CC BY
4Нелинейная динамика. 2015. Т. 11. № 1. С. 99-116. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru
УДК: 531.36
М8С 2010: 70Е17, 70Е20,70Н14
Об устойчивости частных движений тяжелого твердого тела, обусловленных быстрыми вертикальными вибрациями одной из его точек
О. В. Холостова
Рассматривается движение тяжелого твердого тела, одна из точек которого совершает заданные высокочастотные гармонические колебания вдоль вертикали. В рамках приближенной автономной системы дифференциальных уравнений движения найдены два новых типа перманентных вращений тела вокруг вертикали, обусловленных наличием быстрых вибраций и не существующих в случае тела с неподвижной точкой. Исследован вопрос об устойчивости этих движений.
Ключевые слова: твердое тело, быстрые вибрации, перманентные вращения, устойчивость, резонанс
1. Введение
Начало изучению влияния высокочастотных вибраций на движение твердого тела и системы твердых тел положила работа [1], где были получены условия устойчивости перевернутого маятника с вибрирующим подвесом. Последующие исследования по данной тематике составляют обширную библиографию. Еще до недавнего времени такие исследования касались, в основном, маятниковых систем при различных вариантах вибрации точек подвеса. Рассматривались математический [2-7], физический [8], сферический [9] маятники, двойные маятники [7, 10, 11]. Изучалась динамика волчка Лагранжа с вибрирующим подвесом [12]. Большое число ссылок можно найти в работах [7, 13].
Получено 22 октября 2014 года После доработки 16 декабря 2014 года
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-21-00068) в Московском авиационном институте (национальном исследовательском университете).
Холостова Ольга Владимировна kholostova_o@mail.ru
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) 125993, Россия, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское ш., д. 4.
В недавних работах [14, 15] получены приближенные автономные дифференциальные уравнения типа уравнений Эйлера-Пуассона, описывающие движение твердого тела с произвольной геометрией масс в предположении, что одна из точек тела (точка подвеса) совершает произвольные периодические или условно периодические вибрации высокой частоты и малой амплитуды. В рамках этой приближенной системы был исследован ряд частных движений твердого тела. Для случая вертикальных вибраций точки подвеса решена задача о существовании и устойчивости относительных равновесий тела с произвольной геометрией масс, для которых прямая, содержащая центр масс и точку подвеса, вертикальна или наклонена к вертикали [15, 16]. Исследовано влияние быстрых периодических и условно-периодических вибраций точки подвеса на существование и устойчивость известных частных движений волчка Лагранжа — стационарных вращений вокруг вертикали и регулярных прецессий [17].
Еще один класс частных движений тела с неподвижной точкой составляют перманентные вращения вокруг вертикали, впервые описанные в работах [18, 19]. Наибольшее число работ посвящено изучению устойчивости перманентных вращений вокруг главной оси, содержащей центр масс тела. Различные аспекты линейного и нелинейного анализа устойчивости этих движений рассмотрены в работах [20-27]. Полное решение задачи во всем диапазоне параметров осуществлено в монографии [27], здесь же приводится подробная библиография.
Другой аспект исследуемой проблемы — вопросы существования и устойчивости новых типов стационарных режимов, возникающих вследствие вибраций и отсутствующих у тела с неподвижной точкой. В данной работе, в рамках приближенной системы, рассматриваются два новых типа стационарных движений твердого тела, обусловленных наличием быстрых вертикальных гармонических вибраций точки подвеса. Первый тип представляет коническое движение вокруг вертикали несимметричного тела с центром масс на главной оси инерции. Второй тип движения — перманентное вращение вокруг (вертикальной) главной оси инерции в случае, когда центр масс тела не лежит на этой оси. Такие движения для тела с неподвижной точкой невозможны: конические движения вокруг вертикали могут совершать только динамически симметричные тела с геометрией масс, соответствующей случаям Эйлера и Лагранжа; главная ось инерции тела служит осью перманентного вращения только тогда, когда она содержит центр масс тела. Проведен линейный и нелинейный анализ устойчивости соответствующих найденным решениям положений равновесия приведенной (по Раусу) системы с двумя степеням свободы.
2. Постановка задачи
Рассмотрим движение тяжелого твердого тела, предполагая, что одна из его точек О, называемая далее точкой подвеса, совершает заданные гармонические вибрации вдоль вертикали. Введем поступательно движущуюся систему координат OXYZ с осью OZ, направленной вертикально вверх, и связанную с телом систему координат Охуг, оси которой совпадают с главными осями инерции тела для точки О. Ориентацию системы координат Охуг относительно OXYZ будем задавать при помощи углов Эйлера ф, 9, ф.
Пусть т и А, В, С — масса тела и его главные моменты инерции для точки О. Обозначим через хс, Ус, гс координаты центра масс О тела в связанных осях, полагая, что хотя бы одна из этих координат, например, гс, отлична от нуля.
Считаем также, что амплитуда Н вибраций точки подвеса мала по сравнению с характерной длиной I = А/(тгс) тела, а частота О велика по сравнению с характерной
частотой \fyj~i- Введем малый параметр е (0<е<1) и положим
h \ГцТ
I Q
е, 1.
При помощи методов теории возмущений ранее в работах [14, 15] для случая произвольных периодических или условно-периодических быстрых вибраций точки подвеса получена приближенная система дифференциальных уравнений относительного (в системе координат OXYZ) движения тела типа уравнений Эйлера-Пуассона, в которой время исключено из слагаемых до порядка е2 включительно. В рассматриваемом здесь случае вертикальных гармонических вибраций эта приближенная автономная система уравнений может быть записана в канонической форме с функцией Гамильтона
(A cos2 Lp + В sin2 Lp)(p,¡p — рр eos О)'2 A sin2 ф + В cos2 ф 2 H= 2ABsin2e + 2AB Pe +
(B - A) sin ф cos ф(рф - pv cos в) pl
+-АВ^Гв-+ 2C +IIg +IIv'
ng = mg(xG Yi + уо^2 + zG 73), (2.1)
(усъ ~ zgj2)'2 + ^ (xg7¿ ~ 2g7i)2 + ^ (хаъ - Усъ)2
g
s
~ 2 ^
71 = sin0sint£>, 72 = sinocos <p, 73= eos в; s = ^ m2h2ü2.
Здесь рф, рв, Pi — импульсы, сопряженные с координатами ф, в, ф, а 71, 72, 73 — проекции орта оси OZ на оси связанной системы координат. Последние два слагаемые в (2.1) представляют собой гравитационный и вибрационный потенциалы тела [13, 14]. Как в исходной, так и в преобразованной приближенной системе координата ф циклическая и соответствующий ей импульс рф постоянен.
Существуют частные решения системы с гамильтонианом (2.1), соответствующие равномерным вращениям тела вокруг оси, неподвижной в теле и в системе координат OXYZ (перманентные вращения). Для тела с неподвижной точкой такие движения подробно исследованы [20-27]. В случае вертикальных вибраций точки подвеса тела, как и в случае тела с неподвижной точкой, перманентные вращения могут происходить только вокруг вертикально расположенных осей. Наличие быстрых вибраций существенно влияет и на совокупность осей перманентных вращений, и на характер устойчивости. В частности, при наличии вибраций существуют перманентные вращения, невозможные для тела с неподвижной точкой. Укажем два типа таких вращений.
1.1. Пусть центр масс тела находится на одной из главных осей инерции, например, на оси Oz, и при этом A = B. При выполнении условия
имеется частное решение приведенной системы с двумя степенями свободы с гамильтонианом (2.1) — положение равновесия, для которого
в = во = const, ф = фо = const, Рв = Рв0 = (A - B) sin во sin фо cos фо и, pv = pV0 = C cos во и, (2.3)
Рф = Рф0 = [(A sin2 фо + B cos2 фо) sin2 во + C cos2 во] и,
У
где константы во и и задаются соотношениями
тдАВ _ I вгС
Описанному решению отвечает коническое движение тела, при котором его ось Ог наклонена к вертикали под углом во и вращается вокруг нее с постоянной угловой скоростью и.
Заметим, что при отсутствии вибрации (случай в = 0) данное решение не существует; в этом случае коническое движение может совершать только динамически симметричное тело с геометрией масс, соответствующей случаям Эйлера или Лагранжа.
1.2. Найдем случаи, когда ось перманентного вращения — одна из главных осей инерции тела, например, Ох. Тогда имеем условие 71 = ±1, а из канонических уравнений движения системы с гамильтонианом (2.1) получаем равенства
Ус (т071 - = 0, гс (тдц - = 0. (2.5)
Для тела с неподвижной точкой (в = 0) эти равенства удовлетворяются только при условии ус = га = 0. При этом величина 71 может принимать значения 1 и —1, а центр масс тела лежит на оси вращения Ох, располагаясь выше или ниже точки О соответственно. Аналогичные перманентные вращения тела существуют и при наличии вертикальных вибраций точки О.
При в = 0 равенства (2.5) удовлетворяются также, если 71 = 1 и выполнено одно из следующих условий:
уа = 0, ха = тдВ/в (га —любое), (2.6)
га = 0, ха = тдС/в (у а — любое), (2.7)
В = С, ха = тдВ/в (уа, га — любые). (2.8)
В случаях (2.6) и (2.7) центр масс тела лежит в одной из главных плоскостей инерции тела, содержащих ось вращения Ох (но не на самой оси), при этом абсцисса ха центра масс фиксирована. В случае (2.8) тело динамически симметрично, центр масс занимает произвольное положение в плоскости, параллельной экваториальной плоскости инерции Оуг. Поворотом последней вокруг оси динамической симметрии можно добиться того, чтобы центр масс оказался в главной плоскости инерции, и свести этот случай к случаям (2.6) или (2.7).
Для перманентных вращений в случаях (2.6)—(2.8) соответствующие положения равновесия приведенной системы описываются соотношениями (и — угловая скорость вращения)
п п
= 2 > <А) = 2 :> 'Рфо = Аи> Рв0 = Р<р0 = (2-9)
Цель работы — исследование устойчивости положений равновесия (2.3) и (2.9) приведенной системы с гамильтонианом (2.1) по отношению к возмущениям координат в, р и отвечающих им импульсов при фиксированном значении постоянной циклического интеграла.
3. О неустойчивости конического движения несимметричного тела
Для исследования устойчивости решения (2.3), отвечающего коническому движению, гамильтониан системы удобнее привести к безразмерному виду. Обезразмерим импульсы и время при помощи множителей Л0,\ и соответственно, где
= £ = —, (3.1)
V £ тгс
и введем безразмерные параметры
А А шгсЬ2 П2
Инерционные параметры а и в должны удовлетворять неравенствам, следующим из неравенств треугольника для осевых моментов инерции:
ав + в - а ^ 0, ав + а - в > 0, а + в - ав ^ 0. (3.3)
Параметры £ и ц характеризуют, соответственно, частоту вибрации точки подвеса тела и угловую скорость его перманентного вращения.
Соотношения (2.2) и (2.4) в безразмерных параметрах имеют вид
С08в0 = Г]=\М, (3.4)
а постоянные значения безразмерных импульсов рф, pg, pv для рассматриваемого движения на основании формул (2.3) выражаются как
Рфо =
sin2 tpo + — eos2 tpo ) sin2 00 + 4 COS2 во a ) p
a- 1 . _ 1
Pe o = a sin 90 sin tpo eos <p0V, P<po = jj cos 0oV-
В обезразмеренном гамильтониане H положим рф = рф0 и введем возмущения x\, Х2, yi, y2 по формулам
9 = 9о + xi, р = ро + Х2, pg = pg0 + yi, pv = pvo + y2. (3.5)
Отбрасывая аддитивную постоянную, получим H = H2 + ..., где многоточие означает совокупность слагаемых не менее третьей степени относительно возмущений, а квадратичная часть H2 имеет вид
И2 = aix2 + a2x2 + a3y2 + ay + a5 Х1Х2 +
+ a6xiyi + a7xi y2 + a8x2 yi + a9x2y2 + aioyiy2,
ai = —i— [02{a - l)3 eos6 <pQ - ¡3{a - l)2(2a0 -2a- ¡3) eos4 <pQ + 2a34
+ a(a - 1)(ав2 - 502 - 2a/3 + a + 20) cos2 ро + a2(20 - 1)2],
(3.6)
а-2 = (а - 1)2(а2{2 - /32)(asin2 970 + cos2 <р0),
1 2 2 f3[a2e -02 + /3(sin2 (fio + аcos2 ¡p0)] О'З = -7 (asm (fio + cos <p0), a,4 =-,, 9.9 . 2 _-,
2 2a2£2 sin2 в0
(a - 1) COS фо Sin фо Sin во 2 2 , о , од 1м
a,5 =--9- p(cr — 1) cos фо — a(ap — a + 3p — 1) ,
a2
a,6 = — a 0} s/ai sin <po cos Lpo[¡3(a — 1) cos2 tpo — a(¡3 — 1)1, a4
a" =--o^4^ „ \02{oi - l)2 cos4 Lpo - ¡3{a - 1 ){a¡3 - a- ¡3) cos2 ф0 -
a342 sin в0
a1
— а(а2(2 + /З2 — /3)1, as =--sin$o(cos2 фо — a sin2 фо),
a
(a2 — 1 )/3 s/a( sin tpo cos фо (a — 1 )/3 sin фо cos фо
a.9 =-г--, a, io =-. . „-•
a24 a£ sin в0
Характеристическое уравнение соответствующей гамильтониану (3.6) линеаризованной системы уравнений возмущенного движения записывается в виде
Л4 + аЛ2 + b = 0. (3.7)
Здесь, как показывают расчеты,
4(a - 1)2(a2{2 - в2)3 sin2 ф0 cos2 ф0
Ъ = —
a5Í4 sin2 во
В области существования конического движения, задаваемого первым условием (3.4), Ь < 0, и, значит, уравнение (3.7) имеет корень с положительной вещественной частью. Следовательно, рассматриваемое решение неустойчиво в силу теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
4. Исследование устойчивости перманентного вращения вокруг главной оси инерции
Решим теперь вопрос об устойчивости решения (2.9), соответствующего перманентному вращению тела вокруг главной оси инерции в случае, когда центр масс не лежит на этой оси. Будем считать, что геометрия масс тела удовлетворяет условию (2.6).
Используя формулы (3.2) и (3.1), в которых величина га заменена на ха, введем безразмерные параметры а, в, £, ц и обезразмерим импульсы и время при помощи множителей Л0.1 и Введем также величину а = га/ха. В силу второго условия случая (2.6) имеем соотношение £ = 1/а. Независимыми будем считать параметры а, в, а, ц; первые три из них характеризуют геометрию масс тела, последний — угловую скорость перманентного вращения.
Положим в обезразмеренном гамильтониане рф = рф0 = ц и введем возмущения Х1, Х2, Ш, У2 по формулам (3.5) при учете соотношений (2.9). Гамильтониан Н возмущенного движения запишется в виде
Н = Н2 + Нз + Н4 + ..., (4.1)
н'2 = \ (V2 ~ °2)х\ + ^ К^2 " Л2а){1 — а) + ¡3 — а]х% +
+ \ ау2 + \ ру22 + пхт - (1 - а)г]х2у1,
~ 1 3 1 2
нз = -- ах1 - - ахгх2,
~ 8г]'2 + 4а2 - 3 4 5 з 2(а-1)(а2+аг]2) + а-2р 22
П4 — — Х1 + - Щ1У2 -\ ХгХ2 +
1 г2..2 , (а - 1)»7 , ™2
2 + ^
х\х2У! + (а - 1)^x^2 + (а - 1)х^У1У2 -
а - 1 2 2 2(а - 1)п 3 4(а - 1)(а2 - аг]2)+а - 40
■ х2Уг
■ х2у1 +
24а
х2 !
где многоточие означает совокупность слагаемых не менее пятой степени относительно величин хз, Уз (3 = 1, 2).
4.1. Достаточные условия устойчивости
Достаточные условия устойчивости исследуемого движения будем искать как условия положительной определенности квадратичной формы Н2 из (4.1). Последние задаются системой неравенств вида
22 П2 > (Г2
(а2 - п2а)(1 - а) > а - в, (г2 - п2)(1 - а) > а - в, (в - 1)П2 >ва2-
(4.2)
(4.3)
Результаты исследования условий устойчивости здесь и далее будем представлять следующим образом. Проводится разбиение допустимой части плоскости параметров а, в, задаваемой условиями (3.3), на ряд областей (см. рис. 1). Для каждой точки (а, в) выбранной области указывается диапазон изменения параметра а с границами — функциями величин а и в. Границы изменения четвертого параметра ц для каждой точки (а, в, а) из выделенной части трехмерного пространства этих параметров есть функции координат этой точки.
2
Рис. 1
Из второго неравенства (4.3) сразу следует условие в > 1. Соответствующую часть плоскости (а, в) разделяем на области 1-3, границами которых служат отрезки прямых а = 1, в = 1 и а = в (рис. 1).
Введем обозначения
(0-1)^-0) р „2, а-/?
Несложный анализ показывает, что в области 1 неравенства (4.2), (4.3) сводятся к условиям а < ао, По < П < Пь В области 2 параметр а может принимать произвольные значения, а П > По. В области 3 для случаев а < ао и а > ао имеем, соответственно, п > П1 и П > По.
Отметим, что при выполнении выписанных достаточных условий исследуемое решение устойчиво и по отношению к малому возмущению величины рф, что следует из дополнения Ляпунова к теореме Рауса [28].
4.2. Необходимые условия устойчивости
Пусть форма И2 не является положительно определенной. Рассмотрим линеаризованную систему дифференциальных уравнений возмущенного движения, отвечающую гамильтониану Н2. Характеристическое уравнение этой системы имеет вид (3.7), где
а = (2 - а - р + ар)г]2 - ^ [а2(а2 + ар - ¡3) + ¡3{а - ¡3)}, Ь = [п2(1 - в) + ва2][(п2 - а2)(1 - а)+ а - в]. Дискриминант Л = а2 — 4Ь уравнения (3.7) равен
Л = й2г/4 + ¿1п2 + Ло,
¿2 = (а + ¡3 - ар)2, (1,0 = \ [а2(а - ар + р) - р(а - р)}2, (45)
2
(к = - (а + р - ар)[а2(а2 + ар - 4а - р + 2) + (а - р)(р - 2)1. а
При выполнении условий
а> 0, Ь> 0, й> 0 (4.7)
корни (у = 1, 2) уравнения (3.7) чисто мнимые, и исследуемое движение устойчиво
в линейном приближении. Таким образом, соотношения (4.7) задают необходимые условия устойчивости.
Условия (4.7) представляют собой систему одного линейного и двух квадратичных неравенств относительно величины п2. Ее анализ, несложный, но довольно громоздкий, здесь не приводится. Выпишем полученные результаты.
Все найденные выше достаточные условия устойчивости являются одновременно и необходимыми условиями. Кроме того, могут быть выполнены только необходимые условия устойчивости. Для их описания добавим к величинам (4.4) следующие обозначения:
2 (а — в)и 2 а — в \2 /ъ \
07 = 7-Г777--77, О? = 7-Ц77, П = 3(1 ~ СНГ + а(2 ~ О),
1 (1 -а)2(2а + р-ар)' 2 (1 -а)2' ^ ; ^
2 Р(а-Р)(Р-1)
(То =
а2 (в - 1)2 + в (в - 1) + ав(3 - 2в)'
Пусть, кроме того, ц2^ и ц^ (0 < ц2^ < ц^) — вещественные корни квадратного относительно ц2 трехчлена (4.6), в областях существования и положительности этих корней.
Помимо областей 1-3, рассмотрим еще области 4-7 (для которых в < 1) с теми же прямолинейными границами и криволинейной границей и = 0 между областями 6 и 7 (рис. 1).
В области 1 только необходимые условия устойчивости определяются неравенством ц1 < ц < цо при а > ао. В области 2 все решения системы (4.7) составляют достаточные условия устойчивости, указанные в разделе 4.1. В области 3 только необходимые условия устойчивости выполняются в интервалах аз < а ^ ао и ао < а < а1 изменения параметра а и имеют, соответственно, вид ц(2) < ц < цо и ц(2) < ц < ц1.
В области 4 эти условия задаются неравенством ц > щ, а величина а может принимать произвольные значения. В области 5 только необходимые условия устойчивости определяются интервалом ц > ц(2) при 0 < а ^ а1, совокупностью двух интервалов ц1 < ц < ц(1) и ц > ц(2) при а1 < а ^ а2 и условием ц > щ при а > а2. В области 6 исследуемые условия задаются неравенством ц(2) < ц < щ при 0 < а < аь
Для невыписанных здесь и в разделе 4.1 значений параметров а и ц, относящихся к областям 1-6, необходимые условия устойчивости (4.7) не выполняются. В этих случаях исследуемые решения неустойчивы, причем не только в линейном приближении, но и в полной нелинейной постановке.
В области 7 условия (4.7) несовместны при любых значениях параметров а и ц, и исследуемые решения неустойчивы.
4.3. Нелинейный анализ устойчивости
Проведем дальнейший, нелинейный анализ устойчивости исследуемых решений для тех значений параметров, для которых выполнены только необходимые условия устойчивости. С этой целью нормализуем гамильтониан возмущенного движения (4.1) в членах до четвертого порядка включительно относительно возмущений.
Сначала осуществим в (4.1) линейное унивалентное каноническое преобразование Х], Уз ^ Я], Рз (3 = 1, 2) по формулам
Х1 = Пц?1 + П12Я2, Х2 = П23Р1 + П24Р2, ^ ч
+ + (4.8)
У1 = П33Р1 + П34Р2, У2 = П41Я1 + П42 Я2,
пи = К] цШ] а(а + в — ав), П] = К] Ш] а(ш2 — ц2 + аа2), П2,з+1 = —У^К] а[(ц2 — а2)ав — ц2а — ш]в], (4.9)
п^ = (—^К] ац\щ] + (1 — а) (в (ц2 — а2) — ц2)],
К] = |аш] а(в — 1)(а — 2)(ав — а — в)ц4 + + а[(в + а2 — 3ав — 3в2 + 4ав2 — а2в2)а2 +
+ (в — 2)(ав — а — в)ш2 + в(в — 1)(а — в)]ц2 +
-1/2
+ в((в + а2 — ав)а2 — в (а — в))(а2а + ш2)| , 3 = 1,2.
Здесь = \1'2(а ± л/д)/2 {ш\ > Шъ) — частоты малых линейных колебаний системы, величины а и с! определены в соотношениях (4.5), (4.6).
В результате преобразования (4.8), (4.9) квадратичная часть H гамильтониана (4.1) приводится к нормальной форме вида
Н-2 = ^ wi(qf + pj) - i u)2{ql +P2).
Далее проведем нелинейную нормализацию. Здесь необходимо различать нерезонансный и резонансный случаи. Если U\ = и U\ = 3и2, то есть в системе отсутствуют резонансы третьего и четвертого порядков, то нормализованный до членов четвертого порядка включительно гамильтониан возмущенного движения имеет вид
H = Ш1Г1 - Ш2Г2 + С20r\ + С11Г1Г2 + С02r| + O(r5/2). (4.10)
Здесь введены «полярные» координаты ipj и ï'j, задаваемые формулами qj = sj2ï'j sin ipj, Pj = \j2rj eos (fij (j = 1,2). Постоянные коэффициенты c¿j в силу громоздкости не выписаны.
Если выполнено условие
А = С20 + С11Ш1Ш2 + С02 = 0,
то исследуемое решение устойчиво по Ляпунову на основании теоремы Арнольда-Мозе-ра [29]. Случай вырождения А = 0 требует рассмотрения в гамильтониане слагаемых более высоких порядков и в данной работе не исследуется.
Пусть в системе реализуется резонанс третьего или четвертого порядка. Соответствующие им резонансные соотношения U1 = 2^2 и U1 = 3^2 эквивалентны уравнениям R3 = 0 и R4 = 0, где
R3 := -4а2[4(ав - а - в) + 3](ав - а - в - 3)п4 +
+ 4а[[8(а - 1)2в2 + 2(а - 1)(4а2 - 29а + 8)в - а(8а2 - 41а + 25)]а2 + + [(8а - 8)в2 + (-33а + 16)в + 25а](а - в)] П2 -
- 4[(4в - 4ав + а2) а2 - 4в(а - в)][(в - ав + 4а2 )а2 - в (а - в)],
R4 := -а2([9(ав - а - в) + 8](ав - а - в - 8)п4 +
+ 2а[[9(а - 1)2в2 + (а - 1)(9а2 - 109а + 18)в - а(9а2 - 68а + 50)]а2 + + [(9а - 9)в2 + (18 - 59а)в + 50а](а - в)]п2 -
- [(в - ав + 9а2)а2 - в(а - в)][(9в - 9ав + а2)а2 - 9в(а - в)].
Таким образом, в исследуемых областях четырехмерного пространства параметров задачи может существовать либо две, либо одна, либо ни одной резонансной поверхности каждого типа.
При исследовании устойчивости в резонансных случаях будем пользоваться соответствующими критериями, имеющимися для автономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы [30]. Если в системе имеется резонанс третьего порядка, то нормализованный гамильтониан имеет вид (4.10), в правую часть которого следует добавить резонансное слагаемое k¿■v/r¡T2 cos(y?i +2фг) №з ^ 0). При k¿ ф 0 рассматриваемое решение неустойчиво. Если же кз = 0 и выполнено условие С20 + 2сц + 4c02 = 0 отсутствия вырождения, то имеет место устойчивость по Ляпунову.
В случае резонанса четвертого порядка в правую часть (4.10) добавляется резонансное
слагаемое к^Г'2л/Т\Г'2 соз(р1 +3(^2) ^ 0). Если выполняется условие
то имеем неустойчивость. При выполнении неравенства с противоположным знаком исследуемое решение устойчиво по Ляпунову.
Явный вид резонансных коэффициентов кз и к4 весьма громоздок и здесь не приводится.
4.4. Результаты нелинейного анализа
Нелинейный анализ устойчивости был проведен для ряда частных случаев геометрии масс тела: трех вариантов динамической симметрии а = в, а = 1, в = 1 и случаев а = 1/2 и а = 2. В соответствующей каждому случаю области трехмерного пространства параметров строились сечения а = const или в = const при различных допустимых значениях инерционного параметра, и в плоскости величин а, п изучалась эволюция картины устойчивости.
Результаты анализа описаны и проиллюстрированы ниже. На всех рисунках области выполнения только необходимых условий устойчивости не закрашены, остальная часть плоскости заштрихована. Кривые резонансов третьего и четвертого порядков показаны, соответственно, «точечными» и жирными сплошными линиями. Области неустойчивости на кривых резонанса четвертого порядка описаны в тексте; на рисунках они не показаны. Кривые вырождения и границы исследуемой области изображены тонкими сплошными линиями.
Случай а = в (ось вращения тела совпадает с осью динамической симметрии). В этом случае область выполнения только необходимых условий устойчивости существует в диапазоне 0 < а < 1 и задается неравенством п > а. При фиксированном значении а сечения поверхностей резонансов третьего и четвертого порядков (в тех случаях, когда они существуют) представляют собой прямые, задаваемые, соответственно, уравнениями R3 = 0 и R4 = 0, где
R3 = (3-а)(3 - 2а)(1 - 2а)(а + 1)п4 - (1 - 2а)(8а2 - 41а + 41)а2п2 + (3а + 1)(3а - 4)а4, R4 = (4-а)(4 - 3а)(2 - 3а)(а + 2)п4 - 2(1 - 2а)(9а2 - 68а + 68)а2п2 + (8а + 1)(8а - 9)а4.
Анализ этих соотношений показывает, что при 0 < а < 1/2 в исследуемой области имеется одна резонансная прямая третьего порядка, а при 1/2 ^ а < 1 такие прямые отсутствуют. Кроме того, имеются одна или две прямые резонанса четвертого порядка, если 0 < а ^ 2/3 или 2/3 < а < 1 соответственно.
Вид кривой вырождения меняется в зависимости от параметра а, ее эволюция в исследуемой области и взаимное расположение с резонансными прямыми показаны на рисунке 2
для случаев 0 < а < 0.324 (a), 0.324 ^ а < 1/2 (b), а = 1/2 (с), 1/2 < а ^ 2/3 (d), 2/3 < а < 1 (e).
При 0 < а < 0.324 (рис. 2а) имеются три ветви кривой вырождения, одна из которых начинается на оси ординат, другая в начале координат и третья на нижней границе области. Последняя пересекается с прямой резонанса четвертого порядка и идет вдоль прямой резонанса третьего порядка, неограниченно приближаясь к ней. При а = 0.324 две другие ветви кривой вырождения соединяются в общую ветвь (рис. 2Ь). С ростом а она постепенно «съеживается» и при а =1/2 исчезает (одновременно с прямой резонанса третьего порядка, см. рис. 2с); оставшаяся ветвь кривой вырождения имеет вертикальную асимптоту
|С20 + 3Си + 9С02 | < 3V3fe4,
(4.11)
Рис. 2
а = 6л/10/5. При переходе через точку а = 1/2 кривая вырождения становится ограниченной, с концевыми точками на оси ординат и нижней границе области, и пересекает одну или две имеющиеся прямые резонанса четвертого порядка (рис. 2^в).
Расчеты показывают, что для всех значений параметра а на прямых резонанса четвертого порядка имеются участки неустойчивости, задаваемые неравенством (4.11), при этом точка пересечения резонансных прямых с кривой вырождения находится внутри этих участков.
Случай а = 1 (центр масс лежит в главной плоскости инерции, содержащей ось динамической симметрии тела). В этом случае только необходимые условия устойчивости исследуемых движений выполняются в диапазоне 1/2 ^ в < 1 изменения параметра в при условии п > П(2). Для каждого значения в в этой области имеется по одной кривой
О
Рис. 3
резонансов третьего и четвертого порядков (рис. 3), на последней имеется ограниченный участок неустойчивости. В области существуют также две ветви кривой вырождения. Первая выходит из общей точки с кривой резонанса третьего порядка на оси ординат и заканчивается на нижней границе области. Вторая ветвь, начинаясь в бесконечно удаленной точке, пересекает кривую резонанса четвертого порядка (в области неустойчивости на последней) и при а неограниченно приближается к кривой резонанса третьего порядка.
Случай в = 1 (центр масс находится в экваториальной плоскости инерции тела). Если 1/2 ^ а < 1, то исследуемая область задается условием г] > \/а'2 + 1. Расчеты показывают, что в этой области отсутствуют кривые резонанса третьего порядка и кривые вырождения, а при 1/2 ^ а ^ 9/16 нет и кривых резонанса четвертого порядка. В случае 9/16 < а < 1 в области имеется кривая резонанса четвертого порядка (рис. 4a), на которой изучаемое движение устойчиво.
При переходе через точку а =1 область выполнения только необходимых условий устойчивости меняет свою конфигурацию и приобретает вид криволинейного треугольника с границами п = П(2), П = П1 и отрезком оси ординат, при этом параметр а меняется в диапазоне 0 < а < (а2 — 1)_1 (рис. 4Ь).
Расчеты были проведены до а = 3. Исследование показало, что в этой области имеется по одной кривой резонансов третьего и четвертого порядков, эти кривые имеют общие концы в угловых точках области. Имеется также (не показанная на рис. 4Ь) кривая вырождения, соединяющая те же угловые точки. При а € [1.66; 2.28] она целиком заключена
V
(а)
а
(Ь)
Рис. 4
в области между двумя резонансными кривыми. Для значений а вне этого интервала кривая вырождения имеет с кривой резонанса четвертого порядка две точки пересечения, выходя и снова входя в указанную область. Для всех рассмотренных значений а на большей части кривой резонанса четвертого порядка имеет место неустойчивость, при этом точки ее пересечения с кривой вырождения (если они имеются) лежат в области неустойчивости.
Случай а = 1/2. В этом случае 1/3 ^ в ^ 1. Нижняя граница исследуемой области при 1/3 ^ в ^ 1/2 составная (рис. 5a), ее образуют гладко переходящие одна в другую кривые п = П(2) и п = П(1), а также стыкующаяся с последней кривая п = П1 (имеющая с п = п(1) общую касательную в точке с абсциссой а = 02). В области имеются кривые ре-зонансов третьего и четвертого порядков, выходящие из «угловой» точки нижней границы, а также две ветви кривой вырождения. Одна ветвь соединяет точки на оси ординат и на левой части нижней границы области. Вторая начинается в точке правой части нижней границы, пересекает кривую резонанса четвертого порядка (в области неустойчивости на ней) и уходит в бесконечность.
В точке в =1/2 происходит перестройка картины: исчезают левая часть нижней границы области, кривая резонанса третьего порядка и левая ветвь кривой вырождения; кривая резонанса четвертого порядка выходит из начала координат (см. рис. 2е).
При переходе через эту точку кривая резонанса четвертого порядка берет начало на оси ординат, а кривая вырождения становится ограниченной с концами на той же оси. Эти две кривые имеют точку пересечения в области неустойчивости на резонансной кривой (рис. 5Ь). Такая картина наблюдается для значений в из интервала 1/2 < в < 7/9.
V
а
00
(Ъ)
(с)
Рис. 5
В точке в = 7/9 кривая резонанса четвертого порядка пропадает, а при 7/9 < в < 1 появляется вновь, меняя свой вид (рис. 5е); точек пересечения с кривой вырождения нет. На всей резонансной кривой исследуемое решение устойчиво. При в = 1 резонансная кривая и кривая вырождения исчезают (этот случай рассмотрен выше).
Случай а = 2 (1/2 ^ в ^ 2). При 2/3 ^ в < 1 область выполнения только необходимых условий устойчивости имеет вид криволинейного треугольника. В случае в € [2/3; 0.73) (рис. 6a) в этой области имеются кривые резонанса третьего порядка и вырождения с общими концами на оси ординат и в угловой точке области. Имеется также кривая резонанса четвертого порядка, на которой реализуется устойчивость.
При в = 0.73 появляется вторая ветвь кривой вырождения (рис. 6Ь), с ростом в ее левый конец «ползет» вверх по оси ординат. При в = 0.767 обе ветви кривой вырождения и кривая резонанса третьего порядка имеют общую точку на оси ординат. С дальнейшим ростом в кривая резонанса третьего порядка в начальной точке «приклеивается» к нижней ветви кривой вырождения, верхняя ветвь отделяется. При в = 0.772 вблизи левой границы кривой резонанса четвертого порядка появляется участок неустойчивости.
При в = 0.808 левые концы резонансной кривой и верхней ветви кривой вырождения совпадают, с последующим ростом в две кривые пересекаются внутри области в зоне неустойчивости на резонансной кривой (рис. 6с). При в = 0.837 вблизи левой границы резонансной кривой появляется малый участок устойчивости. Такая картина наблюдается вплоть до в = 1; этот граничный случай рассмотрен выше.
При в > 1 (рис. 6ё) вид исследуемой области представляет собой криволинейный треугольник другой конфигурации. Эта область содержит кривые резонансов третьего
V
а
(а) (Ь)
(с)
(Ф
Рис. 6
и четвертого порядков, соединяющие две угловые точки области, и заключенную между ними (не показанную на рисунке) кривую вырождения с теми же концами. Для всех рассмотренных значений в на кривой резонанса четвертого порядка имеется участок неустойчивости. С ростом в описанная область уменьшается и при в = 2 исчезает.
5. Заключение
В работе, в рамках приближенной системы автономных канонических дифференциальных уравнений, исследуется движение тяжелого твердого тела при наличии быстрых вертикальных гармонических вибраций одной из его точек. Найдены два новых типа движения тела, обусловленных вибрациями и не существующих в случае тела с неподвижной точкой. Первый тип — коническое движение вокруг вертикали несимметричного тела с центром масс на главной оси инерции. Второй тип движения — перманентное вращение вокруг вертикальной главной оси инерции в случае, когда центр масс тела не лежит на этой оси.
Проведено исследование устойчивости указанных частных движений, рассматриваемой как устойчивость соответствующих положений равновесия приведенной (по Раусу) системы с двумя степенями свободы. Показано, что коническое движение неустойчиво в области своего существования.
Для перманентного вращения вокруг главной оси инерции в четырехмерном пространстве двух инерционных параметров и двух параметров, характеризующих частоту вибрации и угловую скорость перманентного вращения, полностью решена линейная задача об устойчивости. В части областей найденные условия являются одновременно достаточными условиями устойчивости. В тех областях, где выполнены только необходимые условия устойчивости, для ряда фиксированных значений инерционных параметров проведен нелинейный анализ устойчивости, при этом рассмотрены нерезонансный случай, случаи резонансов третьего и четвертого порядков, а также случаи вырождения гамильтониана.
Список литературы
[1] Stephenson A. On a new type of dynamical stability // Proc. Manchester Literary Philos. Soc., 1908, vol. 52, pt. 2, no. 8, pp. 1-10.
[2] Капица П. Л. Маятник с вибрирующим подвесом // УФН, 1951, т. 44, №5, с. 7-20.
[3] Капица П. Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // ЖЭТФ, 1951, т. 21, №5, с. 588-597.
[4] Бардин Б. С., Маркеев А. П. Об устойчивости равновесия маятника при вертикальных колебаниях точки подвеса // ПММ, 1995, т. 59, №6, с. 922-929.
[5] Холостова О. В. Об устойчивости периодических движений маятника с горизонтально вибрирующей точкой подвеса // МТТ, 1997, №4, с. 35-39.
[6] Холостова О. В. О движениях маятника с вибрирующей точкой подвеса // Теоретическая механика: Вып. 24: Сб. науч.-метод. ст. Москва: МГУ, 2003. С. 157-167.
[7] Стрижак Т. Г. Методы исследования динамических систем типа «маятник». Алма-Ата: Наука,
1981. 253 с.
[8] Боголюбов Н. Н. Теория возмущений в нелинейной механике У У Сб. тр. Ин-та строит. мех. АН УССР, 1950, №14, с. 9-34.
[9] Маркеев А. П. О динамике сферического маятника с вибрирующим подвесом УУ ПММ, 1999, т. б3, №2, с. 213-219.
[10] Холостова О. В. О движениях двойного маятника с вибрирующей точкой подвеса Ü МТТ, 2009, №2, с. 25-40.
[11] Вишенкова Е. А., Холостова О. В. К динамике двойного маятника с горизонтально вибрирующей точкой подвеса Ü Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2012, №2, с. 114-129.
[12] Холостова О. В. Динамика волчка Лагранжа с неподвижной и вибрирующей точкой подвеса. Москва: МАИ, 2000. 84 с.
[13] Юдович В. И. Вибродинамика и виброгеометрия механических систем со связями У У Успехи механики, 200б, т. 4, №3, с. 2б-158.
[14] Маркеев А. П. К теории движения твердого тела с вибрирующим подвесом УУ Докл. РАН, 2009, т. 427, №б, с. 771-775.
[15] Маркеев А. П. Об уравнениях приближенной теории движения твердого тела с вибрирующей точкой подвеса Ц ПММ, 2011, т. 75, №2, с. 193-203.
[16] Холостова О. В. Об устойчивости равновесий твердого тела с вибрирующей точкой подвеса Ü Вестн. РУДН. Матем. Информатика. Физика, 2011, №2, с. 111-122.
[17] Маркеев А. П. О движении тяжелого динамически симметричного твердого тела с вибрирующей точкой подвеса Ц МТТ, 2012, №4, с. 3-10.
[18] Staude O. Uber permanente Rotationsaxen bei der Bewegung eines schweren Korpers um einen festen Punkt Ц J. Reine Angew. Math., 1894, vol. 113, no. 4, pp. 318-334.
[19] Млодзеевский Б. К. О перманентных осях в движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки Ü Тр. отд. физ. наук Общества любителей естествознания, 1894, т. 7, №1, с. 4б-48.
[20] Граммель Р. Гироскоп, его теория и применения: В 2-х тт. Москва: ИЛ, 1952. 351 с.; 318 с.
[21] Румянцев В. В. Об устойчивости вращения тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой в случае С.В.Ковалевской Ц ПММ, 1954, т. 18, №4, с.457-458.
[22] Румянцев В. В. Устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тел УУ ПММ, 195б, т. 20, №1, с. 51-бб.
[23] Магнус К. Гироскоп. Теория и применения. Москва: Мир, 1974. 52бс.
[24] Ковалев А. М., Савченко А. Я. Устойчивость равномерных вращений твердого тела вокруг главной оси Ц ПММ, 1975, т. 39, №4, с.650-660.
[25] Сергеев В. С. Об устойчивости перманентных вращений тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки ¡У ПММ, 1976, т. 40, №3, с. 408-416.
[26] Ковалев А. М., Савченко А. Я. Устойчивость стационарных движений гамильтоновых систем при наличии резонанса четвертого порядка Ü Механика твердого тела, 1977, №9, с. 40-44.
[27] Холостова О. В. Исследование устойчивости перманентных вращений Штауде. Москва -Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2008. 128 с.
[28] Карапетян А. В., Румянцев В. В. Устойчивость консервативных и диссипативных систем. (Итоги науки и техники. Сер. Общая механика, т. 6.) Москва: ВИНИТИ, 1983. 132 с.
[29] Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. Москва: Едиториал УРСС, 2009. 416 с.
[30] Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. Москва: Наука, 1978. 312с.
On the stability of the specific motions of a heavy rigid body due to fast vertical vibrations of one of its points
Olga V. Kholostova
Moscow Aviation Institute (National Research University) Volokolamskoe Shosse, 4, GSP-3, A-80, Moscow, 125993, Russia kholostova_o@mail.ru
We consider the motion of a heavy rigid body with one point performing the specified high-frequency harmonic oscillations along the vertical. In the framework of an approximate autonomous system of differential equations of motion two new types of permanent rotations of the body about the vertical are found. These motions are affected by presence of fast vibrations and do not exist in the case of a body with a fixed point. The problem of stability of the motions is investigated.
MSC 2010: 70E17, 70E20,70H14
Keywords: rigid body, fast vibrations, permanent rotations, stability, resonance
Received October 22, 2014, accepted December 16, 2014
Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2015, vol. 11, no. 1, pp. 99-116 (Russian)
