CC BY
13Решетневскце чтения
Рис. 2
На рис. 2 показаны выход процесса х(0 и его оценка Хт; рис. 2, а и б отличаются масштабом по оси ординат.
Библиографические ссылки
1. Арнольд В. И. Теория катастроф. М. : Наука, 1990.
2. Медведев А. В. Non-Parametric Stochastic Approximation in Adaptive Systems Theory. Applied Methods of Statistical Analysis. Simulations and Statistical inference. Novosibirsk : Publishinghouse of NSTU, 2011.
A. K. Idayatova, A. V. Medvedev Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk
ABOUT NONPARAMETRIC MODELLING OF AVALANCHE PROCESSES
The problem of modeling of avalanche processes is considered. Nonparametric algorithms of identification of processes developing in time are presented, and also numerical results of statistical modeling are resulted.
© Идаятова А. К., Медведев А. В., 2011
б
а
УДК 62-506.1
Н. В. Коплярова Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск
О ЗАДАЧЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В УСЛОВИЯХ МАЛОЙ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Рассматривается задача идентификации нелинейных динамических систем типа Винера, линейная динамическая часть которого находится в условиях непараметрической неопределенности. Вид нелинейности предполагается известным с точностью до параметров. Приводится алгоритм для создания адекватных в смысле среднеквадратичного критерия моделей систем.
Развитие теории и методов математического моделирования нелинейных динамических систем является актуальной проблемой современной прикладной математики. Наиболее важным, с точки зрения приложений, классом динамических процессов являются системы типа «вход-выход», представимые в виде черного ящика, т. е. допускающие активный эксперимент при отсутствии априорной информации о моделируемом объекте.
Пусть нелинейная динамическая система представлена в виде двух последовательно включенных звеньев - линейного динамического и нелинейного статического (объект Винера) [1].
Пусть {и ( ), х1} , i =1, - выборка измерений реакции объекта на некоторый тестовый сигнал и ). Существует возможность проведения экспериментов.
Структура и параметры линейной динамической части системы неизвестны. Предположим некоторый вид нелинейности в объекте - известный с точностью до параметров. Рассмотрим случай, когда нелинейный элемент представляет собой звено насыщения (с порогом насыщения ¿1):
Математические методы моделирования, управления и анализа данных
с( t ) =
X, (t ), x (t )< b,; b, x, (t) > b; -b, x, (t) <-b.
(1)
На основании имеющейся информации необходимо построить модель данной системы, адекватно описывающую ее поведение при произвольном входном воздействии.
Метод построения непараметрической модели линейной динамической системы основан на том, что реакция такой системы х,(/) на входное воздействие и(/) описывается интегралом Дюамеля [2]:
x(t ) = k (0)u (t ) + J к '(t — t)u (t)d t =
0
t
= к (0)u (t ) + J h(t — t)u (t)d t,
(2)
дель линейной части объекта в виде интеграла Дюамеля;
3) строим модель объекта, выход которой вычисляется как значение функции, описывающей нелинейное звено, от выхода модели линейной части объекта.
Рассмотрим некоторый нелинейный динамический объект (см. рисунок). Линейная часть объекта описывается следующим дифференциальным соотношением:
2,9 y" (t ) +1,27 • y '(t ) + 1y (t ) = u (t ).
(4)
Нелинейный элемент представляет собой звено насыщения (й = 5, й, = 2), u(t) = 5sin(t).
где к(р) - весовая функция системы; Щ) - переходная функция этой же системы.
Выход нелинейной системы в таком случае может быть описан как некоторая функция от интеграла Дюамеля:
х(/) = / {х, (/)}, (3)
где х(/) - выходной сигнал системы; х,(/) - выход линейной части системы (не измеряемый); и(/) - входной сигнал системы; /{} - нелинейный оператор.
В этом случае, с учетом вида нелинейности, при х,(/) < Ь1 выход объекта совпадает с выходом его линейной динамической части. В остальных случаях, выход объекта представляет собой константу, которую возможно определить опытным путем в результате нескольких статических экспериментов [1].
Для построения модели необходима следующая последовательность действий:
1) проводим ряд статических экспериментов, т. е. последовательно подаем на вход системы некоторые константы; в результате чего можем сделать вывод о значениях параметров функции, описывающей нелинейную часть системы;
2) подаем на вход объекта ступенчатую функцию, амплитуда которой не превышает значение порога Ь -получаем переходную характеристику и строим мо-
«1
Нелинейный динамический объект х2(() - модель нелинейной системы; уу1 - выход системы, объем
выборки 5 = 250; шаг дискретизации И = 0,12; помеха 5 %; относительная средняя ошибка моделирования 5,8 %
Делая анализ работы модели нелинейного динамического объекта с видом нелинейности типа звено насыщения, можно сделать следующие выводы: непараметрическая модель адекватно описывает данную систему при различных значениях параметров нелинейной части объекта, в условиях зашумленности каналов связи, при различном объеме выборки и различных входных воздействиях.
Библиографические ссылки
1. Чайка С. Н. К идентификации динамических систем при частично параметризованной структуре модели // Динамика систем: Управление и оптимизация. Горький : Изд-во Горьковского гос. ун-та, 1989.
2. Медведев А. В. Непараметрические системы адаптации. Новосибирск : Наука, 1983.
N. V. Koplyarova
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk
ABOUT THE TASK OF NONLINEAR DYNAMICAL PROCESSES MODELLING IN CONDITIONS OF LITTLE PRIORI INFORMATION
The problem of nonlinear dynamical systems of Wiener type identification is considered. The linear dynamical part of the system is in nonparametric uncertainty conditions. The common type of nonlinearity is assumed to be known with set of parameters. Presented algorithm allows to create the adequate in the sense of mean-square criterion models.
© Коплярова Н. В., 20П
0
0
!0
20
30
