи R-линейного сопряжения, поскольку имеется взаимно-однозначное соответствие между решениями задач 2 и 1, а именно, соотношения (4).
Замечание 3. В неустойчивом случае краевой задачи R-линейного сопряжения (случай (ii) теоремы 2) возникает следующий вопрос: возможно ли удовлетворить условия разрешимости за счет подходящего выбора произвольных постоянных, описывающих множество линейно независимых решений однородной задачи? Общая постановка такой задачи приведена в [7], а ряд частных случаев обсужден
Благодарности. Работа выполнена при частичной поддержке Государственной программы научных исследований Республики Беларусь "Конвергенция-2025", проект № 1.7.01.4.
И так далее.
□
в [12].
Конфликт интересов. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
References
1. Маркушевич А.И. Об одной краевой задаче теории аналитических функций // Уч. зап. Моск. ун-та. 1946. Т. 1, № 100. С. 20-30.
2. Mityushev V. V. R-linear and Riemann-Hilbert problems for multiply connected domains // Advances in Applied Analysis / Rogosin S.V., Koroleva A.A. (Eds.). Ser.: Trends in Mathematics. Basel: Birkhauser, 2012. P. 147-176. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0417-2_4.
3. Drygas P., Gluzman S., Mityushev V., Nawalaniec, W. Applied Analysis of Composite Media: Analytical and Computational Results for Materials Scientists and Engineers. Ser.: Woodhead Publishing Series in Composites Science and Engineering. Cambridge: Woodhead Publ., 2020. 372 p. https://doi.org/10.1016/C2017-0-03743-6.
4. Mityushev V. V., Rogosin S. V. Constructive Methods for Linear and Nonlinear Boundary Value Problems for Analytic Functions: Theory and Applications. Ser.: Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics. V. 108. Boca Raton, FL, London, New York, NY, Washington, DC: Chapman & Hall/CRC, 1999. 296 p.
5. Веку а И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. 286 с.
6. Гахов Ф.Д. Краевые задачи, 3-е изд. М.: Наука, 1977. 640 с.
7. Михайлов Л.Г. Общая задача сопряжения аналитических функций и ее применения // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1963. Т. 27, № 5. С. 969-992.
8. Боярский Б. Об обобщенной граничной задаче Гильберта // Сообщ. АН ГрузССР. 1960. Т. 25, № 4. С. 385-390.
9. Сабитов И.Х. Об общей краевой задаче линейного сопряжения на окружности // Сиб. матем. журн. 1964. Т. 5, № 1. С. 124-129.
10. Litvinchuk G.S. Solvability Theory of Boundary Value Problems and Singular Integral Equations with Shift. Ser.: Mathematics and Its Applications. V. 523. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2000. xvi, 378 p. https://doi.org/10.1007/978-94-011-4363-9.
11. Литвинчук Г.С. Две теоремы об устойчивости частных индексов краевой задачи Римана и их приложение // Изв. вузов. Матем. 1967. № 12. С. 47-57.
12. Litvinchuk G.S., Spitkovskii I.M. Factorization of Measurable Matrix Functions / Heinig G. (Ed.). Ser.: Operator Theory: Advances and Applications. V. 25. Basel: Birkhauser, 1987. 372 p. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-6266-0.
13. Rogosin S.V., Mishuris G. Constructive methods for factorization of matrix-functions// IMA J. Appl. Math. 2016. V. 81, No 2. P. 365-391. https://doi.org/10.1093/imamat/hxv038.
14. Kisil A.V., Abrachams I.D., Mishuris G., Rogosin S.V. The Wiener-Hopf technique, its generalizations and applications: Constructive and approximate methods // Proc. R. Soc. A. 2021. V. 477, No 2254. Art. 20210533. https://doi.org/10.1098/rspa.2021.0533.
15. Адуков В.М. Факторизация Винера-Хопфа мероморфных матриц-функций // Алгебра и анализ. 1992. Т. 4, вып. 1. С. 54-74.
16. Адуков В.М. Факторизация Винера - Хопфа кусочно мероморфных матриц-функций // Матем. сб. 2009. Т. 200, № 8. С. 3-24.
17. Camara M.C., Malheiro M.T. Meromorphic factorization revisited and application to some groups of matrix functions // Compl. Anal. Oper. Theory. 2008. V. 2, No 2. P. 299326. https://doi.org/10.1007/s11785-008-0054-1.
18. Чеботарев Г.Н. Частные индексы краевой задачи Римана с треугольной матрицей второго порядка // УМН. 1956. Т. 11, вып. 3(69). С. 192-202.
19. Primachuk L., Rogosin S.V. Factorization of triangular matrix-functions of an arbitrary order // Lobachevskii J. Math. 2018. V. 39, No 6. P. 809-817. https://doi.org/10.1134/S1995080218060148.
20. Боярский Б. Об устойчивости задачи Гильберта для голоморфного вектора // Сообщ. АН ГрузССР. 1958. Т. 21, № 4. С. 391-398.
21. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Об устойчивой системе частных индексов задачи Гильберта для нескольких неизвестных функций // Докл. АН СССР. 1958. Т. 119, № 5. С. 854857.
22. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов // УМН. 1958. Т. 13, вып. 2 (80). С. 3-72.
23. Mishuris G., Rogosin S. Approximate factorization of a class of matrix-function with unstable set of partial indices // Proc. R. Soc. A. 2018. V. 474, No 2209. Art. 20170279. https://doi.org/10.1098/rspa.2017.0279.
24. Литвинчук Г.С., Спитковский И.М. Точные оценки дефектных чисел обобщенной краевой задачи Римана, факторизация эрмитовых матриц-функций и некоторые проблемы приближения мероморфными функциями // Матем. сб. 1982. Т. 117 (159), № 2. С. 196-215.
25. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения, 3-е изд. M.: Наука, 1968. 512 с.
Поступила в редакцию 10.04.2024 Принята к публикации 2.05.2024
Рогозин Сергей Васильевич, кандидат физико-математических наук, доцент Белорусский государственный университет
пр. Независимости, д. 4, г. Минск, 220050, Беларусь E-mail: rogosinsv@gmail.com Примачук Леонид Платонович, кандидат физико-математических наук, доцент Белорусский государственный университет
пр. Независимости, д. 4, г. Минск, 220050, Беларусь E-mail: rosanovas@yahoo.fr Дубатовская Марина Валерьевна, кандидат физико-математических наук, доцент Белорусский государственный университет
пр. Независимости, д. 4, г. Минск, 220050, Беларусь E-mail: marina. dubatovskaya@gmail. com
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2024, vol. 166, no. 2, pp. 250-261
ORIGINAL ARTICLE
doi: 10.26907/2541-7746.2024.2.250-261
R-Linear Conjugation Problem on the Unit Circle in the Parabolic Case
S.V. Rogosin*, L.P. Primachuk**, M.V. Dubatovskaya***
Belarusian State University, Minsk, 220050 Belarus E-mail: *rogosinsv@gmail.com, ** rosanovas@yahoo.fr,
* * * marina. dubatovskaya@gmail. com
Received April 10, 2024; Accepted May 2, 2024 Abstract
A solution to the R-linear conjugation problem (Markushevich boundary value problem) on the unit circle was proposed. This problem is analogous to the vector-matrix Riemann boundary value problem with the coefficient degenerating in the parabolic case (the coefficient is a triangular matrix function). A complete description of the factorization of the matrix coefficient was provided. Its partial indices were calculated. The method used is based on G.N. Chebotarev's algorithm and has been developed in a series of author's articles. The resulting factorization confirms the solvability of the R-linear conjugation problem on the unit circle in the parabolic case.
Keywords: R-linear conjugation, parabolic case, factorization of matrix functions, G.N. Chebotarev's algorithm, partial index
Acknowledgements: This study was supported in part by the State Program for Scientific Research of the Republic of Belarus "Convergence-2025" (project no. 1.7.01.4). Conflicts of Interest. The authors declare no conflicts of interest.
References
1. Markushevich A.I. On a boundary value problem of analytic function theory. Uch. Zap. Mosk. Univ., 1946, vol. 1, no. 100, pp. 20-30. (In Russian)
2. Mityushev V.V. R-linear and Riemann-Hilbert problems for multiply connected domains. In: Rogosin S.V., Koroleva A.A. (Eds.) Advances in Applied Analysis. Ser.: Trends in Mathematics. Basel, Birkhauser, 2012, pp. 147-176. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0417-2_4.
3. Drygas P., Gluzman S., Mityushev V., Nawalaniec W. Applied Analysis of Composite Media: Analytical and Computational Results for Materials Scientists and Engineers. Ser.: Woodhead Publishing Series in Composites Science and Engineering. Cambridge, Woodhead Publ., 2019. 372 p. https://doi.org/10.1016/C2017-0-03743-6.
4. Mityushev V.V., Rogosin S.V. Constructive Methods for Linear and Nonlinear Boundary Value Problems for Analytic Functions: Theory and Applications. Ser.: Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics. Vol. 108. Boca Raton, FL, London, New York, NY, Washington, DC, Chapman & Hall/CRC, 1999. 296 p.
5. Vekua I.N. Nekotorye obshchie metody postroeniya razlichnykh variantov teorii obolochek [Some General Methods of Constructing Various Versions of the Shell Theory]. Moscow, Nauka, 1982. 286 p. (In Russian)
6. Gakhov F.D. Kraevye zadachi [Boundary Value Problems]. 3rd ed. Moscow, Nauka, 1977. 640 p. (In Russian)
7. Mikhailov L.G. The general conjugation problem for analytic functions and its applications. Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., 1963, vol. 27, no. 5, pp. 969-992. (In Russian)
8. Bojarski B. On generalized Hilbert boundary value problem. Soobshch. Akad. Nauk Gruz. SSR, 1960, vol. 25, no. 4, pp. 385-390. (In Russian)
9. Sabitov I.Kh. A general boundary value problem for the linear conjugate on the circle. Sib. Mat. Zh., 1964, vol. 5, no. 1, pp. 124-129. (In Russian)
10. Litvinchuk G.S. Solvability Theory of Boundary Value Problems and Singular Integral Equations with Shift. Ser.: Mathematics and Its Applications. Vol. 523. Dordrecht, Kluwer Acad. Publ., 2000. xvi, 378 p. https://doi.org/10.1007/978-94-011-4363-9.
11. Litvinchuk G.S. Two theorems on the stability of the partial indices of Riemann boundary value problem and their application. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Mat., 1967, no. 12, pp. 47-57. (In Russian)
12. Litvinchuk G.S., Spitkovskii I.M. Factorization of Measurable Matrix Functions. Heinig G. (Ed.). Ser.: Operator Theory: Advances and Applications. Vol. 25. Basel, Birkhauser, 1987. 372 p. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-6266-0.
13. Rogosin S.V., Mishuris G. Constructive methods for factorization of matrix-functions. IMA J. Appl. Math., 2016, vol. 81, no. 2, pp. 365-391. https://doi.org/10.1093/imamat/hxv038.
14. Kisil A.V., Abrachams I.D., Mishuris G., Rogosin S.V. The Wiener-Hopf technique, its generalizations and applications: Constructive and approximate methods. Proc. R. Soc. A, 2021, vol. 477, no. 2254, art. 20210533. https://doi.org/10.1098/rspa.2021.0533.
15. Adukov V.M. Wiener-Hopf factorization of meromorphic matrix functions. St. Petersburg Math. J., 1993, vol. 4, no. 1, pp. 51-69.
16. Adukov V.M. Wiener-Hopf factorization of piecewise meromorphic matrix-valued functions. Sb.: Math., 2009, vol. 200, no. 8, pp. 1105-1126. https://doi.org/10.1070/SM2009v200n08ABEH004030.
17. Camara M.C., Malheiro M.T. Meromorphic factorization revisited and application to some groups of matrix functions. Complex Anal. Oper. Theory, 2008, vol. 2, no. 2, pp. 299-326. https://doi.org/10.1007/s11785-008-0054-1.
18. Chebotarev G.N. Partial indices for the Riemann boundary value problem with a triangular matrix of the second order. Usp. Mat. Nauk, 1956, vol. 11, no. 3 (69), pp. 192202. (In Russian)
19. Primachuk L., Rogosin S.V. Factorization of triangular matrix-functions of an arbitrary order. Lobachevskii J. Math., 2018, vol. 39, no. 6, pp. 809-817. https://doi.org/10.1134/S1995080218060148.
20. Bojarski B. Stability of the Hilbert problem for a holomorphic vector. Soobshch. Akad. Nauk Gruz. SSR, 1958, vol. 21, no. 4, pp. 391-398. (In Russian)
21. Gokhberg I.Ts., Krein M.G. On the stable system of partial indices in the Hilbert problem for many unknown functions. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1958, vol. 119, no. 5, pp. 854-857. (In Russian)
22. Gokhberg I.Ts., Krein M.G. Systems of integral equations on the half-line with kernels depending on the difference of the arguments. Usp. Mat. Nauk, 1958, vol. 13, no. 2 (80), pp. 3-72. (In Russian)
23. Mishuris G., Rogosin S. Approximate factorization of a class of matrix-function with unstable set of partial indices. Proc. R. Soc. A, 2018, vol. 474, no. 2209, art. 20170279. https://doi.org/10.1098/rspa.2017.0279.
24. Litvinchuk G.S., Spitkovskii I.M. Sharp estimates of defect numbers of a generalized Riemann boundary value problem, factorization of Hermitian matrix-valued functions and some problems of approximation by meromorphic functions. Math. US'SR - Sb., 1983, vol. 45, no. 2, pp. 205-224. https://doi.org/10.1070/sm1983v045n02abeh002595.
25. Muskhelishvili N.I. Singulyarnye integral'nye uravneniya [Singular Integral Equations]. 3rd ed. Moscow, Nauka, 1968. 512 p. (In Russian)
Для цитирования: Рогозин С.В., Примачук Л.П., Дубатовская М.В. О задаче / R-линейного сопряжения на единичной окружности в параболическом случае // \ Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2024. Т. 166, кн. 2. С. 250-261.
URL: https//doi.org/10.26907/2541-7746.2024.2.250-261.
For citation: Rogosin S.V., Primachuk L.P., Dubatovskaya M.V. R-linear conjugation / problem on the unit circle in the parabolic case. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universi-\ teta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2024, vol. 166, no. 2, pp. 250-261.
URL: https//doi.org/10.26907/2541-7746.2024.2.250-261. (In Russian)
