CC BY
133
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА Серия Радиофизика и радиотехника
УДК 621.396
О ВЗАИМОСВЯЗИ РАДИОЛОКАЦИОННОЙ ОТРАЖАЕМОСТИ
И ИНТЕНСИВНОСТИ ДОЖДЯ
А.Г. ГОРЕЛИК, С.Ф. КОЛОМИЕЦ
Статья представлена по заказу редколлегии
В статье проводится детальный теоретический анализ взаимосвязи между интенсивностью и радиолокационной отражаемостью дождя в приближении трехпараметрического гамма распределения капель по размерам. Вводится понятие интегрального мультипликативного коэффициента. С его помощью предлагается оригинальная интерпретации Ъ-1 зависимости с постоянным мультипликативным коэффициентом, которая используется как основная при обработке экспериментальных данных.
Введение
Решение проблем, связанных с определением интенсивности вертикальных воздушных потоков в сложных метеорологических условиях при выпадении осадков из мощно-дождевых и градовых облаков в районе аэропорта, представляет большой практический интерес для геофизики и обеспечения безопасности полетов авиации.
В [14, 15] показано, что доплеровский радиолокатор, работая в режиме вертикального зондирования, сможет дать необходимую информацию. Однако уменьшение погрешности измерений вертикальной скорости воздушных потоков н требует оперативной информации о скорости падения рассеивающих частиц, т.е. о микроструктуре дождя. [1].
Отметим, что только в последних работах западных специалистов стали обсуждаться проблемы, связанные с формированием физически обоснованных позиций для объяснения изменчивости коэффициентов А и Ь в Ъ - I соотношении [3-6], а также с их экспериментальной проверкой [7].
Работа [2] была одной из первых исследований, направленных на формирование теоретических оценок коэффициентов в формуле Ъ = А^ , связывающей интенсивность и радиолокационную отражаемость дождя. Деление интервала скоростей на три подынтервала не позволяли оценить вариацию мультипликативного коэффициента А с достаточной точностью для дождей различной интенсивности.
За период, который прошел со времени публикации [2], появилась возможность устранить деление на подынтервалы скоростей, лишь незначительно теряя в точности аппроксимации.
Способы изучения и моделирования Z-J соотношения
Известная микроструктура, подразумевает совершенно определенное соотношение междуЪ-1 ((1), (3)). Однако различные измерения N и П0 (объемная концентрация капель и первый момент плотности распределения капель по размерам соответственно) показывают, что эти параметры обычно почти не коррелированны. Одна из первых попыток соотнести Ъ и I соотношения с природой дождя была предпринята Атласом и Чимелой [8]. Они разработали диаграмму параметров дождя для экспоненциального распределения капель по размерам, но с допущением вариации N и £>0 вместо постоянных N -I и £>0 -I соотношений, установленных Маршалом и Пальмером [17].
RAIN Г ALL П гЧТЕ immin.-J
Рис. 1. Упрощенная диаграмма параметров дождя, содержащая только изолинии общей концентрации частиц Nx (м ) и медианного диаметра частиц (median volume diameter), Do. Кривая, изображенная с точками, представляет Z-J соотношение, установленное Джоссом и Вал-двогелем (1970), которое близко к используемому в настоящее время. Заштрихованная площадь покрывает диапазон в 69 Z-J соотношений табулированных Батоном (1973) (по данным [10])
Самолетные измерения, проведенные Ульбрихом и Атласом [9] показали, что коэффициент корреляции между D0 и N0 равен 0.29. Такое значение коэффициента корреляции подтверждает существование значительного рассеяния в соотношении D0 - N0, которое, в свою очередь, влияет на рассеяние в Z-J соотношении.
Диаграмма Атласа и Чимелы не отражала априорных ограничений на микроструктуру дождя и являлась, по сути, графической иллюстрацией соответствующих расчетов. Этот недостаток был частично исправлен Баттаном (рис. 1). Он нанес на диаграмму экспериментальных данных 69 Z-J соотношений для выявления границ области априорных ограничений [11]. Но в работе [11] не проводился анализ плотности распределения экспериментальных данных, к тому же использование подобных диаграмм для интерпретации Z-J зависимостей было неудобным, т.к. при их разработке использовались экспоненциальные распределения, для которых значение N0 не имело физического смысла.
Если допустить, что в выборке для дождя любой интенсивности N0 и D0 ведут себя как случайные переменные с нормальным распределением, то можно предположить, что Z и J имеют склонность к распределению по логнормальному закону ((1) и (3)). Следовательно, связь между Z и J должна соответствовать показательному закону. Значения показателя, так же как и мультипликативного коэффициента определяются четырьмя статистическими параметрами, характеризующими случайные переменные N0 и D0 (в случае нормального распределения - это среднее и дисперсия).
Результаты моделирования, проведенного нами показывают, что помимо значений самих статистических параметров, вариации показателя определяются случайными «выбросами», которые формируются «хвостами» нормальных распределений двух независимых случайных величин.
Отсутствие модели микроструктуры дождя, которая отличалась бы качественно от модели Маршала-Пальмера, привело к тому, что в подавляющем большинстве случаев в эксперимен-
тальной работе использовалась модель сплошной среды со временем усреднения равном длительности дождя.
Отметим, что в действительности, даже минимальные отклонения в динамике физических процессов, протекающих в дожде, могут определять значительные вариации параметров соотношения 2- I.
Задача учета влияния микроструктуры дождя и иных факторов усложняется из-за использования двух свободных параметров регрессии: мультипликативного коэффициента А и показателя степени Ь. Фиксирование показателя степени и локализация всех факторов вариации в рамках мультипликативного коэффициента А является одним из направлений развития рассматриваемой методики.
Мультипликативный коэффициент А на подинтервалах V (Б)
В [2] предлагалось, что статистика распределения капель по размерам соответствует трехпараметрическому Гамма-распределению вида п (Б) = С0Втв~ьг>. На первом отрезке (минимальные размеры капель) закон скорости падения был линейным V = а1Б, на следующем отрезке диаметров - квадратичным vg =а2у[Ъ. На последнем отрезке диаметров (максимальные размеры капель), скорость принимала постоянное значение V = а3.
По определению интенсивности дождя:
где К1 = 3.6 10 6 - размерный коэффициент.
Для плотности распределения с учетом нормирующего коэффициента справедлива формула:
Отражаемость Z0 для условий рассеяния Релея и с учетом плотности распределения (2):
= ^ А(т + 7)
0 Ь А (т +1)
С учетом (2) имеем интенсивность дождя и его водность:
0
(1)
(2)
или
А (т + 4)
ж = кь
1 6Ь А (т +1)
(4м)
где К1 = 3.6 10-6 - размерный коэффициент.
Отметим, что, учитывая (4м) и (3), для изучения микроструктуры дождя удобнее было бы использовать соотношение 2-^ т.к. в этом случае отсутствует влияние V(Б).
Таким образом 2-1 соотношение, несмотря на недостатки, является фактически единственным способом для измерения интенсивности и изучения микроструктуры дождя радиолокационными методами непосредственно.
Подставляя последовательно кусочные аппроксимации скорости в (4), можем получить теоретические выражения мультипликативного коэффициента для дождей различных интенсивностей (табл. 1).
Таблица 1
Мультипликативный коэффициент и показатель для различных диаметров капель
№ Интервал Ь Мультипликативный коэффициент А Дождь
1 vg = а1В а = 3.8 1.50 А = ( 1 '] X \ А (т + 7) А (т + 5) ч Г А (т +1)Л \А (т + 5) 0.5 ^ У х(а-1.885 х10-3 )-15 Очень слабый
2 vg =а24В а2 = 4.2 1.72 А = \ 1 ) X N а72 0 У А (т + 7) ^ А (т + 4.5) \ А (т + 1) ^ А (т + 4.5) у 3.72 ' У \ / ^\-1.72 х(а2-1.885 х10-3) Средний и интенсивный
3 ^ =а3 а3 = 8 2.00 4 = Г*-' 3 №, X А (т + 7) А (т + 4' \ г А (т +1) ^ А (т + 4) \ ^ х(а3 -1.885х10-3 )-2 Очень интенсивный
В табл. 1 выше использовались следующие размерности: В - [ 1 1 ], а -
[1 ] 1 1 2 1 , N0 - 1 , ь- 1
,а2 - ,а3 - X 3 [ 1 3 ]
[ П ] п п 1 1
Связи между макропараметрами дождя в общем виде
Из теоремы о среднем для определенных интегралов и выражения для интенсивности следует:
Втах
, (п, В) = К | В!п(В)[V(В)]аВ = К, [В> (В,) V(В,)] ДО, » К2К, (п, V)В , (5)
Вт1п
где: В, - интегральное средние по интенсивности соответственно, лежащие на отрезке [Вт1П, Втах ]; Втах, Втт - максимальный и минимальный диаметр капель, встречающихся в дожде; V (В) - средняя скорость падения капли диаметра Б, обусловленная гравитационным
падением, вертикальными потоками и турбулентными пульсациями в атмосфере.
Здесь и ниже коэффициенты К размерные. В частности:
7ТО
К1 = 3.6 10-3,К2 = К1—,К, - коэффициент пропорциональности, обусловленный теоремой
6
о среднем для определенных интегралов.
Применяя теорему о среднем для интегральной формулы отражаемости 2 и допуская, что интервал одинаков для отражаемости и интенсивности и является характеристикой дождя, можно получить:
2 = К
Ру
[ N
А
(6)
где р- функция, характеризующая разницу средних диаметров распределений при пространственном и временном усреднении (учитывающая характеристики измерительных инструментов и условий измерения); у- функция, характеризующая разницу в количестве "значимых" капель, определяющих Ъ и I соответственно, при условии концентрации капель ^;
V, = [V, (В) + V (В)+Х(В)], где скорость вертикальных потоков - V и вертикальные проекции скорости турбулентных пульсаций X.
Значение V, включает скорость вертикальных перемещений и турбулентных пульсаций, которую при вычислении р следует учитывать. Таким образом, динамика атмосферы влияет на значение экспериментального значения мультипликативного коэффициента связи А. В конвективных образованиях мощные восходящие и нисходящие потоки могут заметно искажать результаты измерений , на малых пространственно-временных масштабах усреднения за счет "фильтрации" фракций (подвешивания капель) [13].
Очевидно, что значение р (после исключения инструментальных погрешностей и динамики атмосферы) косвенно характеризует "интегральную" ошибку перехода от диздрометрическо-го распределения к радарному (т.е. определяется разницей между пространственным и временным характером изменяемости микроструктуры, т.е. неэргодичностью статистических процессов, происходящих в дожде).
Интегральный мультипликативный коэффициент А Основное выражение
Для исключения деления на подынтервалы скоростей, используем аппроксимацию закона Ганна-Кинцера для скорости свободного гравитационного падения капель у земли [13]:
V (В ) = В (1 - ехр (-СВ))- ЕВ, (7)
где В [ 11 ]-диаметр капли, В = 18.67 [ 1 /Н] ;.Й = 0.318 [ 11 - ] ;..Л = 1.145 [103 Н- ] - коэффициенты; V [ 1 /Н]- скорость свободного гравитационного падения.
Коэффициенты (7) могут быть выбраны с учетом требуемых размерностей V и В. После подстановки (7) в (4) можно получить общую для всего интервала скоростей капель формулу мультипликативного коэффициента А:
,аК = К2 В
Ы0 А (т + 4)
Р3 А (т +1)
Р
Р + с
т + 4
~Г
где
г = Е = 61.3 [ 1 -1 ].
В
Используя выражение (3) и принимая Ь=2 в зависимости 2 = А, , получаем для коэффициента А:
А)
1 А (т +1) А (т + 7)
N0 А (т + 4)2 [К2В]2
1 - г
т + 4
Р
Р \Р + с
-2
(8)
1
или
А =— и (т) У (т, 3),
N
где У (т, 3)
Г 3 л т+4
V 3+С ]
,и (т)
А (т +1) А (т + 7) А (т + 4 )2 G
= 3.5 х10-
Область определения по т и в
Перейдем к исследованию границ применимости (8) по т и р. Значение т = 0 (распределение Маршала-Пальмера) является предельным случаем, в котором физическое содержание нормирующего коэффициента Ы0 теряется.
Рассмотрим поведение модели при т > 0. Используя выражение для первого момента Гамма-распределения, возможно получить следующее выражение зависимости 3(т):
3(т,А ) = (9)
М)
где М0 - средний диаметр капель (первый момент плотности распределения капель по размерам).
Наличие (9) указывает на то, что границы применимости модели, установленные по т и 3 однозначно соответствуют границам по т и М0. Естественные границы по М0 установлены на основе многолетних опытных данных и практических соображений [16].
Считая область определения модели по М0 заданной, найдем соответствующие границы по т. Удобно выразить в (8) параметр 3 через средний диаметр, используя (9). Множитель и(т) при этом не изменится. Для множителя У справедливо:
/ \т+4
У (т, М ) =
М0 (т + 4) т +1
т +1
т +1
V
+ С
(10)
Графики коэффициента У для максимально возможного (Втах) и минимально возможного (Ртт) среднего диаметра распределения капель по размерам приведены на рис. 2. Пересечение кривых Утах и Ут1п в некоторой точке т = Мт1п свидетельствует о том, что между параметрами
Мт1п, Мт1п, Мтах существует функциональная связь, выраженная уравнением:
(Мтт + 4 )( Мтт - М таХ )
М_ + 1
+
М т1п + 1
В Мт1п + 1 + С
тах Мтах
Мтт + 1
В . Мт- + 1 + С
т1п А_
=0.
Выражение (11) получается после элементарных упрощений исходного уравнения:
У (т, Втах ) = У ( П, Д_ ).
Некоторые численные решения уравнения (11) представлены в табл. 2.
2
(т, Рт|п )
^тт (**2=0(1^)
102 и(т)
чш^и(
^— ^0». —
\ м .
Л(т,0т х>
—
1 15 1 1 3.5 4 4.5 5
Рис. 2. Г рафики максимального и минимального значения множителя Y для заданного параметра т. Штриховой линией показано значение Ymin, сплошной тонкой - Ymax, сплошной толстой линией обозначено 10-2^ (т). Коэффициент перед Цш) означает, что в (8) N = 100.
Коэффициент использовался для масштабирования графика Цш) и удобства размещения его на одной диаграмме вместе с Ymin, Ymax. Инверсия значения Ymin и Ymax, влияющая на значения Ао,
происходит в области т<1.3
Для дальнейшего анализа модели можно изменить априорный интервал размеров капель дождя (соответственно интервал возможных значений Д0) или, придерживаясь интервала размеров капель, принять нижнюю границу вариации параметра т, полученную, как решение (11).
Выберем второй способ: будем считать модель применимой при целых значениях параметра 1 < т <¥ и априорном интервале возможных средних диаметров распределения капель по размерам от Дтп = 0.5гг до Дгпах = 5гг [16].
Таблица 2
Область применимости модели по Мтп, Дтп, Д
№ Мmin Дпт Дmax
1 1,277 0,5 5,0
2 1,0 0,342 5,0
3 2,0 0,892 5,0
4 1,0 0,5 4,515
5 2,0 0,5 6,069
Анализ ошибок аппроксимации интервальными формулами
Сравнивая выражение (8) и формулы из табл. 1, можно заметить, что использование простой алгебраической аппроксимации для скорости падения позволяет исключить из рассмотрения один из параметров трехпараметрического Г амма-распределения.
Сравнение значений А0 для различных средних диаметров распределения капель по размерам со значениями А1, А2, А3 (коэффициенты из табл. 1) приведено на рис. 3. Концентрация капель предполагалась равной N = 100 г _3.
А1 А2
' ■'!
А (гг X п
АЗ
пп— 1 1 А, X 0'
1 м
п 1 п ^0
Рис. 3. Графики мультипликативного коэффициента Ао (для разных значений среднего диаметр распределения капель по размерам) в сравнении с интервальными коэффициентами А1, А2, А3 из табл. 1. Концентрация капель предполагалась равной Ы0 = 100г _3. Графики коэффициента
А0 показаны сплошными линиями разной толщины. Справа от графиков коэффициента А0 указан соответствующий средний диаметр. График А1 показан штриховой линией, А2 - пунктирной линией, А3 - штрихпунктирной линией
Выражения для А0 учитывают все параметры распределения, поэтому для некоторого интервала размеров капель мы имеем семейство кривых, которое затем необходимо сопоставить с единственным для всего интервала графиком коэффициента табл. 1. Значения интервальных коэффициентов А1, А2, А3 и мультипликативного коэффициента А0 для нескольких конкретных распределений приведены в табл. 3.
Таблица 3
Значения коэффициентов А0, А1, А2, А3 (при Ы0 = 400г 3, РП1Ш = 0.5мм, Бтах = 5мм)
№ Вид плотности распределения п (Б) йБ = Бтв-ро тах А0 тіп А Закон скорости падения капель
= ахБ (0.5і і < Б Л а = 3. < 2і і ) у§ =а24Ь (1.0 і і < Б Л а2 = 4. ^ Б < 4 і і ) ^ =а3 (4 і і < Б) а3 = 8
А Ь 4 Ь 4 Ь
1 т = 2, В = 6, В = 0.6 ’ /^тах ’ гтт 268.4 118.3 315.0 1.50 215.5 1.72 61.6 2.0
2 т = 3,Втах = 8.Вт,п = 0.8 247.1 62.7 265.1 1.50 171.0 1.72 46.2 2.0
3 т = 5,Втах = 12, Втп = 12 221.6 33.7 213.5 1.50 128.0 1.72 32.4 2.0
4 т = 10,Втах = 22,Вт,п = 2.2 193.1 18.8 165.3 1.50 91.1 1.72 21.5 2.0
5 т = 20, Вт.х = 42, Вт,п = 4.2 173.7 13.1 137.4 1.50 71.1 1.72 16.1 2.0
6 т = 40, Вт.х = 82, Д„т = 8.2 162.2 10.6 122.4 1.50 60.7 1.72 13.5 2.0
7 « = 50, Втах = 102, Втп = 10 2 159.7 10.1 119.3 1.50 58.5 1.72 13.0 2.0
Диаграммы рис. 3 демонстрируют удовлетворительное совпадение в области крупных капель, но значительное отклонения для капель среднего диаметра и мелких капель. Средние зна-
чения диаметров (при котором наблюдается удовлетворительное совпадение значений А1 и А0 в области малых капель, а также А3 и А0 в области крупных) не совпадают с предполагаемыми в работе [2].
Таким образом, в области наиболее вероятных размеров капель, интервальные приближения приводят к наибольшей погрешности. Она возникает из-за значительного отклонения скорости падения капли от квадратичной зависимости по диаметру (табл. 1).
Коэффициенты а1,а2 в формулах линейной и квадратичной зависимости скорости падения от диаметра сильно чувствительны к изменению областей определения (границ интервалов по диаметру). В табл. 3 указаны интервалы и соответствующие значения коэффициентов а1,а2, использованных в расчетах.
Интерпретация экспериментальных данных Сопоставление регрессионных моделей
Обычно в литературе приводятся связи между Z и J для всего дождя или усредненные за длительное время его выпадения. Отсутствие параметров, характеризующих сам процесс измерения значительно ограничивает использование накопленного материала.
Из выражений (4) и (8) следует, что и обобщенный коэффициент А0, и интенсивность J зависят от параметров микроструктуры. Другими словами, за время измерения динамика микроструктуры определяет значение как интенсивности, так и коэффициента А0. Зависимость А0 ф - очевидна. Численные методы позволяют получить график этой зависимости (рис. 4).
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
I, мм/час
Рис. 4. Графики зависимости Ао (J), полученные численным моделированием при целых
значениях 2 < т < 50 и различных значениях нормирующего коэффициента ^. Значения / рассчитывались по формуле, выражающей зависимость /(т):
/ = т + 1 , (А0тах ~ А0шш ) (т +1)
А0тах А0тах А0тт
Крестиком и символом А обозначено местоположение дождя со средней интенсивностью 10 мм/ч и зависимостью 2 = 200J16. Концентрация капель при расчете А0 принималась
равной Ы0 = 101 _3, 1001 _3, 10001 _3. В области J=10-20 мм/ч, Ы0 = 101 _3, А0- возрастает с ростом интенсивности J. Деление диаграммы на специфические зоны показано утолщенными координатными линиями.
Если за время дождя его интенсивность изменялась в пределах ДJ с некоторым средним J0, используя (8) можно получить теоретические оценки коэффициента А0 и характера его зависимости от J. Рис. 4 иллюстрирует зависимость А0 (Г), учет которой на интервале ДJ позволяет
перейти к модели с постоянным мультипликативным коэффициентом для данного временного интервала измерений.
Как видно из рис. 4 с ростом интенсивности дождя коэффициент А0 убывает для большинства вариантов микроструктуры дождя. Следовательно, первая производная зависимости А0 (!) отрицательная.
Полагая зависимость А0 (!) степенной вида:
А (J ) = ^-х + 8„ (J), (12)
где д0 (J) функция бесконечно малая более высокого порядка малости, чем J~х, можно ожидать снижения показателя степени Ъ=2 (8) при переходе к модели с постоянным мультипликативным коэффициентом и произвольным показателем степени при интенсивности 2 = AJЪ, т.к.
2 = |^Гх + д0 (J)] JЪ = qJ(Ъ-х) + д1 (J), (13)
где д1 (J) - функция бесконечно малая более высокого порядка малости, чем J^~х'); Ь=2.
Из графиков рис. 4 следует, что коэффициент д изменяется1 от 80 до 1500 в зависимости от N, а производная ёА0 (J)= -q%JХ+:) для дождей от 10 мм/ч до 100 мм/ч изменяется в пределах примерно от р = -3.5 до р= -0.2. Оценим интервал изменений X, решая уравнение:
J ~{х+1)х = р. (14)
Выражения (12), (13) и (14) позволяют переходить от модели с постоянным коэффициентом и произвольным показателем степени к модели с обобщенным мультипликативным коэффициентом и постоянным показателем степени Ь = 2.
Результаты расчета X- поправки показателя степени при переходе к модели с постоянным мультипликативным коэффициентом для крайних точек интервалов изменения параметров р, д, J приведены в табл. 4. В расчетах учитывалось, что значения р= -3.5 могут наблюдаться только для дождей малой интенсивности, а р= -0.2 - только для интенсивных дождей.
Специфические области диаграммы Л(Л)
Значения в последней строке табл. 4 относятся к интенсивным дождям с малой концентрацией капель. Для этой строки, учитывая характер графика рис. 4 для Ы0 = 101 _3 и область его определения по оси абсцисс, значение максимальной интенсивности J снижено до 30 мм/ч вместо 100 мм/ч. Значение X, полученное для дождей такого типа микроструктуры, по-
1 Удобно рассматривать графики рис. 4 в точке J = 1, где значения любой степенной функции Ао (J)=qJ, используемой для аппроксимации равны д.
зволяет сделать вывод, что интенсивные дожди редко формируются малым количеством капель. В противном случае, мы должны были бы достоверно наблюдать показатель степени, равный примерно 0.2, что не подтверждается массовым экспериментальным материалом.
При сопоставлении различных экспериментальных данных с различными моделями микроструктуры, которые проводились в процессе работы над статьей, в области дождей с интенсивностью 25 - 45 мм/ч количество выбросов в данных, которые не укладывались в модельные представления наблюдалось явно больше, чем для остальных интервалов интенсивности дождя. Как следует из рис. 4, указанный диапазон интенсивностей является предельным для дождей с Ы0 = 10г _3, N = 15г _3, что определяет особый характер зависимости А0 (I) (увеличение А0 (I) с ростом I для Ы0 = 10 г _3 на рис. 4), и может приводить к специфическим значениям X.
Отметим существенно нелинейный характер влияния концентрации Ы0 на размещение области предельных интенсивностей. Для дождей с Ы0 = 20 г _3 область предельных интенсивностей уже лежит в интервале 60-80 мм/ч (подобно тому, как это изображено на рис. 4 для Ы0 = 10 мм/ч в области 20-30 мм/ч), но дожди с такой интенсивностью сами являются статистически редкими событиями, что не позволяет получить достаточное количество соответствующих измерений и тем более заметить отклонения от моделей при обработке данных. К тому же для концентраций больших Ы0 = 15 г _3 увеличение А0 (I) с ростом I наблюдается в меньшей степени.
В нашем случае все выбросы рассматривались как ошибки эксперимента и отбрасывались. Подобная "обработка данных" искажает статистику наблюдений предельных интенсивностей для низких концентраций капель и не позволяет их достоверно изучать.
Таблица 4
Поправка показателя степени для модели с постоянным мультипликативным коэффициентом
№ р Ч і X
1 -3.5 80 10 0.434
2 -3.5 1500 10 0.025
3 -0.2 80 100 0.217
4 -0.2 1500 30 1.795
Большие значения производной для малых интенсивностей дождя так же как и зону предельных интенсивностей дождей с малой концентрацией капель следует считать специфической областью модели. Изучение подобных дождей осложняется тем, что в зондируемых объемах практически всегда присутствуют крупные капли, отражаемость которых маскирует отражаемость капель основной фракции.
В отношении дождей малой интенсивности следует ожидать существенного отличия в микроструктуре от дождей средней и большой интенсивности. Модель обобщенного мультипликативного коэффициента в том виде, который представлен в настоящей статье, не учитывает специфического характера микроструктуры слабых дождей. На рис. 4 утолщенными линиями координатной сетки показаны области с характерной микроструктурой. Разделение на три основные области производится вертикальной линией, соответствующей I = 2 мм/ч и горизонтальной линией, соответствующей А0 = 103. В свою очередь, область диаграммы справа от I = 2 мм/ч и книзу от А0 = 103 можно представить в виде подобластей, соответствующих различной концентрации капель. Положение точки внутри подобласти может качественно указывать на значение параметров т и /3.
В целом с ростом значения Л0 (при фиксированной концентрации) отрицательный наклон Л (I) увеличивается, что, в свою очередь, приводит к уменьшению Ь. Для дождей заданной интенсивности увеличение отрицательного наклона с ростом А - незначительное.
Определение параметров микроструктуры
Используя оценку производной мультипликативного коэффициента по интенсивности за время измерения, мы получаем в свое распоряжение дополнительный информационный параметр, который вместе со значением Ъ и I позволяет получать (решая систему (15)) взаимнооднозначные оценки концентрации М0 и параметров распределения т и / .
Следует отметить, что существующие инструменты не позволяют измерять интенсивность дождя с требуемой точностью на интервалах времени меньше нескольких минут. Невысокая точность и большое время усреднения при измерении интенсивности ограничивает использование любых методов, базирующихся на этом параметре. Использование совместно с ] вероятно может проводиться более оперативно.
2
N А (т + 7) /6 А (т +1)
]=к |
В (1 - ехр (-СБ ))■
ЕВ
т+1
(
X = —
V
/>
1 А (т +1) А (т + 7)
N
А (т + 4) [К2В]2
т+4
А (т +1)
( / \т+4
Втв-ро—В,
2
(15)
где В0тах - максимальный диаметр капель; X - производная мультипликативного коэффициента по интенсивности дождя; т, / - параметры распределения; Ъ -радиолокационная отражаемость; I - интенсивность дождя, В, С, Е - параметры аппроксимационной зависимости скоро-
7ТО
сти падения от диаметра капли; Б - диаметр капли, К1 = 3.6 • 10-6, К2 = К1 — .
6
Значения Ь в большинстве наблюдений, усредненных за все время дождя, равны примерно 1,5. Отсутствие указаний на среднюю интенсивность дождя в имеющихся экспериментальных данных не позволяет более детально проверить предлагаемую в настоящей работе модель. Значительные отклонения показателя степени Ь (для аппроксимации с постоянным мультипликативным коэффициентом) от его теоретически ожидаемого значения при данном А, могут указывать на резкое отличие микроструктуры дождя от Гамма-распределения. Отклонения в характере микроструктуры от ожидаемой (например, от распределения МП) более естественно учитывать для измерений на коротких интервалах времени, т.к. они сглаживаются для больших промежутков усреднения. Тем не менее, даже для данных усредненных за весь дождь имеется возможность оценки характера микроструктуры, что может эффективно использоваться для корректировки оценок, проводимых в дождях.
Например, относительно микроструктуры дождя 2 = 200]16 со средней интенсивностью 10 мм/ч (крестик на диаграмме рис. 4) можно сказать следующее. Подобный дождь образован достаточно широким распределением ( т » 3 ) с малой концентрацией капель ( М0 »1001 _3).
3
0
Диаграмма микроструктуры
Приведенные выражения для обобщенного мультипликативного коэффициента позволяют получить диаграмму параметров микроструктуры, аналогичную изображенной на рис. 1, по результатам Баттана, но в приближении Г амма-распределения плотности вероятности диаметров капель. Использовать такую диаграмму в практической деятельности для оценки результатов радиолокационных измерений более удобно потому, что в случае использования Гамма-распределения, Ы0 является вполне конкретным параметром, поддающимся измерению и интерпретации.
Только по данным отражаемости и интенсивности, без использования дополнительного информационного показателя такого как значение производной мультипликативного коэффициента по интенсивности (см. предыдущий раздел), невозможно однозначно определить основные атрибуты микроструктуры: концентрацию N0 и параметры распределения т и р . Для построения диаграммы с обозначением концентрации (или среднего диаметра) капель требуется заменить отсутствующий измеряемый показатель некоторым априорным положением.
Рис. 5. Диаграмма изолиний наиболее вероятной концентрации в приближении Г амма-распределения размеров капель. Интервал вариации по т равен от 2 до 50, интервал вариации
о д. т +1 о т +1 ^ ^
по р определялся по формуле: -------> р >------, где Втт,ь>тах - минимальный и максималь-
Дтт Дтях
ный размеры капель влаги, относимых к дождю
Изолинии, изображенные штриховой линией и помеченные символом N2 соответствуют широкому распределению с т=2 (с соответствующим диапазоном вариации Р ), изображенные линией из точек и помеченные символом ^0, соответствуют узкому распределению с т=50 (с соответствующим диапазоном вариации р ). Сплошная тонкая изолиния, находящаяся между штриховой и пунктирной, соответствует N -наиболее вероятной концентрации капель в диапазоне целых 1< т < 51. Концентрация N показан числом на линии. Эта же концентрация капель соответствует ближайшим изолиниям N и ^0 . Толстой сплошной линией показаны границы полосы Баттана (рис. 1).
При построении диаграммы, изображенной на рис. 4, предполагалось следующее. Задавшись интервалом возможных вариаций т и р (учитывая, что интервал вариаций р зависит от
интервала вариаций по т), из (8) можем получить значения А0 при Ы0 = 1 (обозначим их Qmax и
интервала вариаций по т и р, можем оценить N0mx - максимальную концентрацию капель в единице объема и N0mm - минимальную концентрацию капель в единице объема, соответствующие некоторому А):
Считая, что обратно пропорциональная зависимость А0 (^) в (8) определяет такой же характер плотности вероятности концентрации капель в серии измерений р( ^), можем определить математическое ожидание для N. в рамках интервала ^тах и ^тт, где N. -наиболее вероятная концентрация капель в дожде с мультипликативным коэффициентом А0. Определив таким образом N. мы получаем однозначное соответствие А0 (№р). Переход от наиболее вероятной концентрации капель в дожде N. к среднему диаметру распределения капель Б (первому моменту плотности распределения) не вызывает затруднений.
Для априорного интервала по т от 0 до 50 результаты расчетов N. приведены на диаграмме рис. 5. Сужение распределения вызывает движение изолиний вправо. Имея оценки общего количества капель, также можно оценивать ширину распределения.
В [3] предложено использовать показатель 1.5, что является наиболее обоснованным с экспериментальной (статистической) точки зрения. Формула (8) предполагает показатель 2, который позволяет получить теоретически наиболее простые и физически обоснованные выражения для мультипликативного коэффициента, справедливые на всем интервале размеров капель. В случае использования коэффициента 1.5, выражение для мультипликативного коэффициента А) в работе [3] должно содержать "дополнительную" по сравнению с (8) составляющую, пропорциональную корню из интенсивности. Как следует из рис. 3, это предположение справедливо для дождей определенной (часто встречаемой на практике) интенсивности и микроструктуры.
Получение аналитического выражения для мультипликативного коэффициента в случае показателя Ь=1.5 представляет трудности и вид конечного результата представляется значительно более громоздким. Формула для коэффициента А1 из табл. 1 с коэффициентом Ь=1.5 допустима лишь для слабых дождей и дает значительные отклонения для дождей средней и большой интенсивности. Следовательно, можно полагать, что эмпирическое значение 1.5, сложившееся за все время дождя, определяется в основном малыми интенсивностями и широкими распределениями, которые статистически наиболее вероятны (учитывая "сглаживание" распределения за время измерения).
Влияние наиболее вероятных малых интенсивностей на результаты сильно усредненных измерений следует учитывать для дождей имеющих большой диапазон интенсивности во вре-
Qmin ).
^ , Я Q Q
Приняв, что А) = в рамках выбранного
N ■
0 тах тах ’
0тах
0 тт тт*
Заключение
мени. На значение показателя b влияет также крупномасштабная динамика микроструктуры дождя, которая сказывается на больших периодах усреднения по времени.
Таким образом, использование статистического подхода, предлагаемого в [3], может представлять определенные трудности при изучении дождей со специфической микроструктурой, а так же при использовании коротких волн зондирования, для которых условия дифракции Ми оказывают значительное влияние на результаты измерений. Предлагаемый выше подход, основывающийся на физических, а не статистических принципах, позволяет создать модель с учетом условий рассеяния Ми.
ЛИТЕРАТУРА
1. David Atlas, Daniel Rosenfeld and Arthur R. Jameson. Evolution of Radar Rainfall Measuriments: Steps and Mis-steps.
2. Горелик А. Г., Смирнова Г. И. О связи водности и интенсивности осадков с радиолокационной отражаемостью метеообъекта при различных параметрах распределения капель по размерам. Труды ЦАО. Вып. 48, 1963.
3. Testud, J., Oury, S., Amayenc, P. & Black, R.A. (2001), "The concept of normalized distributions to describe raindrop spectra: a tool for cloud physics and cloud remote sensing". J. Appl. Meteor., 40, 1118-1140.
4. A. R. Jameson, A. B. Kostinski. Spurious power-law relations among rainfall and radar parameters. Q. J. R. Mete-orol. Soc. (2002), 128, pp. 2045-2058.
5. V. Chandrasekar, V.N. Bringi. Dual Polarization Radar Estimates of Rainfall:Resent Advances. (2000) Sixth International Symposium on Hydrological Applications of Weather Radar.
6. Hu, Z. & Srivastava, R.C. (1995), "Evolution of raindrop size distribution by coalescence, breakup and evaporation: theory and observations".J. Atmos. Sci, 52, 1781-1783.
7. N. Desaulniers-Soucy, S. Lovejoy, D. Schertzer. The HYDROP experiment: an empirical method for the determination of the continuum limit in rain. Atmospheric Research 59-60 (2001) 163-197.
8. Atlas, D. and A. C. Chmela, 1957: Physical-synoptic variations of raindrop size parameters. Proc. 6th Weather Radar Conf, Cambridge, Massachusetts, Amer. Meteor. Soc, 21-29.
9. Ulbrich, C. W. and D. Atlas, 1995: Generalized rain parameter relations applied to TOGA COARE data. Preprints, 27th Radar Meteorology Conf., Oct 9-13, 1995, Vail, Colorado, Amer. Meteor. Soc.
10. Ulbrich, С W. and D. Atlas, 1978: The rain parameter diagram: methods and applications. J. Geophys. Res., 83, 1319-1325.
11. Battan, L. J., 1973, Radar Observations of the Atmosphere, University of Chicago Press, pp. 324.
12. Fujiwara, M., 1965: Raindrop size distributions from individual storms. J. Atmos. Sci., 22, 585-591.
13. Горелик А. Г., Логунов А. Ф. Определение динамических характеристик и микроструктуры дождя в режиме вертикального радиолокационного зондирования. Труды ЦАО, вып. 103, 1972.
14. Горелик А. Г., Грицкив И. Г., Пенязь Л. А. Цыкунов В. Н. Результаты совместных радиолокационных и наземных измерений микроструктуры осадков. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, №9, 1967.
15. Горелик А. Г., Логунов А. В. Горелик А. Г., Логунов В. Ф. Определение вертикальных потоков и микроструктуры дождя по доплеровскому спектру и интенсивности радиоэха. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, №7, 1974.
16. Литвинов И. В., Цикунов В. В. Средние спектры распределения капель в дождях Центра Европейской территории СССР и их относительная изменчивость при различных условиях выпадения осадков. Метеорология и гидрология, №5, 1971.
17. Marshall, J. S. and W. McK. Palmer, 1948, "The distributions of raindrops with size", J. Meteorol., Vol. 5, pp. 165 - 166.
RAINFALL RADAR REFLECTIVITY FACTOR AND RAINFALL RATE RELATIONS BASED UPON GAMMA FUNCTION ASSUMPTION FOR A DROP SIZE DISTRIBUTION.
Gorelik A.G., Kolomiets S.F.
The paper studies interdependence between rainfall radiolocation reflectivity Z and rainfall rate J based on assumption that a drop size distribution correspond with modified gamma function. An integral multiplicative factor A concept is introduced for the power-law relation Z=AJb with constant exponent b=2 (in case of Rayleigh scattering). Main theoretical arguments for using constant exponent are considered and then the relation is used for empirical data interpretation.
Сведения об авторах
Горелик Андрей Габриэлович, 1931 г.р., закончил МГУ (1956), доктор физико-математических наук, профессор МГАПИ, автор более 150 научных работ, область научных интересов - радиолокация, радиометеорология.
Коломиец Сергей Федорович, 1981 г.р., окончил МГАПИ (2003), директор ПЦ Ба^у компании Біа80Й, область научных интересов - системный анализ, электродинамика и статистическая физика.
