О взаимодействии резонансов третьего и четвертого порядков в гамильтоновой системе с двумя степенями свободы Текст научной статьи по специальности «Физика»

Нелинейная динамика. 2015. Т. 11. № 4. С. 671-683. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru

ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ

УДК: 531.36

М8С 2010: 70Н05, 70Н14, 70Н15, 70К45

О взаимодействии резонансов третьего и четвертого порядков в гамильтоновой системе с двумя степенями свободы

О. В. Холостова

Рассматриваются движения периодической по времени гамильтоновой система с двумя степенями свободы в окрестности положения равновесия, устойчивого в линейном приближении. Предполагается, что в системе реализуются одновременно слабый комбинационный резонанс третьего и сильный резонанс четвертого порядков. Исследуется характер движений приближенной (модельной) системы в зоне устойчивости резонанса четвертого порядка. Выявлены области значений параметров (коэффициентов нормализованного гамильтониана), для которых все движения системы, начинающиеся в достаточно малой окрестности положения равновесия, ограничены, получена оценка области ограниченности. Описано возмущающее влияние двойного резонанса на движения системы в пределах области ограниченности.

Ключевые слова: гамильтонова система, каноническое преобразование, метод нормальных форм, двойной резонанс, устойчивость

Получено 18 августа 2015 года После доработки 08 октября 2015 года

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-21-00068) в Московском авиационном институте (Национальном исследовательском университете).

Холостова Ольга Владимировна [email protected]

Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет) 125993, Россия, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское ш., д. 4

1. Введение

Характер колебаний системы в окрестности положения равновесия при наличии линейного соотношения между ее собственными частотами впервые исследован в статьях [1—3]. К настоящему времени работы, изучающие устойчивость частных решений (положений равновесия и периодических решений) механической системы и характер поведения системы в их окрестности при наличии резонансов, составляют обширную библиографию. При этом случаи, когда в системе реализуется только один резонанс, исследованы весьма полно. Подробное изложение результатов и литература по данной тематике содержатся в работах [4-6] по гамильтоновым и в обзоре [5] по негамильтоновым системам. Нелинейные колебания периодических по времени гамильтоновых систем с одной степенью свободы при резонансах и в случаях, близких к резонансным, в том числе в случае вырождения гамильтониана, подробно описаны в работе [7].

Существенно более сложной является проблема взаимодействия в механических системах двух или нескольких резонансов, здесь остается много нерешенных вопросов.

Устойчивость положения равновесия автономной негамильтоновой системы при наличии нескольких резонансов одного порядка рассмотрена в работах [8-11]. Взаимное влияние нескольких резонансов третьего порядка на устойчивость положения равновесия многомерной автономной гамильтоновой системы исследовано в работах [12, 13].

В статьях [14, 15] и монографии [16] рассмотрен вопрос об устойчивости тривиального равновесия периодической по времени линейной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в случаях двойного параметрического резонанса, построены области устойчивости и неустойчивости. Полученные результаты применены при решении ряда задач динамики спутников [16].

В работе [17] исследовано влияние двойного резонанса третьего порядка на устойчивость положения равновесия периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Показана неустойчивость положения равновесия для любых вариантов взаимодействия резонансов, в том числе для случая двух слабых резонансов третьего порядка, проведено подробное исследование нелинейных колебаний соответствующих модельных систем.

В данной работе для периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы исследуется случай взаимодействия слабого комбинационного резонанса третьего порядка и сильного (основного) резонанса четвертого порядка, в зоне устойчивости последнего. Показано, что существуют области параметров (коэффициентов нормализованного гамильтониана), в которых все движения приближенной (модельной) системы ограничены, получена оценка области ограниченности движений. Этот результат является обобщением проведенного ранее исследования задачи о треугольных точках либрации плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел в случае рассматриваемого кратного резонанса [18]. В работе также выявлено, что взаимодействие двух резонансов, каждый из которых не приводит к неустойчивости, оказывает возмущающее воздействие на движения модельной системы в пределах области ограниченности.

2. Постановка задачи. Преобразование гамильтониана

Рассмотрим движения неавтономной 2^-периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Пусть начало координат фазового пространства — положение равновесия системы, устойчивое в линейном приближении. Характеристические

показатели ±гАз (] = 1, 2) соответствующей линеаризованной системы уравнений возмущенного движения чисто мнимые.

Будем считать, что величины Аз, 2Аз и Х\ ± А2 не являются целыми числами, тогда квадратичная часть гамильтониана возмущенного движения может быть приведена к нормальной форме и гамильтониан Н системы запишется в виде

Н(д3,р3,1) = ± А1 (я1+р1) + |(тЛ2 {я22 +р1) + Н3(д3,р3,1) + Щ(д3,р3,1) +05. (2.1)

Здесь д3 и pj (у = 1, 2) — обобщенные координаты и импульсы, коэффициент а может принимать значения 1 или —1, величины Аз считаем положительными. Слагаемые Н^(3,Рз,Ь) (к = 3, 4) обозначают совокупность членов к-й степени, а О5 — совокупность членов не менее пятой степени относительно возмущений с 2^-периодическими по Ь коэффициентами.

Если величины А1 и А2 связаны соотношением

Ш1А1 + Ш2Л2 = £, (2.2)

где Ш1, Ш2, £ — целые числа и |ш1| + |ш2| = к, то в системе реализуется резонанс порядка к. Введенные ограничения на величины Аз означают, что в системе нет резонансов первого и второго порядков.

По аналогии с определениями, принятыми при исследовании параметрического резонанса в линейных системах [19], будем называть резонанс основным, если в резонансном соотношении (2.2) присутствует только одна из величин Аз, и комбинационным, если в (2.2) имеются обе величины А1 и А2. Основной или комбинационный резонанс назовем сильным, если его присутствие может привести к неустойчивости в системе; комбинационный резонанс назовем слабым, если его наличие не приводит к неустойчивости [5].

Пусть пара А1, А2 определяется одним из следующих наборов соотношений:

А1 = ** + !, = + (2.3)

А1 = к1 + |, А 2 = к2 + %, (2.4)

где к1, к2 — целые числа, а п = 1, 3, 5, 7.

В случае (2.3) величины 2А1 + А2 и 4А2 являются целыми, а в случае (2.4) — величины 2А1 — А2 и 4А2. Таким образом, в системе имеются одновременно комбинационный (сильный или слабый) резонанс третьего порядка и основной (сильный) резонанс четвертого порядка.

Осуществим в системе ряд канонических замен переменных, приводящих гамильтониан (2.1) к виду, главная (модельная) часть которого характерна для рассматриваемых резонансов. Сначала при помощи близкой к тождественной 2^-периодической по времени канонической замены переменных дз,рз — (¡3,рз (у = 1,2) уничтожим в членах третьей и четвертой степеней слагаемые с нерезонансными гармониками. В «полярных» координатах Г/, определяемых формулами д3 = .^/2г3 эш ф3, р3 = .^/2г3 соэ ф3 (] = 1,2), преобразованный гамильтониан в случае (2.3) запишется в виде

.—. 1/2

Н = А1Г1 + аА2Г2 + а Т1Т<{ оо8[2ф1 + а( — (2А1 + А2)Ь + 2ф1 + аф2] +

(2.5)

+ С20Г2 + С11Г1Г2 + С02г| + ¡Зт1 008(4ф2 — 4А2 Ь + 4ф2) + О5/2.

Здесь а, /3,Сц, ф* — постоянные величин, а О5/2 — совокупность слагаемых пятой и более высокой степеней относительно т1/2 (у = 1, 2).

Осуществим далее унивалентное каноническое преобразование pj, rj — Фj, Rj (j = 1, 2), задаваемое производящей функцией

5 = (pi + pi - Aii)Ri + p + p2 " ^A2i)R2 (2.6)

и определяемое формулами

Ri = ri, R2 = Г2, Ф1 = Pi + P* - Ait, Ф2 = P2 + p2 - °A2t. (2.7)

В преобразованном гамильтониане пропадет линейная по Rj часть, а в резонансных гармониках в слагаемых третьей и четвертой степеней уничтожится время:

H* = aRiR2/2 cos^i + аФ2) + С20R? + cn RiR2 + (С02 + в cos 4Ф1 )R2 + O5/2. (2.8)

Здесь O5/2 — совокупность слагаемых, период которых по времени равен 16^.

Резонансные коэффициенты a и в в гамильтониане (2.8) считаем положительными, чего всегда можно добиться сдвигом по Фj. Коэффициент С20 также считаем положительным; если это не так, то делаем каноническое преобразование (с валентностью -1), меняя Ф^-на —Фj. Величины Сц и С02 могут принимать произвольные значения.

В случае (2.4), аналогично, уничтожим в членах третьей и четвертой степеней гамильтониана (2.1) слагаемые с нерезонансными гармониками и приведем его к виду (2.5), в котором изменен на противоположный знак перед A2 в первой резонансной гармонике. Делая затем замену переменных (2.7), получим гамильтониан вида (2.8), в котором надо поменять а на -а.

Осуществим в найденных гамильтонианах еще одну каноническую замену переменных Фj, Rj — pj, Qj (j = 1, 2) и введем новое «время» т по формулам

Фj = pj, Rj = kQj (k = (a/c20)2), т = (a2/С20)t.

Придавая величине а значения, равные 1 и —1, получим два гамильтониана, характерных для рассматриваемых резонансных случаев (2.3) и (2.4):

Г1 = Q1Q2/2 COs(2pi + P2) + Q2 + 711Q1Q2 + (702 + С COs4pi)Q2 + O5/2, (2.9)

Г2 = QiQ1/2 cos(2pi - P2) + Q2 + 711Q1Q2 + (702 + Сcos4pi)Q2 + O5/2. (2.10)

Здесь константы 711 = c11 /c20 и 702 = c02/c20 произвольны, а С = в/с20 > 0.

Резонанс третьего порядка в системе с гамильтонианом (2.9) сильный, и тривиальное положение равновесия неустойчиво независимо от членов более высоких порядков. Эту систему далее не рассматриваем.

В системе с гамильтонианом (2.10) резонанс третьего порядка слабый, так как при отсутствии резонанса четвертого порядка в ней имеется положительно определенный формальный интеграл. Резонанс четвертого порядка в этой системе сильный: при условии I7021 < С тривиальное положение равновесия неустойчиво как при отсутствии резонанса третьего порядка [4], так и при его наличии. В последнем случае система имеет частное решение Qi = 0, а изменение второй пары переменных соответствует неавтономной гамиль-тоновой системе с одной степенью свободы при резонансе четвертого порядка в области неустойчивости ее тривиального решения (см., например, [7]).

Пусть выполняется неравенство

I702I >С. (2.11)

Тогда, при отсутствии резонанса третьего порядка, исследуемое равновесие устойчиво при учете в гамильтониане членов не выше второго порядка относительно д^ (] = 1, 2) [4].

Далее будем считать, что параметры задачи удовлетворяют условию (2.11). Отбрасывая в формуле (2.10) последнее слагаемое, получим приближенный (модельный) гамильтониан. Отвечающую ему систему также будем называть модельной. Цель работы — исследование взаимного влияния слабого резонанса третьего порядка и сильного резонанса четвертого порядка, в зоне его устойчивости, на движения модельной системы в окрестности положения равновесия д\ = £2 = 0.

3. Исследование модельного гамильтониана

Система с гамильтонианом (2.10) (без последнего слагаемого) автономна и имеет первый интеграл — интеграл энергии. Будем исследовать движения системы на фиксированных уровнях энергии h = const. Перепишем интеграл энергии, рассматривая его как квадратное уравнение относительно величины Qi, в виде

F(Qi) = Qi + bi ^ + cos ^) ^! + (т(ф2)б2 ~ h) = 0. (3.1)

Здесь введены обозначения Ф1 = 2pi - P2, Ф2 = 4p2, m(^2) = 702 + С cos ^2. В силу условия (2.11) величина т(ф2) сохраняет на движениях системы постоянный знак, обозначим через т± = 702 ± С ее граничные значения. Дискриминант уравнения (3.1) равен

f (u) = (721 - 4m(^2)) u4 + 2711 cosu3 +cos2 u2 + 4h (u = q2/2 > 0). (3.2)

В свою очередь, производная функции f (u) определяется выражением

f'(u) = 2u[2(721 - 4m(^2))u2 + 3711 cos u + cos2 ^j,

а дискриминант стоящего в скобках квадратного относительно u трехчлена равен cos2 ^i(7ii +32m(^2)). При выполнении неравенства т(^) < -7ii/32 функция f (u) имеет одну точку экстремума в начале координат (точку минимума), в противном случае — три точки экстремума: u = 0 и

- З711 ± Vrii + 32™ш

и =---соэ 01. (3.3)

АЫ.-АтШ)

При этом на положительной полуоси и > 0 функция f (и) может иметь одну или две точки экстремума и от нуля до трех корней. Подробный алгебраический анализ этой функции был проведен во всем допустимом диапазоне изменения параметров задачи и константы энергии.

Для существования движений модельной системы при заданном значении константы Н необходимо, чтобы уравнение (3.1) имело положительные вещественные корни. Для этого достаточно потребовать, чтобы либо удовлетворялась система неравенств

ш(ф2)и4 - Н> 0, 7ии + 0)8^1 < 0, f (и) > 0, (3.4)

либо было выполнено условие

то#2)и4 - Н< 0. (3.5)

В случае (3.4) уравнение (3.1) имеет два вещественных положительных корня (две ветви решения)

£ = 1 [-(711 ^ + сов фг) ^ ± \!Пв1/2)]. (3.6)

В случае (3.5) уравнение имеет единственный положительный корень (одну ветвь решений), описываемый соотношением (3.6), в котором выбран верхний знак.

В остальных случаях движения модельной системы невозможны.

Не вдаваясь в детали, перечислим возможные варианты решения неравенств (3.4) и (3.5). Анализ показал, что для всех допустимых значений параметров задачи решение системы (3.4) сводится к рассмотрению первого и третьего неравенств. В области, задаваемой условием Нт(^2) > 0, введем обозначение

й=(ЧттУ/4 (з-?)

\т(ф2)/

для корня левой части в первом неравенстве (3.4). Отметим, что точка и = и лежит в области неотрицательных значений функции / (и), так как / (и) = и2(7п и + 008^1)2 ^ 0.

3.1. Случаи одной ветви решений. Из неравенства (3.5) сразу следует, что при т(^2) > 0 случай одной ветви реализуется, если Н > 0, а величина и удовлетворяет условию

и <и. (3.8)

Если же т('ф2) < 0, то неравенство (3.5) удовлетворяется при Н ^ 0 и любых положительных и, а также при Н < 0 и условии и > и.

3.2. Случаи двух ветвей решений. При т(фц) < 0 случаи двух ветвей решений возможны только при отрицательных значениях Н. Если 7ц < 0, то Н может принимать любые отрицательные значения. Если же 7ц > 0, то диапазон Н ограничен интервалом Н1 < Н < 0 в области т- < —75!1 /32 и интервалом ш1п(Н1,Н'1) < Н < 0 в области —^п/32 < т- < 0, где

т- 1 711 — 807121 т- — 128т- + 7и ^ +32т-)3/2

Л ■! = — Л'1 = " ¿9*, 9* =-—т-2---^-• (3-9)

711 4 32(721 — 4т-)3

Величина д* здесь и в рассматриваемых далее случаях положительна.

Для этих значений Н функция / (и) имеет один или три положительных вещественных корня, а решение системы (3.4) задается одним или двумя интервалами, лежащими внутри интервала (3.8).

При т(^2) > 0 в области, задаваемой условиями 711 < 0, т+ < ^^/4, константа энергии может принимать любые вещественные значения. Диапазон возможных значений величины и неограничен и, в зависимости от Н, задается либо интервалом и > и, либо содержит точки, лежащие правее наибольшего из вещественных положительных корней многочлена /(и).

В областях

711 < 0, т+ > 7?1/4, (3.10)

711 > 0, т(^2) > 0 (3.11)

множества допустимых значений Н задаются неравенствами Н ^ Н\ и Н\ ^ Н ^ Н2 соответственно, где граница Н\ (Н1 < 0) определена в (3.9), а Н2 = т+/741 > 0. Графики

(а) (Ь) (с)

Рис. 1

функции / (и) для точек из области (3.10) и симметричной ей (при замене 711 на —711) части из области (3.11) показаны на рисунках 1а-с для случаев отрицательных, нулевого и положительных значений Н соответственно. Штриховкой показаны интервалы оси Ои, точки которых удовлетворяют системе (3.4). Для оставшейся части области (3.11) графики функции / (и) и интервалы решений системы (3.4) совпадают при и < и" с изображенными на рисунке 1, а при и > и", где эти графики могут различаться, дополнительных решений нет.

Укажем, что в точке максимума на рисунке 1 имеем и = и+ и

/ (и+) = 4Н + д(т(ф2)) сов4 ф1, (3.12)

74! - 80721т#2) - 128т2(02) + 7п(7п + 32тЩ)3/2

д(т(ф2)) =-—--2- з-•

32(^11 — 4т(^)Г

В рассматриваемой области д(т) — монотонно убывающая функция т, ее наибольшее значение достигается в точке т = т- и равно д* (см. формулу (3.9)).

Из результатов разделов 3.1 и 3.2 следует, что для значений параметров гамильтониана вне областей (3.10), (3.11) существуют интервалы изменения Н и диапазоны начальных условий, для которых величина и может либо оставаться в ограниченном диапазоне, либо (при фиксированном Н) принимать сколь угодно большие значения. В то же время для точек областей (3.10), (3.11) величина и всегда ограничена (вместе с Н). Тогда, в силу соотношения (3.6), ограниченными оказываются и допустимые значения величины п, а значит, и соответствующие движения модельной системы.

3.3. Область ограниченности движений для областей (3.10), (3.11). На нулевом уровне энергии имеем (см. рис. 1Ь) 0 < и < и0, где

< = <-= < (3.13)

7121+2-^Ш 7п + 2 у/тЗ

и, следовательно,

62 < (<)2. (3.14)

В рассматриваемом диапазоне величины и функция / (и) меняется в интервале 0 ^ /(и) ^ /(и+ )|^=о ^д*. Отсюда, анализируя соотношения (3.6), найдем, что в случае (3.10) для двух ветвей функции 61 можно дать оценки вида

вг < " Ъ1<) + л/Ш), 91 < \<(1 ~ Ъ1<), (3-15)

а в случае (3.11) справедливы неравенства

Для движений, соответствующих отрицательным уровням энергии, величина u меняется в интервале u' < u < u" (рис. 1a). Так как, очевидно, справедливо соотношение u" < u0, на рассматриваемых движениях величина удовлетворяет неравенству (3.14). При этом величина д- для значений параметров из областей (3.10) и (3.11) может быть оценена вторыми соотношениями в формулах (3.15) и (3.16) соответственно, величина д+ — соотношениями

et < - 711<) + Va* + 4/г), et < \ + Va* + 4/г). (3.17)

Из выписанных оценок следует, что все движения модельной системы на неположительных уровнях энергии происходят в области, оцениваемой неравенствами (3.14) и (3.15) (или (3.16)).

Рассмотрим положительные уровни энергии. В исследуемых областях в случае двух ветвей имеем и < u < u'' (см. рис. 1c). Для оценки правой границы u'' заметим, что корень u = u'' многочлена f (u), рассматриваемый как функция величин m(^2) и cos ф\, монотонно убывает с ростом этих величин. Поэтому при фиксированном значении h справедливо неравенство u'' ^ u^ (h), где u(h) — меньший (или единственный) вещественный положительный корень уравнения

(y?i - 4m-)u4 - 2711 u3 + u2 + 4h = 0. (3.18)

При этом для малых положительных значений константы h имеем

u'Uh) = и4 + -^=(7ii + 2>7Г)2 + 0(h2).

тВ случае одной ветви решений должно быть выполнено условие (3.8), поэтому

Н ч1/4

Ш=) • (з-19)

Если ограничить положительные значения Н интервалом 0 < Н ^ Н2, то ипах < и^ (Н) и на рассматриваемых движениях имеем для величины £2 оценку

£2 < (<*(Н))2. (3.20)

Далее, в области (3.10) и симметричной ей части области (3.11) для функции /(и)

имеем

/(и) < д^ах. (3.21)

Величина д'тах (верхний предел для значений функции / (и) в точке максимума) получается из введенной в (3.9) величины д* путем замены 711 на \ в последнем слагаемом числителя. На нижних ветвях решений для £1 при 711 < 0 и 711 > 0 справедливы вторые соотношения (3.15) и (3.16) соответственно, а на верхних ветвях решений — соотношения (3.17), в которых сделана замена д* на д^ах.

Рассмотрим оставшуюся часть области (3.10). Если функция /(и) имеет два вещественных положительных корня (в случаях двух ветвей и части случаев одной ветви решений), то на рассматриваемых движениях она также может быть ограничена величиной д^ах. При отсутствии корней на положительной полуоси (в другой части случаев одной ветви решений) следует считать наибольшее значение выражения /(и) в точке и = и, равное < = итах(711 итах + 1)2. Взаимное расположение величин д^ах и и зависит от параметров задачи и выбранного значения константы Н. Так, при малых положительных Н имеем дтах > и, в то время как для наибольшего рассматриваемого значения Н = Н2 выполняется неравенство с противоположным знаком.

Таким образом, в рассматриваемой области имеем оценку

/(и) < дтах = тах(д'тах,ди), (3.22)

а область ограниченности величины 61 для нижних и верхних ветвей описывается вторыми соотношениями (3.16) и (3.17), причем в последнем из них сделана замена д* на д(^ах.

Из полученных оценок следует, что область движений модельной системы, оставаясь конечной, может составлять достаточно малую окрестность точки 61 = 62 = 0, этого можно добиться соответствующим подбором параметров.

4. Область ограниченности движений в задаче о треугольных точках либрации в случае двойного резонанса

Рассмотрим исследуемый случай двойного резонанса в задаче об устойчивости треугольных точек либрации плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел. Пусть т1 и т2 — массы основных притягивающих тел (т1 > т2), е — эксцентриситет их эллиптических орбит. Положение пассивно гравитирующей точки зададим при помощи переменных Нехвила £, п, сопряженные с ними импульсы обозначим через р^, рц. Треугольной точке либрации отвечает частное решение

_ 1-211 _ д/з _ _л/3 _ 1-211 _ >т2

4о - 2 , г]о - 2 , РЦо - 2 ' Рт ~ 2 ' ^ ~ пи + ш2'

соответствующей канонической системы уравнений.

В допустимой части плоскости (е,ц) параметров задачи имеется точка ео = 0.1218928, ^о = 0.03871614 пересечения кривой А1 — 2А2 = 2 слабого резонанса третьего порядка и кривой 4А1 = 3 резонанса четвертого порядка; для всех точек последней имеет место устойчивость в четвертом приближении [4].

При указанных значениях параметров нормализованный до членов четвертой степени гамильтониан возмущенного движения имеет вид, аналогичный (2.5) (за независимую переменную принята истинная аномалия V) [18]:

Я = 3/4 п - 5/8 г2 + ay/nr2 cos[(v?i - 2- 2и + (у* - +

+ c2orf + cnrir2 + С02+ fîrf cos(4^i - + 4lp\) + O5/2, C20 = 33.163288, cii = 177.906428, C02 = 45.864546, a = 1.865459, в = 9.432877, pi = -0.340400, p2 = -0.449319.

(4.1)

После проведения преобразований, описанных в разделе 2, гамильтониан принимает характерный вид (2.10), в котором индексы 1 и 2 у величин £3 и ^ следует поменять местами и принять

711 = 3.878953, 702 = 0.723070, £ = 0.205668. (4.2)

Параметры (4.2) лежат в области (3.11), откуда следует, что все движения модельной системы ограниченны.

Рассмотрим приближенную систему с гамильтонианом (4.1) (с отброшенным последним слагаемым). Интервалы возможных значений соответствующей константы энергии Н в случае двух ветвей решений имеют вид

-0.115991 • 10"6 < Н < 0.514929 • 10"6.

Случай одной ветви (реализуемый при любых Н > 0) ограничим тем же интервалом положительных значений.

Воспользовавшись результатами раздела 3 (см. также [18]), найдем, что на отрицательных и нулевом уровнях энергии величины п и Г2 меняются в пределах интервалов

П < 0.585048 • 10"4, п < 0.103599 • 10"3. (4.3)

На положительных уровнях энергии имеем оценки

П < 0.147306 • 10"3, Г2 < 0.585833 • 10"3. (4.4)

Таким образом, область движений приближенной системы в окрестности исследуемого решения оказывается весьма малой.

5. О характере движений модельной системы внутри области ограниченности

Для выявления характера движений модельной системы в пределах области ограниченности было проведено численное интегрирование дифференциальных уравнений движения.

Рисунок 2 иллюстрирует типичное поведение функции р2 = р2(Ь) при фиксированном значении параметров 711 и 702 и различных значениях резонансного коэффициента £. Принято, что 711 = 4, 702 = 2, а £ = 0 (рис. 2а), £ = 0.4 (рис. 2Ь), £ = 0.8 (рис. 2с), £ = 1.2 (рис. 2ё), £ = 1.5 (рис. 2е), £ = 1.9 (рис. 2£). Исследуемые движения соответствуют верхней ветви нулевого уровня энергии и исходят из одной и той же начальной точки (01(0),02(0),р2(0)). Горизонтальные прямые на рисунке 2 отвечают максимальным значениям величины р2, определенным в (3.14).

При отсутствии резонанса четвертого порядка (рис. 2а) движения модельной системы в окрестности (устойчивого) тривиального равновесия периодические, «плавные». При появлении второго резонанса (случаи £ > 0) свойство периодичности утрачивается, возникают «всплески» (рис. 2Ь), сначала небольшие, их амплитуда растет с ростом £. При £ = 0.8 (рис. 2с) «всплески» становятся весьма выраженными («пики»), они достаточно близко подходят к верхней границе возможных значений р2. С последующим ростом £ характер движения уже существенно не меняется (рис. 2ё-£). Совершенно аналогично поведение функции Р1 = р+1 (¿) на этих движениях.

1500

0 1000 2000 3000 4000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 (с) (d)

0.04-

0.03-

0.02-

0.01-

1000 2000 3000 4000 5000 (е)

1000 2000 3000 4000 (f)

Рис. 2

Для движений, отвечающих нижней ветви pi = р-i, характер движений модельной системы схож, однако переход к «пикообразному» характеру происходит при больших значениях величины

Отметим, что в обоих случаях «всплески» с большой амплитудой появляются для значений достаточно удаленных от границы области устойчивости резонанса четвертого порядка. Их появление вызвано взаимодействием двух имеющихся в системе резонансов; каждый из них по отдельности не приводит к неустойчивости, однако их взаимное влияние в целом «возмущает» движения модельной системы.

Описанный характер движений наблюдается не всегда: при другом выборе начальных условий и (или) уровня энергии характер движений модельной может оставаться достаточно «плавным» вплоть до значений близких к граничному.

Численные расчеты были проведены и в тех областях параметров модельной системы, в которых ограниченность движений не была установлена аналитически. Для проверенных случаев движения системы оказались ограниченными и имели схожий с предыдущим описанием характер поведения.

Список литературы

[1] Korteweg D.J. Sur certaines vibrations d'ordre supérieur et d'intensité anormale — vibrations de relations, — dans les mecanismes a plusieurs degrés de liberte // Arch. Neerl. sci. exactes et natur. Ser.2, 1898, vol. 1, pp. 229-260.

[2] Beth H. I.E. Les oscillations autour d'une position dans le cas d'existence d'une relation lineaire simple entre les nombres vibratoires // Arch. Neerl. sci. exactes et natur. Ser. 2, 1910, vol. 15, pp.246-283.

[3] Beth H. I.E. Les oscillations autour d'une position dans le cas d'existence d'une relation lineaire simple entre les nombres vibratoires (suite) // Arch. Neerl. sci. exactes et natur. Ser. 3A, 1912, vol. 1, pp. 185-213.

[4] Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. Москва: Наука, 1978.

[5] Куницын А. Л., Маркеев А. П. Устойчивость в резонансных случаях. (Итоги науки и техники. Сер. Общая механика, т. 4.) Москва: ВИНИТИ, 1979. С. 58-139.

[6] Маркеев А. П. Устойчивость гамильтоновых систем // Нелинейная механика / В. М. Матросов, В.В.Румянцев, А. В. Карапетян. Москва: Физматгиз, 2001. С. 114-130.

[7] Холостова О. В. Исследование нелинейных колебаний гамильтоновых систем с одной степенью свободы при резонансах: Учебн. пособ. Москва: МАИ, 2011. 96 с.

[8] Куницын А. Л. Об устойчивости в критическом случае чисто мнимых корней при внутреннем резонансе // Дифференциальные уравнения, 1971, т. 7, №9, с. 1704-1706.

[9] Хазина Г. Г. Некоторые вопросы устойчивости при наличии резонансов // ПММ, 1974, т. 38, №1, с. 56-65.

[10] Куницын А. Л., Медведев С. В. Об устойчивости при наличии нескольких резонансов // ПММ, 1977, т. 41, №3, с. 422-429.

[11] Куницын А. Л., Ташимов Л. Т. Некоторые задачи устойчивости нелинейных резонансных систем. Алма-Ата: Гылым, 1990. 196 с.

[12] Хазин Л. Г. Об устойчивости положения равновесия гамильтоновых систем дифференциальных уравнений: (Взаимодействие резонансов третьего порядка): Препринт № 133. Москва: Ин-т прикладной математики АН СССР, 1981. 20 с.

[13] Хазин Л. Г. Взаимодействие резонансов третьего порядка в задачах устойчивости гамильтоно-вых систем // ПММ, 1984, т. 48, №3, с. 494-498.

312с.

[14] Маркеев А. П. О кратном резонансе в линейных системах Гамильтона // Докл. РАН, 2005, т. 402, №3, с. 339-343.

[15] Маркеев А. П. О кратном параметрическом резонансе в системах Гамильтона // ПММ, 2006, т. 70, №2, с. 200-220.

[16] Маркеев А. П. Линейные гамильтоновы системы и некоторые задачи об устойчивости движения спутника относительно центра масс. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ин-т компьютерных исследований, 2009. 396 с.

[17] Холостова О. В. О движениях гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при наличии кратных резонансов третьего порядка // Нелинейная динамика, 2012, т. 8, №2, с. 267-288.

[18] Kholostova O. Stability of triangular libration points in a planar restricted elliptic three body problem in cases of double resonances // Int. J. Nonlinear Mech., 2015, vol. 73, pp. 64-68.

[19] Якубович В. А., Старжинский В. М. Параметрический резонанс в линейных системах. Москва: Наука, 1987. 328 с.

The interaction of resonances of the third and fourth orders in a Hamiltonian two-degree-of-freedom system

Olga V. Kholostova

Moscow Aviation Institute (National Research University) Volokolamskoe Shosse, 4, GSP-3, A-80, Moscow, 125993, Russia [email protected]

The motion of a time-periodic two-degree-of-freedom Hamiltonian system in the neighborhood of the equilibrium being stable in the linear approximation is considered. The weak Raman third-order resonance and the strong fourth-order resonance are assumed to occur simultaneously in the system. The behavior of the approximated (model) system is studied in the stability domain of the fourth-order resonance. Areas of the parameters (coefficients of the normalized Hamiltonian) are found for which all motions of the system are bounded if they begin in a sufficiently small neighborhood of the equilibrium. Boundedness domain estimate is obtained. A disturbing effect of the double resonance on the motion of the system within the boundedness domain is described.

MSC 2010: 70H05, 70H14, 70H15, 70K45

Keywords: Hamiltonian system, canonical transformation, method of normal forms, double resonance, stability

Received August 18, 2015, accepted October 08, 2015

Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2015, vol. 11, no. 4, pp. 671-683 (Russian)