CC BY
19Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2022. Том 29, № 2
УДК 517.925.4
НАЧАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ОПЕРАТОРОМ РАСПРЕДЕЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Б. И. Эфендиев
Аннотация. Исследовано линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с оператором непрерывно распределенного дифференцирования с переменными коэффициентами. Такие уравнения относятся к классу непрерывных дифференциальных уравнений. В данной статье оператор непрерывно распределенного дифференцирования определен как интеграл с суммируемым ядром от оператора дробного дифференцирования Римана — Лиувилля по порядку дифференцирования. Частным случаем оператора непрерывно распределенного дифференцирования является оператор дискретно распределенного дифференцирования. Для рассматриваемого уравнения построено фундаментальное решение в виде ряда Неймана путем сведения дифференциальной задачи к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, решенному методом последовательного приближения Пи-кара. Доказаны качественные и структурные свойства фундаментального решения, с помощью которых найдено решение задачи Коши в терминах фундаментального решения с использованием формулы Лагранжа.
Б01: 10.25587/8УРи.2022.34.61.005 Ключевые слова: оператор дробного интегро-дифференцирования Римана — Лиувилля, оператор непрерывно распределенного дифференцирования, фундаментальное решение, задача Коши.
1. Введение
В интервале 0 < х < I рассмотрим уравнение
в
-1 а
и''(х) - д(х) J мН^Х[р(х)и(х)] ¿а = /(х), 0 < в < 1, (1)
о
где
X
и(Ь) <И
Г(—а) У {х-г)а+1--о
£>оХж) = —-г / т-——г, а < 0, О0хи{х) = и(х),
<п
0%хи(х) = —В*-Пч{х), п — 1 < а < п, п Е N
— оператор дробного интегро-дифференцирования (в смысле Римана — Лиувилля) порядка а [1, 2], Г (г) — гамма-функция Эйлера, ^(а), р(х), ?(х), / (х) — заданные функции, и(х) — искомая функция.
© 2022 Эфендиев Б. И.
Уравнение (1) относится к классу непрерывных дифференциальных уравнений [1,2]. Интегро-дифференциальный оператор
в
ма/и(ж) = | Ьс(ж)Бсахи(х) 0 < а < в, (2)
а
был введен в работе [1] и назван непрерывным (континуальным) дифференциальным оператором, в последнее время его называют оператором непрерывно 'распределенного дифференцирования.
При Ь^ (ж) = 1 в формуле (2) оператор М^ называется оператором дифференцирования континуального (сегментного) порядка и обозначается так:
в
яаа/]и(ж) = | ^и(ж) (3)
а
В работе [2] изучены свойства оператора (3), в частности, доказана положительность оператора непрерывного интегро-дифференцирования, получена формула непрерывного интегрирования по частям. В [3] (см. [4, гл. 5]) построен оператор, обращающий оператор (3), получены аналоги формулы Ньютона — Лейбница для интегрального и интегро-дифференциального операторов. Определены корректные формы начальных данных и решена задача Коши для интегро-дифференциального уравнения континуального порядка.
Уравнение
1
J «(а)д0хи(ж) ¿а = Аи(ж), даи(ж) = БО— 1и'(ж), (4)
о
с дробной производной Герасимова — Капуто исследовалось в статье [5], где получено фундаментальное решение, изучено его поведение на бесконечности и в окрестности нуля, решена задача Коши, а в [6] (см. [7]) для уравнения вида (4) изучена задача Коши в банаховом пространстве с линейным ограниченным оператором в правой части. Методами преобразования Лапласа найдены условия существования и единственности решения задачи в пространстве экспоненциально растущих функций.
В [8] для уравнения вида (4) с дробной производной Римана — Лиувилля при /«(а) = 1 построено фундаментальное решение, найдено представление решения задачи Коши, показаны положительность фундаментального решения и характер зависимости от спектрального параметра.
Наряду с операторами (2) и (3) изучаются так называемые операторы дискретно распределенного дифференцирования
п
и(ж), > 0, г = 1, 2,... , п, п € М,
г=1
(5)
и интенсивно исследуются дифференциальные уравнения как обыкновенные, так и в частных производных с операторами вида (2)—(5).
В [9] для многомерного уравнения дробной диффузии с оператором дискретно распределенного порядка решена задача Коши. В терминах функции Райта построено фундаментальное решение и исследованы его свойства. Найдено представление решения исследуемой задачи и доказана теорема единственности решения в классе функций быстрого роста, удовлетворяющих аналогу условия А. Н. Тихонова. Показано, что разрешимость исследуемой задачи зависит от распределения параметров, входящих в уравнение.
В [10] рассматривается нелокальная краевая задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дробного дискретно распределенного дифференцирования. Доказана теорема существования и единственности решения исследуемой задачи.
В [11] исследуется однозначная разрешимость линейных уравнений в банаховых пространствах с дискретно распределенной дробной производной Герасимова — Капуто в терминах аналитических разрешающих семейств операторов. На основе полученных абстрактных результатов исследована однозначная разрешимость начально-краевых задач для одного класса уравнений с дискретно распределенной дробной производной по времени и с многочленами от эллиптического самосопряженного дифференциального по пространственным переменным оператора.
Ранее автором был исследован частный случай уравнения (1), когда «(а) = 1, р(ж) = д(ж) = 1, для которого построено фундаментальное решение и найдено решение начальной и краевых задач в явном виде и выписаны соответствующие функции Грина [12-14].
Целью данной работы является построение фундаментального решения уравнения (1), нахождение решения начальной задачи для уравнения (1) и определение условий на функции «(а), р(ж) и д(ж), при которых проходит классический метод (с использованием формулы Лагранжа) решения рассматриваемой задачи.
2. Постановка задачи
Далее будем считать, что «(а) суммируема на отрезке [0, в], р(ж) удовлетворяет условию Липшица на отрезке [0,1] и д(ж) абсолютно непрерывна на отрезке [0,1], т. е. «(а) € £[0,в], р(ж) € Ыр[0Д ?(ж) € АС[0,1].
Регулярным решением уравнения (1) в интервале ]0,1[ назовем функцию и(ж), принадлежащую классу С[0,1] П С2]0,1[ и удовлетворяющую уравнению (1) во всех точках ж €]0,1[.
Задача. Найти регулярное решение и(ж) уравнения (1) в интервале ]0,1[, удовлетворяющее условиям
и(0) = и0, и'(0) = и1, (6)
где и0, и1 — заданные константы.
3. Фундаментальное решение
Определение. Фундаментальным 'решением уравнения (1) назовем функцию Ш(ж, г), которая по переменной г € [0, ж] является решением следующей задачи:
в
Ш«(ж, г) - р(4) I м(а)д^ [д(г)Ш(ж, г)] ¿а = 0, (7)
о
Ш(ж,ж) = 0, Ш4(ж,ж) = -1 Уж € [0,1]. (8)
Найдем фундаментальное решение уравнения (1). Для этого задачу (7), (8) редуцируем к интегральному уравнению.
Лемма 1. Пусть ^(а) € Ь[0,в], р(ж) € Ыр[0,1], д(ж) € АС[0,1]. Тогда задача (7), (8) эквивалентна следующему интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно переменной г € [0, ж]:
X
Ш '*,'>и' (ж,')к *=ж - г (9)
с ядром
в
К(в,г) = д(я) у м(а)О£[(я - г)р(в)] ¿а. (10)
о
Доказательство. Подействуем на обе части равенства (7) оператором О-{2. В силу равенств (8) и формулы дробного интегрирования по частям получим интегральное уравнение (9).
Решение интегрального уравнения (9) находится методом последовательных приближений Пикара, и оно имеет вид
х то
ш(ж, ¿)= ж - г + (ж - 5)д(я,г) ¿в, д(в,г) = ^ к„(в,г), (11)
К1(я,г) = к (в, г), кп+1(я,г)^ к„(я,у)к (у, г) ¿у, п € N.
<
Здесь г) — резольвента ядра к (в, г) (10).
Для завершения доказательства леммы покажем, что ряд г) сходится. Сначала оценим ядро к (в, г). Для этого перепишем функцию к (в, г) в силу определения дробной производной:
ВД* - = МО* - = ^¿К* -
= + ОГ1^ - г)р' (в)]
в виде
р р
K(s,t) = q(s) У M(a)Dfs-1p(s) da + M(a)D£-1[(s - t)p'(s)j da. (12)
0 0
С учетом того, что дробный интеграл от непрерывной функции есть непрерывная функция и функция p'(s) ограничена, интегралы в формуле (12) можно оценить константой. Поэтому и для ядра K(s, t) имеет место неравенство |K(s, t)| < C, C > 0, из которого получаются оценки
п-1
|g«(a,t)|<C"(a , |E(s,i)|<Cexp[C(s-i)]. (13)
Г (п)
Лемма 1 доказана.
Из леммы 1 следует, что функция W(x,t), определенная формулой (11), является фундаментальным решением уравнения (1).
Лемма 2. Пусть ^(a) G L[0, в], p(x) G Lip[0, l], q(x) G AC[0,1]. Тогда функция W(x,t) обладает следующими свойствами:
1 ) по переменной x является решением задачи
в
Wra(x, t) - M(a)Dtax[p(x)W(x, t)] da = 0, (14)
0
W(t, t) = 0, Wx(t,t) = 1 Vt G [0, x], (15)
2) удовлетворяет соотношениям
в
Wxxt(x,t) - q(x) У M(a)D0X[p(x)Wt (x, t)] da = 0, (16)
0
lim Wxt(x, 0) = 0. (17)
Доказательство. Для начала докажем некоторые свойства ядра K(s,t) и резольвенты R(s,t). Из формулы (12) заметим что если переменные s и t совпадают, то K(s,t) = 0. Отсюда следует, что R(t,t) = 0.
Функция R(s,t) удовлетворяет интегральному уравнению
s s
R(s, t) = K (s, t) + У K (s, y)R(y, t) dy = K (s, t) + J R(s, y)K (y, t) dy. (18) t t Дифференцируя обе части равенств (12) и (18), имеем
в в s
г (s _ t)-a /" /" (s —
Kt(s,t) =-p(t)q(s) j MWVr(1 Jq) da — j M(a) j p'(0 ^^y d£ da,
о о t
Б 3
Д*М) = + У К(5,у)Д*(у,£) ¿у = + У Д(5,у)К*(у,£) ¿у. (20)
Зафиксировав переменные в и которые изменяются в пределах 0 < 4 < 5 < х < I, из соотношений (13), (19) и (20) получим оценки для 4) и Д*(в, 4):
в в
(5 - , „ Л|(- - ^^ _ „ (5 - 4)-в
< Сг / ' 7 ¿а + С2 / |м(а)Г-р/Г) , <1а < С3
Г(1 - а) 2 У п Г(2 - а) " 3 Г(1 - в)
о о
0 < а < в < 1, С > 0, г = 1, 2, 3,
(5 - Гв
Б
Г(1 - в)
+ ССз У ехр [С(* - у)] ¿у = С3
Г (1 - в) * 3 Г (1 - в)
+ ССз(в - 4)1-вЕ1,2-в[С(в - ¿)] = Сз(в - 4)-в£м_в[С(в - 4)], (21)
где — функция типа Миттаг-Леффлера [15, с. 117].
Перейдем к доказательству утверждений леммы 2.
1. В силу того, что ряд, определяющий резольвенту Д(я,£), сходится к непрерывной функции, формулу (11) можно дифференцировать по х. Поэтому из представления (11) получим, что
X
Wx(х, 4) = 1 + У Д(в, 4) ¿в, (22)
*
^^хх (х, 4) = Д(М). (23)
С учетом формул (11), (10) и (18) имеем
в в д(ж) / м(а)^0Х[p(ж)W(х,4)] ¿а = ?(ж) / ^(а)ДОХ[р(х)(х - 4)] ¿а
оо
X
+ ^.(а)^£Х (х - в)Д(в,4) ¿в ¿а
о I *
х
= К(1,<)+/К* = Д(м). (24)
Справедливость формулы (14) следует из равенств (23) и (24).
При х ^ учитывая соотношение Д(4, 4) = 0, из формул (11) и (22) получаем равенства (15).
2. В силу соотношения £) = 0 из представления (11) приходим к равенствам
Шг(х,Ь)= — 1 + У(х — s)Rt(s,í) ¿а, t
X
Шгх(х,Ь)= Wxt(x,t) = J Яь(а^) ¿а,
Wxxt(x,t)= ^(х,Ь).
С учетом формул (25), (18) из соотношения
в в q(x) J ^(а)^ОХ [p(x)Wt(x, t)] ¿а = —q(x)J ^(а)ДОХр(х) ¿а о о
в
(ж) J 11{а)Щх р{х) у (ж о t
(25)
(26) (27)
+ q(x) J м(а)^0Х р(х) J(х — а)^(а^) ¿а ¿а
I t
X
= Kt(x,t) ^ К(х, а)^(а, t) ¿а = Я^х^) t
и формулы (27) вытекает равенство (16). При t ^ 0 из формулы (26) имеем
X
Wxt(x, 0) =У Я*(а, 0) ¿а, о
откуда с учетом неравенства (21) получим оценку
X X
^(х, 0)| <У |Я*(а, 0)| ¿а < С^ а-в ЕМ-р [Са] ¿а = С3х1-в Е^-р [Сх]. (28) оо
В силу (28) при х = 0 имеем WXt(x, 0) = 0. Лемма 2 доказана.
4. Задача Коши
Теорема. Пусть ^(а) € Ь[0,0], р(х) € Lip[0,1], q(x) € АС[0,1], /(х) € Ь[0,1] П С]0,1[. Тогда существует единственное регулярное решение задачи (1), (6). Решение имеет вид
X
п(х) = —uоWt(x, 0)+ п^(х, 0)+У W(x,t)/(t) <И.
(29)
Доказательство. Пусть и(х) — регулярное решение уравнения (1). Умножим обе части уравнения (1) на функцию W(х,4), предварительно поменяв в нем переменную х на и проинтегрируем от е до х - е. Тогда
в
У W(х,г)и"(г) ^ ^ У W(х,г)9(г)У мЫОДр^М^] ¿а ^ = У W(х,£)/(4)
ее 0 е
(30)
Интегрируя по частям левую часть равенства (30), для первого слагаемого получим
х —е х—е
I ьму'(«,а= / адх.(>„(()*+ („ -.)»'<х - е)
ее
- W(х, е)и'(е) - Wt(x, х - е)и(х - е) + Wt(x, е)и(е). (31)
Второе слагаемое разбиваем еще на два слагаемых и последнее интегрируем по частям:
х—е в
ео
в х—е
= / Мо) / и,ммвд ЬМ«(<)] ¿Ыо
ое
в х—е
= 1 W(х,4)д(4)^ае [р(е)и(е)] ¿¿¿а
ое
в х—е
{хл\пи)—.оегЧртгм
+ У ¿¿(а) У ое
в х—е
= У м(а)^ае[р(е)и(е)] ¿а У W(х, 4)^(4)
ое
хв
+ W(х, х - е)д(х - е) J X—е) [р(х - е)и(х - е)] ¿а
о
хв
- КГ(„ш/Мо^ЬИ-И^
о
в х—е
- У м(а) У (32)
х—е
х—е
х—е
При е ^ 0 в силу равенств W(х, х) = 0,
в
1ип У м(а)^^-1[р(е)п(е)] ¿а = 0
первые три слагаемых правой части соотношения (32) равны нулю. Поэтому при е ^ 0 из равенств (30)—(32) с учетом формулы дробного интегрирования по частям получим
и(^)
в
Wtt(x,t) Л — p(tw ^(а)дXt[q(t)W(х^)] ¿а
<И + W(х, х)и'(х)
X
— W(х, 0)п'(0) — Wt(x, х)и(х) + Wt(x, 0)п(0)^У W(x,t)/(t) Л. (33)
о
В силу соотношений (6)—(8) из равенства (33) получим представление решения
(29).
Покажем, что функция и(х), определяемая формулой (29), действительно является решением задачи (1), (6). Дифференцируя обе части формулы (29) и принимая во внимание равенство W(х, х) = 0, получим
X
и'(х) = — ио^(х, 0)]' + и^(х, 0)]' + У Wx(x,t)/(^ Л.
о
(34)
Учитывая соотношения (8), (15), (17), из формул (29) и (34) при х ^ 0 выводим, что и(0) = ио, и'(0) = и1. Вторая производная от функции и(х) в силу равенства (17) имеет вид
X
и''(х) = —uо[Wt(x, 0)]'' + и^(х, 0)]'' + I Wxx(x, (t) М + /(х). (35)
Из представления (29) в силу определения и свойств оператора дробного интегродифференцирования имеем
в в
^х) У м(а№[р(х)и(х)] ¿а = ит(х)1 м(а№ [p(x)Wt(x,0)] ¿а
оо
в
+ иМх)/ M(а)Dox[p(x)W(х, 0)] ¿а о
в
+ q(x)J м(а№
р(х) J W(x,t)/(t) М о
¿а. (36)
X
X
Подставляя выражения (35) и (36) в уравнение (1), в силу равенств (14), (16) получаем, что функция, определяемая формулой (29), действительно является решением задачи (1), (6).
Так как все функции, входящие в правую часть (29), непрерывны на [0,1], то и(ж) G C[0,1]. Из равенств (35) и (36) аналогичным образом можно заключить, что
в
u''(x), q(x) У ^(a)Dgx[p(x)u(x)] da G C]0,1[. о
В завершение заметим, что если функция и(ж) принадлежит C[0,1]ПС2]0,1[, то из представления (34) вытекает, что u'(ж) G C[0,1].
ЛИТЕРАТУРА
1. Нахушев А. М. О непрерывных дифференциальных уравнениях и их разностных аналогах // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300, № 4. С. 796-799.
2. Нахушев А. М. О положительности операторов непрерывного и дискретного дифференцирования и интегрирования, весьма важных в дробном исчислении и в теории уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 1. С. 101-109.
3. Псху А. В. К теории оператора интегро-дифференцирования континуального порядка // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 1. С. 120-127.
4. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005.
5. Kochubei A. N. Distributed order calculus and equations of ultraslow diffusion //J. Math. Anal. Appl. 2008. V. 340. P. 252-281.
6. Fedorov V. E., Streletskaya E. M. Initial-value problems for linear distributed-order differential equations in Banach spaces // Electron. J. Differ. Equ. 2018. № 176. P. 1-17.
7. Стрелецкая Е. М., Федоров В. Е., Дебуш А. Задача Коши для уравнения распределенного порядка в банаховом пространстве // Мат. заметки СВФУ. 2018. Т. 25, № 1. С. 63-72.
8. Псху А. В. Фундаментальное решение обыкновенного дифференциального уравнения континуального порядка // Докл. Адыгской (Черкесской) Междунар. акад. наук. 2007. Т. 9, № 1. С. 73-78.
9. Псху А. В. Уравнение дробной диффузии с оператором дискретно распределенного дифференцирования // Сиб. электрон. мат. изв. 2016. Т. 13. С. 1078-1098.
10. Гадзова Л. Х. Нелокальная краевая задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дробного дискретно распределенного дифференцирования // Мат. заметки. 2019. Т. 106, вып. 6. С. 860-865.
11. Федоров В. Е., Филин Н. В. Линейные уравнения с дискретно распределенной дробной производной в банаховом пространстве // Тр. ИММ УрО РАН. 2021. Т. 27, № 2. С. 264280.
12. Эфендиев Б. И. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 9. С. 1364-1368.
13. Эфендиев Б. И. Задача Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной // Мат. заметки. 2015. Т. 97, № 4. С. 620-628.
14. Эфендиев Б. И. Задача Неймана для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной // Докл. Адыгской (Черкесской) Междунар. акад. наук. 2006. Т. 8, № 2. С. 83-85.
15. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплекс-
ной области. М.: Наука, 1966.
Поступила в редакцию 10 сентября 2021 г. После доработки 16 .марта 2022 г. Принята к публикации 31 мая 2022г.
Эфендиев Беслан Игорьевич
Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, ул. Шортанова, 89 А, Нальчик, 360000 [email protected]
Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2022. Том 29, № 2
UDC 517.925.4
INITIAL-VALUE PROBLEM FOR A SECOND-ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION WITH DISTRIBUTED-ORDER DIFFERENTIATION OPERATOR B. I. Efendiev
Abstract: We study a linear ordinary differential equation of the second order with operator of continuously distributed differentiation with variable coefficients. Such equations belong to the class of continuous differential equations. In this paper, the continuously distributed differentiation operator is defined as an integral with summable kernel from the Riemann—Liouville fractional differentiation operator in the order of differentiation. A special case of the operator of continuously distributed differentiation is the operator of discretely distributed differentiation. For the equation under consideration, a fundamental solution is constructed in the form of a Neumann series, reducing the differential problem to the Volterra integral equation of the second kind, which is solved by the method of sequential Picard approximation. The qualitative and structural properties of the fundamental solution are proved with the help of which the solution to the Cauchy problem is found in terms of the fundamental solution using the Lagrange formula.
DOI: 10.25587/SVFU.2022.34.61.005 Keywords: Riemann—Liouville fractional integro-differentiation operator, distributed-order differentiation operator, fundamental solution, Cauchy problem.
REFERENCES
1. Nakhushev A. M., "On continuous differential equations and their difference analogues," Sov. Math., Dokl., 300, No. 1, 796-799 (1988).
2. Nakhushev A. M., "On the positivity of continuous and discrete differentiation and integration operators that are very important in fractional calculus and in the theory of equations of mixed type," Differ. Equ., 34, No. 1, 103-112 (1998).
3. Pskhu A. V., "On the theory of the continual integro-differentiation operator," Differ. Equ., 40, No. 1, 128-136 (2004).
4. Pskhu A. V., Partial Differential Equations of Fractional Order [in Russian], Nauka, Moscow (2005).
5. Kochubei A. N., "Distributed order calculus and equations of ultraslow diffusion," J. Math. Anal. Appl., 340, 252-281 (2008).
6. Fedorov V. E. and Streletskaya E. M., "Initial-value problems for linear distributed-order differential equations in Banach spaces," Electron. J. Differ. Equ., 2018, No. 176, 1-17 (2018).
7. Streletskaya E. M., Fedorov V. E., and Debbouche A., "Initial-value problems for distributed-order equations in Banach spaces [in Russian]," Mat. Zamet. SVFU, 25, No. 1, 63-72 (2018).
8. Pskhu A. V., "Fundamental solution of an ordinary differential equation of continuous order [in Russian]," Dokl. Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunar. Akad. Nauk, 9, No. 1, 73-78 (2007).
9. Pskhu A. V., "The equation of fractional diffusion with the operator of discretely distributed differentiation [in Russian]," Sib. Electron. Math. Rep., 13, No. 1, 1078-1098 (2016).
© 2022 B. I. Efendiev
10. Gadzova L. Kh., "A non-local boundary value problem for a linear ordinary differential equation with a fractional discrete-distributed differentiation operator," Math. Notes, 106, No. 6, 860-865 (2019).
11. Fedorov V. E. and Filin N. V., "Linear equations with discretely distributed fractional derivative in Banach spaces [in Russian]," Tr. Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, 27, No. 2, 264-280 (2021).
12. Efendiev B. I., "Cauchy problem for a second-order ordinary differential equation with a continual derivative," Differ. Equ., 47, No. 9, 1378-1383 (2011).
13. Efendiev B. I., "Dirichlet problem for second-order ordinary differential equations with segment-order derivative," Math. Notes, 97, No. 4, 632-640 (2015).
14. Efendiev B. I., "Neumann problem for a second-order ordinary differential equation with a continual derivative [in Russian]," Dokl. Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunar. Akad. Nauk, 8, No. 2, 83-85 (2006).
15. Dzhrbashyan M. M., Integral Transformations and Representations of Functions in the Complex Domain [in Russian], Nauka, Moscow (1966).
Submitted September 10, 2021 Revised March 16, 2022 Accepted May 31, 2022
Beslan I. Efendiev
Institute of Applied Mathematics and Automation of KBSC RAS, 89A Shortanov Street, Nal'chik 360000, Russia [email protected]
