О задаче идентификации функции источника для одной полуэволюционной системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

О задаче идентификации функции источника для одной полуэволюционной системы

Юрий Я. Белов*

Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный, 79, Красноярск, 660041,

Россия

Получена 18.06.2010, окончательный вариант 25.07.2010, принята к печати 10.08.2010 Исследованы задачи идентификации функции источника для полуэволюционной системы двух уравнений в частных производных, одно из которых является параболическим, а второе — эллиптическим. Рассмотрены задача Коши и первая краевая задача. Исходные задачи аппроксимируются задачами, в которых эллиптическое уравнение заменяется параболическим, содержащим малый параметр е > 0 при производной по времени.

Ключевые слова: уравнения в частных производных, краевые задачи, аппроксимация, малый параметр, сходимость.

В работе рассмотрены задачи идентификации функции источника для полуэволюционной системы двух уравнений в частных производных, одно из которых является параболическим, а второе — эллиптическим. Исследованы задача Коши и первая краевая задача. Исходные задачи аппроксимируются задачами, в которых эллиптическое уравнение заменяется параболическим, содержащим малый параметр е > 0 при производной по времени. Доказаны разрешимость аппроксимирующих задач, исходной задачи, сходимость решений ш аппроксимирующих задач к решениям ш исходных. Получена оценка скорости сходимости решений ш к ш при е ^ 0 в некоторых нормах.

Изучению прямых задач для систем составного типа и применению метода е - аппроксимации посвящены работы различных авторов [1-6].

Обратные задачи для эволюционных систем составного типа см., например, в [7-10]. Рассмотрим в полосе П[о,т] = {(t, x)| 0 ^ t ^ T, —ж < x < +ж} систему уравнений

Ut + оци + ai2V = MlUx® + g f, m

J e e e 7-t r\ (1)

evt + 02iи + 022V = + F, е > 0 — const,

с данными Коши

и(0, x) = uo(x), v(0,x)= vo(x). (2)

В (1) коэффициенты Oj = Oj (t) заданы на отрезке [0, T], = const > 0, i = 1, 2, функции f, F заданы в П[0,Т], функция f (t,x) удовлетворяет при x0 £ (0, l) условию

f (t,x0) > J, J> 0 — const, t £ [0,T]. (3)

Требуется найти функции U = U(t, x), V = V(t, x), g = g(t), при дополнительном условии (условие переопределения)

U(t,xo)= p(t), p(t) £ C2[0,T], (4)

где y(t) — заданная функция на [0, T].

В предположении достаточной гладкости входных данных мы:

* belov@lan.krasu.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

докажем существование достаточно гладкого решения и, «, $ задачи (1), (2), (4) в П[о,т] при любом £ > 0;

при условии периодичности по х и нечетности входных данных /, ^, ио, «о докажем существование достаточно гладкого решения задачи определения и, V, д в Qт = [0, Т] х [0,1] при первом краевом условии

¿(t, 0) = V(t, 0) = u(t, l) = V(t, l) = 0, t G [0, T];

(5)

• докажем существование решения u, v, g первой краевой задачи (10), (20), (40), (50), где £ £ £

u = lim u, v = lim v, g = lim g,

£—>0 £—>0 £ —0

и через (10), (20), (40), (50) обозначены соответственно (1), (2), (4), (5) при е = 0

(u = u, V = v);

£££

• получим оценку скорости сходимости u, v, g к u, v, g соответственно при е ^ 0. Предположим выполнение следующих условий:

• условие согласования

u0(x0) = у>(0);

(6)

функции aij(t), i, j = 1, 2, дважды непрерывно дифференцируемы на отрезке [0, T]:

G C2 [0,T], = 1, 2;

(7)

aii(t) ai2(t)

матрица

A(t) = ( a2i(t) a22(t) порождает симметрическую и коэрцитивную билинейную форму a(t, х) = (A(t)£, х):

a(t,e,x) = a(t,x,e) ve,x G E2,

*(t,f,0 > к|£|2 ve = (fi,6) G E2, t G [0,T], к > 0 - const.

(8)

Рассмотрим четное число р ^ 6. Предположим, что функции ио, «о, /, ^ имеют непрерывные производные, входящие в (9), и удовлетворяют условиям

dj dm

dxj dtm

+

F (t,x)

+

dj dm

f (t,x)

+

dj

dj u0(x)

+

dj

dXj v0(x)

dxj dtm'

< C, j = 0,.. .,p + 6, m = 0,1, 2, (t,x) G QT.

(9)

В (9) и ниже через С будем обозначать постоянные, не зависящие от £. Через Кц1'к1'к2 (П[о,т]) обозначим линейное пространство вектор-функций (<^(£, х), ф(£, х), х(£)) определенных в П[о,т] хП[о,т] х [0, Т] соответственно и таких, что в П[о,т] функции у, ф непрерывно дифференцируемы по х до порядка 1, функция ^ непрерывно дифференцируема по £ до порядка &1, функция ф непрерывно дифференцируема к2 раз по £ и функция х непрерывно дифференцируема й раз на [0, Т].

Через К<1'к1'к2 ) обозначим Ка'к1'к2 (П[о,т]), где вместо П[о,т] следует рассматривать

Qт.

a

Теорема 1. При выполнении условий (3), (6)-(9) задача (1), (2), (4) имеет единственное 'решение (и, V, #) класса К1Р+4'1'1(П[о1т]), удовлетворяющее соотношениям

р+4

Е

¿=0

д3 е, , с(г'х)

д е

< с(е), (г,х) е П[о,т].

(10)

Постоянная С(е) в (10) зависит, вообще говоря, от е и входных данных.

д д3 е

Замечание 1. Из (10) и системы (1) следует, что "(^х) существуют и

I д д3' е ,

| д^дХУ"(*>х)| < С(е), ^ =0,1,р + 2, (г,х) е П[о,т].

(11)

Предположение 1. Предположим, что входные данные и0(х), «0(х), /(г, х), ^(г, х) периодические по х функции с периодом / > 0, х0 е (0,1) и ряды

-п

и0(х

(х) = Е "к ^п-/-

к=1

-п

«0(х) = ^ вк вт — х

к=1

-п

/(М) = ^ /к (фт —

к = 1

-п

^(¿,х)=^ ^ (¿)вт —

к=1

(12)

сходятся равномерно соответственно в [0,1] и QT вместе со своими производными по х до порядка р + 4.

Теорема 2. При выполнении предположения 1 и условий теоремы 1 при любом фиксированном е > 0 компоненты и, V решения (и, V , #) задачи (1), (2), (4) являются периодическими функциями по переменной х с периодом / и удовлетворяют условиям

д2ти (г, 0) д2ти (г,/) д2т!е (г, 0) д2т£ (г,/)

дх2т

дх2т

дх2т

дх2т

0, т = 0,1, ...,р/2 + 2. (13)

Доказательство теорем 1,2 можно провести на основе метода расщепления [11, 12]. Периодичность и, V в теореме 2 доказывается в силу (12) расщеплением задачи (1), (2), (4) на

е е

ряд задач, компоненты решений которых иТ, ут являются периодическими по х, удовлетворяют (13) и равномерно сходятся при т ^ 0 к периодическим по х с периодом / функциям и, V, удовлетворяющим (13).

1. Априорные оценки

Докажем равномерные по е оценки семейства {се} решений задачи (1), (2), (4), (5) при выполнении условий (3), (6)—(13).

х

х

х

Ниже через ¿¿- = (и, ) обозначим производную по х от ¿ порядка ]:

е .ее. / д^ е д^ е\ д^ е е.

¿¿' = К' дх^ ^дх* V = д^ (и,«).

Продифференцируем ] раз ^ р) по переменной х задачу (1), (2), умножим результат

11 -04 д е -04 / д е д е \

дифференцирования на е —¿¿+2 = е I ^^'+2, ^«¿+2 ) и проинтегрируем результат

умножения по области Qí = (0, £) х (0,1), £ € (0, Т), что можно сделать в силу замечания 1. После интегрирования по частям знаконеопределенных интегралов получим равенство

- I е " и и £ . е-^

/д д Г д д

% я*

— J е-0^; ¿¿-, —¿¿+2)йх^ + е-0^и^+2 —«¿+2йх^+ Я

е-0^«¿+2 д^^йх^ = ^У е-0^-^и^йх^—

/д

е-0" ^ —«¿+2йх^. (14)

Яь

Имеют место следующие соотношения:

/1 = —J е т^и'—М;+2йх^ = J е —йхй^, (15)

Я Я

/д д х д \ 2

е-0^(«?)(«¿+2)йхй^ = £ е-0Ч —«¿+1 ] ^х^, (16)

Я Я

/е д е Г е д е

е-0^а(^; ¿¿-, —¿¿+2)йх^ = е-0^а(^; ¿¿+1, —¿¿+1)йх^ =

Я Я

= 1,1 [е-0^ ; ¿¿+1,ш^+1)]йхй^ + 2/е-0^ ; ¿¿+1, ¿¿+1)йх^— Я Я

I

— 1 J е-0^а'(V; ¿¿+1, ¿¿+1)йх^ = це-04 J а(£; ¿¿+1 (£, х), ¿¿+1 (£, х))йх— Я о

I

— а(0; ¿¿+1(х), ¿¿+1(х))йх + 2У е-0^а^; ¿¿+1, ¿¿+1)йх^—

о Яь

— 2 У е-0^а'^; ¿¿+1, ¿¿+1)йх^, (17)

/4 = I е —и^йх^ = М21 е 04 I и2+2(£, х)йх^+

Я

о

г

+ ~2~ / 6 ^+2^ — ^2" I и^хМх, (18)

Яь 0

г

т М2 [ -ви д е 2 11 М2 -вг [е 2 /, л .

/5 = — е = — е х)аха^+

0

+_2~ ,1 е — ^2" I «2+2(х)^х. (18)

Яь

Ниже мы оценим величины

/б ^ У е / и^^х^,

Яь

/7 = J е-вр

- 3

Яь

Положив х = х0 е (0, /) в первом уравнении системы (1), получим

^ у'(г) + ац(г)у(г) + 012 (г)« (г,х0) — ^1^жж(г,х0) ,1ГЛ

1(г) =-тт.-N-. (19)

/ (г,х0)

В силу условия (3) и условий на у, у', ац, 012, я-1 функция | удовлетворяет неравенству

||(г)| < с(1 + IV(г,х0)| + ^(г,х0)|). (19')

Так как в силу (13)

г 1

Из (г,х0) ^ тах (г, х)| ^ С( у и2+1(г,х)^х

0

г 1

(г,х0) ^ |г3(г,х)| ^ С^У х)йх^ ,

0

то

г 1 г 1

II(г)| < с(1+ ^у V+ (/и'). (20)

00

Лемма 1. При ] ^ 2 в силу (13) имеют место неравенства

„-виV^ с I е-виV2

У е V2<1х^ ^ С1 У е /е-в"и^^ ^ ^^^ (21)

Чь Чь

где постоянные С^, г = 1, 2, зависят лишь от ], / и не зависят от функций V, и.

В силу (20), (21) неравенства Коши (|аЬ| ^ 1/2(аа2 + 1/аЬ2) Уа, Ь и а > 0), интегрирования по частям по переменной х и леммы 1 при ] ^ 2

/я

/е д е е-0^ )/ —и^йх^

Яь

<

I 1 I

< С ! е-0^ 1 + «Ж(^х)йх) 2 + (у и^хМх Яь о о

«¿+1

йх^ <

^ С^ 1+ / е «Х^х^ + / е йх^ + / е и^+^х^ ^ +

+ е йх^ ^ С | 1 + / е и^+^х^ + J е +

Яь

+2/е 0,у(

Яь

Оценим

/

9 =

/д е

е-^ («?+2)йх^

<

Яь

После интегрирования по частям по переменным £ и х получим неравенство

/д е

е-0^^¿+1 —(«¿+1)йх^ <

Яь

I I

J е-04^-+1(£, х)«^-+1(£, х)йх — J ^¿+1(0, х)«^-+1(х)йх— оо

— J е-0^—+ 6 J е-0^.Р^+^+^х^

Яь Яь

Из (23) в силу (9), соотношения

. , е , е 2 1 ,2

|ф«5 + 1| < а«2+1 + -ф ,

а

верного при любом фиксированном а > 0, следует неравенство

I

/9 ^ а I е 04«2+1 (£, х)йх + аJ е

Яь

/9 ^ а J е «¿ + 1

о

(£,х)йх + а/е^ «2+^+

Яь

+а6 J е-0^«^йх^ + С1(а, 6),

где постоянная С1 (а, 6) зависит от а, 6 и не зависит от £ > 0.

(22)

(23)

д

2

Я

Я

Я

Я

Я

Я

В силу условий (8), (9) и соотношений (15)-(18), (18'), (22), (24) из (14) получим неравенство

J е —'¿+1^ ¿х^ + "кУ е вгие22+1 (г, х)^х+ ^ — е вг^2+1 (г, х)^х+

Яь 0 0

+ (2к — С)/е-в^и2+1(г,х)йх^+ ^0(К — а) — С — а)^У е-в^+

- J е-вуи2+1(г,х)^х^+ ^0(2 — а) — С — а) ^ 1 5-2

Яь Яь

г г

У е-вг,и,2+2^х + У е-в^и2+2^х^ + ^22 J е-^^

0 Яь 0

+У < С2(а,0), г е [0,Т], (25)

Яь

где С2 (а, 0) - постоянная, зависящая от а, 0, С1, С, Т, /, г = 1, 2, и не зависит от е > 0

(е е (0,е0]).

Положим а =4 в (25), затем выберем 0 = 0 таким, чтобы все коэффициенты, стоящие перед интегралами в левой части неравенства (25), были больше

1 к ,2,4, 2 ' 2

Получим неравенство

9 г г

д 4 2

. Г 1 К ^2 1

7 = тт < -, —, —, — >. 2 4 2 2

7е ет| у¿х^ + 1 и2+1(г,х)^х + 1 ^+1(г,х)^х+

Яь 0 0

г

+ У и2+1Йх^ + 1 + 1 цх2+2 (г, х)^х+

Яь Яь 0

г

+ У и2+2йх^ + 1 ^2+2(г,х)йх + 1 г;2+2йх^| < С2(к, 0), г е [0,Т],

Яь 0 Яь

откуда следуют оценки

у ^"дгии.^ ¿х^г +1 'и2+1 ¿х^г + 1 ге2+1^х^г+

Ят Ят Ят

+ у "2+2¿х^г + у ^ Д,

Ят Ят

г г г

/ '2+1— + / + / и3+2(,х)^х+

000 г

+ 1 !е2+2(г,х)йх < Д, Уг е [0,Т],

(26)

где Д = С2(к, 0)е'

ет,

Замечание 2. Мы доказали (27) для 3 ^ 2. В силу условий (13) и неравенства типа Пуанкаре-Фридрихса

II II

J и2 (£,х)йх + J «2(£,х)йх ^ м2+1(£,х)йх + J «2+1 (£, х)йх^ , £ € [0, Т],

о о о о

неравенство (27) имеет место при 3 =0,1,... ,р. Из (27), (28) равномерно по £ и по £ € [0, Т]

оо

Лемма 2. Множества (и}, } равномерно по £ € (0,£о] ограничены в Qт:

и

о

Отсюда следует, что

11и11с(Ят) < C, 3 =0,1,...,Р + 1. Аналогично доказывается, что

И«*11с(Ят) < С,3 =0,1,...,р +1.

(28)

1 1

Уи2(£,х)йх ^У (£,х)йх < С, 3 = 0,1,...,р + 2. (29)

¿11с(Ят) + 11с(Ят) ^ C, 3 = 1,...,Р +1. (30)

Доказательство. В силу (13), (29)

I 2

и(£,х)| < 11 ^ J(Ц^+^х))2^ С, £ € [0,Т], 3 = 0,1,. ..,р + 1. (30')

□

Лемма 3. Множество $(£) равномерно по £ € (0,£о] ограничено на [0, Т]:

цд||с[о,т]< С. (31)

Доказательство леммы 3 следует из соотношений (19'), (30). Введем следующие обозначения:

е, = / -и \ « = / \

и = V Ж/ = VЖ/

Докажем равномерные по £ оценки множества {«¿-}.

Продифференцируем систему (1) по переменной £, что возможно в силу (10). Получим систему уравнений

д е' е' е' 'е 'е е' е' х е „'

—и + аци + а^« + а11и + а12« = + $ / + $/ ,

д£ (32)

д е' е' е' 'е 'е е'

+ а21и + а22« + а21и + а22« = М2«жж + ^ . Предположим выполнение условия согласования входных данных

М2«жж(х) + ^(0, х) — а21 (0)и(х) — а22(0)«(х) = 0. (33)

В силу условия (33) и второго уравнения системы (1)

«'(0, х) = 0. (34)

Из первого уравнения системы (1) следует, что

И'(0,х) = ^1МЖж(х) + |(0)/(0, х) - ац(0)м(х) - а12(0)«(х) = ф(х). (35)

Продифференцируем ] раз по переменной х задачу (32), (34), (35), умножим результат дифференцирования на е-04 ^ — ("и^+2), («¿+2)^ и проинтегрируем результат умножения

по области ф4 = (0,4) х (0,1), 4 € (0, Т]. На основании (9), (34), (35), в основном повторяя рассуждения, приведенные при получении неравенства (29), получим неравенство

У (Uj(t, x))2dx + J(Vj(t, x))2dx < C, j = 0,1,... + 2. (36)

)2dx + y (»*•' (t x))2d 0 0 Из (36) (см. доказательство леммы 2) следует

Лемма 4. Множества {Uj}, {Vj} равномерно по е £ (0,е0] ограничены в Qy:

u

) + 11%||0(О,) < С, ^ =0,1,...,р +1. (37)

В силу неравенств (30), (37) множества {г^}, {«7}, ] =0,1,... ,р, удовлетворяют условиям теоремы Арцела (о компактности в С (фу)). На основании теоремы Арцела существует подпоследовательность (И, последовательности векторов (И, V) и вектор-функция (и, V) такие, что при ^ ^ 0

И ^ и, ^ сильно в С (фу), = 0,1,... ,р. (38)

Переходя к пределу при ц ^ 0 в системе (1) (при е = и учитывая при этом оценку (37) (при ] = 0), в силу (38) получим, что вектор (г,«) удовлетворяет в фу системе уравнений

ut(t, x) + an(t)w(t, x) + ai2(t)v(t, x) = x) + g(t)f (t, x),

®2i(t)u(t, x) + a22(t)v(t, x) = ^2«xx(t,x) + F(t, x),

(39)

начальным условиям

и(0, х) = г(х), «(0,х) = «(х), х € [0,1], (40)

краевым условиям

0) = «(4, 0) = 1) = «(4,1) = 0 (41)

и условию переопределения

г(4,хо) = у(4). (42)

В (39) в силу (19), (38)

у'(4) + ац(4)у(4) + &12(4)«(4,хо) - ^1ИЖж(4,хо)

g(t)

f (t,xo)

1 (t) ^ g(t) сильно в C[0,T]. (43)

Из (38), (39), (43) следует, что (u,v,g) £ K0Pl1'0(Qy).

и

2. Единственность решения задачи (39)-(42)

1 1 1 2 2 2

Пусть векторы (и, «, д), (и, «, д) - два решения задачи (39)-(42) класса Ко ^т) и и = и — и, « = « — «, д = д — д.

Вектор (и,«, д) = (и — и, « — «, д — д) удовлетворяет уравнениям

и^, х) + ац(£)и(£, х) + а^^)«^, х) = М1ижж(£, х) + <?(£)/(£, х), (44)

а21(£)и(£,х) + а22(£)«(£,х) = М2«жж(£, х), (45)

начальным условиям

и(0, х) = «(0, х) = 0, (46)

краевым условиям

и(£, 0) = «(£, 0) = и(£, 1) = 1) = 0 (47)

и условию переопределения

и(£, хо) = 0. (48)

В силу однородности уравнения (45), условий (46)-(48) и равенства

~,.ч а12 (£)«(£,хо) — м1мжж(£,хо)

^ =-Ж^)-

имеет место (см. вывод оценки (29)) неравенство

I I

откуда следует, что и = 5 = 0 в Qт. Доказана

Теорема 3. Пусть выполняются условия (3), (6), (9), (33) и предположение 1. Тогда решение (и, «,д) задачи (39)-(42) существует и единственно в классе Кор'1,о^т).

В силу единственности решения задачи (39)-(42) в классе Кор,1'°^т) и принадлежности (и,«, д) этому классу следует, что последовательность (и,«, д) сходится к (и, «,д) так же,

МММ-,

как и выбранная нами выше подпоследовательность (и, «, д). Теорема 4. Пусть выполняются условия теоремы 3. Тогда при £ ^ 0

и ^ и, «д- ^ «д сильно в С(Qт), 3 =0,1,... ,р,

д ^ д(£) сильно в С[0,Т]. (49)

£

3. Скорость сходимости ы к Ы при £ ^ 0

Вычтем из системы (1) систему (39). Обозначив ¿ — ¿ = (и — и,« — «) = =(г ( \ г ( )) = г, получим систему уравнений

д .е(1\ е(1) е(1) д2Г(1) е .

— (г )+ ацг + а12Г = М1 я 2 + /

д£ дх22) (50)

д« е(1) е(2) д2Г

£-£ + а21Г + а22Г = М2 -х2 ,

о

о

е ,£(1) е(2),

для вектора г = (г , г ), удовлетворяющего условиям

Г(0, х) = 0, х € [0,1],

д2т д 2т

ГГ(4, 0) = —-Г(4,1) = 0, т = 0, 1, .. . ,р/2.

дх2т

дх2т

В (50) функция С имеет вид

С(4) = -

е(2) е(1) «12 (¿)г (4,хо) - М1ГЖЖ (4,хо)

/ (4,хо) .

(51)

(52)

(53)

Продифференцируем трижды задачу (50), (51) по переменной х. Умножим первое продифференцированное уравнение на е-04Г3 и проинтегрируем результат по 4 € (0, Т],

умножим второе продифференцированное уравнение на е-04Гз и проинтегрируем результат по Сложив результаты интегрирования, получим, в основных моментах повторяя вывод оценки (29), неравенство

I

J(Г3 )(4,х))2^х + J (Г^ )(4,х))2^х^4 + J (Г^ )(4,х))2^х^4 ^

В силу (37), (30), (38)

< еС

<94

е(2)

е(2)

|гз (4, х)|^х^4.

|гз (4,х)|^х^4 ^ С,

откуда и из (54)

^•/"3 I I (Г^ ''(4 ™))2,

о Ят Ят

В силу (52) нетрудно показать (см. (28)), что

I I

У>(Г71)(4,х))2йх < ^(Г31)(4, х))2¿х, з = 0, 1, 2, 3,

оо

У>(Гк;1)(4,х))2йхй4 < Су (Г441) (4,х))2^х^4, к = 0,1, 2, 3, 4, Ят Ят

У(Г^2)(4,х))2йх^4 < ^У (Г42) (4,х))2^Ы4, к = 0,1, 2, 3, 4,

Ят Ят

Из (55), (56) следуют неравенства

1|И7 - Ус(Ят)

< е1/2С, з =0,1, 2, - «к(Ят) + У«* - ) < е1/2c, к = ^ 1,...,4.

Доказана

(54)

I

У(Г31)(4,х))2йх + У (Г^1)(4,х))2^х^4 + У(Г42)(4,х))2^Ы4 < еС. (55)

(56)

(57)

о

Я

Я

т

т

Я

т

Я

т

Теорема 5. Пусть выполняются условия теоремы 3. Тогда имеют место соотношения (57), (58).

Рассмотрим задачу (1), (2), (4). Предположим выполнение условий теоремы 2. В силу периодичности входных данных (см. предположение 1 и доказательство теорем 3-5) имеет место

Теорема 6. Пусть выполняются условия теоремы 3. Тогда 'решение (и, v, g) в П[0,Т] задачи

щ + аци + ai2V = Ихх + gf

Я21М + а22 V = + F,

, о . о

u|t=0 = и, v|t=o = v, u(t,xo) = y>(i)

существует и единственно в классе К0Р'1,0(П[0,Т]). При е ^ 0

е е тт

Uj ^ Mj, Vj ^ Vj равномерно в ll[0jT],

g ^ g равномерно в C[0,T], |U(t, x) — w(t, x)| ^ л/ëC, (t,x) G П[0,т] и выполняется соотношение (58).

В теореме 6 вектор (и, v, g) — решение задачи (1), (2), (4), функция g(t) определяется равенством в (43).

Автор благодарит С.В. Полынцеву за помощь в оформлении данной рукописи.

Список литературы

[1] А.П.Осколков, Об одной квазилинейной параболической системе с малым параметром, аппроксимирующей систему уравнений Навье-Стокса, Записки научных семинаров ЛОМИ АНСССР, 21(1971), 78-103.

[2] П.Е.Соболевский, В.В.Васильев, Об одной е-аппроксимации уравнений Навье-Стокса, Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 9(1978), №5, 115-139.

[3] Ю.Я.Белов, Теоремы однозначной разрешимости и аппроксимации некоторых краевых задач для систем уравнений, описывающих течение океана, Сиб. матем. журн., 20(1979), №6, 1206-1225.

[4] А.В.Кажихов, Избранные труды. Математическая гидродинамика, Новосибирск, Изд-во Ин-та гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 2008.

[5] С.Н.Антонцев, А.В.Кажихов, В.Н.Монахов, Краевые задачи механики неоднородных жидкостей, Новосибирск, 1983.

[6] Ж.Л.Лионс, Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, Москва, 1972.

[7] Yu.Ya.Belov, Inverse Problems for Partial Differential Equations, VSP, Utrecht. Boston. Köln. Tokyo, 2002.

[8] П.Ю.Вячеславова, Р.В.Сорокин, Задача идентификации коэффициентов при младших членах в системе составного типа, Журнал СФУ. Математика и физика, 2(2009), №3, 288-297.

[9] Р.В.Сорокин, Т.Н.Шипина, О разрешимости одной обратной задачи для системы составного типа, Вычислительные технологии, 8(2003), №3, 139-146.

[10] A.I.Prilepko, D.G.Orlovsky, I.A.Vasin, Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics, New York, Marcel Dekkar, Inc., 1999.

[11] Н.Н.Яненко, Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики, Новосибирск, Наука, 1967.

[12] Ю.Я.Белов, С.А.Кантор, Метод слабой аппроксимации, Красноярск, КрасГУ, 1999.

An Identification Problem of Source Function for One Semievolutionary System

Yuri Ya. Belov

An identification problem of source function for the semievolutionary system of two partial differential equations, one of which is parabolic, and the second - elliptic are investigated. The Cauchy problem and the first boundary-value problem are considered. Initial problems are approximated by problems in which the elliptic equation is replaced with the parabolic equation containing the small parameter e > 0 at a derivative with respect to time.

Keywords: partial differential equations, boundary-value problems, approximation, small parameter, convergence.