Непараметрический алгоритм идентификации стохастических объектов класса Винера Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62.501

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ КЛАССА ВИНЕРА

Н. В. Коплярова

Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79

Е-шай: koplyarovanv@mail.ru

Рассматривается задача идентификации нелинейных динамических систем класса Винера, линейная динамическая часть которых находится в условиях непараметрической неопределенности. Вид нелинейности известен с точностью до параметров. Приводится алгоритм для создания адекватных в смысле среднеквадратичного критерия моделей систем.

Ключевые слова: непараметрическая оценка, нелинейная динамика, модель Винера.

The problem of nonlinear dynamical systems identification of Wiener type is considered. The linear dynamical part of the system is in nonparametric uncertainty conditions. The common type of nonlinearity is assumed to be known with set of parameters. Presented algorithm allows to create the adequate in the sense of mean-square criterion models.

Keywords: nonparametric estimation, nonlinear dynamical system, model of Wiener.

Введение. Существующая ныне теория автоматического управления в основном относится к разряду параметрических. То есть к случаю, когда вид уравнения, описывающего объект (процесс) задан с точностью, описываемой до вектора параметров. Но зачастую априорной информации недостаточно, чтобы определить структуру исследуемого процесса. Это обстоятельство делает актуальным настоящее исследование [1].

Постановка задачи идентификации. В общем виде задача идентификации нелинейной динамической системы может быть описана схемой, представленной на рис. 1.

Исходные данные о состоянии исследуемого объекта составляют выборку измерений реакции

объекта на входное воздействие u(t): {ui, xt, i = 1, s}. Параметры и порядок дифференциального уравнения, которым может быть описана линейная динамическая часть системы, неизвестны. Пусть нелинейность описывается некоторой функцией, вид которой предполагается известным с точностью до набора параметров. Задача идентификации нелинейной системы в описанной постановке может быть разделена на два этапа. На первом этапе предлагается оценить параметры нелинейного звена и переходной характеристики линейного элемента, а на втором - построить требуемую математическую модель исследуемого объекта.

Идентификация системы класса Винера. Рассмотрим систему, поведение которой может быть описано с помощью модели Винера (рис. 2).

Выход линейного динамического блока объекта w(t) измерению недоступен. Связь между входом u(t) и выходом x(t) объекта может быть описана системой уравнений вида [2]:

NONPARAMETRIC ALGORITHM OF WIENER TYPE STOHASTIC SYSTEMS IDENTIFICATION

N. V. Koplyarova

Siberian Federal University 79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation Е-mail: koplyarovanv@mail.ru

(1)

0

x(t ) = f (u (t ), a),

Рис. 1. Общая схема задачи идентификации: Объект - нелинейная динамическая система, состоящая

из ЛЭ - линейной динамической и НЭ - нелинейной статической частей; и(?) - входная переменная объекта; х(?) - выходная переменная; и*, х* - наблюдения переменных процесса в дискретный момент времени; -ненаблюдаемое случайное воздействие; еи (?), ех ) - случайные факторы (помехи), действующие в каналах измерения переменных в дискретные моменты времени X(?) - выход модели объекта; м>(() - выходная переменная линейного элемента системы

Рис. 2. Модель Винера: ЛЭ - линейная динамическая часть; НЭ - нелинейный элемент системы; и(?) - входное воздействие; w(f) - выход промежуточного звена объекта; х(0 - выход объекта

Или, если исключить переменную w(f) в соответствии с (1), получим:

x(t) = f Ii k (t -T)u(T)d T

а

(2)

где k(t) - весовая функция линейного динамического блока; f (u, а) - нелинейная функция, заданная с точностью до вектора неизвестных параметров а . Тогда задача сводится к оценке переходной функции ЛЭ h(t) и параметров а НЭ. Тогда для построения модели возможно вместо h(t) и а использовать их оценки, полученные на основании наблюдений входа и выхода нелинейной системы u(ti) = 1(t;-), x(ti),i = 1, s. Таким образом, в связи с тем, что w(t) неизмеряемо, необходимо при тех же условиях эксперимента, в которых были получены реализации u (ti) = 1(t;-), x(ti), i = 1, s , сформировать

__s

выборку Wj,i = 1, s . Затем, минимизируя среднеквадратичный критерий ^ (xf - X j )2 ^ min можно

а,ю

J=1

найти оценки а и , i = 1, m . Пусть, для некоторых классов нелинейных элементов f (u, а) может быть разрешена относительно ra(t), т. е.

%(t) = f _1( x(t), а),

(3)

где ) - оценка переходной функции ЛЭ, полученная по выборке выхода объекта и (ti) = \(ti), x(ti), i = 1,5. Получим непараметрическую линейного элемента:

1 s t/ At

(t)=--) • H'

sc„

Ю,

ft-T -t>

s i=1 ]=1

J 1

u(t j )At,

(4)

где т - переменная интегрирования; Дt - шаг дискретизации.

Тогда непараметрическая модель динамического объекта класса Винера примет вид:

(t) = f

1

t/ At

v SCs 1=1 J=1

t-tj-ti

u (t f )at, a

(5)

где f{w(t),a} - оценка нелинейной функции; a - оценки параметров нелинейного элемента системы; &s - оценка переходной функции ЛЭ системы.

Непараметрическая модель системы с квадратором. Пусть имеем систему, представленную в виде модели Винера (рис. 2). Нелинейная часть системы представляет собой квадратор вида: f (p) = ap2, где a = const. Тогда выход исследуемого объекта вычисляется как: x(t) = f (w,a) = aw2 . Обозначим переходную характеристику линейного элемента системы w(t, и (t) = 1(t)) = h(t). При этом выход нелинейной системы равен x1(t) = ah2(t), то есть переходную характеристику линейного элемента h(t) можно выразить через выход исследуемого нелинейного процесса следующим образом:

h(t) = V xi(t)/a. (6)

Тогда непараметрическая модель нелинейного объекта x(t) тогда примет вид [2]:

Xs(t) = a

—-г ZZVxi(t^ • H'

scs Va i=1 J=1

s t / At

f t-t]- ^

u(t f )At

(7)

где х^^) - реакция нелинейной системы на единичное входное воздействие; а - параметр квадратора.

Пример. Рассмотрим нелинейную динамическую систему Винера, состоящую из квадратора с параметром а = 2 и разностного аналога дифференциального уравнения (имитирующего объект): 3 • х"() +1,2 • х'(7) +1 • х(t) = и (t). Результат представлен на рис. 3.

Рис. 3. Результат оценки выхода х(/). х(/) - модель нелинейной системы, объем выборки 5 = 300; At = 0,117; помеха 5 %; и(() = 3со8(0,5?) + 8Ш2(0,7/);

ошибка модели 2,8 %

Как видно из вычислительного эксперимента, непараметрическая модель достаточно точно описывает систему.

Заключение. Настоящий доклад посвящен рассмотрению задачи непараметрической идентификации нелинейных динамических систем, представленных в виде модели Винера. При этом структура динамического блока неизвестна, а вид нелинейности предполагается известным с точностью до параметров. Задача идентификации системы рассмотренного типа разделена на две части. Сначала рассматривается непараметрическая идентификация линейного элемента, алгоритм которой связан с

тем, что реакция линейной системы на входное воздействие описывается интегралом Дюамеля. Приводятся методика построении моделей для получении прогноза выхода нелинейных систем посредством сочетания моделей линейного динамического и нелинейного статического процессов в общей модели системы.

Библиографические ссылки

1. Медведев А. В. Теория непараметрических систем. Управление 1.

2. Коплярова Н. В. Сергеева Н. А. Непараметрические алгоритмы идентификации систем класса Винера и Гаммерштейна. Системы управления и информационные технологии. Воронеж. 2013. Вып. № 2.1(52). С. 133-137.

© Коплярова Н. В., 2015