О задаче идентификации двух младших коэффициентов и коэффициента при производной по времени в параболическом уравнении Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

О задаче идентификации двух младших коэффициентов и коэффициента при производной по времени в параболическом уравнении

Анжелика В. Даценко* Светлана В. Полынцева^

Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный, 79, Красноярск, 660041,

Россия

Получена 18.05.2011, окончательный вариант 25.09.2011, принята к печати 10.10.2011 В работе доказана теорема существования и единственности классического решения задачи идентификации двух младших коэффициентов и коэффициента при производной по времени в классе гладких ограниченных функций.

При доказательстве теоремы существования и единственности решения обратной задачи применяется метод, позволяющий, используя условия переопределения, привести исходную обратную задачу к прямой задаче для нагруженного (содержащего следы неизвестных функций и их производных) уравнения. Исследование корректности полученной прямой задачи проведено методом слабой аппроксимации (МСА).

Ключевые слова: идентификация, обратная задача, уравнения параболического типа, начальные условия, метод слабой аппроксимации.

Введение

В математике, как и в других науках, важную роль занимают эксперименты. Цель эксперимента — выявление закономерностей и построение математической модели. В некоторых случаях сам объект недоступен для изучения напрямую в астрономии, геологии, медицине. Примерами могут служить эксперименты по изучению внутреннего строения Земли, на основе которых можно было бы прогнозировать залежи полезных ископаемых, предсказывать время и место разрушительных землетрясений. Для непосредственных наблюдений колебаний Земли доступна лишь небольшая ее приповерхностная часть, а необходимо делать заключение о свойствах Земли по измеренным в ходе эксперимента косвенным проявлениям. Похожая ситуация возникает в проблемах неразрушающего контроля изделий и конструкций, когда требуется выявить дефект внутри работающего объекта.

В таких ситуациях мы сталкиваемся с математическим моделированием (постановкой прямых и обратных задач математической физики). Одним из наиболее сложных видов обратных задач являются коэффициентные, которые в настоящее время вызывают большой

* DatsenkoAn@gmail.com

tsiriuspsv@mail.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

интерес и исследовались Ю.Е.Аниконовым, С.Н.Барановым, Н.Я.Безнощенко, Ю.Я.Бе-ловым, Н.И.Иванчовым, В.М.Исаковым, А.Д.Искендеровым, В.Л.Камыниным, М.М.Лав-рентьевым, С.В.Полынцевой, А.И.Прилепко, В.Г.Романовым, А.Н.Тихоновым, И.В.Фро-ленковым, Т.Н.Шипиной [1-5] и др.

Отметим, что ранее однозначная разрешимость задач идентификации трех неизвестных коэффициентов параболических уравнений доказывалась в классах функций, достаточно быстро убывающих на бесконечности по выделенной переменной [2,6].

Доказательство существования и единственности решения задачи идентификации функции источника специального вида в двумерном параболическом уравнении в классах гладких ограниченных функций рассматривалось в работе [7].

Цель работы — доказать однозначную разрешимость задачи идентификации трех различных коэффициентов параболического уравнения в классе гладких ограниченных функций.

В работе на основе условий переопределения данная обратная задача приводится к прямой задаче для нагруженного уравнения. Доказывается однозначная разрешимость прямой задачи в предположении достаточно гладких входных данных, используя метод слабой аппроксимации [8].

Решение исходной обратной задачи выписывается в явном виде через решение прямой задачи. На этой основе доказывается теорема существования и единственности классического решения обратной задачи.

1. Постановка задачи и приведение ее к прямой задаче

В полосе G[o,t] = {(t, x, z)|0 ^ t ^ T,x G Ei, z G Ei} рассмотрим задачу Коши

ai(t, x)ut(t, x, z) = Lx(u(t, x, z)) + qi(t)uzz(t, x, z) + q2(t)uz(t, x, z)+

+ a2(t, x)u(t, x, z) + a^(t, x)f (t, x, z), (1)

u(0,x, z) = uo(x, z), (x, z) G E2. (2)

Здесь функции f (t, x, z), uo(x, z) заданы в G[o,t] и E2 соответственно,

Lx(u(t, x, z)) = ai(t)uxx(t, x, z) + a2(t)ux(t, x, z),

коэффициенты qi(t),aj(t), i,j = 1, 2, — непрерывно дифференцируемые действительнозначные функции переменной t, 0 ^ t ^ T, T> 0 — const, причем ai(t) > 0, qi (t) > 0. En — n-мерное евклидово пространство.

Неизвестными в задаче являются коэффициенты ai(t, x), a2(t, x), a3(t, x) и решение u(t, x, z) задачи (1), (2).

Предположим, что выполняются условия переопределения

u(t,x,b) = ^i(t,x), uz(t,x,b) = ^2(t, x), uzz(t,x,b) = -03(t,x), (t,x) G П[о,т], (3)

где b = const, П[о,т] = {(t,x)|0 ^ t ^ T, x G Ei} и ^i(t, x), ^2(t,x), ^3(t, x) — заданные функции, удовлетворяющие условиям согласования

^i(0, x) = uo(x, b), ^2(0, x)= uoz(x, b), ^3(0, x)= uozz(x, b). (4)

Ниже мы рассматриваем классические (достаточно гладкие) решения.

Под решением обратной задачи (1)-(3) в полосе С[0,^], 0 <4* ^ Т, понимается четверка функций а1(4, ж), а2(4, ж), аз(4, ж), и(4, ж, г), которые удовлетворяют соотношениям (1)-(3).

Приведем задачу (1)-(3) к некоторой вспомогательной прямой задаче. Положим г = Ь в (1), получим

ах(4, ж)и4(4, ж, Ь) = Ьж(м(4, ж, Ь)) + 91(4)мгг(4, ж, Ь) + 92(4)иг(4, ж, Ь)+

+ а2(4, ж)и(4, ж, Ь) + аз(4, ж)/(4, ж, Ь).

Откуда, в силу (3), получим

ах(4, ж)014(4,ж) = Ьж(01(4,ж)) + 91(4)мгг(4, ж, Ь) + 92(4)«г(4, ж, Ь) +

+ а2(4, ж)01(4, ж) + аз(4, ж)/(4, ж, Ь). (5)

Продифференцируем по г (1) и положим г = Ь, в силу (3), получим

. чд02 (4,ж) ,чд3м(4,ж,Ь) д2 и(4, ж, Ь)

ах(4, ж)------—- = Ьж(^2(4, ж)) + ^1 (4)--^-------+ ^2(4)--^--------+

+ а2(4, ж)02(4, ж) + аз(4, ж) д/Ь). (6)

Продифференцируем уравнение (1) дважды по г и положим г = Ь, в силу (3), получим

ч д0з (4, ж ) т , , / чч / ч д4и(4 , ж, Ь) , ч дзи(4 , ж, Ь)

а1(4,ж) ^ ^ = Ьж(0з(*,ж)) + 91(4)--д^^ + 9з(*)--д^^ +

, , , , , , , д2/(4, ж, Ь)

+ а2(4,ж)^з(4,ж) + аз(4, ж)----^^2-------------. (7)

Запишем (5)-(7) в виде

Р1 = а1(4, ж)014(4, ж) — а2(4, ж)01(4, ж) — аз(4, ж)/(4, ж, Ь),

Р2 = а1(4, ж)^2е(4,ж) — а2(4,ж)^2(4, ж) — аз(4, ж)/(4, ж, Ь), (8)

Рз = а1(4,ж)^зе(4,ж) — а2(4, ж)0з(4, ж) — аз(4, ж/(4, ж, Ь),

где

Р1 ^ж (01 (4, ж)) + 91 (4)игг |г=Ь + ^2 (4)иг |г=^ Р2 ^ж (02 (4, ж)) + ^1 (4)иггг |г=Ь + ^2(4)игг |г=^

Рз = ^ж (0з (4, ж)) + ^1 (4)игггг |г=Ь + ^2 (4)иггг |г=Ь.

Находим решение системы (8):

а1(4 ж) = — 0/Рз + /Р02 + 01^/ — 02р[/гг — /Р*20з + /гР*10з (9)

’ — 01/г0з4 + /020з4 — 01402/гг + 014/г0з + 01/гг024 — /0з024 ’

а (4 ж) = —^1*/гРз — /Р20з4 + /гР1 0з4 + 014Р2/гг + /Рз024 — Р1/гг024 (^)

’ — 01/г0з4 + /020з4 — 01402/гг + 014/г0з + 01/гг024 — /0з024 ’

/. Ч 014рз02 + 01р20з4 — 02р10з4 — 014р20з — 01рз024 + Р10з024 п ч

аз (4, ж) = -------------------------------------------------------------------------------------------, (11)

— 01/г 0з4 + /02 0з4 — 01402/гг + 014/г 0з + 01/гг 024 — /0з024

где / = / (4 ,ж , Ь), /г = /2 (4 ,ж , Ь), /г2 = /гг (4 , ж , Ь), 01 = 01(4 , ж), 02 = 02 (4 ,ж), 0з = 0з(4 , ж),

014 = 014(4, ж), 024 = 024(4, ж), 0з4 = 0з((4,ж).

Введем следующие обозначения:

A = — 0ifz P3 + fP302 + ^lPfzz — 02^ifzz — fP203 + fz Pi 03,

B = —0itfz P3 — fP203t + fz Pi03t + 0itP2fzz + fP302t — Pifzz 02t,

D = 0itP302 + 0iP203t — 02Pi 03t — 0itP203 — 0iP302t + Pi0302t.

Предположим, что в П^т] выполняется условие

E = —0ifz03t + f0203t — 0it02fzz + 0itfz03 + 0ifzz02t — f0302t > Si > 0, (12)

где Si = const.

Подставляя (9)—(11) в (1) и учитывая введенные обозначения, переходим к прямой задаче

Aut(t, x, z) = Lx(u(t, x, z)) + qi(t)uzz(t, x, z) + q2(t)uz (t, x, z) + Bu(t, x, z) + Df (t, x, z), (13)

E EE

u(0, x, z)= uo(x, z). (14)

Введем срезающую функцию S(0) класса C4(E1), S > 0, S = const, обладающую следу-

S

ющими свойствами: S^ (0) ^ 3, 0 G Ei и

(0, в > 2,

S (0) = { S S (15)

-, 0 < -.

U 3

Поставим срезку на числитель коэффициента ai(t, x), и уравнение (13) примет вид S, (A)

—E—ut(t, x, z) = Lx(u(t, x, z)) + qi(t)uzz(t, x, z) + q2(t)uz(t, x, z)+

B d

+ ^u(t,x,z)+ ^f (t,x,z). (16)

Далее докажем однозначную разрешимость прямой задачи (16), (14).

2. Разрешимость прямой задачи

Для доказательства существования решения задачи (16), (14) применим метод слабой аппроксимации. Расщепим задачу (14), (16) и линеаризуем ее сдвигом по времени на т/3 в нелинейных членах, получим задачу

E

'S^A)'

E

'S^A)'

3

s* "(Ат)'

"(t,x, z)|t^o = uo(x, z), x G Ei,z G Ei, (20)

uT(t, x, z) = 3 Lx(uT(t,x, z)), пт < t ^ (n + 1/3)т, (17)

S (AT )

E

uT(t, x, z) = 3 (qi(t)u^z(t, x, z) + q2 (t)u^(t, x, z)), (n + 1/3)т < t < (n + 2/3)т, (18)

S (AT )

3

uT(t, x, z) = „ , , ' (BTuT(t, x, z) + DTf (t,x, z)), (n + 2/3)т < t ^ (n + 1)т, (19)

где

AT = -0/Рз" + /PT02 + 0iP2T/zz - 02PT/zz - fP2T03 + /zPT 03,

PT = —01tfz P3 — /p2" 03t + fz P{ 03t + 01tpT /22 + /P3 02t — Pi" fzz 02b

DT = 0itP3T02 + 01pT03t - 02PT03t - 01tpT03 - 0iPT02t + PiT0302t,

T T

P-f = Lx(01(t,x)) + 91 (t)uZz(t - 3,x,b) + q2(t)uZ(t - 3,x, b),

T T

P2 = Lx(02(t,x)) + 91 (t)uZzz (t - 3 ,x,b) + 92 (t)uzz (t - 3 ,x,b)

T T

P3T = Lx(03(t,x)) + 91 (t)<zzz (t - 3 ,x,b) + 92 (t)uzzz (t - 3,x,b)

n = 0, N - 1, tN = T, N > 1 - целое.

Введем следующие обозначения:

12

UT-to (t) = £ U k’t0 (t),

k=o

U,T’to (t) = sup sup

to x£Ei

zeEi

dk

dZk ^ (^,x’z)

UfcT’to (to) = sup

i£El

z£Ei

dk

dZk^(tQ, x, z)

U k (0) = sup i£El z£Ei

dk

dZkuQ(x, z)

(21)

to G [0, (n + 3)t),t G (to, (n + p)T],t > to,p = 1, 2, 3.

Функции ит’*°(4), ЦТ’ 0 (4) и ЦТ’ 0(4о) являются неотрицательными и неубывающими на каждом полуинтервале (пт, (п + 1)т].

Относительно входных данных предполагаем, что они достаточно гладкие, имеют все непрерывные производные, входящие в следующее соотношение, и удовлетворяют ему:

k(t)| + |aj(t)| +

d m+r

dxmdt

-0l

+

dk dm

dzk dxm

uo(x,z)

+

dk dm

dzk dxm

/(t,x, z)

(22)

Здесь m = 0, 4; r = 0, 1; i,j = 1, 2; l = 1, 2, 3; k = 0,12 - 2m; (t, x, z) G G[0 T]; C - const; C > 1.

Сейчас докажем априорные оценки, гарантирующие компактность семейства решений {uT(t, x, z)} задачи (17)—(20) в классе гладких ограниченных функций.

Рассмотрим нулевой целый шаг (n = 0).

На первом дробном шаге (р = 1) рассмотрим (17), (20), учитывая свойства срезающей функции (15), условия (12), (22), в силу принципа максимума [9], получим

|uT(£, x, z)| ^ sup |uo(x, z)|, £ G (0, t], 0 < t ^ —.

l£E1 3

zeEi

(23)

Дифференцируя уравнения (17), (20) по z от одного до 12 раз соответственно и применяя аналогичные рассуждения, получим оценки

dk

dzk u (^,x,z)

^ sup

жё-Ei

zeEi

dk

dzk uo(x,z)

, С G (0,t],0 <t < 3, k = 1,12. (24)

Возьмем от левых частей неравенств (23), (24) сначала sup , а затем sup и сложим

xGEi o^£^t

zGEi

данные 13 неравенств (23), (24). Получим

(25)

т 2т

На втором дробном шаге (р = 2), 4 € (3, —], учитывая свойства срезающей функции

(15), условия (12), (22), в силу принципа максимума [9], получим

2т

33

3

(26)

2T

На третьем дробном шаге (р = 3), интегрируя уравнение (19) по 4 в пределах от — до £, получим

и(£,х, ^ = и ^(3ат)(ВТиТ + ^т/(П,х,;г))

2т

3

Отсюда следует неравенство

+

3

BT||uT| + |DT||/(n, x, z)|) dn, С G (2t/3, t], 2t/3 < t < т.

Ss (AT)

2t

3

В силу (15), (21), (22) легко можно получить оценку

t

UT,nr (t) < Ut’2t/3(2t/3) + C^ L2(Ut’2t/3(C))dC, t G [2t/3, t]

2 t

3

где Ь2(С) = С(£2 + £ + 1) — полином второго порядка с положительным коэффициентом С, не зависящим от т.

Аналогично рассуждая, на п—м шаге можно получить оценку при 4 € [(п+2/3)т, (п+1)т]

UT,(n+ 3)Т(t) ^ UT’(n+ 3)т((n + 2/3)t) + C J L2(UT’(n+ 3)t(f))d£.

(27)

(n+ 3 )t

Полагаем, что w(t) есть решение задачи Коши

dw(t)

dt

L2(w(t)), w(0) = U (0).

(28)

Известно, что ш(4) существует на некотором промежутке [0,4*], где 41 — константа, Т ^ 4* > 0, зависящая от коэффициентов полинома ^2 и начальных данных и(0). Функция ш(4) монотонно возрастающая на промежутке [0,4*] и ш € С1 ([0,4*]). Имеет место лемма:

Лемма. Пусть выполняются (27), (28) и 4„ = пт. Тогда, если ит’*п+2т (4п + 2т/3) ^ ш(4„ + 2т/3), то

цт,гп+ 3 (4) ^ ш(4)? 4 € [4п + 2т/3,4п+1]. (29)

Т

t

Из (25), (26), (29) и строгой монотонности функции ^(£) следует, что

ит’0(4) ^ ш(т), 4 £ [0, т].

Рассуждая аналогично, на первом целом шаге (п =1) получим оценку

ит,т(4) ^ ^(2т), 4 £ [т, 2т].

Продолжая наши рассуждения, через конечное число шагов получим равномерную по

т оценку

откуда равномерно по т

dkuT(t, x, z)

dzk

^ C, (t,x, z) G G[oit*], k = 0,12.

Дифференцируя задачу (17)-(20) по переменной ж один, два, три и четыре раза и используя аналогичные рассуждения, получим соответственно равномерные по т оценки

д" дк

dxv dzk

uT (t, x, z)

< C, v = 1, 4, k = 0,12 - 2v, (t,x,z) G G[0jt* 1 ];

где — некоторые постоянные, зависящие от £, и константы С, ограничивающей начальные данные, такие, что 0 < 4£+1 ^ С, V = 1, 4.

Таким образом, при (4, ж, г) £ ^[о,е*] справедливы равномерные по т оценки

дт

-мт(4, х, г) ^ С, т = 0, 4, к = 0, 12 — 2т, (4, ж, г) £ G[оJ^*]. (30)

dzk dxm

Используя оценку (30) и уравнения (17)—(19), получим равномерно по т

К(t

Ut (t, x, z)

Продифференцируем уравнения (17)-(19) один раз по z. В силу оценки (30), правая часть получившихся уравнений будет ограничена равномерно по т, а значит, и левая часть будет также ограничена равномерно по т:

|utz (t,x, z)| < C, (t, x, z) G G[oit*].

По аналогии получим равномерно по т

dk dzk u (t,x,z)

dk

utx(t,x,z)

^ C, k = 1, 6, (t, x, z) G G[ojt*],

^ C, k = 0,4, (t,x, z) G G[0 t*],

^ C, k = 0, 4, (t,x, z) G G[0 t*].

Выполнены следующие оценки равномерно по т при (t, x, z) G G[0jt*]:

dk

<xx(t,x,z)

d dk T d dk T d dk T

ad?u + ai-a?u (t-x-z) + a! a?u (t-x-z) < C, k = 0,6,

d dk dm

dt dzk dxm

u' (t, x, z)

+

d dk dm

dx dzk dxm d dk dm

u (t, x, z)

+

dz dzk dxm

u (t, x, z)

< C,k = 0,4, m = 0, 2.

В силу теоремы Арцела о компактности [10] некоторая подпоследовательность иТк (4, ж, г) последовательности ит (4, ж, г) решений задачи (17)—(20) сходится вместе с соответствующи-

ми производными по ж и г к функции и(£, ж, г) £ ])П С* ;ж ;г (^[о,**])• Доказано

на основании теоремы метода слабой аппроксимации [8], что и(£, ж, г) есть решение задачи

(16), (14), причем и(4,ж,г) £ С41Дх4(С[0,*6*]) п С°Х0,Х6(С[0,*5*]), где

дт д к

С1;Ж2,Х4(С[0,*6]) = {/(*,ж,г)|, /* £ С(С[0,*6]), ^ ^/ е С(С[0,,**]), т = 0,1, 2, к = 0,4},

д к

С°;°Х6(С[0,**]) = {/(*, ж, г)|^/ е С(С[0 ,**]), к = 0, 6}. (31)

При этом при (4, ж, г) £ С[0 ,**] справедливы оценки

< С, к = 0,6,

-и(£, ж, г)

дк

и(4,ж,г)

д к д т

д^к джт

< С, т = 0,1, 2, к = 0, 4.

(32)

(33)

Для того чтобы снять срезку в уравнении (16), докажем, что при (4,ж) £ П[0,**] выполняется

А = A(t, ж) = — 01/2Р3 + /Р302 + 01Р2/гг — 02Р1/гг — /Р203 + /гР103 ^ ^ > 0.

Рассмотрим производную по 4 от функции А:

А* = -01*/гРз - 01 /2*Рз - 01/гР» + /*02Р3 + /02*Р3 + /02р3* + 01*/ггр2 +

+ 01/гг*Р2 + 01/гг Р2* — 02*/гг Р1 — 02/22*Р1 — 02/гг Р1* — /*03Р2 — /03*Р2-

- /03^2* + /г*03Р1 + /г03*Р1 + /г03^1* = N(4, ж), (34)

где

Р1* — а1(4)01жж + а2 (4)01ж + ^ж(01*) + 91 (4)игг |г=Ь + 91 (4)игг* 1 г=Ь +

+ 92(^)и2 |г=ь + 92(4)и24|2=ь,

Р2* = а1 (4)02жж + а2 (4)02ж + -^ж(02*) + 91 (4)и ггг |г=Ь + 91 (4)и222*и = Ь + 92(4)и гг 1 г= Ь +

+ 92 (^^гг^г^

Р3* = а1(4)03жж + ^ж (03*) + а2(4)03ж + 91 (4)и гггг |г = Ь +

+ 91(4)игггг* |г=Ь + 92(4)и ггг 1 г=Ь + 92(4)иггг*|г=Ь.

Предположим, что в П[0,т]

|а1(4)| + |а2(4)| + |91 (4)| + |92 (4)| + |/*|г=Ь| + |/г*|г=Ь| + |/гг*|г=Ь| ^ С (35)

А(0, ж) = -01 (0, ж)/г (0,ж, 6)Р30 + /(0, ж, 6)02(0, ж)Р30 + 01 (0, ж)/гг (0, ж, 6)Р20 -

- 02(0, ж)/гг (0, ж, 6)Р1о - /(0, ж, 6)03 (0, ж)Р2о + /г (0, ж, 6)03 (0, ж)Р^ > Г > 0, (36)

где 6 — const,

Pl0 = Lx(0i(O,x)) + qi(0)M0zz |z=b + q2(0)uoz |z=b,

P20 = L®(02(0,x)) + q1(0)u0zzz |z=b + q2(0)u0zz |z=b ,

P30 = L®(03(0,x)) + q1(0)u0zzzz |z=b + q2(0)u0zzz |z=b*

В силу (22), полученных оценок (32), (33) и (35): |N(t, x)| ^ Q(6), здесь Q(6) — постоянная, зависящая от 6 и постоянных, ограничивающих входные данные.

Проинтегрируем (34) по t

t

A = A(0,x)^y N(0, x) d0.

0

В силу (36), A ^ 6 — Q(6)t и

66 A > ^ при t € [0,t*], где t* = min{t*; }. (37)

В силу определения срезки S(0) (15), следует, что (A) = A при t € [0,t*]. Таким образом, в уравнении (16) срезка снимается. Функция u(t,x, z) удовлетворяет уравнению (13).

Тем самым доказано существование решения u(t, x, z) прямой задачи (13), (14) в классе

^1,2,4/^ \ ^0,0,6 ( s-i \

Ct,x,z (G[0,t* ] Л I Ct,x,z (G[0,t^]).

3. Существование классического решения обратной задачи

Докажем, что четверка функций а1(£, ж), а2(£,ж), аз(4, ж), и(4, ж, г), где а1(£, ж), а2(£, ж), аз(4, ж) представимы в виде (9)—(11), является классическим решением обратной задачи (1)-(3). Так как м(£, ж, г) — решение прямой задачи (13),(14), то, подставляя а1(£, ж), а2(£, ж), аз(4, ж), м(£, ж, г) в (1), получаем верное тождество.

В силу (22), (32), (33) из представлений (9)-(11), (13) следует, что четверка функций а1 (£, ж), а2(£, ж), аз(£, ж),и(£, ж, г) принадлежит классу

^ (М = {а1 (4,ж),а2(4,ж),аз(4,ж),и(4,ж,г)|и е с/Дг^о^^П

а^, ж),а2(4,ж),аз(4, ж) е С0,2(П^у)} и удовлетворяет неравенствам

4 2

Е

k=0

< ^ЕЕ

k=0 m=0

E

dxr

-ai (t, x)

+ E

dm

dzk dxm

2

i(t, x, z)

^ (t, x, z) € G[0,t*],

dxm

a2 (t, x)

+ E

dxm

a3(t, x)

< C, (t, x) € n[0,t*].

(38)

(39)

Здесь

C°’X(n[0,t»]) = {a2(t,x) 1 TT^a2(t,x) € C(n[0,t„] ), m = 0,1 2}.

d

2

2

m

m

0

0

0

Используя условия согласования (4), легко можно доказать выполнение условий переопределения (3).

Таким образом, мы доказали, что существуют решения а^4, ж), а2(4, ж), аз(4, ж), «(4, ж, г) задачи (1)-(3) в классе Z(4*).

4. Единственность классического решения обратной задачи

Докажем единственность решения задачи (1)-(3). Пусть «1 (4, ж, г), ац(4, ж), а21(4, ж), аз1(4, ж) и «2(4, ж, г), а12(4, ж), а22(4, ж), аз2(4, ж) — два классических решения задачи (1)-(3). Причем четверка функций «1(4, ж, г), ац(4, ж), а21(4, ж), аз1(4, ж) — решение, определяемое соотношениями (9)—(11). А четверка функций ^(4, ж, г), а^(4, ж), а22(4, ж), аз2(4, ж) — некоторое другое решение задачи (1)-(3), удовлетворяющее условиям (38),(39). Тогда справедливы соотношения

аи(4, ж)ик = Ь,(м1) + 91(4)м122 + ?2 (4)^12 + а21(4, ж)^^, ж, г) + аз1(4, ж)/(4, ж, г), а12(4,ж)м24 = Ьж(м2) + 41 (4)^222 + 42(4)м2г + а22(4, ж^^ж, г) + аз2(4,ж)/(4, ж, г), «1(0, ж, г) = «о(ж, г), «1(4, ж, 6) = 01(4, ж), (4, ж, 6) = 02(4, ж), М122(4, ж, 6) = 0з(4, ж),

«2(0, ж, г) = «о(ж, г), «2(4, ж, 6) = 01(4, ж), «2^(4, ж, 6) = 02(4, ж), «2^(4, ж, 6) = 0з(4, ж).

Разность

является решением задачи

х(4, ж, г) = «1(4, ж, г) — «2(4, ж, г)

дм а1(4, ж) д«1 Ьх(м) 41(4)

д4 а12(4, ж) д4 а12(4, ж) а12(4, ж) 22 а^(4,ж)

42(4) , а22(4,ж)

«г +-------г:---г М+

а12(4,ж)

а2 (4, ж) аз(4, ж)

+ А; , «1 + \ / (4, ж, г), (40)

а12(4, ж) а12 (4, ж)‘

и|

4=о

0.

(41)

Здесь а12(4,ж) ^ ао > 0, ао — некоторая постоянная, зависящая от £ (см. (37)) и постоянных, ограничивающих входные данные.

Так как ац(4, ж), а21(4, ж), аз1(4, ж), а12(4, ж), а22(4, ж), аз2(4, ж) можно представить формулами (9)-(11), используя входные данные и функции (_?’ = 1, 2), то, в силу (12), (22), (38), имеет место неравенство при к = 0,4, 4 е [0,4*],

* (4, ж)д + ^2(4-ж)а> + <№ ж)д ‘ / (4 ■г)

д,гк

д,гк

где ^(4,ж) = — а1(4,ж), ^(4,ж) = а2 (.4,ж), йз(4,ж)= аз(.4,ж). (42)

Здесь V(4) = ^ Ут(4), Ут(4) = бир

а12(4,ж)’ ’ а12(4,ж)

дт«(0, ж, г)

а12(4, ж)'

дг"

константа С зависит от £, £1 и

т=о

констант, которые ограничивают модули функций: «1(4), «2(4), 41 (4), ®(4), дг+1мl/д4дzг, д^(4, ж, г)/д.гг, д1/(4, ж, г)/д.гг, I = 0,4.

4

Из (41), (42) и принципа максимума [9] для уравнения (40) имеет место оценка

!«(#, ж, г)| ^ С1У(4)4, в е [0,4], где С1 = Се^4*,^ = бир

п[0,**]

зт / £)..т

а22(4,ж)

а12(4,ж)

(43)

Применим оператор дт/д^т,т = 1, 2, 3,4 к уравнению (40). Для функции дтад/д^т, повторяя наши рассуждения, которые использовались для вывода оценки (43), получим неравенство

д"«(в, ж, г)

д,гт

Из (43), (44) получаем неравенство

У"(4) ^ С1У(4)4, т = 0, 4, 0 ^ 4 ^ 4* ,

из которого следует, что V(4) ^ 5С1У(4)4 или

(1 — 5С14)У(4) < 0, 0 < 4 < 4* . (45)

Из неравенства (45) следует, что V(4) = 0 при 4 е [0,£], где £ < 1/(5С1). Доказали, что

в С[о,^] функция п = «1 — «2 = 0.

Аналогично докажем, что в С^^] функция « = 0, и, следовательно, « = 0 в С[о,2£].

Продолжая наши рассуждения, через конечное число шагов докажем, что

«= 0 в С[о,4*]. (46)

Из (40), (46) получим

а1 (4, ж) , ч а2(4,ж) , ч аз(4,ж) ч ^

----- —т«14(4, ж, г) +-----—-щ(4, ж, г) +-----------—-/(4, ж, г) = 0 в С[о,4*]

а12(4,ж) а12 (4,ж) а12(4,ж) 1 *

или

—а1(4, ж)^^, ж, г) + а2(4, ж)п(4’ ж, г) + аз(4, ж)/(4, ж, г) = 0 в С[о,4*]. (47)

Из (47), используя (3), получим систему уравнений:

—а1(4, ж)014(4, ж) + а2(4, ж)01(4, ж) + аз(4, ж)/(4, ж, 6) = 0,

—а1(4, ж)024(4, ж) + а2(4, ж)02(4, ж) + аз(4, ж)/2(4, ж, 6) = 0,

—а1(4,ж)034(4,ж) + а2(4, ж)0з(4, ж) + аз(4, ж)/22(4, ж, 6) = 0.

Определитель системы

— 01/г 0з4 + /020з4 —

— 014(4, ж) 01(4, ж) /(4, ж, 6)

Е = Е(4, ж) = —024(4, ж) 02(4, ж) /г(4, ж, 6)

— 0зе(4,ж) 0з(4, ж) /гг (4, ж, 6)

— 01402 /гг + 0/0з + 01/гг 024 — /0з024 = 0

в силу (12).

Следовательно, а1(4,ж) = а2(4,ж) = аз(4, ж) =0 в П[о;4*].

Доказали, что в классе 2 (4*) может существовать не более одного решения задачи

(1)-(3). Таким образом, доказана

Теорема. Пусть выполняются условия (4), (12), (22), (35), (36). Тогда существует единственное решение «(4, ж, г), а1(4,ж), а2(4,ж), аз(4,ж) задачи (1)-(3) в классе 2 (4*), удовлетворяющее соотношениям (38), (39). Постоянная 4*, 0 <4* ^ Т, зависит от постоянных С, £, £1 из соотношений (12), (22), (35), (36).

Список литературы

[1] Ю.Е.Аниконов, Б.А.Бубнов, Существование и единственность решения обратной задачи для параболического уравнения, Докл. АН СССР, 298(1988), № 4, 777-779.

[2] С.Н.Баранов, Ю.Я.Белов, О задаче идентификации трех коэффициентов с неоднородными условиями переопределения, Вычислительные технологии, 8(2003), № 4, 92-102.

[3] Н.Я.Безнощенко, Об определении коэффициента при младшем члене общего параболического уравнения, Дифференциальные уравнения, 12(1976), № 1, 175-176.

[4] Ю.Я.Белов, Е.Г.Саватеев, Об одной обратной задаче для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени, Докл. АН СССР, 334(1991), № 5, 800-804.

[5] С.В.Полынцева, Задача идентификации коэффициентов при производных по времени и пространственной переменной, Журнал СФУ. Математика и физика, 1(2008), № 3, 308-317.

[6] Ю.Я.Белов, С.В.Полынцева, О задаче идентификации трех коэффициентов многомерного параболического уравнения, Совместный выпуск, Вычислительные технологии, 9(2004), №1; Вестник КазНУ, 42(2004), № 3, Алматы-Новосибирск, 273-280.

[7] И.В.Фроленков, Е.Н.Кригер, О задаче идентификации функции источника специального вида в двумерном параболическом уравнении, Журнал СФУ. Математика и физика, 3(2010), № 4, 556-564.

[8] Ю.Я.Белов, С.А.Кантор, Метод слабой аппроксимации, Красноярск, КрасГУ, 1999.

[9] А.М.Ильин, А.С.Калашников, О.А.Олейник, Линейные уравнения второго порядка параболического типа, Успехи мат. наук., 17(1962), № 3, 3-146.

[10] Л.В.Канторович, Г.П.Акилов, Функциональный анализ, М., Наука, 1977.

On the Problem of Identification of Two Lower Coefficients and the Coefficient by the Derivative with Respect to Time in the Parabolic Equation

Anzhelika V.Datsenko Svetlana V.Polyntseva

The theorem of existence and uniqueness of classical solution of identification problem of two lower coefficients and the coefficient by the derivative with respect to time in the class of smooth bounded functions is proved,.

In the proof of the existence and uniqueness of the inverse problem solution using the overdetermination conditions, the original inverse problem is reduced to the direct problem for the loaded (containing traces of unknown functions and their derivatives) equation. The investigation of the correctness of the direct problem is obtained by the method of weak approximation.

Keywords: identification, inverse problem, parabolic equations, equations in partial derivatives, method of weak approximation.