О задаче управления нелинейными динамическими системами класса Винера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневскуе чтения. 2014

УДК 62.501

О ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ КЛАССА ВИНЕРА

Н. В. Коплярова

Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 E-mail: koplyarovanv@mail.ru

Рассматривается задача управления нелинейными динамическими процессами класса Винера, линейная динамическая часть объекта находится в условиях непараметрической неопределенности. Вид нелинейности предполагается неизвестным. Приводится алгоритм для регулятора, позволяющего управлять системами класса Винера.

Ключевые слова: непараметрика, нелинейная динамическая система, модель Винера.

ABOUT PROBLEM OF WIENER TYPE NONLINEAR DYNAMICAL SYSTEMS CONTROL

N. V. Koplyarova

Siberian Federal University 79, Svobodny prosp., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation E-mail: koplyarovanv@mail.ru

The problem of nonlinear dynamical systems control is considered. The linear dynamical part of the system is in nonparametric uncertainty conditions. The common type of nonlinearity is assumed to be known with set of parameters. Presented algorithm allows to create the adequate in the sense of mean-square criterion models and controllers.

Keywords: nonparametric, nonlinear dynamical system, model of Wiener.

Рассматривается задача управления динамическими процессами, находящимися в условиях частичной параметризации, когда динамический блок объекта находится в условиях непараметрической неопределенности, а структура нелинейного элемента считается известной. Пусть имеется нелинейный объект, который может быть описан как последовательное сочетание линейного динамического и нелинейного статического блоков (модель Винера). Параметры и порядок дифференциального уравнения, которым может быть описана линейная динамическая часть системы, неизвестны. Пусть нелинейность в объекте имеет вид квадратора, вид которой известен с точностью до параметров [1]. Исходные данные о состоянии объекта представляют собой выборку измерений его реакции

на входное воздействие u(t): {ui, xi, i = 1, s}. Требуется

по имеющимся априорным сведениям построить регулятор, который будет формировать управляющее воздействие, переводящее систему из начального состояния в желаемое.

Предлагается непараметрический подход к синтезу регулятора. Описываемый метод предполагает выполнение двух этапов. Первый этап сводится к тому, что по измеренным со случайной ошибкой реализациям управляющего входного и результирующего выходного процессов отыскивают модель динамической системы. Следующий этап состоит в том, что построенная модель используется для получения переходных характеристик обратного оператора системы.

Оценка обратного оператора позволяет синтезировать управляющее воздействие для желаемого выходного процесса. Схема управления системой класса Винера представлена на рисунке.

Схема функционирования непараметрического регулятора

Модели такой структуры состоят из линейной динамической части и нелинейного элемента. При этом можно считать, что объект управления описывается двумя операторами, один из которых является линейным. Линейная часть системы описывается оператором А, нелинейная - оператором B. То есть:

w(t) = A{u ^)}, (1)

x(t) = B{w(t)} = B{A{u (0}}. (2)

Тогда выход объекта может быть представлен следующим образом:

x = BAu. (3)

Таким образом, управляющее воздействие может быть описано как [2]

u = A~lB~lx. (4)

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

Следовательно, задача сводится к нахождению обратных операторов к функциям, описывающим линейную и нелинейную части системы.

При этом выход системы x(t) описывается как некоторая функция от интеграла Дюамеля: t

w(t) = J h(t - t)u (T)dT, x(t) = f (w(t)), (5)

0

где h(t-x) - весовая функция линейной части системы (неизвестна); k(t) - переходная функция, причем h(t) = k(t); f (•) - функция, описывающая нелинейное звено.

Оператор A4, обратный к A, будет также линейным и может быть описан интегралом свертки [2]:

(t) = A^w (t) = J hi (т) w (t - t) dx =

0

t

= J k1 (x) w (t -x) dx,

(6)

u (t) = J hi(t -x)w(x)d x,

(7)

|w(t) = f x (t)),

где неизвестными являются: hi(t) - весовая функция

обратного линейного звена объекта, функция f-1 (•). Данные характеристики могут быть оценены по модели системы. Пусть построена непараметрическая модель системы в виде [1]

x(t) = /(Jh(t -x)u(x)dx).

(8)

При построении модели получена оценка функции, описывающей нелинейный элемент системы, следовательно, можно найти оператор B-1. Тогда задача сводится к нахождению обратной весовой функции hi(t), которая оценивается по результатам экспериментов на модели. Переходная функция линейного элемента системы - его выход при входном воздействии в виде функции Хевисайда. Таким образом, обратную переходную функцию можно оценить, если выразить значение входного параметра u(t) при

w(t) = i:

w(t) = J h(t -x)u (x)dx = 1.

(9)

То есть необходимо решить систему уравнений

1 s t / At ft -т -t\

-1--¿Ik • h| t Tj *

• Cs i=1 j=1

w(t) =-

• u(x. )Ax = 1 (10)

относительно u(t). Получим переходную функцию k1(t):

1 s t-1

1 - —^Ik • H'

u (t) = k1(t) = -

s i=1 j=1

tj - ti

• u (( )h

1 s ~ —k • h '

(t -1. -1. ^

j i

(11)

s i=1

• h

где = /- (х1г-) - оценка переходной характеристики линейной части системы; х1г- - выход нелинейной системы при единичном входном воздействии.

Непараметрическая оценка переходной функции линейной части системы в направлении «выход-вход» имеет вид

1

kl( t) = -

•I k1i • H

f t -t, ^

°s i=1

(12)

Управляющее воздействие находится в следующем виде:

где и М(/) - соответственно переходная и ве-

совая функции «обратного» процесса.

В этом случае А представлен оператором (3), а А-1 -выражением (4). Оператор В описывает функцию /(•), причем будем предполагать, что существует

обратный оператор В-1 = /-1 (•). Тогда управляющее воздействие будем вычислять в виде

u(t) = J k1(t -x)W1(x)d т

(13)

или в дискретном варианте:

(t) = — -¿4 • H'

scs i=1

tJ- ti

• f-1(x{t1 ))h , (14)

где f '(•) - оценка функции, описывающей нелиней*

ность; x (t) - желаемое значение выхода.

Рассматривается задача управления нелинейными динамическими системами, представленными в виде моделей Винера. Исследуются системы, находящиеся в условиях частичной параметризации. В данном случае структура линейного динамического блока неизвестна, а вид нелинейности предполагается известным с точностью до параметров. Приводятся методика построения непараметрического регулятора посредством оценки оператора, обратного тому, который описывает исследуемый класс систем.

Библиографические ссылки

1. Коплярова Н. В., Сергеева Н. А. Непараметрические алгоритмы идентификации систем класса Винера и Гаммерштейна // Системы управления и информационные технологии. 2013. Вып. 2.1 (52). С. 133-137.

2. Медведев А. В. Теория непараметрических систем. Управление 1. // Вестник СибГАУ. 2013. Вып. 2(48). С 52-57.

References

1. Koplyarova N. V., Sergeeva N. A. Sistemi upravleniya I informacionnie tehnologii, 2013, № 2.1 (52), p. 133-137.

2. Medvedev A. V. Vestnik SibGAU. 2013, № 2 (48), р. 52-57.

© Коплярова Н. В., 2014