3Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН № 5 (91) 2019
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517.925.4
DOI: 10.35330/1991-6639-2019-5-91 -30-37
ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ОПЕРАТОРОМ РАСПРЕДЕЛЕННОГО
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Б.И. ЭФЕНДИЕВ
Институт прикладной математики и автоматизации -филиал ФГБНУ «Федеральный научный центр «Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук» 360000, КБР, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 А E-mail: ipma@niipma.ru
В данной работе исследуется линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с оператором непрерывно распределенного дифференцирования, и для него изучается двухточечная краевая задача методом функции Грина. Дробное дифференцирование понимается в смысле Римана-Лиувилля. Вводится в рассмотрение специальная функция, в терминах которой строится функция Грина задачи Неймана и доказываются основные свойства. Для рассматриваемого уравнения выписывается решение двухточечной краевой задачи в явном виде при выполнении условия разрешимости. Указываются требования на ядро оператора непрерывно распределенного дифференцирования, гарантирующие выполнение условия разрешимости задачи Неймана.
Ключевые слова: задача Неймана, функция Грина, оператор непрерывно распределенного дифференцирования, оператор дробного дифференцирования Римана-Лиувилля.
1. Введение. В интервале 0 < х < I рассмотрим уравнение
и"(х)-М0£и(х) = f(x), (1)
где
М0хи(х) = j p.(s)Dqxu(x) ds
о
- оператор непрерывно распределенного дифференцирования [1], [2],
1 Г
00хи(х) =——- I и(0(х — t)-s-1dt, 5 <0; Г(-5) )о
Одхи(х) = и(х), 5 = 0, (2)
, ^ . п
Оъхи(х) = (—) Оо-пи(х), п- 1 < Б <п, п е N
- оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля порядка 5 [2], [3, а 28], р^), [(х) — заданные функции.
Дифференциальный оператор вида
Р
Mqx^u(x) = j a^(x)D^u(x) d(
был впервые введен в работе [1] и назван оператором непрерывного интегро-дифференцирования, а в [2] изучены его свойства, в частности, получена формула
а
непрерывного интегрирования по частям, доказана положительность оператора непрерывного интегрирования.
Уравнение (1) относится к классу обыкновенных непрерывных дифференциальных уравнений [1]. Непрерывные дифференциальные уравнения являются объектом исследования многих отечественных и зарубежных ученых (см., например, А.М. Нахушев [3], А.В. Псху [4, 5], В.Е. Федоров [6], A.N. Kochubei [7] и др.).
В случае p.(s)=1 уравнение (1) было исследовано в работах [8-10], в которых построено фундаментальное решение, выписаны в явном виде решения начальной и краевых задач, найдены соответствующие функции Грина.
0 1
В работе [11] для обыкновенного дифференциального уравнения с оператором Mqx в главной части выписано фундаментальное решение и найдено решение задачи Коши.
В данной работе строится функция Грина задачи Неймана для уравнения (1). В терминах функции Грина выписывается решение двухточечной краевой задачи в явном виде.
2. Постановка задачи. Регулярным решением уравнения (1) в интервале ]0, /[ назовем функцию и = и(х), принадлежащую классу и(х) Е С[0, /]ПС2]0, /[ и удовлетворяющую уравнению (1) во всех точках х Е ]0, /[.
Задача. Найти регулярное решение уравнения (1) в интервале ]0,1[, удовлетворяющее условию
и'(0) = и0, и'(1) = и1, (3)
где Uo, щ — заданные постоянные.
3. Обозначения и вспомогательные утверждения. Обозначим через (g * h)(x) = f* д(х — t)h(t)dt - свертка Лапласа функций д(х) и h(x),
к1(х) = (4)
k(x) = f*ki(t)dt = fij£Lß(s)ds. (5)
Рассмотрим функцию
W(x) = Zn=0wn(x) =x + (x* к)(х) + (х*к* к)(х)+ . . ., (6)
w0(x) = х, wn(x) = (wn-1 * к)(х), n Е N.
Лемма 1. Пусть ß(s) Е L]0,1[. Тогда:
1) ряд (6), определяющий функцию W(x), сходится равномерно по х,
2) функция W(x) является решением задачи
1
W(x) — f ii(s)Ds0xW(x) ds = 0, W(0) = 0, W'(0) = 1, (7)
Доказательство. Из соотношения (5) следует оценка для функции к(х)
\к(х)\ < ^¡т-Л—аз < ^ \ф)\±—й5 < С, (8)
где С = С(^.,1)- положительная константа.
В силу оценки (8) из формулы (6) имеем неравенства
Сх2 С2х3 Спхп+1
1М1(х} I — 1™2(х)1<^:т-, . . ., 1мп(х)1<
2! ' 2\ — 3! * ■ ■ ■ пчл - (п + 1)Г
из которых следует равномерная сходимость ряда (6).
Из равенства (5) видно, что к(0) = 0, в силу которого из формулы (6) непосредственно вытекают равенства
№'(х) = Щ=Л'(х) = 1 + (1*к)(х) + (1*к*к)(х) + . . ., (9)
№"(х) = Ъп=0™п"(х) = к(х) + (к* к)(х) + (к*к* к)(х) + . . ., (10)
W(0) = 0, №'(0) = 1, №''(0) = 0. (11)
В силу определения (2) представим оператор м0°хи(х) в виде
1 1 X
М°хи(х) = — | р.(5)йо-1и(х) йБ = — I ^^--| иЮ(х — =
0 0 0
= ¿^(О ^Т-^^Шз дХ =±£и(г) к1(х — т = (и * к1)'(х). (12)
Учитывая формулы (6), (9), (11) и (1 * к^)(х) = к(х), из соотношения (12) получим М0^(х) = (№ * к1)'(х) = (№' * к1)(х) = = (1 * к1)(х) + (1*к1* к)(х) + (1*к1*к* к)(х) + . . . = к(х) + (к*к)(х) + (к*к* к)(х)+ . . .= №'(х), из которого вытекает первое равенство (7).
4. Функция Грина. Рассмотрим функцию двух переменных, определенную в компакте
П = [0,1] х [0,1]
1
С(х, О = Н(х — №(х — О —^¡-^'(х^'Ц — I). (13)
Здесь Н(х) - функция Хевисайда.
Определение. Функцией Грина задачи Неймана для уравнения (1) назовем функцию р(х, ^, обладающую следующими свойствами:
1. р(х, ^ непрерывна в П.
2. р(х, I) как функция переменной х является решением задачи
1
кхх(х, О — Ъ ф)0$хр(х, О ¿5 = 0, рх(0, О = 0, рх(1,О = 0, (14)
по переменной t является решением задачи
рп(х, г) — /0 ф)о^р(х, г) ^ = 0, р1(х, 0) = 0, р1(х, I) = 0. (15)
3. При t = х производные Рх(х, ^ и Уг(х, 1) имеют скачок, равный единице, то есть
рх(х,х + 0) — рх(х,х — 0) = -1, (16)
р1(х,х + 0) — р1(х,х — 0) = 1. (17)
Лемма 2. Пусть выполнено условие Ш"(I) Ф 0. Тогда в(х, 0 является функцией Грина задачи Неймана для уравнения (1).
Доказательство. Первое свойство следует из непрерывности функций W(x), W'(x) и представления (13).
Равенство (14) доказывается непосредственной подстановкой соотношения (13) в (14) с учетом формул (7) и (11)
1
0
= Н(х — 1)
W77(0_
№'(х — 0 — 1 Ф)о3^(х — г) йз 0 1
№"(х) — | ф)О^'(х) йБ
= 0.
Аналогично доказывается соотношение (15) в силу равенств (7), (11). Из соотношений
1
Сх(х,1) = Н(х — 1)№(х — — 0, (18)
1
Сг(х, 0 = —Н(х — 1Ж(х — г)+ — №(х)№'(1 — 0 (19)
в силу равенств (1 1 ) имеем
вх(0^) = 0, вх(1,0 = 0, в1(х,0) = 0, й1(х,1) = 0. (20)
Подставляя формулу (18) в равенство (16), с учетом того, что W(x) - непрерывная функция, а Н(х) - разрывная в нуле функция, в силу соотношений (11) получим
1
Сх(х,х + 0) — Сх(х,х — 0) = Н(—0Ж(0)—^^№'(х)№(1—х) —
1
—Н(+0)№(0) —^p)W"(x)W'(l — х) = —1.
Формула (17) доказывается аналогично с помощью соотношения (19). 5. Представление решения. Теорема. Пусть ^(з) Е Ь]0,1[, [(х)ЕЬ]0,1[ПС]0,1[. Тогда при выполнении условия
W''(í) Ф 0 единственное регулярное решение задачи (1), (3) существует и имеет вид
и(х) =и0в(х,0) — и1в(х, I) + ^(х^)/^)^. (21)
1
0
Доказательство. Пусть и(х) — регулярное решение уравнения (1). Умножим обе части уравнения (1) на функцию С(х,€), предварительно поменяв в нем переменную х на ^ и проинтегрируем полученное равенство по t в пределах от 0 до I. Тогда имеем
1 11 1 Ь С(х, 1)и"(1)й1 — С(х, О ^ ФЩМ0 й5(И = С(х, г)№<И. (22)
Проинтегрируем по частям первое слагаемое левой части равенства (22), учитывая, что функция Сг(х, 1) имеет разрыв, предварительно разбив промежуток интегрирования на два промежутка от 0 до х и от х до I
I X
1 = и'(оа(х,1)—и'т(х,°) -1 ад^км* —
1 L )и
0
-I
Gt(x, t)u'(t)dt = u'(l)G(x, l) - u'(0)G(x, 0) - u(l)Gt(x, l) +
+u(0)Gt(x,0) + u(x)[Gt(x,x + 0) - Gt(x,x - 0)] + f* Gtt(x,t)u(t)dt. (23) В силу формулы дробного интегрирования по частям и равенства
(i - xy-1
D-Xsu'(x) = uiO^-j--Dl~su(x), s e]0,1[
1-
второе слагаемое левой части формулы (22) перепишется в виде I 1 1
1 в(х, о1 мошь <ьл = С(х, 01 ф)0°г1ит «ь —
0 0 0 1 I 1
00 и(0) йз — I С,(хл) I ц(з)0п01и(
-СЬ 01 MWurn ds-1 w. о1 Ksw°-1rn ш =
0 0 0 1 I 1
-
= G(X, 01 -t)d<-1 um1 МЙТЪЬ 0ds* =
0 0 0 '0 f0
1
= f u(t) f Ks)DftG(x, t) dsdt, (24)
1
так как из равенства (12) в силу формулы (5) предел lim f ß(s)D0-1u(t) ds = 0.
, и i t D^
t^0 J0
Учитывая формулы (17), (23) и (24), из соотношения (22) получим
ui x) + I ui )
1
I u(t) Ga(x.t)- I
Gtt(x,t) - I u(s)D?tG(x,t) ds
d =
= и(1)ас(х,1) - u(0)G,(x,0) - u'0)G(x,l) + u'(0)a(x,0) -lG(x,t)mdt,
0
из которого с учетом соотношений (3) и (15) получаем формулу (21).
0
X
0
0
Теперь покажем, что функция и(х), определенная формулой (21), действительно является решением задачи (1), (3). Дифференцируя дважды равенство (21), с учетом формул (17) и (20) будем иметь
и'(х) = u0G'(x,0) — u1^(x,l) + fQGx(x,t)f(t)dt, (25)
X I
fw-ww+fww*
0 x
rl
d
u"(x) = u1G"(x, 0) - u1G''(x, l)+ —
dx
= u0G"(x, 0) - u1G"(x, I) + £ Gxx(x, t)f(t)dt + f(x). (26)
Далее из равенства (21) получим
i i
М°хи(х) = и0 j y.(s)D^xG'(x, 0) ds — u1 j y.(s)D^xG'(x, I) ds + 00 1 1
+ £ № £ Ks)D$xG(x, t) dsdt. (27)
Подставляя соотношения (26) и (27) в уравнение (1), в силу равенства (7) имеем тождество, которое доказывает, что функция и(х), определенная формулой (21), действительно удовлетворяет уравнению (1).
С учетом формул (20) из равенства (25) получим, что
и'(0) = u0G'(0,0) — u1G'(0,1) + £ Gx(0, t)f(t)dt = u0,
u'(l) = u0G'(l, 0) — щС(1,1) + £ Gx(l, t)f(t)dt = u1, где G'(0,0) = limG' (x, 0) = 1, G'(0,1) = limG' (x, I) = 0, G'(l, 0) = lim G' (x, 0) = 0,
X^1 X^1 x^l
G'(l,l) = limG'(x,l) = —1.
Выясним, для каких функций ß(s) выполняется условие разрешимости W''(l) ф 0. Из обозначения (5) видно, что если ß(s) > 0, то функция к(х) > 0. Отсюда из формулы (10) следует, что W''(l) представляет собой знакопостоянный числовой ряд с положительными членами, и поэтому сумма этого ряда отлична от нуля. Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Нахушев А.М. О непрерывных дифференциальных уравнениях и их разностных аналогах // Доклады академии наук СССР. 1988. Т. 300. № 4. С. 796-799.
2. Нахушев А.М. О положительности операторов непрерывного и дискретного дифференцирования и интегрирования, весьма важных в дробном исчислении и в теории уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. № 1. С. 101-109.
3. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
4. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.
5. Псху А.В. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2002. № 1. С. 76-78.
6. Fedorov V.E., Streletskaya E.M. Initial-value problems for linear distributed-order differential equations in Banach spaces // Electronic Journal of Differential Equations. 2018. Vol. 2018. № 176. Pp. 1-17.
7. Kochubei A.N. Distributed order calculus and equations of ultraslow diffusion // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2008. Т. 340. Pp. 252-281.
8. Эфендиев Б.И. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 9. С. 1364-1368.
9. Эфендиев Б.И. Задача Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной // Математические заметки. 2015. Т. 97. № 4. С. 620-628.
10. Эфендиев Б.И. Задача Неймана для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2006. Т. 8. № 2. С. 87-89.
11. Эфендиев Б.И. О фундаментальном решении обыкновенного дифференциального уравнения с оператором непрерывно распределенного порядка // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2018. № 6 (86). С. 48-52.
REFERENCES
1. Nakhushev A.M. O nepreryvnykh differentsial'nykh uravneniyakh i ikh raznostnykh analogakh [On continuous differential equations and their difference analogues] // Reports of the USSR Academy of Sciences. 1988. Vol. 300. № 4. Pp. 796-799.
2. Nakhushev A.M. O polozhitel'nosti operatorov nepreryvnogo i diskretnogo differentsiro-vaniya i integrirovaniya, ves'ma vazhnykh v drobnom ischislenii i v teorii uravneniy sme-shannogo tipa [On the positivity of continuous and discrete differentiation and integration operators that are very important in fractional calculus and in the theory of equations of mixed type] // Differential Equations. 1998. Vol. 34, № 1. Pp. 101-109.
3. Nakhushev A.M. Drobnoye ischisleniye i yego primeneniye [Fractional calculus and its application]. Moscow: Fizmatlit, 2003. 272 p.
4. Pskhu A.V. Uravneniya v chastnykhproizvodnykh drobnogoporyadka [Equations in partial derivative of fractional order]. Мoscow: Nauka, 2005. 199 p.
5. Pskhu A.V. Kraevaya zadacha dlya differentsial'nogo uravneniya s chastnymi proizvod-nymi drobnogo poryadka [The Boundary Value Problem for a Fractional Differential Equation with Partial Derivatives] // Izvestiya Kabardino-Balkarskogo nauchnogo tsentra RAN [News of Kabardin-Balkar Scientific Center of the Russian Academy of Sciences]. 2002. № 1. Pp. 76-78.
6. Fedorov V.E., Streletskaya E.M. Initial-value problems for linear distributed-order differential equations in Banach spaces // Electronic Journal of Differential Equations. 2018. Vol. 2018. № 176. Pp. 1-17.
7. Kochubei A.N. Distributed order calculus and equations of ultraslow diffusion // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2008. Т. 340. Pp. 252-281.
8. Efendiev B.I. Zadacha Koshi dlya obyknovennogo differentsial'nogo uravneniya vtorogo poryadka s kontinual'noy proizvodnoy [Cauchy problem for a second-order ordinary differential equation with a continual derivative] // Differential Equations. 2011. Vol. 47. № 9. Pp. 1364-1368.
9. Efendiev B.I. Zadacha Dirikhle dlya obyknovennogo differentsial'nogo uravneniya vtorogo poryadka s kontinual'noy proizvodnoy [Dirichlet problem for a second-order ordinary differential equation with a continual derivative] // Mathematical Notes. 2015. Vol. 97. № 4. Pp. 620-628.
10. Efendiev B.I. Zadacha Neymana dlya obyknovennogo differentsial'nogo uravneniya vtorogo poryadka s kontinual'noy proizvodnoy [Neumann problem for a second-order ordinary differential equation with a continual derivative] // Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdu-narodnoy akademii nauk [Reports of the International Adyghe (Circassian) Academy of Sciences]. 2006. Vol. 8. № 2. Pp. 87-89.
11. Efendiev B.I. O fundamental'nom reshenii obyknovennogo differentsial'nogo uravneniya s operatorom nepreryvno raspredelennogo differentsirovaniya [On the fundamental solution to an ordinary differential equation with a continuous distributed differentiation operator] // Izvesti-ya Kabardino-Balkarskogo nauchnogo tsentra RAN [News of Kabardin-Balkar Scientific Center of the Russian Academy of Sciences]. 2018. № 6. (86). Pp. 48-52.
NEUMANN PROBLEM FOR AN ORDINARY SECOND-ORDER DIFFERENTIAL EQUATION WITH A DISTRIBUTED DIFFERENTIATION OPERATOR
B.I. EFENDIEV
Institute of Applied Mathematics and Automation -branch of the FSBSE "Federal Scientific Center "Kabardin-Balkar Scientific Center of the Russian Academy of Sciences" 360000, KBR, Nalchik, Shortanov street, 89 А E-mail: ipma@niipma.ru
In this paper, we study a linear ordinary second-order differential equation with a continuously distributed differentiation operator and study a two-point boundary-value problem by the Green function method. Fractional differentiation is presented in the sense of the Riemann-Liouville. Green function of the Neumann problem is constructed in term of a special function. The main properties for Green functions are proved. The explicit form of the solution for two-point boundary value problem to the equation under consideration is defined, when the solvability condition is satisfied. Requirements for the kernel of a continuously distributed differentiation operator that guarantee the fulfillment of the solvability condition for the Neumann problem are indicated.
Keywords: Neumann problem, Green's function, operator of continuously distributed differentiation, operator of fractional Riemann-Liouville differentiation.
Работа поступила 10.10.2019 г.
