О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ R-ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ, С РАЦИОНАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Сыктывкарского университета.

Серия 1: Ма тем а тика. Механика. Информатика.

Выпуск 2 (39). 2021

УДК 512.643.8+

517.954+517.968 В01: 10.34130/1992-2752 2021 2 27

О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ 11-ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ1

С. В. Рогозин, Л. П. Примачук, М. В. Дубатовская

Статья посвящена анализу разработанного авторами эффективного метода решения задачи 11-линейного сопряжения. Предложенный метод использует обобщение алгоритма Г. Н. Чеботарева факторизации треугольных матриц-функций. Ключевые слова: задача М-линейного сопряжения, рациональные коэффициенты, факторизация матриц-функций, частные индексы.

1. Введение

Рассматривается разрешимость так называемой задачи М-лииейиого

сопряжения

<р+(г) = а(г)<р~(г) + Ь(г)<р-(г) + /(*), г е т = {ь е С : = 1}, (1)

где </?"(£) представляют собой граничные значения неизвестных

функций, аналитических соответственно внутри и вне единичного круга О. Эта задача упоминается в литературе как задача Маркушевича, А. И. Маркушевич рассмотрел частный случай такой задачи в 1946 гоДУ [!]■

Задача (1) исследовалась многими авторами (см. [2], а также краткое описание более поздних результатов в [3, §20]). Интерес к данной

1 Работа выполнена в рамках Государственной программы научных исследований «Конвергенция-2025» (задание 1.7.01.04) и гранта БРФФИ Ф20Р-083.

© Рогозин С. В., Примачук Л. П., Дубатовская М. В., 2021.

задаче вызван достаточно специфической теорией и многочисленными приложениями, в частности в теории композиционных материалов [4; 5], Разрешимость задачи (1) связана, в частности (см, [6]), с необходимостью факторизации некоторой матрицы-функции второго порядка (см, [7-9]), поскольку задача (1) на единичной окружности эквивалентна векторно-матричной краевой задаче (задаче С-линейного сопряжения)

Ф+(*) = С(*)Ф"(*)+ </(*), ¿еТ. (2)

Здесь

Git)

щ 0 U Ht)\2-\b(t)\2 bit) 0 щД -bit) 1

git)

1 [ ait)fit) - bit)fit)

a(t) I -fit)

неизвестные вектор-функции Ф^ связаны с неизвестными функциями Lp+,Lp~ следующими тождествами:

Предлагаемый в работе метод представляет собой обобщение нового подхода, разработанного авторами в [10], Суть этого подхода состоит в двукратном применении метода Г, Н, Чеботарева [11] для факторизации матричного коэффициента задачи (2), В принципе метод может быть применен к любой задаче (1) с произвольными гельдеровскими коэффициентами в эллиптическом случае, т, е, когда коэффициенты удовлетворяют условию \a(t)\ > \b(t)\. В данной статье ограничиваемся рациональными коэффициентами, поскольку в этом случае предлагаемый алгоритм решения задачи становится конечным и сводится к некоторым последовательным преобразованиям матриц-функций,

2. Постановка задачи

Рассмотрим задачу (1) с рациональными коэффициентами a(t) ф / 0,i G Т, b(t), fit). Преобразуем краевое условие к виду, более удобному для применения метода, разработанного в [10],

Обозначим ее = тс1та(£) индекс Коши коэффициента а(£) задачи (1) (равный разности числа нулей и полюсов этой функции внутри единичного круга). Факторизация скалярной функции а(£) [12] означает представление ее в виде

а(Ь) = х+№х~Ше Т,

где — эт0 граничные значения функций, аналитических и не

обращающихся в нуль в областях I) 1 = О и 1)~ = С\0 соответственно. После серии преобразований:

= <р-(г) = <р-(г)Х-(г),

x+(t)x~(ty x+(t)}

q(t) = q+(t) + q~(t), приходим к следующей эквивалентной форме задачи (1):

■4>+(t) = r4>-(t)+P(t)4>-(t) + h(t), te т, (з)

где = V+(t) - q+(t)V-(t), ф-it) = 4>-{t), a pit) = q~(t), h(t) -

рациональные функции,

В приведенных выше обозначениях краевая задача (3) эквивалентна векторно-матричной задаче (или задаче С-линейного сопряжения)

- (о £) (1 "_|f pf)о + m * - т, (4)

, hit) - t*p{t)h{t) т = 1 -ГЩ

Уточним условия на рациональный коэффициент pit) задачи (3), Будем считать, что выполнено следующее

Предположение, Положим, что pit) — это рацинальная функция, аналитическая вне единичного круга:

п

рп) Д(*"аз)

p(t) = q (t) = —— = ao^i-, (5)

j=i

где все нули многочлена Q(z) лежат внутри единичного круга

N < 1, j = !,•••, га, (6)

k G Z, (7)

а порядок n = deg Р многочлена P(z) и порядок m, = deg Q многочлена Q(z) удовлетворяют неравенству

n < m + к. (8)

Решение задачи (4) определяется факторизацией матричного коэффициента с рациональными элементами

Am_ { 1~Р(Ш) P(t)

" l -m i

т, e, представлением этой матрицы-функции в виде

A{t) = A+(t)A(t)A~(t), te T, (9)

где A+it), A~(t) — граничные значения матриц, аналитических и невырожденных в областях D+,D~ соответственно, а Л (t) = diagfo^1 с целыми показателями степени aei, аег G Z (называемыми частными индексами матрицы Ait)). Известно (см., например, [13]), что подобная факторизация рациональных матриц-функций всегда существует. Заметим также, что рассматриваемая матрица обладает следующим свойством: det Ait) = 1, потому частные индексы удовлетворяют соотношению

aei + зе2 = 0. (10)

В данной работе предложен конструктивный алгоритм факторизации рациональных матриц. Этот алгоритм основывается на применении преобразований, обобщающих метод Г, Н, Чеботарева [11], С помощью этих преобразований задача сводится сначала к задаче факторизации треугольной матрицы-функции, которая затем факторизуется с помощью метода, аналигичного методу Чеботарева,

Предлагаемый алгоритм является более простым по сравнению с известными алгоритмами факторизации рациональных матриц-функций (см., например, [8; 13]),

3. Факторизация матричного коэффициента

Для начального шага алгоритма введем формальное (матричное) аналитическое решение однородной краевой задачи с матричным

коэффициентом А{{)

Х+Ц) = АЦ)Х^Ц), teT. (И)

А именно положим, что = Е2 — это единичная 2x2 матрица,

х°~(г)={ш 1 -фш)- (12)

Заметим, что является рациональной матрицей, аналитиче-

ской вне единичного круга (но необязательно аналитической в бесконечно удаленной точке), поскольку

п п

— 3 = 1 1 3 = 1

p(z) = a0

_ m __m

3=1 3=1

m+n ■ ■ ■ Ьт m_n j-1

zkY\{z-aJ)

CLq • Qj\ ■ ■ ■ CL,

U(z- bj)

3 = 1

3.1. Преобразование к треугольной матрице

Для преобразования матрицы Х~(г) к треугольному виду представим рациональную функцию ^у в виде цепной дроби. Сначала поделим

многочлен С}(уЬ) на многочлен Р(£). Получим

1 + (13)

pit) p(t) - '1 p(t)

где Soit) — многочлен порядка ¡jlq = m + к — n, a Ri(t) — многочлен порядка ui < n < m + к. Соотношение (13) эквивалентно следующему равенству

1 - S0(t)p(t) = (14)

Далее поделим многочлен P(t) на многочлен R\(t):

P(t) m Mt)

Ш = l{ ) + Ш' { ]

где Si(t) — многочлен порядка Ц\ = п — а R2(t) ~~ многочлен порядка v2 < Соотношение (15) эквивалентно равенству

P(t)-S1(t)R1(t) = R2(t). (16)

Продолжая, получим

-см I (л 7\

Ш 2{ ) + Ш' { ]

где 5*2(t) — многочлен порядка ¡i2 = a Rsit) — многочлен порядка

уъ < v2. Соотношение (17) эквивалентно равенству

Ri{t) - S2{t)R2{t) = R3{t). (18)

Поскольку порядки многочленов Rj (t) убывают, то через конечное число шагов получим конечное разложение функции ^у в цепную дробь

1 = S0(t) + 0 , . , 1 !-• (19)

Sl\t)

Далее мы применим полученное соотношение (14) для преобразования матрицы X^it) к треугольному виду. Умножим обе части (11) справа на полиномиальную матрицу

™ = ( SbW ? ) • (20)

Тогда минусовая компонента решения задачи (11) имеет вид

*гм = ™И1_™(<) 1-«)= (21)

Ri(t) P(t)

= I Q(t) Q(t)_

F^t) 1 -p(t)p(t)

где — некоторая рациональная функция. Далее умножим обе части равенства Х^^Т^) = на полиномиальную матрицу

Ш = ( I ^ ) . (22)

Получим

Д1М (*)--Р(*)

*,"(')= *Г(№М=| «М «М ]= (23)

ЗД) ^Ъ(л)

где — рациональная функция. Продолжая, получим соотношение

= ШШ) ■ ..Т1+1{1) = АЦ)ХГ+1Ц). (24)

На последнем шаге деления многочленов в процессе представления в виде цепной дроби возможны два случая:

(a)

_1(£) делится на Дг(£) нацело, т. е, (Лг+1 = 0), т. е,

(b) остаток от деления И^^) на Дг(£) есть число (Я^^) = С), т, е,

^ = (26)

Покажем далее, что в обоих случаях матрица Х^+1{1) преобразуется к треугольному виду.

Рассмотрим случай (а). Если число I нечетное, то матрица Х^+1{1) имеет вид

/ ш. о А

Если число I четное, то матрица Х^+1{£) имеет вид

( о А

» и,«) т ' (28)

и для унификации ситуации умножим обе части (24) на матрицу

О 1

Тогда

Тг+2 , 0

о

*г+2(*) = • (29)

1+21 * V -Я® )

Рассмотрим случай (Ь), Если число I нечетное, то матрица имеет вид

/ М1__с_ \

хг»®=[т ;лг))- (30)

Умножим обе части соотношения (24) на рациональную матрицу

Г -( 1 °

11+2 — 1

V с 1

Матрица Хг~2(£) = -^"¿+1(^)^+2 приобретет при этом вид

О с

ХГ+2® = ( . ^ „ ), (31)

где ^г+гСО = ^СО + Умножая Х++2Ц) = А^Х^Ц) на мат-

рицу

= Тг+2 = ( -1 о)'

получаем минусовую компоненту в виде

Если число I четное, то матрица Х^+1{1) имеет вид

С

3(4)

л*) т

Умножая обе части равенства (24) на рациональную матрицу

**+!(*) =( Л.ч ¿У )• (33)

1 М1 т" — I С

1+2 -и 1

получим следующее представление матрицы Х1+2{{) = Х1+1(1)Т{'+2(1):

ХГ+2® =

о

ОС*)

(34)

Заметим, что матрица А и все матрицы преобразования Tj имеют единичный определитель, мы приходим к следующему утверждению. Пара матриц с «плюсовой» компонентой

(35)

и треугольной «минусовои» компонентой

О

Х;(г) = А(г)={

Ы*) Ж*)

о

(-1)^+1(г)

в случае (а),

в случае (Ь)

(36)

удовлетворяет краевому условию (11), т. е,

Х^(1) = А(1)Х;(1).

(37)

Здесь число 5 равно одному из чисел I + 1, I + 2, или I + 3, 3.2. Факторизация матрицы А(Ь)

Для того чтобы факторизовать матрицу А(1;), перепишем соотношение (37) в эквивалентной форме

(38)

где

в случае (а) и

в случае (Ь),

д-Ч*)

(-1 )1т Ц

Ш п с и

(39)

(40)

0

Матрица

-1ЛЛ _ / 0

а{1) у{1)

имеет компоненты, описанные в Лемме 3,1, Факторизация этой матрицы строится с помощью алгоритма Чеботарева [11], Сначала фактори-зуем диагональные элементы т, е, представим их в виде

х+а) = хц)х-ц), у+а) = уа)у-ц), ¿ет. (41)

В случае (а) эта факторизация зависит от распределения нулей многочлена Я^г). Пусть = где все нули многолена КЦг) лежат внутри единичного круга, а все нули Дг_(-г) — вне его, т, е, / = /+ + /".

Следуя [11], рассмотрим интеграл типа Коши

= — [ а(т)ж"(т)^ г е Я* (42)

т

Пара аналитических невырожденных матриц

у^) = () (43)

удовлетворяет краевому условию

У+(;£) = Д_1(£)У~(£), г Е Т. (44)

Следуя [14], заметим, что для построения общего решения задачи (44) необходимо найти так называемую каноническую матрицу этой задачи (что равносильно решению задачи факторизации (9)), Напомним [14, с, 523], что канонической матрицей называется кусочно-аналитическая матрица Х±(г), удовлетворяющая условию (44), аналитическая и невырожденная в областях 1)^ и такая, что сумма порядков ее столбцов на бесконечности (равная минимуму порядков элементов столбца) совпадает с порядком с1е1 Х~ на бесконечности, В этом случае говорят, что Х~(г) имеет нормальную форму на бесконечности, а порядки столбцов равны частным индексам соответствующей задачи факторизации.

Построенная выше кусочно-аналитическая матрица У±(г), вообще говоря, не является канонической матрицей задачи (44), Вычислим порядки элементов матрицы У~(г) и запишем их слева и справа от матрицы в виде

к + т~\ ( , ~ • (45)

и-к-т + Х \у~(г)Ф~(г) у~{г) ) \-k-m

Здесь

х={1+ в случае (а) 1 0 в случае (Ь).

Порядки столбцов равны гшп{& + т — А, V — к — т + \} и —к — т соответственно. Следовательно, не во всех случаях

гшп{& + т — А, и — к — т + А} + (—к — т) = 0 = ог(Ые1 У ~(оо).

Для того чтобы преобразовать матрицу к каноническому ви-

ду, воспользуемся алгоритмом Чеботарева [11], Представим (рациональную!) функцию в виде конечной цепной дроби

1 1

вд +

1 _'

т

иг(г)

где и0(г), 1/1 (г),..., иг(г) — многочлены порядков д0, ..., дг соответственно, На каждом шаге разложения (за исключением последнего) имеем следующее тождество:

1 = и0{г)Ф~{г) + У1{г),

где остатки деления У2(г),..., У3-\(г) имеют на бесконечности по-

рядки VI, и2,..., vs-l соответственно. На последнем шаге имеем случай (с):

или

случай (с1):

У3-1(г) = из(гШг) + С.

Далее, умножим обе части равенства (44) на треугольную полино-

получить необходимые свойства преобразованной матрицы (минусовой компоненты),

Заметим, что и = д0, = д0 + дг, и2 = д0 + ^ + д2, ■ ■ ■, ь>3 = Яо + <?1 + +^2+ • • Тогда так же, как в [11], мы получим следующий результат. Если и — к — т + Х> к + т — А, то частные индексы матрицы Д_1(£) равны к + т — А, А — к — т.

Если и, и + 1/1,..., + щ < к + т — А, но щ + > к + т— — А, то частные индексы матрицы Д_1(£) равны к + т — X — щ, —к — т + X + щ. В нашем случае с1е1 Д_1(£), а также определители всех матриц преобразования тождественно равны 1, Следовательно, XI = —Х2 и частные индексы матрицы Д_1(£) всегда противоположны по знаку (эз! = — эз2).

Следовательно, матричный коэффициент задачи (4) имеет следующую факторизацию:

(о °) (1 \P|f' р?) = = z+mm-(t), (47)

где t Е Т, Z+(t) = X+(t)Y+(t), Z~(t) = Y~(t),nA(t) = diagi?***1, i33"331}.

Заметим, что набор частных индексов матрицы A(t) устойчив (см., например, [6; 8]) тогда и только тогда, когда aei = О,

4. Решение задачи М-линейного сопряжения

Используя решение задачи факторизации (47), преобразуем краевое условие задачи (4) к виду

Решения задачи (48) связаны с решениями задачи (4) следующими соотношениями:

миальную матрицу вида

n+(t) = A(t)Q-(t) + s(t), iE Т.

(48)

и = 1г(£), Фактически векторно-матричная задача эквива-

лентна двум независимым скалярным краевым задачам:

ÜJ+(t) = t£e+£eioj^(t) + sl(t), c4(i) = + s2{t).

Решения этих задач, а также условия их разрешимости могут быть записаны в замкнутой форме [12], Представим их в следующей теореме. Если ее — ее\ > 0, то общие решения задач (50) могут быть представлены в виде

oj+(z) = Pas+asi(z)+si(z), [P^^+sTiz)}

w+(z) = Pie-iei(z)+ s+(z), [P^W+Stiz)]

(51)

Ще Psi+sti (z), Pae-aei (z) — МНОГОЧЛ6НЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ КОМПЛСКСНЫМИ

коэффициентами порядков ее + ее\, ее — ее\ соответственно, и

= т (52)

т

Если ее — ее\ < 0 < ее + aei, то решения задач (50) существуют тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

/ s2(t)tk~ldt = 0, к= l,2,...,-ae + aei - 1. (53)

Если условия (53) выполнены, то общие решения задач (50) могут быть записаны в виде

ш+^) = Р1В+1В1{г)+з+&), ,

где Рш+гв! (г) — многочлен с произвольными комплексными коэффициентами порядка ае + ае1, а функции = 1,2 задаются формулами (52),

Если ЭЗ+ЭЗ1 < 0, то общие решения задач существуют тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

/ si{t)tk~ldt = 0, к= 1,2,..., — ае — аех — 1,

т

/ s2{t)tk~ldt = 0, к= 1,2,..., — ае + аех — 1.

Если условия (55) выполнены, то общие решения задач (50) могут быть записаны в виде

ш+(г) = 8+(г), = Г^^ГО*), ш+{г) = а+{г), = И™^), ^

т

т

где функции = 1,2 задаются формулами (52),

Решение ^(г) задачи могут быть найдены из соотношений, связывающих функцию и вектор . Последний выражается через решения П±(г) задачи (48), задаваемыми формулами (51), (54), (56) и через решения задачи факторизации (3)

Ф+(;г) = г+(г)П+(г), Ф+(г) = [£"(*)]

Список литературы

1, Маркушевич А. И. Об одной краевой задаче теории аналитических функций // Уч. записки Московского ун-та. I. 100. 1946. С. 20-30.

2, Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами, Душанбе: Изд-во АН ТаджССР, 1963, 1836 с,

3, Litvinchuk G. S. Solvability Theory of Boundary Value Problems and Singular Integral Equations with Shift // Mathematics and its Applications. 2000. V. 523. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 205 p.

4, Mityushev V. V. E-linear and Riemann-Hilbert problems for multiply connected domains // Advances in Applied Analysis (Sergei V. Rogosin, Anna A. Koroleva eds.), Springer: Basel. 2012. Pp. 147-176.

5, Mityushev V. V., Rogosin S. V. Constructive Methods for Linear and Nonlinear Boundary Value Problems for Analytic Functions: Theory and Applications (Monographs and surveys in pure and applied mathematics. Vol, 108), Chapman & Hall / CEC PRESS: Boca Eaton -London - New York - Washington, 1999, 296 p.

6, Литвинчук Г. С. Две теоремы об устойчивости частных индексов краевой задачи Римана и их приложение // Изв. вузов. Матем. № 12. 1967. С. 47-57.

7, Litvinchuk G. S., Spitkovsky I. M. Factorization of measurable matrix functions, Basel-Boston: Birkhauser, 1987, 372 p.

8, Rogosin S., Mishuris G. Constructive methods for factorization of matrix-functions // IMA J. Appl Math., 2016. Vol. 81 (2). Pp. 365391.

9, Сабитов И. X. Об общей краевой задаче линейного сопряжения на окружности // Сиб. мат. ж. 1964- Т. V (1). Pp. 124~129.

10, Primachuk L., Rogosin S., Dubatovskaya M. On E-linear conjugation problem on the unit circle // Eurasian Mathematical Journal, 2020. Vol. 11 (3). Pp. 79-88.

11, Чеботарев Г. H. Частные индексы краевой задачи Римана с треугольной матрицей второго порядка // Успехи мат. наук. 1956. Т. XI. Вып. 3. Pp. 192-202.

12, Гахов Ф. Д. Краевые задачи, 3-е изд. М,: Наука, 1977, 544 с,

13, Adukov V. М. Wiener-Hopf factorization of meromorphic matrix-functions // St. Petersburg Math. J. 4 (1). 1993. Pp. 51-69.

14, Мусхелишвили H. И. Сингулярные интегральные уравнения, 3-е изд. М,: Наука, 1968, 511 с,

15, Primachuk L., Rogosin S. Factorization of triangular matrix-functions of an arbitrary order // Lobachevsky J. Math., 2018. V. 39 (6). Pp. 809-817.

Summary

Rogosin S. V., Primachuk L. P., Dubatovskaya M. V. On solution to R-linear conjugation problem with rational coefficients

The paper is devoted to an analysis of an effective method of solution to Д-linear conjugation problem recently developed by the authors. The method uses a generalization of G, N, Chebotarev's algorithm for factorization of the triangular matrix-functions.

Keywords: R-linear conjugation problem, rational coefficients, factorization of 'matrix-functions, partial indices.

References

1. Markushevich A. I. On a boundary value problem in the theory of analytic functions, Uch. notes of Moscow University, 1946, I. 100, pp. 20-30.

2. Mikhailov L. G. Novyy Mass osobykh integral'nykh uravneniy i yego primeneniya k differentsial'nym uravneniy am s singulyarnymi koeffitsiyentami [A new class of singular integral equations and its application to differential equations with singular coefficients], Dushanbe: Academy of Sciences of the Tajik SSE, 1963, 1836 p.

3. Litvinchuk G. S. Solvability Theory of Boundary Value Problems and Singular Integral Equations with Shift, Mathematics and its Applications, 2000, V. 523, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 205 p.

4. Mityushev V. V. E-linear and Riemann-Hilbert problems for multiply connected domains, Advances in Applied Analysis (Sergei V. Eogosin, Anna A. Koroleva eds,), Springer: Basel, 2012, pp. 147-176.

5. Mityushev V. V., Rogosin S. V. Constructive Methods for Linear and Nonlinear Boundary Value Problems for Analytic Functions: Theory and Applications [Monographs and surveys in pure and applied mathematics], Vol. 108, Chapman & Hall / CEC PRESS: Boca Eaton - London - New York - Washington, 1999, 296 p.

6. Litvinchuk G. S. Two theorems on the stability of the quotient indices of the Eiemann boundary value problem and their application, Izv. vuzov. Matem. [Izv, universities. Mat.], No. 12, 1967, pp. 47-57.

7. Litvinchuk G. S., Spitkovsky, I. M. Factorization of measurable matrix functions, Basel-Boston: Birkhauser, 1987, 372 p.

8. Rogosin S., Mishuris G. Constructive methods for factorization of matrix-functions, IMA J. Appl. Math., 2016, Vol. 81 (2), pp. 365-391.

9. Sabitov I. Kh. On the general boundary value problem of linear conjugation on a circle, Sib. mat. zh. [Sib. mat. J.], 1964, T. V (1), pp. 124-129.

10. Primachuk L., Rogosin S., Dubatovskaya M. On R-linear conjugation problem on the unit circle, Eurasian Mathematical Journal, Vol. 11 (3), 2020, p. 79-88.

11. Chebotarev G. N. Partial indices of the Riemann boundary value problem with a triangular matrix second order, Uspekhi mat. nauk [Advances mat. nauk], 1956, Т. XI, Iss. 3, pp. 192-202.

12. Gakhov F. D. Krayevyye zadachi [Boundary value problems], 3rd ed, M,: Science, 1977, 544 p.

13. Adukov V. M. Wiener-Hopf factorization of meromorphic matrix-functions, St. Petersburg Math. J., 1993, V. 4 (1), pp. 51-69.

14. Muskhelishvili N. I. Singulyarnyye integral'nyye uravneniya [Singular integral equations], 3rd ed., M,: Science, 1968, 511 p.

15. Primachuk L., Rogosin S. Factorization of triangular matrix-functions of an arbitrary order, Lobachevsky J. Math., V. 39 (6), 2018, pp. 809-817.

Для цитирования: Рогозин С. В., Примачук Л. П., Дубатовская М, В. О решении задачи R-линейного сопряжения с рациональными коэффициентами // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Ма тем а тика. Механика. Информатика. 2021. Вып. 2 (39). С. 27-4-3. ВОР. 10.34130/1992-2752_ 2021_ 2_ 27

For citation: Rogosin S. V., Primachuk L. P., Dubatovskaya M, V. On solution to R-linear conjugation problem with rational coefficients, Bulletin of Syktyvkar University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2021, 2 (39), pp. 27-43. DOI: 10.34130/1992-2752_2021_2_27

Belarusian State University, Minsk, Belarus

Поступила 10.05.2021