CC BY
116
2007
НА УЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА сер. Радиофизика и радиотехника
№ 117
УДК 621.396
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ В ДОЖДЯХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОБОБЩЕННОГО МУЛЬТИПЛИКАЦИОННОГО КОЭФФИЦИЕНТА Ъ-К СООТНОШЕНИЯ
С.Ф. КОЛОМИЕЦ
По заказу редакционной коллегии
Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором Гореликом А.Г.
В настоящей статье предлагается один из возможных вариантов расширения области использования предлагаемого автором метода интерпретации данных совместных радиолокационно-диздрометрических измерений с использованием Z-R зависимости (где Z - радиолокационная отражаемость, Я - интенсивность дождя). В частности, приводится иллюстрация одного из возможных вариантов учета конечного времени усреднения измерений Z и Я. Это позволит использовать полученные ранее формулы обобщенного коэффициента связи между Z и Я для обработки экспериментальных данных. Полученные теоретические результаты хорошо объясняют экспериментальные данные, полученные различными авторами. Это позволяет рассматривать используемые в настоящей статье соотношения как “универсальные” зависимости, связывающие микроструктуру дождя с его интегральными радиолокационными и метеорологическими характеристиками, при интерпретации данных, которые получены в дождях с использованием различных временных и пространственных масштабов.
ВВЕДЕНИЕ
Исследование радиолокационной отражаемости Z в зависимости от интенсивности дождя Я было одной из первых задач радиолокационной метеорологии. Простота этой зависимости - как следовало из экспериментальной работы Маршала и Пальмера [3] - стала мощным стимулом для ученых всего мира к началу практического изучения осадков с помощью радара.
Говоря о теоретических работах, следует отметить публикацию Райда [1], который в 1941 году провел первые расчеты интенсивности радиоэха и его ослабления в осадках с целью определения их влияния на радар военного назначения. Полученные диаграммы, которые затем были доработаны им с использованием данных Лоуса и Парсонса [2] о распределении размеров капель, соответствующем данной интенсивности дождя, можно считать одним из первых теоретических результатов, содержащих Z-R соотношение.
К середине 60-х было опубликовано достаточное количество экспериментальных подтверждений тому, что в действительности существует множество соотношений подобных соотношению МП, и что детально классифицировать их (на основании известных в то время физических параметров осадков) невозможно, разве что в очень общем виде [9 - 12]. Базируясь на “сильно усредненных данных”, соотношение М-П оказалось слишком обманчиво в своей простоте. Статистический характер Z-R соотношения выявлялся в исследованиях различных ученых. Джосс и Гори [14] одними из первых продемонстрировали, что форма распределения зависит от размера выборки: в то время как размер выборки растет, крупные капли учитываются более достоверно и, как следствие, спектр более точно аппроксимируется экспоненциальным распределением. Тумей [15] еще в 1953 г. показал, что вариации от места к месту и от дождя к дождю являются слишком большими, чтобы оценивать Я по Z даже в общих чертах.
Потребовалось 30 лет, чтобы на смену детерминированной модели пришла модель стохастическая, основные идеи которой заключались в следующем. В любом дожде N0 и Б0 (где N - концентрация капель в единице объема, Б0 - медианный диаметр капель) ведут себя как случайные, независимые1 переменные, следовательно, как Z, так и Я имеют склонность
1 Отметим, что "независимость" No и Do (в строгом смысле) не доказана. Некоррелированность этих параметров была экспериментально подтверждена в ходе эксперимента TOGA COARE [16].
быть распределены по логонормальному закону. Когда это справедливо, то Z и Я соотносятся в среднем по степенному закону.
В 70-е годы основное внимание исследователей было обращено к изучению статистических свойств и микроструктуры осадков, выпадающих из различной облачности, разработке теории конденсации в дождевой облачности различных форм (определяющей распределение капель по размерам на высоте) и физическим процессам, которые происходят в осадках на высоте падения (влияющих на распределение капель у земли, регистрируемое контактными приборами). В это время иследования, касающиеся Z-R соотношения, ведутся лишь силами отдельных ученых, среди которых Фудживара [10, 11] в Японии, а также Атлас и Чимела в США [12], Боровиков и Костарев [9], а также Горелик [13, 18] в СССР. Работы этих ученых и другие, им подобные, предвосхитили современные исследования Z-R соотношения. Целый ряд результатов, полученных в 60-е и 70-е годы прошлого века, актуальны и в настоящее время.
В 80-е годы, сложившееся к тому времени радиометеорологическое сообщество, обратилось к идее мультипараметрических измерений. Суть этого подхода базировалась на понимании того, что распределение капель по размерам зависит от двух основных параметров -их размера (или распределения размеров) и концентрации, - которые требовали отдельных, независимых измерений. Использование радиометрической информации при проведении радиолокационных измерений и радарная поляриметрия в действительности обеспечили некоторые значимые результаты. Однако все они базируются на априорном знании распределения капель по размерам и принципиально ограничены дистанцией и высотой, на которых измеряемый дождь еще похож на тот дождь, который выпадает на землю.
К 2000 году, сделав полный оборот, ситуация вернулась практически в исходную точку: исследователи снова (и даже в большей степени) зависели от распределения капель по размерам; все также (и даже в большей степени) были ограничены множеством факторов, связанных с дистанцией зондирования и лучом радара; снова (но уже с использованием обширного экспериментального и теоретического материала, библиография которого измерялась сотнями работ) обратились к зависимости между радиолокационной отражаемостью и интенсивностью дождя в виде уравнения регрессии Z = А-Я .
В настоящей статье предлагается один из возможных вариантов расширения области использования предлагаемого в [42] подхода к интерпретации мгновенных данных о Z-R зависимости. В частности, рассматривается учет конечного времени измерения радиолокационной отражаемости Z и конечного времени измерения Я. Это позволит эффективно использовать соотношения [42] для обработки реальных экспериментальных данных.
ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ
С целью детального обзора работ, посвященных использованию Z-R соотношения, которые были проведены за последние пятьдесят лет, уже опубликовано несколько работ [4-8]. Ниже рассмотрены лишь отдельные публикации, относящиеся к содержанию статьи.
Для адекватной замены распределения Маршала-Пальмера в конце 50-х и начале 60-х гг. предлагались различные неэкспоненциальные зависимости, среди которых следует отметить логонормальное распределение, Левина [17]. Оно укладывалось в “статистическую модель” Z-R соотношения, было вполне обосновано с позиции известных физических процессов, происходящих в облаках и осадках, а также позволяло с достаточной точностью аппроксимировать экспериментальные данные. Распределение Левина было использовано в большом числе исследований. Однако в дальнейшем основное распространение получило так называемое модифицированное (трехпараметрическое) гамма-распределение, которое в отличие от логонормального, позволяло моделировать широкие распределения капель по
размерам и могло быть приведено к экспоненциальному распределению как к одному из предельных случаев.
В настоящее время сложно указать первую работу, содержащую обоснование использования гамма-распределения. Отметим лишь, что работы [9, 18] уже были выполнены с использованием его в качестве основного способа аппроксимации распределения капель по размерам в дождях, а [19] была одной из первых монографий, содержащих детальное исследование рассеяния излучения в облаке частиц, распределение по размерам которых было аппроксимировано гамма-распределением. Затем все большее число исследователей обращались к его использованию [20, 21].
Применение единого подхода к аппроксимации распределения капель по размерам было, безусловно, большим шагом вперед, так как это позволяло более эффективно сопоставлять результаты, полученные различными авторами. С целью разработки методов экспериментального определения параметров формы m, в гамма-распределения (1) было публиковано большое количество работ, среди которых следует отметить [20 - 22, 24 - 29]. Отметим, что значительных успехов в этом направлении получено не было. Основное количество публикаций развивали формализованные статистические методы решения задачи без должного внимания к физическому содержанию возможных связей между измеряемыми параметрами R и Z.
Одна из наиболее цитируемых работ [30] содержит очередную модель учета микроструктуры при определении параметров Z-R соотношения, основанную на “статистическом подходе”. В работе [31] она доработана для случая поляриметрических измерений. В идейном плане исследование [30] мало чем отличается от работы [21] за исключением одного существенно нового положения. В [30] предлагается использовать постоянный показатель степени b = 1.5 при интенсивности дождя в Z-R соотношении. Ниже будет проиллюстрировано, что значение b = 1.5 действительно “статистически” обосновано. Однако физических оснований для выбора такого значения показателя степени в [30] не представлено.
Следующий вопрос, который хотелось бы отметить особо, заключается в том, что ни один из предлагаемых в [20-22, 24-29] методов нормализации не позволяет ни обосновать, ни исключить корреляцию между параметрами гамма-распределения, аппроксимирующего распределение размеров капель. В [26] был опубликован результат факторного анализа, предложены формулы “независимых факторов”, установлена их связь с интенсивностью дождя R, медианным диаметром Dm и s - стандартным отклонением распределения масс капель. Однако коэффициенты и показатели степени в предлагаемых формулах оказались зависимы от типа дождя и географического региона проведения измерений.
Следует отметить экспериментальные работы [32, 33], подтверждающие (в пределах точности контактных инструментов) возможность тримодального распределения капель по размерам, которая предсказывалась в серии более ранних теоретических работ [23, 34-36]. Положение теоретически предсказываемых пиков существенно различается как в ряду работ [23, 34-36], так и с положениями пиков, которые были экспериментально зафиксированы в [32, 33] . Несмотря на то, что столь незначительные отклонения в характере распределений от используемого модифицированного гамма-распределения практически не влияют на Z-R соотношения, цитируемые работы являются определенным успехом разработки моделей дождя в равновесии (equilibrium rainfall model).
2 Экспериментальные пики были зафиксированы в области 0.7 мм, 1.0 мм, 1.9 мм и 3.2 мм в работе [32]; в области 0.6 мм, 1.0 мм, 1.8 мм, и 3 мм для тропического морского климата в работе [33], а теоретически предсказаны в 0.268 мм, 0.79 мм и 1.76 мм в работе [34]; в 0.24 мм, 0.87 мм и 2.0 мм в работе [35], и 0.2 мм, 0.9 мм и 1.5 мм в [23]. Первый теоретически предсказанный пик в области 0.2 мм пока невозможно разрешить ни одним контактным прибором.
Серия работ, посвященная математическому моделированию распределения капель по размерам с учетом физических процессов, происходящих в дожде на высоте падения, берет свое начало с работы [22] (достаточно подробно рассмотрена в [39]). Гораздо позднее аналогичные результаты были получены в [35, 37].
Результаты работы [38] долгое время были поводом для сомнений, несмотря на то, что являлись фактически развитием идей [35, 37]. Только в [40] они были подтверждены экспериментально. В [38] было получено выражение для “равновесного распределения капель дождя по размерам”, учитывающее не только интенсивность дождя R, но и форму спектра распределения капель по размерам. Такой подход к записи уравнения равновесного распределения представлялся вполне логичным, однако, из него следовало, что интегральные параметры дождя (такие, как концентрация No, водность W, радиолокационная отражаемость Z) могут быть выражены через интенсивность R с использованием некоторого коэффициента пропорциональности (константы). Другими словами, справедливы выражения: No = CNR; W = CWR; Z=CZR. Последнее из которых предполагает наличие линейной связи между Z и R в “сбалансированном дожде” (equilibrium rainfall)3.
В [40] было показано, что линейная зависимость между Z и R с постоянным коэффициентом CZ предполагает, что медианный диаметр Dm тоже должен быть постоянным на всем времени измерения. Такое поведение Dm регистрируется наземными контактными инструментами очень нечасто, поэтому в [40] были использованы спектры, полученные с использованием самолетных измерений. Распределения капель [40] по размерам действительно представили экспериментальное доказательство линейной связи между Z и R в случае постоянного значения Dm, причем они были очень близки к теоретически ожидаемым спектрам дождя в равновесии [35, 23] и имели пик в области 1,5 мм в точном соответствии теорией.
Нельзя не отметить имеющихся противоречий в отдельных результатах цитируемых работ. В [27] представляются результаты статистического моделирования микроструктуры дождя с использованием метода Монте-Карло в предположении статистической независимости No и Do (где No - концентрация капель в единице объема, Do - медианный диаметр капель), но с сохранением условий на распределения капель по размерам (см. сноску 2 и [16]). В результате авторы приходят к достаточно неожиданному выводу о существенно линейном характере связей между Z и R, который нарушается в реальных наблюдениях только за счет недостаточной статистики событий (даже в масштабах зондируемого объема, который измеряется тысячами кубических метров). В то же время, как уже было отмечено выше, линейную зависимость между R и Z возможно достоверно наблюдать на высоте в условиях тропических ливней, характеризующихся “большим” количеством капель [40].
В заключение краткого обзора основных публикаций следует особо подчеркнуть, что среди множества исследований, работы, содержащие экспериментальный материал о статистике зависимостей No - R и Do - R (или Dm - R), представлены совершенно недостаточно. Практически не уделяется внимания анализу и сопоставлению особенностей Z-R соотношения на различных пространственно-временных масштабах. Не анализируется изменчивость этого соотношения при переходе от “мгновенных” к “усредненным” измерениям (за исключением [14], но в этой работе не учитывались мгновенные Z-R соотношения). По-видимому, этим можно объяснить отсутствие в настоящее время универсальной методики, которая на базе физически обоснованных соотношений, связывающих микроструктуру дождя с его интегральными параметрами, объединяла бы результаты столь масштабных и различных по своей направленности исследований.
Наиболее полным экспериментальным исследованием Z-R зависимости в настоящее время остается работа Фудживары [10], в которой отмечалось слабое соответствие между А и b, такое,
3 В частности, в работе [23] предлагается выражение Z = 600 Я. Показатель степени при Я больше единицы предполагает рост Б0 с ростом Я.
что большим значениям А соответствовали меньшие значения Ь. Причем, явной зависимости от типа осадков найдено не было. В исследованиях Фудживары мультипликативный коэффициент А принимал значения в диапазоне от, примерно, 60 до 1100 показатель степени Ь от 1 до 2.
В целом исследования Японских ученых не позволили продвинуться дальше качественной диаграммы, изображенной на рис. 1 (из [43] опубликованной в [5]), что отражает сложность поставленной задачи использования Z-R соотношения для классификации дождей и интерпретации данных радиолокационных измерений.
1500
1000
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2. 0
Ь
Рис. 1. Взаимозависимости коэффициентов А и Ь в соотношении Z = АЯЬ, полученные различными авторами для разных типов дождей [43]:
I - интенсивные дожди, Zmax > 104 (I = 15мм/ч); II - слабые радиоэхо при однородных осадках Z ~ 5мм6/м3; III - ячейки малых размеров со слабым радиоэхо; IV - малое радиоэхо от слабых осадков при сухой атмосфере; V - радиоэхо, полученное для верхней части облака.
Изолированные радиоэхо в грозах
ОБОБЩЕННЫЙ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ
В работе [42], являющейся развитием идей, изложенных в [13, 18, 41], было предложено обоснование возможности использования при интерпретации измерений в дождях зависимости вида Z0=A*RЬ с постоянным показателем степени при Я, (где Z0 - радиолокационная отражаемость дождя, Я - интенсивность дождя, А -мультипликативный коэффициент регрессии).
Для разделения регрессии с переменным показателем степени Ь, которая используется в большинстве публикуемых работ и предлагаемым в [42] вариантом регрессии с использованием постоянного показателя Ь = 2, коэффициент А в последнем случае было предложено называть “обобщенным мультипликативным коэффициентом” или “мультипликативным коэффициентом квадратичной регрессии”.
Помимо наличия ясного физического смысла использование подобного подхода позволило исключить влияние различных факторов на два параметра регрессии одновременно, исключив из рассмотрения вопрос о взаимной корреляции параметров и обеспечив тем самым большую ясность анализа, большую сопоставимость экспериментальных данных различных авторов.
В работе [42] были рассмотрены также возможности перехода от регрессии с переменным показателем степени к регрессии с постоянным показателем степени Ь = 2, что является
существенным условием для использования основной массы экспериментального материала, полученного с использованием первого подхода. Однако должного внимания влиянию конечного времени измерения уделено не было.
Расчеты [42] были проведены для условий дифракции Релея и в приближении трехпараметрического гамма распределения капель по размерам, которые с учетом нормирования по концентрации капель в единице объема можно выразить формулой вида:
n
(D) dD =
m+1
Г (m +1)
Dme~pDdD.
(1)
где No - концентрация капель дождя в единице объема; m, в - параметры формы гамма-распределения; D - диаметр капли дождя.
В качестве приближения закона Ганна-Кинцера использовалось следующее выражение:
v (D) = B (1 - exp (-CD))-ED, (2)
где D [ мм] — диаметр капли; B = 18.67 [ м/с], С = 0.318 мм-1 ], Е = 1.145[103 с-1 ] -
коэффициенты; v [ м/с]- скорость свободного, гравитационного падения, которая
аппроксимирует соответствующую зависимость с точностью не хуже 1% в интервале размеров
капель от 0,5 до 5 мм.
В [42] было показано, что обобщенный мультипликативный коэффициент может быть выражен следующими формулами:
1 Г (т +1) Г (т + 7) A No Г (т + 4)2 [K2B]2
1 - F
т + 4
Р
p 1Р+ C
(3)
или
A0 =— U (m) Y (m,b)
N,
(3’)
где K2 = 6 10 4pp
размерностный коэффициент; p
плотность воды;
B = 18.67 [м/с], С = 0.318[мм 1J, Е = 1.1451^103с 1J - коэффициенты аппроксимации из (2); Y (m,b):
1 - F
m + 4
f p \m+4
p VP+C
, Г (m +1) Г (m + 7) 2
,U (m ) = ^--------------, G = 3.5 x10
Г (m + 4) G
F = E = 61.3 [ м-1 ].
B
Используя зависимость между параметрами формы гамма-распределения и первым
моментом, можно выразить один из двух параметров формы в (1) через другой параметр и
первый момент распределения. Учитывая (3’), удобнее получить выражение для в:
0 / ч m +1 ,ч
Р( ^ ^ ) = _^“ > (4)
D0
где D0 - средний диаметр капель (первый момент плотности распределения капель по
размерам); т, в - параметры формы гамма-распределения.
С учетом (4) в выражении У(т, в) из (3’) можно перейти к переменным т и Б0:
-2
(
'\m+4
-2
(
(5)
и далее, учитывая соотношение, справедливое для гамма-распределения:
2
m =
-1
(6)
перейти к выражению, содержащему средний диаметр Б0 и дисперсию о гамма-распределения:
Как следует из (3’), в выражение для А0 входят два сомножителя, зависящих от параметров формы распределения капель по размерам т, р. Причем, только один из сомножителей зависит от обоих параметров формы, в то время как другой - от одного параметра т, характеризующего (при заданном в) крутизну восходящего крыла распределения (т.е. от характера распределения капель по размерам в мелкокапельной области.
Выражение (5) представляет иную интерпретацию сомножителя У(т, в), зависящего от обоих параметров формы (т, в) и позволяет привести выражение для А0 в целом к зависимости от единственного параметра формы т и среднего размера капель Б0. Это открывает дополнительные возможности при проведении эксперимента и интерпретации измерений.
Использование показателя Ь = 2 справедливо для мгновенных значений величин, входящих в Ъ-Я соотношение, т.е. при условии т —— 0, где т - время измерения. Однако надежных инструментов, позволяющих с приемлемой точностью, получать “мгновенное” значение Я на достаточно больших площадях в настоящее время не создано. Время измерения интенсивности Я с заданной точностью для наиболее распространенных диздрометров (Джосса-Валдвогеля) составляет в среднем 10 мин. Следовательно, любое из публикуемых соотношений - за счет существенного времени измерения - неявно учитывает “динамику” величин Ъ и Я во времени. Несмотря на это, лишь отдельные публикации содержат полноценное описание условий эксперимента, с указанием времени измерения, усреднения и количества событий (дождей), по результатам которых получены результаты. С ростом т значение показателя степени может изменяться. В дальнейшем, эта “динамика” так же влияет на результаты усреднения, проводимые за больший период времени.
В статье использовалось следующее выражение для расчета интенсивности дождя (Я - [мм/ч]; N - [м-3]; Б0 - [мм]):
-2
УЧЕТ УСЛОВИЙ ИЗМЕРЕНИЯ
Как уже было отмечено выше, результаты измерения корреляции между концентрацией капель No и их медианным диаметром Dm, проведенные в ходе эксперимента TOGA COARE [16], показали, что они некоррелированы. К сожалению, ни одна из публикаций, ссылающихся на этот важный результат, не содержит информации о времени измерения, которое было принято в соответствующем эксперименте. Основываясь на этом результате, “мгновенные” значения Z и R в первом приближении можно считать независимыми случайными величинами.
Импульсное значение мощности рассеянного поля в приемной антенне формируется случайным числом капель No различного размера D, находящихся в объеме зондирования, в течение длительности импульса t¡. На плотность распределения флуктуаций мощности влияет целый ряд различных величин, основные из которых: взаимное перемещение рассеивателей, динамика структуры рассеивающего объема за счет смены частиц, динамика микроструктуры дождя, определяемая макромасштабными физическими процессами. Тем не менее, если не учитывать естественной динамики макромасштабных физических процессов в дожде, то после “первичного” усреднения на интегральных элементах детектора и дополнительного усреднения отсчетов на времени измерения дождя tz, то можно полагать, что величина радиолокационной отражаемости ZZ будет распределена по “нормальному” закону. В то же время значение R¡ представляет собой сумму случайной величины (диаметр капли в кубе) в случайном числе (концентрация капель No в рабочем объеме диздрометра за время измерения интенсивности дождя Tr).
Следовательно, за время измерения интенсивности дождя tr исследователь получает две случайные величины различные по характеру формирования и соответственно по плотности вероятности. Статистическое среднее значение величины Z будет определяться нормальным законом, плотность вероятности которого можно определять на фиксированных выборках. Параметры этого нормального распределения можно с успехом использовать для оценки характера (или степени) нестационарности дождя в дополнение к идеям, изложенным в [29]. Подобные оценки затем могут быть использованы в оперативном режиме при организации измерений.
За это же время tr значение случайной величины R определяется размером и количеством капель, пролетевших через рабочую площадь диздрометра. Плотность распределения вероятности величины R на времени измерения tr можно определить лишь, используя временные ряды измерений за время Та >> tr намного большее периода измерения R. Однако на столь длительных интервалах времени будет велико уже влияние мезо- и макромасштабной динамики физических процессов в дожде (т. к. любой дождь начинается, развивается, диссипирует и завершается).
Можно полагать, что плотность вероятности R на tr (времени изменения интенсивности дождя) существенно зависит от фазы дождя и метеоусловий его выпадения.
Получить распределение плотности вероятности как для радиолокационной отражаемости Z, так и для интенсивности дождя R, определяемое только микроструктурой, невозможно. Учитывая влияние естественной динамики осадков, результаты сопоставления измерений интенсивности дождя R с измерениями радиолокационной отражаемости Z на времени, меньшем времени выпадения дождя, могут не обладать “статистической устойчивостью” и содержать “любой” показатель степени в уравнении регрессии.
Известный ожидаемый характер распределений измеряемых величин может способствовать более информативному их исследованию и разделению факторов, определяющих значения измеряемых величин во временных рядах. Подобный подход можно использовать для объяснения вариаций и дисперсии при сопоставлении фактической радиолокационной отражаемости и радиолокационной отражаемости, полученной расчетным путем с
использованием показаний диздрометра у Земли. Однако это тема для специального исследования.
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ИЗМЕРЕНИИ С КОНЕЧНЫМ ВРЕМЕНЕМ ИЗМЕРЕНИЯ И УСРЕДНЕНИЯ
Рассмотрим использование квадратичной регрессии с обобщенным мультипликативным коэффициентом и постоянным показателем степени Ь = 2 для моделирования 2-Я соотношения с конечным временем измерения Я и 2. Нашей задачей является иллюстрация принципиальной возможности использования зависимости [42] (физически обоснованной для “мгновенных” измерений) на конечных промежутках времени измерения.
Опубликованные в [44] результаты измерений на высоте 250 метров над уровнем моря со временем усреднения 1 мин. и полученные с использованием микроволнового радиодиздрометра, разработанного МЕТЕК [45], содержат данные об интенсивности дождей за период с января по июль 1999 в точке 54°43’К 12°67’Е на побережье Балтийского моря. (Отметим, что осадки в виде снега и града фиксировались по данным доплеровских измерений и исключались из рассмотрения.) Частота выпадения дождей определенной интенсивности отражена на рис. 2 из работы [44]. На рис. 2 событием считается величина интенсивности дождя, измеренная за 1 мин. с использованием радиодиздрометра [45]. Более чем на трех декадах по интенсивности дождя М данные хорошо аппроксимируются выражением N (М)»М_1’36. Распределение плотности вероятности интенсивности дождя - степенное (так
как график приведен в билогарифмическом масштабе). К тому же результату приходят и авторы [46]. В этой работе с использованием “модифицированного” Би-Парето распределения продемонстрирована высокая точность аппроксимации измерений, проведенных с
использованием лазерного диздрометра (расположенного у поверхности земли вблизи Парижа) и за существенно более длительный, чем в [44] период времени.
Величина события
Рис. 2. Количество событий N в соотношении с величиной события М в билогарифмеческом масштабе
Следует отметить, что степенное распределение “плотности вероятности” дождей определенной интенсивности отмечается и в исследованиях, проведенных в ИРЭ РАН [47]. Степенное распределение не имеет среднего и дисперсии. Такой характер распределений складывается, вероятно, для рядов измерений интенсивности дождя Я, полученных за периоды времени меньшее 10 мин, в то время как более ранние работы [48] содержат сведения об экспоненциальном характере подобных распределений. Этот факт заслуживает отдельного рассмотрения, т.к. может быть использован для исследования динамики физических процессов в осадках.
Для сравнения на рис. 3 приведено распределение интенсивности, полученное с использованием радиодиздрометра [45] за время одного дождя. Оно уже больше похоже на гамма-распределение. Таким образом, можно полагать, что за время одного дождя (при тя = 1мин.) плотность вероятности измерений интенсивности дождя может быть аппроксимирована гамма-распределением.
Интенсивность осадков Р (мм час-1)
Рис. 3. Распределение интенсивности, полученное для одного дождя с помощью микроволнового радиодиздрометра [45] со временем измерения 1 мин.
Отметим, что в случае “сезонных” рядов измерений или измерений, полученных за время, которое много меньше времени выпадения дождя, использование подобного предположения о плотности вероятности измерений интенсивности необосновано.
Исследования статистики распределения плотности вероятности для параметра формы т в (1) практически отсутствует, несмотря на множество работ, посвященных исследованию динамики микроструктуры дождя. Вероятные границы вариации приводятся, например в [18, 49]. Исходя из вышеизложенного, для моделирования можно использовать следующие параметры распределений в рядах исходных величин:
гамма-распределение для среднего диаметра капель Б0 за время измерения со средним значением 0,6 мм < Б0 < 1,6 мм и среднеквадратичным отклонением от 0 мм до 7 мм;
гамма-распределение для концентрации капель N за время измерения со средним
3 3 3 3
значением 100 м" < N < 800 м" и среднеквадратичным отклонением от 0 м" до 400 м" , что следует из распределения интенсивности (рис. 3);
нормальное распределение для т со средним значением т = 5 и среднеквадратичным отклонением от 0 до 1,5.
Используя ряды значений N и Б0, и т, можно получить оценки интенсивности дождя К Подставляя соответствующие величины в уравнение квадратичной регрессии с обобщенным мультипликативным коэффициентом (3) и применяя (5) или (7) в качестве сомножителя У можно получить значения для 2. Результаты расчета 2-Я соотношения с использованием моделей “временных” рядов по т, N0 Б0 и мультипликативного коэффициента (3) приведены на рис. 4 (параметры распределений плотности вероятности в рядах соответствуют строке 1 табл. 1). Как видно из диаграмм, модельные данные демонстрируют хорошее совпадение с результатами эксперимента.
Интенсивность дождя, мм/час б;
0.01 0.10 1.00 10.00 100.00 Интенсивность осадков Р (мм час-1)
а)
Рис. 4. Графики ссоотношения:
а - результаты расчетов с использованием обобщенного мультипликативного коэффициента квадратичной регрессии и модельных временных рядов с параметрами, совпадающими со строкой 1 табл. 1; б - реальные данные о 2-Я соотношении из [18]
В отличие от опубликованных ранее подходов к изучению 2-Я соотношения, подход, рассматриваемый в этой статье, позволяет с физически обоснованных позиций исследовать и интерпретировать факторы, влияющие на снижение показателя степени регрессии при переходе к конечным периодам измерений. В табл. 1 приведены некоторые результаты расчетов для различных распределений плотности вероятности в рядах т, N0 Б0.
Использование нормального и гамма-распределения для плотности вероятности в рядах т, N и Б0 приводит к тому, что обобщенный мультипликативный коэффициент А0(Я) ~ Я"0,5 в широком диапазоне средних значений и при различных распределениях плотности вероятности в исходных рядах (табл. 1 и рис. 5). Это факт объясняет предлагаемое в [30] значение показателя степени Ь = 1,5 при интенсивности дождя Я.
В случае узких распределений плотности вероятности в ряду Б0 показатель Ь в регрессионной модели 2-Я соотношения примерно равен единице независимо от характера распределений в рядах т, N (строки 2-4, 8-10 в табл. 1). Это в точности соответствует экспериментальным результатам [40], теоретически предсказанным в [38].
Можно полагать, что контактный прибор, который стационарно установлен на уровне земной поверхности, проводит накопление статистики на “вертикальной трассе”, в то время как прибор, установленный на самолете - на горизонтальной. При 30-секундных периодах усреднения контактных самолетных измерений статистика капель собирается на дистанции от нескольких сот метров до одного километра. Для выявления линейного характера 2-Я зависимости требуется, как минимум, три-пять подобных измерений (следовательно, общий период измерения - 3 минуты). Результаты [40] говорят о неизменном значении среднего диаметра распределения капель по размерам Б0 в этом случае.
Трассовые радиолокационные измерения [49], выполненные на уровне земной поверхности с использованием трасс примерно той же длины (180 м и 1000 м), подтверждают гипотезу о квазимонодисперсном “мгновенном” распределении капель по размерам в горизонтальном направлении в дожде.
0.10
1.00
10.00
100.00
Интенсивность осадков Р (мм час"1)
Рис. 5. Графики Z-R и АО - Л зависимостей:
1 - 2-Я зависимость, соответствующая строке 6 табл. 1; 2 - 2-Я зависимость, соответствующая строке 10 табл. 1; 3 - А-Я зависимость, соответствующая строке 6 табл. 1; 4 - А-Я зависимость, соответствующая строке 10 табл. 1; 5 - 2-Я зависимость, соответствующая строке 9 табл. 1;
6 - А-Я зависимость, соответствующая строке 9 табл. 1
Вполне вероятно, что пространственная структура некоторых типов дождей может быть такова, что для получения “постоянного” значения среднего диаметра распределения капель по размерам Б0 на времени измерения порядка 30 секунд достаточно изменить направление зондирования.
Таблица 1
Коэффициенты модели 2-Я соотношения (Колонка “Т” содержит тип распределения: О -гамма-распределение; N - нормальное распределение; и - равномерное распределение, для равномерного распределения указаны границы интервала вариации вместо среднего и
дисперсии)
№ Параметры распределения исходных величин для расчета обобщенного коэффициента (3) Коэффициенты регрессионной модели /(К)=А1КЬ+С1 Парам. к в зависим. Ао(К) = ОКк +с2 Коэффициенты регрессионной модели /=А2Кь Интенсивность дождя К Радиолокационная отражаемость дождя Ъ
т N0 »0 А1 Ь С к А2 Ь я 2 ОЪ
Т т От Т N 0 Т О 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 N 5 0.5 N 62 7.9 О 1 0.6 1644 1.4 -290 -0.45 850 1.46 - - - -
2 N 20 2 N 500 100 и 2 1.6 244 1.2 1036 -1.13 377 1.13 22.5 4.8 11700 2800
3 N 20 2 N 500 100 N 2 0 244 1.2 1036 -1.13 377 1.11 19.7 4.2 9500 2300
4 N 20 2 N 500 100 N 2 0.1 105 1.5 576 -0.88 377 1.07 20.1 6.5 10000 4700
5 N 5 1 N 500 150 N 2 0 262 1.4 3746 -1.08 442 1.25 27.3 8.7 28000 12000
6 и 4 7 N 500 150 N 2 0.3 120 1.6 737 -0.43 128 1.62 31.1 23.1 42000 56000
7 и 4 5 N 500 150 N 2 0.3 168 1.6 -490 -0.43 162 158 32.6 24.6 50000 62000
8 и 4 5 и 500 550 N 2 0.3 68.9 1.8 1322 -0.46 78.3 1.77 34.2 23.7 53000 65000
9 N 20 2 N 500 100 N 1 0 59 1.2 4.2 -1.12 62 1.06 0.6 0.12 36.3 8.2
10 N 20 2 N 500 150 N 2 0 251 1,18 938 -0.91 397 1.03 19.6 5.9 9400 3000
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей статье представлены результаты использования квадратичной регрессии с обобщенным мультипликативным коэффициентом (физически обоснованной в случае мгновенных измерений [42]) для моделирования Z-R соотношения с конечным временем измерения параметров R и Z. Ясное физическое содержание и простота интерпретации выгодно отличает представленную методику в ряду аналогичных, опубликованных до настоящего времени методик интерпретации Z-R соотношения.
Показана возможность получать значения показателя степени и мультипликативного коэффициента регрессии, совпадающие с экспериментальными и теоретическими результатами [10, 18, 30, 38, 40] не нарушая очевидных физических соотношений между радиолокационной отражаемостью Z и интенсивностью дождя R.
Приводимые соотношения могут рассматриваться как универсальные зависимости, связывающие микроструктуру дождя с интегральными радиолокационными и метеорологическими его характеристиками, в том числе при решении “обратных” задач радиолокационной метеорологии.
Хотелось бы обратить внимание на возможность использования регрессии со свободным членом (колонка 13 табл. 1). Как следует из приведенных расчетов, интервал вариации этого параметра достаточно широк. В первом приближении можно полагать, что свободный член регрессии C1 может нести информацию о характере формирования и вариации микроструктуры дождя (формируемые изменением диаметра, изменением количества или формы распределения). Физический смысл этого параметра, так же как и параметра С2 (табл. 1) требуют дальнейшего анализа и в настоящей статье не рассматривается. В расчетах, результаты которых отраженны в табл. 1, не придавалось значения контролю области определения по m квадратичной регрессии Z-R соотношения с использованием обобщенного мультипликативного коэффициента [42].
Модель, использованная в настоящей статье, является иллюстративной и в практических приложениях требует доработки. Учет разницы в средней (за время измерения) концентрации N0 и среднем (за время измерения) диаметре капель D0, которые используются для расчетов интенсивности дождя R и радиолокационной отражаемости Z, а также учет разницы в плотности воздуха (и соответственно скорости свободного гравитационного падения капель) на высоте радиолокационного зондирования и на уровне проведения контактных измерений, является основным направлением развития модели. Расчет радиолокационной отражаемости Z в этом случае следует использовать для корректировки значений D0 в (5) или (7).
ЛИТЕРАТУРА
1.Ryde J.W., 1946: The attenuation and radar echoes produced at centimeter wavelengths by various meteorological phenomena. Meteorological Factors in Radio Wave Propagation. Physical Society, London.
2.Laws J.O., Parsons D.A., 1943: The relation of raindrop size to intensity. Trans. Amer. Geophys. Union, 24.
3.Marshall J.S., Palmer W. McK., 1948: The distribution of raindrops with size. J. Meteorol., 5, 165-166.
4.Горелик А.Г. Исследование атмосферы методами доплеровской радиолокации. М.: МГАПИ, 1996.
5.Radar in Meteorology: Battan Memorial and 40-th Anniversary Radar Meteorology Conference (Ed. by D. Atlas), AMS, Boston 1991.
6.Rosenfeld D., Ulbrich C.W. Cloud Microphysical Properties, and Rainfall Estimation Opportunities (препринт первой главы монографии, представленный проф. Дэниэлом Розенфельдом, Hebrew University of Jerusalum, Israel, 2002).
7.Atlas D., Rosenfeld D., A.R. Jameson. Evolution of Radar Rainfall Measurements: Steps and Mis-steps.
8.Облака и облачная атмосфера. Справочник (составители И. П. Мазин, А. Х. Хргиан). Л: Гидрометеоиздат,
1989.
9.Боровиков А.М. и др. Радиолокационные измерения осадков. Л: Гидрометеоиздат, 1967.
10.Fujiwara M., 1965: Raindrop-size distribution from individual storms. // Journal of Atmosphere Science, V.22, 585-591.
11.Fujiwara M., Yanase T., 1968: Raindrop Z-R relationships in different altitudes. Preprints13th Rad. Meteor. Conf., Amer. Meteor. Soc, Boston, 380-383.
12.Atlas D., Chmela A.C., 1957: Physical-synoptic variations of raindrop size parameters. // Proceedings of 6th Weather Radar Conf., Cambridge, Massachusetts, Amer. Meteor. Soc, 21-29.
14.Горелик А.Г., Смирнова Г.А. О связи водности и интенсивности осадков с радиолокационной отражаемостью метеообъекта при различных параметрах распределения капель по размерам. // Труды ЦАО, Вып.48, 1963.
15.Joss J., Gori E.G., 1978: Shapes of raindrop size distributions. // Journal of Applied Meteorology, V.17, 10541061.
16.Twomey S., 1953: On the measurement of precipitation intensity by radar. // Journal of Meteorology, V.10, 66-67.
17.Ulbrich C.W., Atlas D., 1995: Generalized rain parameter relations applied to TOGA COARE data. Preprints, 27th Radar Meteorology Conf., Oct 9-13, 1995, Vail, Colorado, Amer. Meteor. Soc.
18. Левин Л.М. О функции распределения размеров облачных и дождевых капель. // ДАН СССР, Вып.94, с. 1045-1053.
19.Горелик А.Г. Статистические характеристики метеообъектов и их связь с физическими процессами в
атмосфере. // Дисс. на соискание степени д-ра. физ.-мат. Ленинград, 1969.
20.Deirmendjian D., 1969: Electromagnetic Scattering on Spherical Polydispersions. Elsevier.
21.Ulbrich C.W., 1983: Natural variations in the analytical form of the raindrop size distribution. // Journal of Climate Applied Meteorology, V.22, pp. 1764-1775.
22.Willis P.T., 1984: Functional fits to some observed drop size distributions and parameterization of rain. // Journal of Atmosphere Science, V.41, pp.1648-1661.
23.Srivastava R.C., 1971: Size distribution of raindrops generated by their breakup and coalescence. // Journal Atmosphere Science, V.28, pp.410-415.
24.Hu Z., Srivastava R., 1995: Evolution of the raindrop size distribution by coalescence, breakup and evaporation: Theory and observations. // Journal of Atmosphere Science, V.52, pp. 1761-1783.
25.Chandrasekar V., Bringi V.N., 1987: Simulation of radar reflectivity and surface measurements of rainfall. //
Journal of Atmosphere Oceanic Tech., V.4, pp.464-478.
26.Imai I., 1964: A fitting equation for raindrop-size distributions in various weather situations. Proceedings of 11th Weather Radar Conf., World Conf. on Radio Meteorology, Boulder, CO, 149A-149D.
27.Haddad Z.S., Durden S.L., Im E., 1996: Parameterizing the raindrop size distribution. // Journal of Applied Meteorology, V.35, pp.3-13.
28. Jameson A.R., Kostinski A.B., Spurious Power-Law Relations Among Rainfall and Radar Parameters. Q. J. R. Meteorology Society, V.129, pp.571-589, 2002.
29.Jameson A.R., Kostinski A.B., Reconsideration of The Phusical and Empirical Origins of Z-R relations in Radar Meteorology. Q. J. R. Meteorology Society, V.127, pp.517-538. 2001.
30.Jameson A.R., Kostinski A.B., When Is Rain Steady? // Journal of Applied Meteorology, V.41, pp.83-90.
31.Testud J., Oury S., Black R.A., Amayenc P., Dou X., 2001: The concept of “normalized” distributions to describe raindrop spectra: A tool for cloud physics and cloud remote sensing. // Journal of Applied Meteorology, V.40, pp.1118-1140.
32.Chandrasecar V., Bringi V.N., Dual Polarization Radars Estimates of Rainfall: Recent Advances. Sixth International Symposium on Hydrological Applications of Weather Radar, 2004.
33.Steiner M., Waldvogel A., 1987: Peaks in raindrop size distributions. // Journal of Atmosphere Science, V.44, pp. 3127-3133.
34.de Beauville C.A., Petit R.H., Marion G., Lacaux J.P., 1988: Evolution of peaks in the spectral distribution of raindrops from warm isolated maritime clouds. // Journal of Atmosphere Science, V.45, pp.3320-3332.
35.Valdez M.P., Young K.C., 1985: Number fluxes in equilibrium raindrop populations: A Markov chain analysis. // Journal of Atmosphere Science, V.42, pp.1024-1036.
36.List R., Low T.B., Donaldson N., Freire E., Gillespie J.R., 1987: Temporal evolution of drop spectra to collision equilibrium in steady and pulsating rain. // Journal of Atmosphere Science, V.44, pp.362-372.
37.Brown P.S., Jr., 1989: Coalescence and breakup- induced oscillations in the evolution of the raindrop size distribution. // Journal Atmosphere Science, V.46, pp. 1186-1192.
38.Donaldson N.R., 1984: Raindrop evolution with collision breakup: Theory and models. // Ph.D. Thesis, University of Toronto, 1984.
39.List R., 1988: A linear radar reflectivity-rainrate relationship for steady tropical rain. // Journal of Atmosphere Science, V.45, pp.3564-3572.
40.Литвинов И.В., Структура атмосферных осадков. Л.: Гидрометеоиздат, 1974.
41.Atlas D., Ulbrich C.W., 2000: An observationally based conceptual model of warn oceanic convective rain in the tropics. // Journal of Applied Meteorology, V.39, pp.2165-2181.
42.Горелик А.Г., Смирнова Г.И. О связи водности и интенсивности осадков с радиолокационной отражаемостью метеообъекта при различных параметрах распределения капель по размерам. // Труды ЦАО, Вып.48, 1963.
43.Г орелик А.Г., Коломиец С.Ф. О взаимосвязи радиолокационной отражаемости и интенсивности дождя. // Успехи современной радиоэлектроники, №11, 2006.
44.History of Radar Meteorology on Japan. Radar in Meteorology: Battan Memorial and 40-th Anniversary Radar Meteorology Conference (Ed. by D. Atlas), AMS, Boston 1991.
45.Peters O., Hertlein C., Christensen K., A Complexity View of Rainfall. PHYS ICAL REVIEW LETTERS, V.88, No.1, 2002.
46.MRR-2, Physical Basis, p. 21 (1998). Available from METEK GmbH, Fritz-Straflmann-Strafle 4, D-25337 Elmshorn, Germany.
47.Lavergnat J., Gole P., A Stochastic Raindrop Time Distribution Model. // Journal of Applied Meteorology, V.37, pp.805-818, 1998.
48.Быстров Р.П., Потапов А.А., Соколов А.В., Миллиметровая локация с фрактальной обработкой. М: Радиотехника, 2005.
49.Соколов А.В. Диссертация на соискание степени доктора технических наук. М: ИРЭ АН СССР, 1971.
50.Горелик А.Г., Князев Л.В., Мартынов С.И., Восстановление распределения капель дождя по размерам с помощью многоволновых трассовых измерений. // Труды Пятого всесоюзного совещания по радиометеорологии. М.: Гидрометеоиздат, 1984.
THE INTERPRETATION OF RADIOLOCATION MEASUREMENTS OBTAINED IN RAINS USING GENERALIZED MULTIPLICATIVE COEFFICIENT OF Z-R RELATION
S.F. Kolomiets
One of the possible methods of radiolocation data interpretation using the concept of generalized multiplicative coefficient in the Z-R relation offered by the author is discussed in the article. The method takes into account a finite period of measurement time. Theoretical results described in the article are in good agreement with the experimental results of different authors. Clear physical meaning of the relations given is a strong point of the approach distinguishing it from the approaches described in the literature up to date.
Сведения об авторе
Коломиец Сергей Федорович, 1980 г.р., окончил МГАПИ (2003), директор ПЦ Datagy компании Біа80Й, автор 5 научных работ, область научных интересов - системный анализ, электродинамика и статистическая физика.
