CC BY
6Нелинейная динамика. 2012. Т. 8. № 2. С. 267-288. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru
УДК: 531.36
М8С 2010: 70Н05, 70Н14, 70К05
О движениях гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при наличии кратных резонансов третьего порядка
О. В. Холостова
Рассматриваются движения периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности положения равновесия, устойчивого в линейном приближении. Предполагается, что между частотами линейных колебаний системы реализуется несколько резонансных соотношений третьего порядка. Показано, что при наличии в системе двух резонансов третьего порядка имеет место неустойчивость положения равновесия при любом соотношении между резонансными коэффициентами. Получены приближенные (модельные) гамильтонианы, характерные для исследуемых резонансных случаев, проведен подробный анализ нелинейных колебаний отвечающих им систем.
Ключевые слова: гамильтонова система, кратный резонанс, устойчивость, функция Четаева
1. Введение
При исследовании поведения механических систем в окрестности заданного движения (положения равновесия или периодического движения) наиболее интересными и трудными являются случаи наличия в системе резонансов, для которых частоты малых колебаний линеаризованных уравнений возмущенного движения связаны линейными соотношениями специального вида. Первые работы, изучающие влияние резонансов на движения систем в окрестности положения равновесия, появились чуть более века назад [1—3]. В настоящее время вопросы устойчивости и характер поведения системы, как гамильтоновой, так
Получено 25 марта 2012 года После доработки 27 апреля 2012 года
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 11-01-00322, 10-01-00381) и Программы поддержки ведущих научных школ (проект НШ-4149.2012.1).
Холостова Ольга Владимировна kholostova_o@mail.ru
Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет) 125993, Россия, г. Москва, Волоколамское ш., 4
и негамильтоновой, в которой имеется один резонанс, изучены достаточно полно, по данной проблеме имеется обширная библиография (см., например, обзоры [4, 5]).
Существенно более сложными являются случаи, когда в системе реализуются одновременно несколько резонансов. Такая ситуация может возникнуть в многопараметрической задаче при некоторых наборах значений параметров.
Некоторые результаты исследования устойчивости положения равновесия автономной негамильтоновой системы при наличии нескольких резонансов одного (нечетного) порядка приведены в работах [6-9]; в монографии [9] также обсуждается случай многократного резонанса четного порядка. Устойчивость положения равновесия многомерной автономной гамильтоновой системы в случае взаимодействия в ней нескольких резонансов третьего порядка изучалась в работах [10, 11].
Отметим недавние работы [12-14], в которых рассматривается близкая к автономной периодическая по времени линейная гамильтонова система с двумя степенями свободы в предположении о наличии в ней двукратного параметрического резонанса; проводится построение областей устойчивости и неустойчивости положения равновесия. Результаты исследования применены к задачам исследования динамики спутников [14-16].
В данной работе рассматриваются движения неавтономной периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности положения равновесия, устойчивого в линейном приближении. Предполагается, что в системе реализуется кратный резонанс третьего порядка (и нет резонансов низших порядков). Проведена классификация резонансных случаев, построены гамильтонианы, характерные для каждого случая кратных резонансов. Известно [17], что в случае однократного (сильного) резонанса третьего порядка тривиальное равновесие системы неустойчиво, если соответствующий резонансный коэффициент отличен от нуля. При помощи метода Четаева в данной работе показано, что для всех случаев двойного резонанса третьего порядка тривиальное положение равновесия будет неустойчивым при любом соотношении резонансных коэффициентов. Это утверждение справедливо и для случая, когда оба резонанса третьего порядка слабые и наличие только одного из них не приводит к неустойчивости.
Подробно исследованы приближенные (модельные) системы, отвечающие автономным системам, в достаточно малой окрестности начала координат. Прослежена эволюция поведения этих систем при изменении соотношения между резонансными коэффициентами. Указаны характерные типы траекторий модельных систем на нулевом и произвольном уровнях энергии.
2. Постановка задачи.
Случаи кратных резонансов третьего порядка
Рассмотрим движения неавтономной 2^-периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Будем предполагать, что начало координат фазового пространства — положение равновесия, и гамильтониан Н системы аналитичен в его окрестности. Пусть это положение равновесия устойчиво в линейном приближении, характеристические показатели ±1Л^ соответствующей линеаризованной системы уравнений возмущенного движения — чисто мнимые.
Пусть, кроме того, величины Л^, 2\у и Х\ ± Л2 не являются целыми числами, то есть в системе нет резонансов первого и второго порядков. Тогда квадратичная часть гамильтониана возмущенного движения может быть приведена к нормальной форме и функция Н
представлена в виде
H(qj,Pj,t) = |Ai (qj +p'l) + ^crX2(q22 + p2) + H3{qj,pj,t) + H4{qj,pj,t) + 05. (2.1)
Здесь qj и pj (j = 1, 2) — обобщенные координаты и импульсы, а = 1 или а = —1, Xj > 0; Hk(qj,Pj,t) (k = 3, 4) — совокупность слагаемых k-й степени, a O5 — совокупность слагаемых не менее пятой степени по qj,pj с 2-^-периодическими по t коэффициентами.
Перейдем к «полярным» координатам по формулам qj = \J‘2rj sin , pj =
= sj2r'j cos (pj (j = 1,2) и перепишем гамильтониан (2.1) в виде
H (<fj, rj ,t) = Xi r 1 + aX2r2 + Нз(^- ,rj ,t) + HA(<pj, rj ,t) + O5/2, (2.2)
где O5/2 — совокупность слагаемых пятой и более высоких степеней относительно j2 (j =
= 1, 2).
Если величины Xi и X2 таковы, что
miXi + Ш2Х2 = I, (2.3)
где mi, m2, И — целые числа и |mi| + |m2| = 3, то в системе реализуется резонанс третьего порядка.
Пользуясь терминологией, принятой при исследовании параметрического резонанса в линейных системах [18], назовем резонанс основным, если в резонансном соотношении (2.3) присутствует только одна из величин Xj, и комбинационным, если в (2.3) имеются обе величины Xi и X2. Будем также различать сильные и слабые резонансы, как это принято у ряда авторов [4]. Назовем резонанс сильным, если он может привести к неустойчивости в системе, и слабым, если его наличие не приводит к неустойчивости.
Сильными являются основные резонансы, а также комбинационные резонансы, для которых выполнено соотношение ami m2 > 0. При наличии в системе одного сильного резонанса третьего порядка исследуемое положение равновесия неустойчиво, если соответствующий резонансный коэффициент отличен от нуля [17]. Комбинационный резонанс, для которого ami m2 < 0, является слабым, так как при его наличии в системе имеется положительно определенный формальный интеграл.
Пусть в системе имеются одновременно несколько резонансов третьего порядка. Случаи двойного резонанса третьего порядка реализуются для следующих наборов величин Xi и X2 (ki,k2 — целые числа):
Xi — k\ + X2 — k'2 + |; Xi — k\ + X2 k to + СЙ|Ь^ (2.4)
Xi = k\ + i, X2 k to + Сй|ь^ Xi = k\ + X2 — k'2 + |; (2.5)
Xi = h + i, X2 -fc2 + §; Xi = h + §, X2 = k2 + (2.6)
Xi = k\ + X2 = fc2 + |; Xi = k\ + X2 = fc2 + |. (2.7)
В случаях (2.4) величины ЗА1 и Х\ + 2Л2, а в случаях (2.5) величины ЗА1 и Х\ — 2А2 — целые числа. При выполнении соотношений (2.6) и (2.7) целыми являются величины А1 + + 2А2 и А1 — 2А2. Отметим, что для каждого из наборов (2.4)—(2.7) имеются еще резонансы
четвертого порядка, так как целыми будут величины 2А1 — 2А2 (случаи (2.4)), 2А1 + 2А2 (случаи (2.5)), А1 + 3А2 и 3А1 — А2 (случаи (2.6), (2.7)).
Число резонансных случаев может быть удвоено, если в соотношениях (2.4)—(2.7) индексы 1 и 2 у величин А^ и к^ поменять местами.
Кроме перечисленных, других случаев кратных резонансов третьего порядка при сделанных предположениях нет.
Другие возможные случаи кратных резонансов третьего порядка требуют наличия в системе резонанса второго порядка. Так, для наборов
А1 = к\ + Х-2 = -тр + ^ (2-8)
в системе есть два комбинационных резонанса третьего порядка (А1 ± 2А2 — целые числа), а также резонансы второго и четвертого порядков (2А1, 4А1, 4А2 — целые числа). Если
11 2 2
А1 = к\ + Х‘2 = к‘2 + д или А1 = к\ + Л2 = /ь2 + д, (2-9)
то целыми являются величины ЗА1, ЗА2, 2А1 + А2, А1 + 2А2 (резонансы третьего порядка) и величины А1 — А2 и 2(А1 — А2) (резонансы второго и четвертого порядков), а при
А1 = к\ + А 2 = ^2 + ^ или А1 = к\ + А2 = к2 + ^ (2-Ю)
величины 3А1, 3А2, 2А1 — А2, А1 — 2А2, а также А1 + А2 и 2(А1 + А2).
Случаи (2.8)—(2.10) в данной работе рассматриваться не будут.
Цель работы — исследование устойчивости тривиального положения равновесия в случаях (2.4)—(2.7) наличия в системе двойного резонанса третьего порядка, а также исследование движений соответствующих модельных систем в достаточно малой окрестности начала координат.
3. Преобразование гамильтониана.
Модельные гамильтонианы
При помощи ряда канонических замен переменных преобразуем гамильтониан (2.2) к виду, характерному для рассматриваемых резонансных случаев.
3.1. Случаи (2.4), (2.5). Пусть сначала в системе реализуется один из случаев (2.4). При помощи близкой к тождественной 2-^-периодической по времени канонической замены переменных уничтожим в членах третьей и четвертой степеней слагаемые с нерезонансными гармониками и приведем гамильтониан к виду (за переменными оставляем прежние обозначения)
Н = Аі гі + аХ2т2 + {аг^2 оо8[3ф1. — ЗАіі + Зф2] +
+ Ь^/2Г2 008[фі + 2(7ф2 — (Аі + 2А2)Ь + фі + 2(7^2]}+ (3 ^
22 + {С20 Г! + Си Г1Г2 + С02 Г2 +
+ йтіГ2 оо8[2фі — 2оф2 — (2Аі — 2А2) + 2ф*]} + О5/2.
Здесь а, Ь, й, Сі^, ф2, ф2 — константы. Будем считать, что резонансные коэффициенты а, Ь неотрицательны, этого всегда можно добиться сдвигом по координатам ф^.
Осуществим далее замену переменных фj, rj -— Фj, Rj (j = 1, 2) по формулам
Ri = ri, R2 = r2, Ф1 = ф1 + ф* — Xit, Ф2 = ф2 + ф2 — aX2t. (3.2)
Это унивалентное каноническое преобразование, задаваемое производящей функцией
S = (ф1 + ф* — Xit)Ri + (ф2 + ф2 — aX2t)R2. (3.3)
В результате преобразования (3.2) линейная по Rj часть гамильтониана уничтожится, слагаемые третьего и четвертого порядка по Rl/2 не будут содержать времени. Гамильтониан (3.1) преобразуется к виду
Н * = [aR3/2 cos 3Ф1 + bR1/ R2 cos^i + 2аФ2)] +
+ [C20Ri + СиR1R2 + C02R2 + dRiR2 cos(2Фl — 2аФ2 + к)] + O5/2,
где к = 2ф* — 2ф* + 2аф* = const, а O5/2 — совокупность слагаемых, период которых по времени равен 12^.
Для случаев (2.5), аналогично, уничтожим в членах третьей и четвертой степеней гамильтониана (2.2) слагаемые с нерезонансными гармониками и приведем его к виду (3.1), в котором изменены на противоположные знаки вторых слагаемых в комбинациях Xi + + 2X2 и 2Xi — 2X2. Делая затем замену переменных (3.2), получим гамильтониан вида (3.4), в котором надо поменять а на —а.
Введем новую независимую переменную т = bt и параметр а = a/b (а > 0). Придавая величине а значения, равные 1 и —1, получим два гамильтониана, характерных для рассматриваемых резонансных случаев (2.4) и (2.5):
Г l = aR3/2 cos 3Ф1 + Rl/2R2 cos^l + 2Ф2) + O2, (3.5)
Г2 = aR3/2 cos 3Ф1 + Rl/2R2 cos^l — 2Ф2) + O2. (3.6)
Здесь O2 — совокупность слагаемых не менее второй степени по Rj.
Гамильтониан (3.5) соответствует наличию в системе двух сильных (основного и комбинационного) резонансов третьего порядка. Гамильтониан (3.6) отвечает случаю одного сильного (основного) и одного слабого (комбинационного) резонансов третьего порядка.
3.2. Случаи (2.6), (2.7). Если величины Xi, X2 определяются одним из соотношений (2.6) или (2.7), то гамильтониан (2.2), с учетом имеющихся резонансов, может быть приведен к виду
Н = Xi ri + aX2r2 + {arir1/2 cos[2^i + аф2 — (2Xi + X2)t + 2ф* + аф* ] +
+ brj/2r2 cos[^i — 2аф2 — (Xi — 2X2)t + ф* — 2аф* ]}+
+ {c20 r2 + cii rir2 + С02 r| + d i rl/2r3/2 cos^i + 3аф2 — (Xi + 3X2) + ф* ]}+
+ d2r3/ rl cos[3фl — аф2 — (3Xi — X2) + ф**]} + O5/2.
Сделаем в гамильтониане (3.7) замену переменных (3.2) и получим
Н* = [aR iRl/2 cos(2Ф i + аФ2) + bRl /2R2 cos^ i — 2аФ2)] +
+ [С20R2 + ciiR1R2 + С02R2 + diR/ R<3 cos(Фl + 3аФ2 + Ki) + (3.8)
+ d2Ri Ri cos(3Фl — аФ2 + K2)] + O5/2.
Здесь a, b, dj, Kj, Cj — постоянные, а слагаемое O5/2 имеет по времени период, равный 10^.
(3.7)
Вновь введем независимую переменную т = Ы и параметр а = а/Ь. Придавая параметру а значения, равные 1 и —1, получим два гамильтониана, переходящих один в другой, если поменять местами индексы 1 и 2. Поэтому будем рассматривать один гамильтониан, характерный для случаев (2.6), (2.7) и имеющий вид
Г3 = аК1^^2 сов(2Ф1 + Ф2) + КА1/2К2 сов(Ф1 — 2Ф2) + 02. (3.9)
Этот гамильтониан отвечает наличию в системе двух комбинационных (сильного и слабого) резонансов третьего порядка.
Таким образом, получены три характерных гамильтониана (3.5), (3.6), (3.9), соответствующие случаям двойного резонанса третьего порядка. Отвечающие им системы будем называть системами первого, второго и третьего типов.
4. Исследование устойчивости тривиального положения равновесия
Покажем, что в системах всех трех типов тривиальное положение равновесия неустойчиво при всех значениях параметра а (а > 0). При доказательстве будем пользоваться теоремой Четаева о неустойчивости [19], а также некоторыми идеями построения функции Четаева в гамильтоновой системе с двумя степенями свободы при наличии в ней одного резонанса третьего порядка [17].
4.1. Рассмотрим сначала системы с гамильтонианами (3.5), (3.6). Введем для удобства обозначения ф1 = 3Ф1, Ф2 = Ф1 ± 2Ф2. Здесь и далее в разделе 5.1 верхний и нижний знаки в соотношениях соответствуют системам первого и второго типов.
Пусть а > 2л/2/Ъ. Функция Четаева может быть взята такой же, как в случае присутствия в системе одного главного резонанса (этот случай соответствует неограниченным значениям а) [17]:
V = —(Ri — R2)Ri/2cos2-0i (2 <р< 3).
Зададим область V > 0 неравенствами Ri > Щ,, cos2^i < 0; на границе этой области V = 0. Указанные неравенства выполняются, если принять, что
|<01<^, В2 = f3Rf2 (0 < /3 < 1).
Производная dV/dT с учетом дифференциальных уравнений для переменных фj, Rj (j = 1, 2) имеет вид
= $1' [—^4cos 20i + ^ск(1 — 02)В] + ор+2, ^ ^
A = 3арsinф1 ^ 4в2 sinф2, B = sinф1 + sin 2ф1 cos ф1,
где Ор+2 — совокупность слагаемых, степень которых по Ri выше, чем p + 2. Для рассматриваемых интервалов изменения величин а, в, р, Ф1 и для любых значений Ф2 справедливы оценки
А > Зу/2ар/2 - 4 > 2р - 4 > 0, 1 ^ В < у/2.
Отсюда следует, что в достаточно малой окрестности начала координат функция йУ/йт положительно определена в области У > 0. Следовательно, тривиальное положение равновесия в системах первого и второго типов неустойчиво для исследуемого диапазона изменения параметра а.
В случае 0 < а ^ 2\/2/3 введем новые переменные д^ ('] = 1,2) по формулам
Щ = еРвз (0 < е < 1, р > ^ 2).
Функцию Четаева возьмем в виде
У1 = — (£5д? — б22)б1/2 сов 2ф1 (0 < в < р),
а область У > 0 определим неравенствами
| < 01 < о2 = ре8/2$/2 (0 < /3 < 1).
Используя дифференциальные уравнения для переменных 0j, (] = 1, 2), получим
следующее выражение для производной йУ1/йт:
дУг = £*+р/2£+21-Асо82ф1 + |а(1 - 02)В} + о{е°+р/2), йт 2
где величины А и В определены формулами (4.1). Для рассматриваемых значений а,@,р и 01 вновь имеем оценки .А>0и1^.В< \/2. Поэтому при достаточно малых значениях £ функция йУ1/йт положительно определена в области У1 > 0, и тривиальное положение равновесия систем первого и второго типов неустойчиво.
4.2. Рассмотрим систему третьего типа. Введем обозначения 01 = 2Ф1 + Ф2, 02 = Ф1 —
— 2Ф2 и осуществим замену переменных 0j, Rj -— Xj, gj (] = 1, 2) по формулам
0^- = + ьх^, Щ = £('д^ ^ = 1,2; 0 < г < 1; I > 2).
Дифференциальные уравнения для переменных gj имеют вид
^ = е'/УЛ4/2(^2 + ^)+о(Л
й (4.2)
и в главной части не зависят от переменных Xj (] = 1, 2). Дифференциальные уравнения, описывающие изменение Xj, здесь не приводим.
Функцию Четаева выбираем в виде
У2 = £д2 — (д1 — Лд2)2]д'^1 (0 < в <£; т > 0). (4.3)
Коэффициент к связан с параметром а взаимно однозначным соответствием
а = ^ +1 (к > 2). (4.4)
л/к(к — 2)
При изменении к в интервале 2 < к < параметр а монотонно убывает от неограниченных значений до нуля.
Область У2 > 0 определяем соотношением
д1 = кд2 + 0£з/2д22 (—1 < в < 1). (4.5)
Производная йУ2/йт, вычисленная с учетом уравнений (4.2), имеет в области У2 > 0
вид
&У2 _ Ъл/к_ К1 С+1/2 а+С/2
<1т к-2в1в2 6
\ , (1 + 2к)(к-2) о2 , „
£Л-------—-/3 +{1-[3)К1
+ а(£3+е/2).
Отсюда следует, что при достаточно малых значениях £ функция йУ2/йт положительно определена в области У2 > 0 при любых значениях параметра к (к > 2), а значит, и при любых значениях резонансного коэффициента а. Таким образом, тривиальное равновесие системы третьего типа неустойчиво при всех а.
4.3. Представляет интерес рассмотреть взаимодействие двух слабых комбинационных резонансов третьего порядка (каждый из которых по отдельности сохраняет устойчивость системы) при отсутствии резонансов низших порядков и других резонансов третьего порядка. Этот случай является частным при рассмотрении наборов (2.9), (2.10) величин Л1, Л2, если предположить, что резонансные коэффициенты в слагаемых с гармониками, соответствующими параметрическому резонансу и двум основным резонансам третьего порядка, равны нулю. Данному случаю соответствует нормализованный гамильтониан (четвертого типа) вида
Г4 = аR1R^2 сов(2Ф1 — Ф2) + R1/2R2 сов(Ф1 — 2Ф2) + 02. (4.6)
Тривиальное равновесие системы с гамильтонианом (4.6) оказывается неустойчивым при всех значениях параметра а (а > 0). Для доказательства этого утверждения введем обозначения 01 = 2Ф1 — Ф2, 02 = Ф1 — 2Ф2 и осуществим замену переменных 0j, Rj -— Xj, gj (] = 1, 2) по формулам
01 = | + е£Х1, ф2 = Щ- + еех2, Щ = е£С^ = 1, 2; 0 < £ <1). (4.7)
Считаем, что £ > 2; ниже диапазон изменения параметра £ будет уточнен.
Как и в разделе 4.2, дифференциальные уравнения для переменных gj в главной части не зависят от Xj (] = 1, 2):
V2 ы'2 - *2/2>+о(е’).
й (4.8)
^ ^/2^2(Ч/2-^/2) + 0(-Л
Функцию Четаева выбираем в виде (4.3), в котором величина к (к > 0) связана с параметром а взаимно однозначным соответствием
2к + 1 / Л
а = ——--------------------------------------------. (4.9)
л/к (к + 2)
Область У2 > 0 определяем соотношением (4.5), а производная йУ2/йт, вычисленная с учетом уравнений (4.8), имеет в этой области вид
+ (1 “
йт к + 2 (4.10)
Ш = {2к + ™ + 2).
Функция £* (к) монотонно убывает и монотонно возрастает на интервалах 0 < к < 1 и к > 1 соответственно и в точке к = 1 (при а = 1) принимает минимальное значение, равное 3.
Если для каждого фиксированного значения к (и отвечающего ему а) параметр £ в замене (4.7) выбрать таким, чтобы выполнялось условие £ > £*(к) ^ 3, то при достаточно малых значениях £ функция йУ2/йт в (4.10) будет определенно-положительной в области У2 > 0. Это означает неустойчивость тривиального положения равновесия системы с гамильтонианом (4.6).
5. Исследование модельных систем
Отбросим слагаемые O2 в гамильтонианах Г1,Г4 и получим приближенные (модельные) гамильтонианы. Исследуем движения отвечающих им модельных систем в достаточно малой окрестности тривиального положения равновесия.
5.1. Модельные системы первого и второго типов. Дифференциальные уравнения движения модельных систем первого и второго типов представим как дифференциальные уравнения для переменных фj, Rj (0i = ЗФ1, Ф2 = Ф1 ± 2Ф2). Имеем
#1 9 „1/2 , . 3 R2 ,
— = ^aRi cosЩ + 2—1/2 cos'У'2’
Т Ri
#2
3 г. 1/2 I , R2 ± 4R1 (5 .)
=-гаЕ/ cos 01 Н----------——cos 02, (5.1)
dT 2 1 2R1/2
dR
- = R,y2(3aRi sin 0i + R2 sin 02), <Щ^- = ±2R1/2R.2 sin 02.
dT 1 dT
Соотношение
aR/2 cos ф1 + R1/2R2 cos ф2 = h = const является первым интегралом (интегралом энергии) систем (5.1).
5.1.1. Положения равновесия. Кроме тривиального равновесия, системы (5.1) имеют еще семейство положений равновесия, задаваемое равенствами
R1 = 0,R2 = R20 = const > 0,ф1 = Ф10 = const, Ф2 = Ф20 (cosФ20 = 0). (5.2)
Все эти равновесия принадлежат нулевому уровню энергии (h = 0).
Аналитическое и численное исследование показывает, что при выполнении условий
cos Ф10 = 0 и sin Ф20 = —1 положения равновесия (5.2) устойчивы, если возмущения переменных выбирать, оставаясь на нулевом уровне энергии, и неустойчивы, если возмущения берутся на произвольном (близком к нулю) уровне энергии. Если cos Ф10 =0 и sin Ф20 = 1 или же cos Ф10 = 0, то положения равновесия (5.2) неустойчивы при любом выборе возмущений.
5.1.2. Движения на нулевом уровне энергии. Исследуем движения модельных систем на нулевом уровне энергии, отличные от положений равновесия (5.2). Из интеграла энергии при h = 0 имеем соотношение
aR1 cos ф1 + R2 cos ф2 = 0. (5.3)
Рассмотрим два частных случая, удовлетворяющих уравнению (5.3).
1. Случай R2 = 0, cos фі = 0. Из системы (Б.1) имеем такие уравнения для Ri и ф2'-
= 3a5iR3/2, = ±2i?y2cos02 № = sin0i).
dт 1 dт
Кроме решения Ri = 0, соответствующего положению равновесия в начале координат, эта система имеет также решения, для которых
Ri(t) = (Сг - |ш5іт) , (5.4)
а cos ф2 = О или
А(т) — 1 / 3 \^8йі/(3а)
sinф2{т) = + х, А{т) = C2[Ci - ^aSiTj ,
где Cj — произвольные постоянные (Cj > 0,j = 1, 2).
Если $i = 1, то при т ^ 2^/(За) величина Rl(т) в (Б.4) неограниченно возрастает, а sinф2(т) ^ ±1. Если же $i = —1, то при т ^ величина Rl(т) стремится к нулю
и sin ф2(т) ^ ±1.
2. Случай cos фj = 0 (j = 1, 2). Введем обозначения sinфj = 5j и перепишем уравнения для Ri и R2 в виде
= E}/2(3m5iEi + 52R2), ^ = ±252r\/2R2. (5.5)
d.Ri
Кроме равновесия в начале координат и решений из семейства (5.2), система (5.5) имеет также решение, для которого R2 = 0, а зависимость Rl(т) описывается соотношением (5.4). При Rj = 0 (] = 1, 2) исключим из (5.5) т и получим уравнение
'«! =±(1 + к|Л, (5.6)
dR2 \2 R2 J 2Ь2
Его решения при к = 1 и к = 1 имеют, соответственно, вид
Ri(R2) = CR2 - , R'2 , и Ri(R2) = ±±Д21п(С"Д2) (С" = const, > 0).
2(к ^ 1) 2
Эти соотношения описывают семейства траекторий в фазовой плоскости переменных R1,R2.
Отметим наличие прямолинейной траектории (C = 0), при движении вдоль которой величины R1 и R2 либо неограниченно возрастают (в случаях $1 = —1, 52 = 1 или $1 = = $2 = 1 при 0 < к < 1 для системы первого типа и в случае $1 = 1, $2 = —1 при к < —1 для системы второго типа), либо стремятся к началу координат (в случаях $1 = $2 = — 1 при 0 < к < 1 или $1 = 1, $2 = —1 для системы первого типа и в случае $1 = —1, $2 = 1 при к < —1 для системы второго типа).
Пусть теперь cos фj = 0 (j = 1, 2). Из соотношения (5.3) следует, что величины cos Ф1 и cos Ф2 должны быть разных знаков. Выберем для определенности следующую область изменения переменных Ф1,Ф2'-
-| < 01 < §, | < 02 < (5.7)
При помощи соотношения (5.3) исключим величину R2 из первых трех уравнений системы (5.1) и перепишем эту систему в виде
„ „1/2 , #2 / , , 0 ,4 „1/2
— = Защ сое01, — = (асовщ ± 2сов 1р2)щ ,
= аК^2(3 ЭШ 01 — СОЭ 01 1^ 02), = ±2і?у2і?2 вІП 02-
МІІ МІ
(5.8)
Из первых двух уравнений (5.8) следует уравнение
#2 _ 1 , ,/ СОЭ 02 ./ _ А
с?0і 3 К соэ 01 ’ К За ’
(5.9)
отделяющееся от двух других уравнений системы (5.8). Его решения описывают фазовые траектории модельной системы (на нулевом уровне энергии) в плоскости переменных 01,02.
На рисунках 1 и 2 показана эволюция этих траекторий при изменении параметра а для модельной системы первого и второго типа соответственно: рисунок 1а—£ отвечает случаям а = 0.1; 0.5; 1; 2; 5; 10, рисунок 2а-£ — случаям а = 0.1; 0.5; 0.8; 1; 3; 10.
(с)
Точки на горизонтальных границах области на рисунках 1, 2 соответствуют положениям равновесия из семейства (5.2). Для угловых точек, кроме того, имеются еще движения, описанные в случае 2. Движения вдоль вертикальных границ области отвечают случаю 1.
А (а) (Ь) (с)
Опишем другие траектории уравнения (5.9) и соответствующие изменения функций Н-1(т ),Я2(т).
Модельная система первого типа. Для каждого значения параметра а исследуемая область изменения параметров ^1,^2 может быть разделена на три подобласти с различным характером траекторий. Границами подобластей служат кривые — траектории уравнения (5.9), соединяющие две верхние и две нижние угловые точки области; они показаны на рисунке 1 полужирными линиями. В малой окрестности угловых точек (—п/2,п/2) и (п/2, 3п/2) указанные кривые аппроксимируются отрезками прямых с углами наклона arctg(3(1 + к!))-1 к горизонтали.
Все движения системы в выделенных подобластях происходят в течение конечного времени. Фазовые траектории в верхней подобласти выходят из угловой точки (-п/2, 3п/2) (в ее малой окрестности величины К1,К2 принимают неограниченные значения) и заканчиваются на верхней горизонтальной границе области, при этом система достигает одного из положений равновесия семейства (5.2). Для движений вдоль фазовых траекторий в нижней подобласти характер движений аналогичен при замене т на -т. Фазовые траектории из средней подобласти соединяют угловые точки (-п/2, 3п/2) и (п/2,п/2), и вблизи этих точек значения К1,К2 неограниченны. Характерные графики функций ^(т), ^(т), соответствующие движениям по фазовым траекториям в верхней, средней и нижней подобластях на рисунке 1, представлены на рисунке 3а-с. Для движений вдоль верхней и нижней граничных кривых имеем, соответственно, 0 и (] = 1, 2) за бесконечное
и за конечное время.
Д15 Я2 (Ф (е) (О
Отметим, что верхняя подобласть вне малой окрестности угловых точек (±п/2, 3п/2) оказывается «зоной устойчивости» системы (на нулевом уровне энергии), несмотря на наличие двух сильных резонансов третьего порядка: траектории системы остаются в малой окрестности начала координат К\ = К2 = 0, если начальные значения К10, К20 достаточно малы. Эта «зона» весьма мала при малых значениях а, увеличивается с ростом а (см. рис. 1) и при больших значениях а занимает заметную часть области.
Характер фазовых траекторий системы в плоскости ('ф\, ф2) и свойства функций К^ (т) качественно одинаковы для всех значений резонансного коэффициента а. Количественные характеристики зависят от а, например, размеры описанных подобластей в плоскости (•01,'02). Вместе с а меняются углы наклона фазовых траекторий. Так, траектории в средней подобласти почти вертикальны при малых а (когда преобладает комбинационный резонанс), с ростом а эти траектории отклоняются от вертикали. При а = 0.5 (рис. 1Ь) через центральную точку области проходит прямолинейная фазовая траектория ф2 = п —
— ф\ с углом наклона п/4 к вертикали. При а = 2 (рис. 1ё) аналогичная траектория имеет горизонтальную касательную. С дальнейшим ростом а (когда начинает преобладать основной резонанс) фазовые траектории почти параллельны (рис. 1е, £), углы их отклонения от вертикали увеличиваются и (вне малой окрестности вертикальных границ) приближаются к значению п/2 — arctg(1/3).
Модельная система второго типа. При 0 < а < 2/3 доминирующее влияние оказывает слабый комбинационный резонанс. Траектории уравнения (5.9) соединяют точки нижней и верхней горизонтальных границ области (см. рис. 2а, Ь). Функции К1(т),К2(т) ограничены, их графики показаны на рисунке 3ё. Вся рассматриваемая область (кроме малых окрестностей точки (п/2, 3п/2) и правой вертикальной границы) является «зоной устойчивости» системы.
При малых значениях параметра а фазовые траектории почти вертикальны. С ростом а углы наклонения траекторий к вертикали растут; наблюдается скопление начальных и конечных точек фазовых траекторий вблизи угловых точек (—п/2,п/2) и (п/2, 3п/2). При этом из точки (—п/2,п/2) выходит и в точку (п/2, 3п/2) входит только одна (вертикальная) траектория.
Точка а = 2/3 (т. е. к' = 1) есть точка перестройки фазового портрета. При а > 2/3 (к' < 1) из угловой точки (— п/2,п/2) выходит пучок траекторий с общей вертикальной касательной и одна траектория, угол наклона которой к горизонтали равен arctg(3(1 — к'))-1; аналогично, в угловую точку (п/2, 3п/2) входит пучок траекторий с общей вертикальной касательной и одна траектория с тем же углом наклона. Две отмеченные траектории показаны на рисунке 2с-£ полужирными линиями. При а = 1 эти траектории сливаются и представляют прямолинейный отрезок, описываемый уравнением ф2 = п + ф1 (рис. 2ё).
Указанные кривые разбивают исследуемую область плоскости ф1,ф2 на три подобласти (на две подобласти при а = 1). Характер движений системы в случаях, когда изображающая точка (ф1,ф2) движется в верхней или нижней подобластях, такой же, как для аналогичных подобластей модельной системы первого типа; графики функций К1(т), К2(т) представлены на рисунке 3а, с.
Фазовые траектории в средней подобласти в случаях 2/3 ^ а < 1 (см. рис. 2с), аналогично траекториям в случае а < 2/3, начинаются и заканчиваются на горизонтальной границах области. При а> 1 фазовые траектории (см. рис. 2е, £), включая граничные кривые, соединяют угловые точки (— п/2,п/2) и (п/2, 3п/2). Графики функций К1(т) и К2(т) для случаев 2/3 ^ а < 1 и а > 1 представлены на рисунках 3ё и 3Ь соответственно.
Таким образом, в случае 2/3 ^ а < 1 «зону устойчивости» составляют верхняя и средняя подобласти, а при а ^ 1 — только верхняя подобласть; в обоих случаях следует исключить малые окрестности угловой точки (±п/2, 3п/2). С ростом а, при усилении роли сильного резонанса, площадь «зоны устойчивости» уменьшается.
Для больших значений а фазовые траектории вне малой окрестности вертикальных границ почти параллельны и имеют к вертикали угол наклона, близкий к п/2 — arctg(1/3).
5.1.3. Движения на ненулевых уровнях энергии. Численный анализ показывает, что характер движений модельной системы первого типа на ненулевом уровне энергии качественно один и тот же для всех значений параметров Н и а и при любых начальных условиях. Движение происходит за конечное время, при приближении к левому или правому концам временного интервала функции К^ (т) (] = 1, 2) становятся неограниченными (см. рис. 3Ь).
Качественный характер движения модельной системы второго типа определяется значением резонансного коэффициента а, а при выбранном а не зависит от константы Н и начальных условий. Характерные графики функций К^ (т) представлены на рис. 4а (случай а = 0.2) и рис. 4Ь (случай а = 0.5); выбранные масштабы по обеим осям различны.
Движение системы в случае а = 0.2, когда еще преобладает слабый резонанс, происходит в течение длительного времени (при а = 0 время движения системы неограниченно). В некоторые моменты времени наблюдаются «всплески» значений функций К^ (т) порядка нескольких десятков (см. рис. 4а). При а = 0.5 интервал времени движения системы существенно короче, чем в предыдущем случае, и при приближении к границам этого интервала значения функций К^ (т) неограниченно возрастают (см. рис. 4Ь). «Всплески» значений этих функций внутри временного интервала достигают порядка нескольких сотен. При а ^ 1 наблюдается решающее влияние сильного резонанса, временной интервал движения еще более сокращается, при этом графики функций К^ (т) имеют вид, как на рисунке 3Ь.
Рис. 4.
5.2. Исследование модельных систем третьего и четвертого типов. Дифференциальные уравнения, описывающие движения систем с гамильтонианами Гз, Г4 (без слагаемых O2) имеют вид
d^i 4R2 і Ri , R2 і Ri /
= ol-----— cos ф 1 H------- — cos ф2,
dT
2R
i/2
R
i/2
d^2 R2 — Ri і R2 — 4Ri ,
— 01-----------—— cos ф 1 H-------—— cos ф2,
dT
R^/2 2 R^/2
R2 2R1
(5.lG)
^ = R11/2R12/2{2aR11/2 sin ip\ + R\/2 sin V>2),
= R[^2R^2(±aR[^2 sin ipi — 2R}J2 sin ^2),
где ф1 = 2Ф1 ± Ф2,ф2 = Ф _ 2Ф2, а верхние и нижние знаки здесь и далее в этом разделе отвечают системе третьего и четвертого типов.
Соотношение
aR1 Rcos ф1 + R/2R2 cos ф2 = h = const
является первым интегралом системы (5.10).
5.2.1. Движения на нулевом уровне энергии. Как и в предыдущих случаях, все положения равновесия системы (5.10) принадлежат нулевому уровню энергии. Помимо тривиального, имеются еще положения равновесия, для которых
Ri = G, R2 = R20 = const > G или R2 = G, Ri = Ri0 = const > G,
Фj = Фj0 = const (cos фj0 = G, j = l, 2).
(5.ll)
Все эти положения равновесия неустойчивы.
Для остальных движений нулевого уровня энергии выполняется соотношение
aR[/2 cos ф1 + r2/2 cos ф2 = G.
(5.l2)
i
Учитывая, что уравнение (5.12) может быть удовлетворено только при условии cos Ф1 cos Ф2 ^ 0, выбираем для исследования область
п
п
(5.13)
Рассмотрим сначала частный случай, когда cos Ф1 = cos Ф2 = 0. Из двух последних уравнений системы (5.10) исключим время т и найдем
сІЯг _ :laSR1/2 + ДУ2 dR2 ± a£i?}/2 - 2Ез/2
(5 = sin ф1 sin ф2).
(5.l4)
Решения этого уравнения описывают траектории в фазовой плоскости переменных К\,К2-На рисунке 5а-с показаны семейства траекторий уравнения (5.14) для системы третьего типа. Рисунок 5а относится к точке ф\ = п/2, ф2 = п/2, рисунки 5Ь и 5с — к точке ф\ = = п/2, 02 = 37г/2 при а < а* и а > а* соответственно; здесь а* = у/83 + 13\/б5/8 ~ ~ 1.713. Прямолинейные траектории на рисунках 5а и 5с задаются уравнениями К\ = кК2 и К\ = В,2(ї = 1, 2) соответственно. Здесь к — корень уравнения (4.4), а к — два корня уравнения
2к + 1
a=
при G < k < 2 и a > a* (а)
у/к( 2 — к)
(Ь)
(с)
(d)
(е)
Семейства траекторий уравнения (5.l4) для системы четвертого типа показаны на рисунках 5d и 5e для точек ф1 = п/2,ф2 = п/2 и ф1 = 3п/2,ф2 = п/2 соответственно. Прямолинейная траектория на рисунке 5e задается уравнением Ri = kR2, где k — корень уравнения (4.9).
Фазовые траектории модельных систем третьего и четвертого типов, относящиеся к точкам ф1 = -п/2,ф2 = 3п/2 и ф1 = -п/2,ф2 = п/2, такие же, как фазовые траектории, соответственно, для точек ф1 = п/2,ф2 = п/2 и ф1 = п/2,ф2 = 3п/2 на рисунке 5, но направления движений на них следует поменять на противоположные.
Пусть теперь cosфj = G (j = 1, 2). При помощи соотношения (5.12) исключим величину R2 из правых частей системы (5.lG) и перепишем ее в виде
d'tpi _ 1 pi/2 ± cos2 02 — 2а2 cos2 '0i dr 2 1 cos ф-2 ’
d-ф2 _ 1 1/2 o? COS2 01 + 2 COS2 02
d,r 2 1 cos 02 ’
dRl 2 t}3/2 cos2 Ф1
= -а -----------------— (2t,g 01 - t.g 02 ,
dT 1 cos ф2
dR2 2-г>3/2 cos2 Ф1, ,
—— = azR{ -------------------— =Ftg 0i - 2t,g 02 •
dT 1 cos ф2
Из первых двух уравнений системы (5.15) следует уравнение
dф1 2a2 cos2 ф1 т cos2 ф2
d02 a2 cos2 01 + 2 COS2 02 ’
(5.15)
(5.16)
описывающее траектории модельных систем (на нулевом уровне энергии) в фазовой плоскости переменных фі,ф2-
Эволюция траекторий уравнения (5.16) для систем третьего и четвертого типов в области (5.13) представлена на рисунках 6 и 7 соответственно. Рисунки 6а-Ь отвечают случаям а2 = 0.01; 0.1; 0.5; 1; 2; 3; 6; 10, рисунки 7а-£ — случаям а2 = 0.1; 0.5; 1; 1.5; 6; 10.
Модельная система третьего типа. Для каждого значения параметра а из угловой точки фі = п/2,ф2 = п/2 выходит и в угловую точку фі = -п/2, ф2 = 3п/2 входит ровно по одной фазовой траектории (полужирные линии на рис. 6); вблизи угловых точек они аппроксимируются отрезками прямых с углами наклона к горизонтали, равными аrctg к(а), где к(а) — корень уравнения
2 _ 1 - 2к
a
k2(2 + k)
при 0 < к < 1/2.
При a < a^ (рис. 6a-e) все фазовые траектории, кроме указанных, начинаются и заканчиваются на горизонтальных и вертикальных границах области. Точкам горизонтальных границ соответствуют значения R1 = const = 0,R2 = 0, точкам вертикальных границ — значения R1 = 0,R2 = const = 0. Графики функций R1(t),R2(т), отвечающие движениям по траекториям в верхней, средней и нижней подобластях на рис. 6a-e, представлены на рис. 3d, 3е и 3f, все движения происходят за конечное время.
Рис. 6.
Таким образом, в рассматриваемом диапазоне параметра а преимущественное влияние оказывает слабый параметрический резонанс. Почти вся область (кроме малых окрестностей угловой точки ф\ = п/2,ф2 = п/2 и нижней граничной кривой) является «зоной устойчивости».
При малых значениях а фазовые траектории почти параллельны (с углом наклона к горизонтали, близким к arctg(1/2), см. рис. 6а). С ростом а происходит перестройка фазовых траекторий; наблюдается скопление выходящих траекторий вблизи точки ф\ = = -п/2, ф2 = п/2 и входящих траекторий вблизи точки ф1 = п/2, ф2 = 3п/2, но ни одна из траекторий через указанные угловые точки не проходит.
Точка а = а* является точкой перестройки фазовых траекторий системы в плоскости (ф2,ф1). Напомним, что при переходе через эту же точку изменяется характер фазовых
А
(а)
(Ь)
(с)
траекторий в плоскости К\,К2 (см. рис. 5Ь,с), соответствующих угловым точкам 01 = = -п/2, 02 = п/2 и 01 = п/2, 02 = 3п/2.
При а > а* выделенная ранее средняя подобласть может быть разделена, в свою очередь, еще на три части (см. рис. 6£—Ь). Границами служат две дополнительные граничные кривые (показанные также полужирными линиями), соединяющие противоположные угловые точки области. Левая кривая выходит из точки 01 = -п/2, 02 = п/2 под углом arctg &1(а) к горизонтали, а правая, вместе с нижней граничной кривой и пучком других траекторий, составляющих три подобласти на рассматриваемых фазовых портретах, — под углом arctg к2(а) к горизонтали. Эти же кривые входят в угловую точку 01 = п/2, 02 = = 3п/2 под углами arctg к2(а) и arctg к1(а). Здесь к1(а) и к2 (а) — больший и меньший из двух корней уравнения
2к + 1
а2 =
к2(2 — к)
(0 <к< 2),
существующих при условии а > а*. Отметим, что при а2 = 3 (см. рис. 6f) одна из описываемых границ — отрезок прямой 01 = 02 — п/2 (при этом к2 = 1).
Как и в случае а < а*, точкам горизонтальных и вертикальных границ соответствуют значения Ri = const = 0,R = 0 и Ri = 0,R = const = 0, а при стремлении фазовой траектории в одну из угловых точек (при т > 0 или т < 0) значения величин Ri,R2 неограниченно возрастают. Поэтому характерные графики функций Ri(t) и R2(t), соответствующие фазовым траекториям в верхней подобласти и левой части средней подобласти,
имеют вид, как на рисунке 3с; эти же графики для траекторий из нижней подобласти и правой части средней подобласти показаны на рисунке За. Наконец, графики функций ^(т), Я,2(т), отвечающие траекториям из центральной части средней подобласти, изображены на рисунке ЗЬ.
Таким образом, «зоной устойчивости» в рассматриваемом случае а > а*, когда доминирующим является сильный комбинационный резонанс, являются нижняя подобласть и правая часть средней подобласти (вне малых окрестностей граничных кривых).
При больших значениях а фазовые траектории в средней подобласти почти параллельны и наклонены к горизонтали под углом, близким к arctg 2.
Модельная система четвертого типа. Движения модельной системы четвертого типа на нулевом уровне энергии схожи с аналогичными движениями модельной системы третьего типа при небольших значениях параметра а (т. е. в случае преобладания слабого комбинационного резонанса). Рассматриваемая область плоскости 02,01 разделена на три подобласти кривыми, одна из которых выходит из угловой точки 01 = -п/2,02 = п/2, а вторая входит в угловую точку 01 = п/2,02 = 3п/2 (полужирные линии на рис. 7). Углы наклона к горизонтали этих кривых в окрестности угловых точек равны arctg к(а), где к(а) — корень уравнения
“2=йВу (1/2<*<2)-
При а =1 имеем к = 1, а обе граничные кривые сливаются и представляют отрезок прямой 01 = 02 - п/2.
Графики функций ^(т) и ^(т), соответствующие траекториям из верхней, средней и нижней подобластей (см. рис. 7), показаны, соответственно, на рисунках 3£, Зе и Зё. Диапазон изменения величин К1, К2 ограничен, время движения конечно. «Зоной устойчивости» является вся рассматриваемая область, за исключением малых окрестностей угловой точки 01 = -п/2,02 = п/2 и граничной кривой, входящей в угловую точку 01 = п/2,02 = 3п/2.
5.2.2. Движения на ненулевых уровнях энергии. Как для модельной системы второго типа, качественный характер движений модельных систем третьего и четвертого типов на произвольном уровне энергии определяется только значением параметра а.
Характерные графики функций К1 (т), К2 (т) для системы третьего типа показаны на ри-сункеах 8а-с, соответственно, для случаев а = 0.2; 0.3; 0.35. Масштабы изображений по обеим осям для всех графиков различны.
При небольших значениях а (когда доминирует слабый резонанс) время движение системы велико, часто происходят «всплески» значений величин К1,К2 порядка нескольких единиц (рис. 8а). С ростом а наблюдаются «волнообразные всплески» по обеим переменным К1, К2 (на рис. 8Ь показаны два из них), максимальная амплитуда которых достигает порядка нескольких десятков; внутри каждой «волны» происходят «быстрые колебания» с растущей или затухающей амплитудой; общее время движения сокращается. С дальнейшим ростом а (рис. 8с) время движения существенно сокращается, на обеих границах временного интервала значения величин К1,К2 становятся неограниченными, а наблюдаемые в окрестности обеих границ «всплески» достигают порядка нескольких сотен или тысяч. В случаях а ^ 1 графики функций ^(т) и ^(т) приобретают вид, как на рисунке ЗЬ.
На рисунке 8ё-£ изображены характерные графики функций К1 (т), К2 (т) модельной системы четвертого типа при а = 0.3; 1; 3. Первый и третий из этих графиков соответствуют случаям преобладания одного из двух слабых комбинационных резонансов и качественно похожи на аналогичные графики для системы третьего типа в случаях умеренных значений
Рис. 8.
параметра а; наблюдаемые «всплески» значений величин R1, R2 имеют порядок нескольких единиц или десятков. Рисунок 8b отвечает случаю равного влияния обоих слабых резонансов; «волнообразный» характер движения исчезает, время от времени возникают сильные «всплески» значений Ri, R2 порядка нескольких сотен или тысяч. Неустойчивость движения проявляется в этом случае наиболее отчетливо.
Список литературы
[1] Korteweg D. J. Sur certaines vibrations d’ordre superieur et d’intensite anomale // Arch. Neerl. Sci. Exactes et Natur., ser. 2, 1898, vol. 1, pp. 229-260.
[2] Beth H. I. E. Les oscillations autour d’une position dans le cas d’existence d’une relation lineaire simple entre les nombres vibratoires // Arch. Neerl. Sci. Exactes et Natur., ser. 2, 1910, vol. 15, pp.246-283.
[3] Beth H. I. E. Les oscillations autour d’une position dans le cas d’existence d’une relation lineaire simple entre les nombres vibratoires (suite) // Arch. Neerl. Sci. Exactes et Natur., ser. 3A, 1912, vol. 1, pp. 185-213.
[4] Куницын А. Л., Маркеев А. П. Устойчивость в резонансных случаях. (Итоги науки и техники. Сер. Общая механика, т. 4.) М.: ВИНИТИ, 1979. С. 58-139.
[5] Маркеев А. П. Устойчивость гамильтоновых систем // Нелинейная механика / В. М. Матросов, В. В. Румянцев, А. В. Карапетян. М.: Физматгиз, 2001. С. 114-130.
[6] Куницын А. Л. Об устойчивости в критическом случае чисто мнимых корней при внутреннем резонансе // Дифференциальные уравнения, 1971, т. 7, №9, с. 1704-1706.
[7] Хазина Г. Г. Некоторые вопросы устойчивости при наличии резонансов // ПММ, 1974, т. 38, №1, с. 56-65.
[8] Куницын А. Л., Медведев С. В. Об устойчивости при наличии нескольких резонансов // ПММ, 1977, т. 41, №3, с. 422-429.
[9] Куницын А. Л., Ташимов Л. Т. Некоторые задачи устойчивости нелинейных резонансных систем. Алма-Ата: Гылым, 1990. 196 с.
[10] Хазин Л. Г. Об устойчивости положения равновесия гамильтоновых систем дифференциальных уравнений: (Взаимодействие резонансов третьего порядка). Препринт №133. М.: Инст. прикл. матем. АН СССР, 1981. 20 с.
[11] Хазин Л. Г. Взаимодействие резонансов третьего порядка в задачах устойчивости гамильтоновых систем // ПММ, 1984, т. 48, №3, с. 494-498.
[12] Маркеев А. П. О кратном резонансе в линейных системах Гамильтона // Докл. РАН, 2005, т. 402, №3, с. 339-343.
[13] Маркеев А. П. О кратном параметрическом резонансе в системах Гамильтона // ПММ, 2006, т. 70, №2, с. 200-220.
[14] Маркеев А. П. Линейные гамильтоновы системы и некоторые задачи об устойчивости движения спутника относительно центра масс. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. 396 с.
[15] Маркеев А. П. Об одном особом случае параметрического резонанса в задачах небесной механики // Письма в Астрономический журнал, 2005, т. 31, №5, с. 388-394.
[16] Маркеев А. П. Кратный резонанс в одной задаче об устойчивости движения спутника относительно центра масс // Письма в Астрономический журнал, т. 31, №9, с. 701-708.
[17] Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312 с.
[18] Якубович В. А., Старжинский В. М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука, 1987. 328 с.
[19] Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 532 с.
Motions of a two-degree-of-freedom Hamiltonian system in the presence of multiple third-order resonances
Olga V. Kholostova
Moscow Aviation Institute (State Research University)
Volokolamskoe Shosse 4, Moscow, 125993, Russia kholostova_o@mail.ru
Motions of a time-periodic, two-degree-of-freedom Hamiltonian system in a neighborhood of a linearly stable equilibrium are considered. It is assumed that there are several resonant third-order relations between the frequencies of linear oscillations of the system. It is shown that in the presence of two third-order resonances the equilibrium is unstable at any ratio between resonant coefficients. Approximate (model) Hamiltonians are obtained which are characteristic of the resonant cases under consideration. A detailed analysis is made of nonlinear oscillations of systems corresponding to them.
MSC 2010: 70H05, 70H14, 70K05
Keywords: Hamiltonian system, multiple resonance, stability, Chetaev function
Received March 25, 2012, accepted April 27, 2012
Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2012, vol. 8, no. 2, pp. 267-288 (Russian)
