О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ ОДНОГО ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩЕГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ С ФУНКЦИЕЙ БЕССЕЛЯ В ЯДРЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА, ТЕХНИКА. 2023, №1

УДК 517.926

https://doi.org/10.52754/16948645 2023 1 197

О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ ОДНОГО ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩЕГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ С ФУНКЦИЕЙ

БЕССЕЛЯ В ЯДРЕ

Уринов Ахмаджон Кушакович, д.ф.-м.н., профессор,

urinovak@mail. ru Усмонов Дониёр Абдумутолиб угли, исследователь [email protected] Ферганский государственный университет, Фергана, Узбекистан

Аннотация. В данной работе исследуется задача Коши для неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения, содержащего дробный дифференциальный оператор в смысле Римана-Лиувилля c функцией Бесселя в ядре. Поставленная задача эквивалентно сведена к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Методом последовательных приближений найдено решение интегрального уравнения. Доказано, что найденное решение действительно удовлетворяет условиям поставленной задачи. Получена оценка найденного решения. При выводе формулы для решения поставленной задачи выведена новая специальная функция, которая в частном случае следует функция Миттага — Леффлера. Изучено свойства введенной функции, в частности, выписаны формулы дифференцирования для неё.

Ключевые слова: функция Бесселя, дробный дифференциальный оператор, задача Коши, интегральное уравнение, метод последовательных приближений.

ON A CAUCHY PROBLEM FOR AN ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION CONTAINING A RIEMANN-LIOUVILLE DIFFERENTIAL OPERATOR WITH A

BESSEL FUNCTION IN THE KERNEL

Urinov Akhmadzhon Kushakovich, Dr Sc, professor,

[email protected] Usmonov Doniyor Abdumutolib ugli, researcher [email protected] Ferghana State University, Fergana, Uzbekistan

Abstract. In this paper, we study the Cauchy problem for an inhomogeneous ordinary differential equation containing a fractional differential operator in the sense of Riemann-Liouville with a Bessel function in the kernel. The considered problem is equivalently reduced to a Volterra integral equation of the second kind. The solution of the integral equation is found by the method of successive approximations. It has been proved that the obtained solution really satisfies the conditions of the problem. An estimate for the solution is obtained. When deriving a formula for solution to the problem, a new special function was derived, which in a particular case follows the Mittag-Leffler function. The properties of the introduced function are studied, in particular, differentiation formulas for it are written out.

Key words: Bessel function, fractional differential operator, Cauchy problem, integral equation, successive approximation method.

1. Введение. Известно, что теория дробного интегрирования и дифференцирования является одним из новых разделов математической науки [1], [2], [3]. К настоящему времени дробные интегро-дифференциальные операторы в смысле Римана-Лиувилля и Капуто, а также дифференциальные уравнения, в которых они участвуют, изучены многими исследователями [4] - [8]. В последнее время наблюдается повышенный интерес к изучению дробных интегро-дифференциальных операторов со специальными функциями в ядрах [9], [10], [11]. В данной работе рассматривается задача Коши для одного неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения, содержащего дифференциальный оператор Римана-Лиувилля с функцией Бесселя в ядре и исследуется существование её решения.

2. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение

(х) + Лу(х) = /(х), х е(0,Т), (1)

где у (х) - неизвестная функция, а / (х) - заданная функция; СС,у,Л, Т - заданные действительные числа, причем 1 <а < 2, Т > 0;

r d2

V

D, (*) = —2 +Г2| С (•*), (2)

) = Г(10)!(х " t^ ^ -1)]У(t)dt, (3)

Jv (z) -функция Бесселя - Клиффорда, определяемая равенствами

Л (z ) = r(v + 1)(z / 2f J (z ) = i^ll^f2

k=0 к !(v + 1)i

(4)

(z)k - символ Похгаммера, Г(x)- гамма-функция Эйлера [12], Jv^x) - функция Бесселя первого рода порядка V [13].

Отметим, что операторы D^y(x) и 10^У(x) введены и изучены в работе [11].

Они являются обобщениями операторов дробного дифференцирования и интегрирования Римана - Лиувилля соответственно.

Задача Коши. Найти функцию y(x), удовлетворяющую уравнению (1) и начальным условиям

lim In2-a,r y (x) = A, lim dio2-^ y (x) = A2, (5)

x^O 0x ^ ' П x^O dx x V '

где A1, A2 - заданные действительные числа.

3. Исследование задачи Коши. Применяем к уравнению (1) оператор . Затем, учитывая равенство [11]

I¡¡D^y (x ) =

=у (x 1[rx r'y(x >"?<&) J<- '"2 ^ x0 (x)

и условие (2), получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода:

уа~2 __у"4

У (x)+М;:у (x)=ItJf (x)+Ai J^ [/x ]+A2 Y^J^yt N. (6)

Для решения интегрального уравнения (6) применим метод последовательных приближений [14]:

2 — х" 1 —

Уо (x) = i:ff (x) + А1 J(«-')/2 ^ ] + A2 f^) J(«-1)Z2 irx ]>

Используя формулу [11] / ; / ; r/?(x) = / ; / ; </?(.v) = >(x), вычисляем X, (*) : ym (x) = Уо (x) - AOo (x) + А^Уо (x) - А^Уо (x) +... + (-Л)" СУ (x). (7)

Переходя к пределу при т ^го в (7) и подставляя выражение у0 (х), получим решение уравнения (6) в виде

У (х) = ¥фТ) §М)" С {х-2 ^ [гх ]} +

^НКхК1^ (х). (8)

1 I СС I п=0 и=0

Вычислим интегралы С {хГ21{а_ъ)12 [Гх]}, С {х""1 7(в_1)/2 [ух]} и (х)

. Сначала рассмотрим интеграл I™'7 |ха~2 7{а_3у2\ух]|. Согласно равенству (3), имеем

С {ха-2^(а_з)/2 [гх]} = ртЦ](х - XТ1 ^"-2.7(а„_1)/2 [/(х - г)] 7^ С (9)

I ^^И ^ о

Заменяя функцию 7) по формуле (4), получим

7 \г(х-,)М ы< )1-у.("1)т (г/2 )2 т (х -')2 т у*-1)> ^/2 >2''"

Отсюда, применяя правило Коши об умножении сходящихся рядов, имеем

7 ии гШ (-1)' (г/2Г (х - X)" (-1)тк (г/2)2т-"г2т-2'

1)/21Дх Г;-7"~3>"1Г'' ^ Щап +1)/2) (т-к)!((а-1)/2)

=0 к=0

(\2к Т — ^ I t

2 т-2 к

=!к!(т- к)!((«и +1)/2),((а-1)/2)„

Подставляя это в интеграл (9), поменяв порядок интегрирования и суммирования, имеем

Iот '{х-2 7.-3, [гх =

1 [ ' ' т=о Туап)

т 1 х

у_1_|7х _г Гп+2 г 2 т -2 к+»-2 & (10)

о к! (т - к )!( (от +1 )/ 2 ) ((а-1V 2 \ П '

\ 2т

■х

х

к

' к \ ^ ^ / т-А:

В интеграле выполним замену переменной по формуле г = х* :

х 1

}(х - г)ап+2к1 г2т-2к+а-2¿X = хап+2т+а-21(1 - *)ап+2к1 *2т-2к+а-2Ск. (11)

о о

Принимая во внимание интегральное представление бета-функции и её связь с гамма-функцией [12], находим

}(х - г)ап+2кч г2т-2к+а-2¿г = хап+2т+а-2В(2т - 2к + а + 1,ап + 2к) =

аи+2 т+а-2т

•А

2Г(2 т - 2 к + а- 1)Г(аи + 2 к) / Т(ап + 2 т + а-1).

Подставляя это в (10) и применяя последовательно следующие равенства [12]

а

Г(а + и) = (аXГ(а)' (а)2п = 22п

^л Га + ^

(12)

^ Л

имеем

'2 т-2 к

IГ '{х-2 З^р [гх ]} =

. г(а. И)"(г/2)2тх»"2т'»-2- (дп\к(«-1)

^ „„ Т(ап + 2т+«-1) 6к!(т-к)!((«и + 1)/2)Д(а-1)/2)

г(а- 1):с("1)т (уП)г" 22тхД"2т"'2 у (("" )/2)к («/2)„_к

т=о Г(ап + 2 т + а-1) к=о к! (т Учитывая следующее известное равенство,

£ (^Х(^)т-к А5 + У)т , к=о к\{т - к)! т!

из последнего получим

т-к

(13)

где

ап+2т+а-2

Л

(■,- Г * / Ч - (-1Г У {{осп + а)/2) 0х \ («-^К V т\Г(сш + 2т + а-1)

Отсюда, применяя последовательно равенства (12) к Т(ап + 2т + а — 1), находим

Г(а-1) - (-1)т (;к/2)2

ап+2 т+а-2

Л

/ {ха-21 Г ух 1) = У ГУ У'Ч *_

1 ох Iх 1(«-зУ2[^ + т\^а„ + 1^2)

Тогда, согласно обозначению (4), имеем

С {*1-зП [гх ]} = Г(ап 1 »«у. [гх ]. (14)

Аналогичным методом находим

С {ха 11(«-1)/2 [ух]} = - ^ 1 —^ [ух]. (15)

1 v ; } Гуап + а)

На основании формулы (3)

/^(х} = !(х " 1^ - 2И1 (Г^ ('«)

Подставляя (14), (15) и (16) в (8), находим решение уравнения (6):

у(х) = + А^К^-т [г^'У*] +

х _

+|(х-гГ1Е_Да_1)/2 -Л{х-=)а-,у{х-=) (17)

+аз д-" _

М = -(18)

п=оТ[ап + ¡3)

Очевидно, что (18) есть функция типа функции Миттага - Леффлера [15]:

ш хк

= (19)

Нетрудно показать, что при ОС > 0, Р > 0 ряд (18) сходится абсолютно и равномерно при < х, у < .

Для функции (18) справедливы следующие равенства

КАх#]=ЕаА*)> К,Л0>у]=чт7Л7'(У)>

Т(р) арв1' -1 Г(/?)

и следующие формулы дифференцирования

= -Лха~\а{а_т [-Лха-,ух] ~ Г2хЕаАиз [-Ах";/*], (20)

=\гМ-гх~\,Р * 1- (21)

4. Основные результаты

Теорема. £сли /{х} = хр/1 (х), /1 (х)е С [0, Т"],0 < р<& — 1, дао решение задачи Коши |(1), (5)| существует и определяется формулой (17).

Доказательство. С этой целью функцию у(х), определяемую формулой (17), запишем в виде у(х) = у1 (х) + у2 (х) + уз (х), где

У1(х) = 4Г-2Еаа_ иа_3)/2[-ЛГ;Гх], У2(*) = А^К^-т [~Лха;ух],

х г -,

Уз М = {С* - - Г Е«,„,(„-1)/2 \~ЧХ ~ =Т >Г(Х ~ /( = )<*=>

0

Рассмотрим функцию у1 (х) . Сначала вычисляем 102ха /у1 (х) :

12 ~а'г у

0 х У\

1 х _

^^= Г(2" 2^ 7(1-а)/2 ^ ~ 2^У1 ^

А К* ~ =Г ЫХ ~ =)]Ка,а-3у, \г^а\У=У=

Г(2-а)

■ 4 (' - --Гг "*-2 [Ф-я 7 зи №

И=0 1 уип -\-и — —

Если ввести обозначение

Н (а, п,у\ х ) =

\(х - 2Г 27(1_а)/2 [у(х - 2)]7^2 [Г2]С2 ' (22)

0

Т(ап + а- 1)г(2 -а); то последнее равенство запишется в виде:

ад

Су (х ) = А ТЫУН (а, И'Г; х). (23)

п=0

Вычислим интеграл Н (и, И, у; хС этой целью, заменяя функцию ) по

формуле (4) и применяя правило Коши об умножении сходящихся рядов, имеем

7;1-„У2 Ых - 2)]7(«и+«-3)/2 [г2] =

££ (- 1)к (г/2)2 22к (- 1)тк (у /2)2т2к (х - 2)2 т=0к=0 к\({ап + а-1)/2) (т - к)\(3-а)/2)

22к (х - 2)2

V 2т-2к

= !("!)" (Г/2 )2" I

к=

0 ((сш + а-1) / 2)^ ((3 - а) / 2^ ^ £\(т - к)\'

'к \ ^ ' /т-к

Подставляя это в интеграл (22), поменяв порядок интегрирования и суммирования, получим

Н (а, п,у; х ) =

= £ (~1)т (//2)2т ^_Н1 п т к;х)_ (24)

т=о Г(ш7 + (2 — 1)г(2 — к=о + (2 — ^ / к — / 2)т к к\(

Н1 (а, п, т, к; х) = } (х - 2 )1+2 т"2ап+2 Ч2.

о

Интеграл Н1 (а, п, т, к; х) вычисляется аналогично интегралу (11):

, ч 2 ^ Г(2т-2к + 2-а)Г(ап + 2к + а-1)

Н (а, п, т, к; х) = х^---1Л--1.

Т[ап + 2 т +1)

Подставляя это в (24) и применяя последовательно формулу (12) к функциям Т{2т-2к + 2-а) и Г(ап + 2к + а-1), имеем

Н (а, п, у; х ) =

^(-1)>/2)2"х2т- (2 -а)^2к (ап + а-1 )2

^ _ _'2 к

т=0 Г(ап + 2т + к=О ( (аП + & — / к — \( т - к

¿(-1)УV■ - ^ ((2 - а)/ 2((ап + а)/2)4

»2=0 .

\Т{ап + 2 т + 1)к= о к\(т- к )\

Если учесть равенство (13), то функция Н (а, п, у; х) принимает вид

(-1УУ ' ((ап + 2 )/2),

Н (а, п,у; х ) = £-

2 т

.Л

т\Г(аи + 2 т +1) Подставляя это выражение функции Н {а, п,у; х) в (23), получим

(-Я)" (-1 )т у2т ((ап + 2)/2)

/ о2^ (х ) = Д

2 т+ап

.Л

т\

|\Г(аи + 2 т +1)

Далее, применяя последовательно равенство (13) к Т{ап + 2т +1), имеем

2т 2т+ап

■А

/-У1 (х)=4¿¿и)"н>>'2) ч ^

п=о т=о т\Г(аи + 1д(аи +1)/ 2)

Отсюда, принимая во внимание обозначения (19), находим

ПМЦЕ, 1(_1/2)[-Ях";Гх].

Аналогичным методом находим

(26)

Оз М = ](х - =)К2.У2 [~ЧХ - =Т -Лх --)]/(-К • (27)

О

Складывая равенства (25), (26) и (27), получим

С *(х) = ДЕаД(_1/2) [-Ах>х] + ДхЕ^2Д/2 [-Яха;Гх] +

х _

+!(х-2)Еа21/2 (28)

о

Отсюда, используя формулы (20), (21) и Еа р в [0;0] = ' нах°Дим

^гС г(л-) = [-Лх«;Гх] - ГДЕ лд_1/2) [-Ях«;Гх] -

-Л4ха-\^а_1)/2 [-Ях>х] - гЧ^2Л/2 [-Ах"; г*] -+/(х) - Я{(х - г)"1 Ев в (а_1)/2 [-Я(х - г)" - -

х _

-Г|(х-г)Еа2Л/2 -Я(х-г)";^(х-г) /(~)±.

(29)

Тогда, из равенств (28) и (29) следует, что

d2

DXy (x ) =

dx2

I Г' (x ) =

= -ЯДх"-2Е ,a_Ma_3)/2 [-Ях«;Гх] -Я4х-Еа a (я_1)/2 [-Ах";г*] + /(х) - я|(х - г)"4 Еа в (в_1)/2 [-Я(х - г)"(х - .

(30)

Сопоставляя (17) и (29) придем, к выводу, о том что функция y (xопределяемая

формулой (17), удовлетворяет уравнению (1).

Теперь покажем, что она удовлетворяет условиям (5).

Из равенства (28), в силу f (x) = x"р fx (x), сразу следует, что liml1^'7y(x) = Д.

Дифференцируем равенство (28). Тогда, согласно (20), (21), получим

= -ДЯх^Е_(а_1)/2 [-Ях>х] - ДГхЕаД1/2 [-Ах«;Гх] +

dx

х п Г 1

•) ["^V*] + i(x - zj~2 ¥jaa . e 5 . [-Я(х - zj ;г (х - r)J f(=)d=.

Отсюда, в силу Еа ß в [0;0] = Г 1 (/?), 1 < а < 2 и f(x) = xpf1 (х), следует, что

limdI02-a'ry(x) = A .

-о dx 0x УК } ^

Теорема доказана.

Лемма. Если Я> 0, то для решения (17) справедливо неравенство

\x (x )|<| A\C +| Л2\C2 + Сз j| f (z )\dz,

о

где C1, C2 и C3 - некоторые положительные постоянные.

Доказательство. Учитывая (4) и (18), запишем функцию x2 ay (x) в виде

x 2-^y (x ) =

= 4 -+ Л X

an + a-1

|(-1У+1 (-Ax a)n (y/2 )2 m+2 x2

\Y{an + a-1)

T(an + a-1 )Г

an + a — 1

■ +

+ m +1

2 у

(m +1)!

+4 x X

(-1У г

^ an + a + 1Л

(//2 fV m (-ÄxaJ

Y(an + а)Г

an + a — 1

■ +

+ m +1 m!

+x-j(x - z y-'f (z )!

(-1У r|

an + а +1

-A(x - z)"] [y(x - z)]2m

/ ч f an + a-1 Г(шп + ajm!ri--h m +1

■dz. (31)

Используя равенства

и учитывая Г (а +1) = а! при а е ^, перепишем (30) в виде

¿'"У (x) =

=Л _ Л ^ НП^ТО^)

2 m+2

x

2 m+2

an+a-3

~0 r(an + a-1)

>Г(шп + a- 1)r(m + 1)r(m + 2)

jVm(1 -4) 2 dd

Ax f_1)m (yl2)2mx2m (-Ax*)" 1 -+a-3

Л2x Z w. \ AxJ 1 Г С" ¿P^ +

m,n=0

Г (an + a- 1)Г2 (m +1)

1 x +<ю (-1)m -Ä(x - zУ"! r^ix - z)! 1 an+a-3

+1 x -j -Г f (z j r с _#Гг-

Отсюда, принимая во внимание обозначения (4) и (19), имеем

x (x ) = Л, {-Ж)-

+

- 4 {yx )2 A J (1 - if {-Xxa (1 - Z)al2) J {yx4z)dz-4 0

+ 2Ax](1 - Zp Ea a_i [-Xxa (1 - ) J0 {yx4z)di +

^ 0

v2~a x 1 a-3 r- -i i- -i

+Vf(x - zJ-1 f (z)f(1 - Eaa_1 , - zу (1 - ] Jo 0 - zW#]d{±.

2 0 0

Известно, что при v>(—1/ 2) справедливо неравенство [13] |jv(;Kz)| < 1, а при

ОС, (5> 0, z > 0 - неравенство [15] |Ea/?(—z )| < C0, где C0 - некоторое положительное

число. Если учесть эти неравенства и 1 < ОС < 2, то из последнего равенства легко следует утверждение леммы. Лемма доказана.

Литература

1. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. [Текст]/ Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. // - Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

2. Нахушев, А.М. Дробное исчисление и его применение [Текст]/ Нахушев А.М.. -Москва, Физматлит, 2003. - 272 с.

3. Kilbas, A.A. Theory and applications of fractional differential equations. [Тех^/ Kilbas

A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. - Amsterdam, North-Holland. Mathematics Studies 204, Elsevier, 2006. - 522 p.

4. Джрбашян, М.М., Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка [Текст]/ Джрбашян М.М., Нерсесян А.Б. // Изв. АН АрмССР. Mat. - 1968. - 3 (1), - С. 3-29.

5. Джрбашян, М. М. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка типа Штурма - Лиувилля[Текст]/ Джрбашян М. М. // Изв. АН АрмССР. Mat. - 1970. - 5 (2), - С. 71-96.

6. Нахушев, А. М. Задача Штурма - Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах [Текст]/ Нахушев А. М. // Докл. АН СССР. - 1977. - 234 (2). - C. 308-311.

7. Алероев, Т. С. К проблеме о нулях функции Миттага - Леффлера и спектре одного дифференциального оператора дробного порядка[Текст]/ Алероев Т. С. // Дифференц. уравнения. - 2000. - 36 (9). - C. 1278-1279.

8. Псху, А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка [Текст]/ Псху А.

B. - Москва. Наука, 2005. - 199 с.

9. Prabhakar, T.R. A singular integral equation with a generalized Mittag - Leffler function in the kernel^xt]/ Prabhakar T.R. //. 1969.

10. Liguo, Y. Comparison theorems of tempered fractional differential equations^xt]/ Liguo Y., Song Z., Zhouchao W. // Eur. Phys. J. Spec. Top. - 2022. - 231. pp. 2477-2485.

11. Уринов, А.К. Обобщение интегралов и производных дробного порядка Римана -Лиувилля с помощью функции Бесселя[Текст]/ Уринов А.К. // Бюллетень Института математики. - 2022. - 5(1). - С. 108-155.

12. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра[Текст]/ Бейтмен Г., Эрдейи А.// - Москва. Наука, - 1965. - 296 с.

13. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя. Функции параболического цилиндра. Ортогональные многочлены[Текст]/ Бейтмен Г., Эрдейи А.// Москва. Наука, - 1966. - 296 с.

14. Михлин, С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. [Текст]/ Михлин С. Г. // Москва. Физматлит, - 1959. - 232 с.

15. Бейтмен, Г., Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. Ортогональные полиномы. [Текст]/ Бейтмен Г., Эрдейи А. // - Москва. Наука, - 1967. - 300 с.