CC BY
32Решетневскуе чтения. 2013
УДК 62.501
О ЗАДАЧЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ КЛАССА ВИНЕРА
Н. В. Коплярова
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 Е-mail: [email protected]
Рассматривается задача идентификации нелинейных динамических процессов, линейная динамическая часть объекта находится в условиях непараметрической неопределенности. Вид нелинейности предполагается неизвестным. Приводится алгоритм для создания адекватных в смысле среднеквадратичного критерия моделей систем.
Ключевые слова: непараметрика, нелинейная динамическая система, модель Винера.
ABOUT PROBLEM OF MODELLING OF WIENER TYPE NONLINEAR DYNAMICAL SYSTEMS
N. V. Koplyarova
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, "Krasnoyarsky Rabochy" Av., Krasnoyarsk, 660014, Russia. Е-mail: [email protected]
The problem of nonlinear dynamical systems identification is considered. The linear dynamical part of the system is in nonparametric uncertainty conditions. The common type of nonlinearity is assumed to be known with set ofparameters. Presented algorithm allows to create the adequate in the sense of mean-square criterion models.
Keywords: nonparametric, nonlinear dynamical system, model of Wiener.
Развитие теории и методов математического моделирования нелинейных динамических систем является актуальной проблемой современной прикладной математики в связи с тем, что большинство реальных систем имеют нелинейную структуру. Настоящая работа посвящена рассмотрению задачи идентификации таких систем в широком смысле, т. е. в условиях, когда на основании имеющейся априорной информации параметризация невозможна. Рассматриваются системы, представимые в виде последовательного соединения линейного динамического и нелинейного статического блоков (модель Винера). Исследуется задача моделирования процессов, находящихся в условиях частичной параметризации, когда динамический блок объекта находится в условиях непараметрической неопределенности, а структура нелинейного элемента считается известной с точностью до параметров.
Постановка задачи идентификации. Пусть имеется нелинейный объект, который может быть описан как последовательное сочетание линейных динамических и нелинейных статических блоков. Параметры и порядок дифференциального уравнения, которым может быть описана линейная динамическая часть системы, неизвестны. Пусть нелинейность в объекте описывается некоторой функцией, вид которой предполагается известным с точностью до набора параметров (звено насыщения).
Исходные данные о состоянии исследуемого объекта представляют собой выборку измерений реакции
объекта на входное воздействие u(t): {ui,xi, i = 1,s}.
Требуется по наблюдаемым входным-выходным переменным процесса построить математическую модель стохастического объекта, описывающую его поведение в различных условиях.
Непараметрическая модель Винера. Известно, что реакция системы линейной динамической системы (ЛДС) w(f) на входное воздействие и(г) описывается интегралом Дюамеля [1]:
г
w(t) = к (0)и (г) + | к '(г-т)и (т)d т =
о
г
= к (0)и (г) + | И(г -т)и(т^т, (1)
о
где И(г) - переходная; к(г) - весовая (импульсная переходная) функция системы.
Запишем оценку весовой функции системы в виде стохастической аппроксимации регрессии непараметрического типа следующим образом:
(г) = И (г) =—-^И'
1=1
где И - экспериментально полученные значения переходной характеристики ЛДС. При этом колоколо-образная функция И (•) и параметр размытости с5 должны удовлетворять условиям сходимости. Подставив оценку весовой функции в интеграл Дюамеля, получим непараметрическую расчетную модель линейного динамического элемента системы:
(t -1 ^
(2)
1 s Ц ^
w s (t) =--TThH'
scs i=1 j=1
^ (t-T,.-t,. ^
u(T j )Дх. (3)
Математические методы моделирования, управления и анализа данных
Пусть исследуемая система может быть представлена в виде модели Винера. Если структура нелинейного элемента задана с точностью до набора параметров а, то выход исследуемого объекта вычисляется как некоторая функция от интеграла Дюамеля:
х (г ) = / { (г ), а}, (4)
где х(Г) - выходной сигнал системы; w(t) - выход линейной части системы (неизмеряемый); и(Г) - входной сигнал системы; _/^(Г),а} - нелинейный оператор.
Математическая модель нелинейного объекта может быть представлена в виде системы уравнений (3), (4), в которых вместо весовой функции к(Г) и параметров а используются их статистические оценки. Они могут быть получены, если при тех же условиях эксперимента (т. е. значениях входного воздействия, шага дискретизации и величины помехи), в которых были получены измерения входных-выходных величин системы {щ, х^}, i = 1,5, сформировать выборку {и^, wi}, I = 1,5 , где щ - измерения входных воздействий и wi - выход линейной части системы, рассчитанный по (3).
В случае, когда для некоторых классов нелинейных элементов выражение (4) может быть разрешено
относительно w(Г), имеем w(г) = /1(х(Г),а).
В данном случае непараметрическая модель нелинейного объекта примет вид
Х(Г) = /(м>(Г), а),
г Л (5)
W(Г) = | И (Г -т)и(т)ё т,
о
где х(Г) - выходной сигнал системы; w(Г) - выход линейной динамической части системы (неизмеряемый); /^(/),а} - нелинейный оператор с параметрами а .
Таким образом, в общем виде получен алгоритм, позволяющий строить непараметрические модели нелинейных динамических систем, представленных в виде последовательного соединения линейного и нелинейного звеньев.
Идентификация нелинейной системы с насыщением. Пусть нелинейное звено системы описывается функцией вида насыщения. В данном случае при w(Г) < а выход объекта совпадает с выходом его линейной динамической части. В остальных случаях выход объекта представляет собой константу, которую возможно определить опытным путем:
- проводим ряд статических экспериментов, т. е. последовательно подаем на вход системы некоторые константы, в результате чего можем сделать вывод о значениях параметров функции, описывающей нелинейную часть системы;
- получаем оценку нелинейного элемента системы, параметры которого определяются согласно следующему алгоритму:
1) проведем серию экспериментов, в ходе которых будем подавать на вход системы воздействия
ui j = Cj , Cj = const, в результате получим выборку
К], X, j}, i = I,5, j = 1, m ;
2) находим расстояние между двумя соседними измерениями: hhj = |хг- j - xi-1 j | jh ;
3) b = xi j , если hhj < e, e > 0 ;
4) если xi j = b , то Xj = yi-1 j, a = M{aj};
- подаем на вход объекта ступенчатую функцию, амплитуда которой не превышает значение порога b, получаем переходную характеристику и строим модель линейной части объекта в виде интеграла Дюа-меля;
- строим модель объекта, выход которой - значение функции, описывающей нелинейное звено, аргументом которой является выход модели линейной части объекта.
Пример. Рассмотрим нелинейную динамическую систему, состоящую из звена насыщения (параметры b = 0,7, b1 = 0,32) и разностного аналога дифференциального уравнения (имитирующего объект): 2 • x "(t) + 0,5 • x' (t) +1 • x (t) = u (t) (см. рисунок).
— x(t) — xmodel(t)
И I / \У
А |
О 10 20
Результаты оценки выхода х(Г); хто<!е1(Г) - модель нелинейной системы, х(Г) - выход системы, объем выборки 5 = 250, шаг дискретизации И = 0,12, помеха 5 %, входное воздействие и(Г) = 0,358гп(Г), средняя ошибка моделирования 2,4 %
Делая анализ работы модели нелинейного динамического объекта с видом нелинейности типа «звено насыщения», можно сделать выводы о том, что непараметрическая модель адекватно описывает систему в различных условиях.
Статья посвящена рассмотрению задачи идентификации нелинейных динамических систем, представленных в виде моделей Винера. Исследуются системы, находящиеся в условиях частичной параметризации. В данном случае структура линейного динамического блока неизвестна, а вид нелинейности предполагается известным с точностью до параметров. Приводится методика построения моделей для получения прогноза выхода нелинейных систем посредством сочетания моделей линейного динамического и нелинейного статического процессов в общей модели системы. Данные методы не предусматривают наличия полной априорной информации о структуре объекта.
© Коплярова Н. В., 2013
