CC BY
4Нелинейная динамика. 2014. Т. 10. № 4. С. 447-464. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru
УДК: 531.36
М8С 2010: 70Н05,70Н15,70Е50
Упрощение структуры форм третьей и четвертой степеней в разложении функции Гамильтона при помощи линейного преобразования
А. П. Маркеев
Рассматриваются канонические дифференциальные уравнения, описывающие движение материальной системы с одной степенью свободы. Предполагается, что существует равновесие, совпадающее с началом координат фазового пространства. Считается, что в достаточно малой окрестности положения равновесия функция Гамильтона представима сходящимся рядом, причем этот ряд не содержит членов второй степени, а члены третьей и четвертой степеней не зависят от времени. Найдены линейные вещественные канонические преобразования, приводящие члены третьей и четвертой степеней к простейшим формам. Полученная на основе этих форм классификация рассматриваемых систем используется при обсуждении вопроса об устойчивости положения равновесия.
Ключевые слова: система Гамильтона, канонические преобразования, устойчивость
1. Введение
Постановка задачи. Пусть движение системы с одной степенью свободы описывается каноническими дифференциальными уравнениями
Предположим, что система имеет положение равновесия, отвечающее началу координат х = у = 0 фазового пространства, и в достаточно малой его окрестности функция
Получено 04 ноября 2014 года После доработки 20 ноября 2014 года
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-21-00068) в Московском авиационном институте (Национальном исследовательском университете).
Маркеев Анатолий Павлович markeev@ipmnet.ru
Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН 119526, Россия, Москва, пр. Вернадского, 101, стр. 1
йх дН dy дН (И ду ' М дх '
(1.1)
Гамильтона Н = Н(х,у,Ь) представима сходящимся рядом, не содержащим членов второй степени:
н = нк(х,у,ь), нк = ^ кху^- (1-2)
к=3 V+^=к
Будем считать также, что при 3 ^ к ^ п (п — натуральное, быть может, достаточно большое число) коэффициенты не зависят от времени Ь, а при к ^ п +1 они — непрерывные и периодические функции Ь.
К рассмотрению уравнений вида (1.1) приводят многие задачи об устойчивости и нелинейных колебаниях 2-^-периодической по времени гамильтоновой системы с одной степенью свободы, когда характеристические показатели ±гЛ линеаризованной системы чисто мнимые, причем Л — рациональное число [1—4]. К таким задачам относится, например, задача об устойчивости положения равновесия на границе области параметрического резонанса, когда матрица монодромии линеаризованной системы приводима к диагональной форме [5-9] (см. также раздел 5 статьи).
Основная цель данной статьи состоит в нахождении вещественного линейного канонического преобразования х, у ^ д, р, приводящего члены третьей и четвертой степеней в разложении (1.2) функции Гамильтона к наиболее простой форме. Эта задача аналогична задаче о классификации критических точек гладких функций [10].
В качестве приложения в статье обсуждается также вопрос об устойчивости положения равновесия х = у = 0 системы (1.1).
Формулировка основного результата. Пусть в разложении (1.2) форма третьей степени Нз не зависит от Ь и не обращается тождественно в нуль. Тогда существуют вещественные линейные канонические преобразования х, у ^ д, р, такие, что члены третьей степени относительно д, р в разложении преобразованной функции Гамильтона в ряд записываются в одной из следующих форм:
1) д(д2 + р2), 2) д(д2 - р2), 3) д2р, 4) д3. (1.3)
Если же Нз = 0, но при этом совокупность членов четвертой степени Н4 не зависит от Ь и не равна тождественно нулю, то вещественным линейным каноническим преобразованием х, у ^ д, р эта совокупность членов может быть приведена к одной из следующих девяти форм:
1) д4 + ад2р2 + р4 (а > -2), 2) д4 + ад2р2 + р4 (а < -2),
3) д4 + ад2р2 - р4 (а — любое вещественное число), 4) д2(д2 — р2), (1-4)
5) д2(д2 + р2), 6) д2р2, 7) д3р, 8) - д3р, 9) д4.
В статье также указана конструктивная процедура построения канонического преобразования х, у ^ д, р.
Замечание. Следует иметь в виду, что формы (1.3) и (1.4) членов третьей и четвертой степеней можно записать и иначе, не теряя их простой структуры. Например, если поменять ролями координаты и импульсы (сделав каноническую замену д = Р, р = Q), то вместо формы 8) из (1.4) получим форму QP3.
2. Предварительная замена переменных
Сделаем в системе (1.1), (1-2) замену переменных — поворот на угол а:
x = cos аи + sin av, y = — sin au + cos av. (2.1)
Здесь угол а — произвольная постоянная величина. Ниже, в разделах 3 и 4 при получении форм (1.3) и (1.4), этот угол будет выбираться вполне определенным образом.
Замена (2.1) является унивалентным каноническим преобразованием [11]. В новых переменных и, v уравнения движения остаются каноническими, а формы R3 и R4 третьей и четвертой степеней в разложении новой функции Гамильтона R(u, v, t) в ряд не зависят от t и определяются равенствами
R3 = Г30 и3 + Г21и2 v + Г12 uv2 + Г03 v3, (2.2) Г03 = F3(a) = Я3^ш a, cos a), Г12 = F3,
Г21 = 1^ + 1^3, = + (2.3)
R4 = r40u4 + r31 u3v + r22u2v2 + r13uv3 + r04v4, (2.4) Пм = F4(a) = Я4(sin a, eos a), rri = F¡, r22 = | F" + 2F4,
Г31 = l FU' + ¡ Fi, r4o = ¿ F'¡" + ¡ F? + F4. (2.5)
Штрихом в формулах (2.3) и (2.5) обозначается дифференцирование по a.
3. Упрощение форм третьей степени
Пусть a* — вещественный корень уравнения F3(a) = 0. Хотя бы один такой корень существует, так как F3(a) периодична и имеет нулевое среднее значение по a. В замене переменных (2.1) положим a = a*. При получении простейших форм (1.3) членов третьей степени следует рассматривать три случая в зависимости от того, обращаются ли в нуль производные F3 и F3' при a = a* (все три первые производные функции F3 не могут одновременно обратиться в нуль при a = a*, так как в противном случае форма H3 в разложении (1.2) была бы тождественно равна нулю).
Замечание. Наличие корня a = a* у уравнения F3(a) = 0 означает, что функция H3(x,y) имеет множитель x cos a* — y sin a* и во всех точках прямой x cos a* = y sin a* в плоскости (x,y) функция H3(x, y) обращается в нуль. Если при a = a* еще и Fg =0, то множитель x cos a* — y sin a* будет двукратным, а при F3(a*) = Fg (a*) = Fg' (a*) =0 — трехкратным.
Очевидно, что аналогичное замечание справедливо и для функции H4(x, y), когда у уравнения F4(a) = 0 есть корень a = ao.
1. Случай F3 (a*) = 0, F%(a*) = 0. Функция (2.2) имеет вид
R3 = u(r30 u2 + Г21 uv + Г12 v2) (r12 = F3 (a*) = 0). (3.1)
В зависимости от значения величины § = 4Г30Г12 — r^ имеется три возможности.
1. § > 0. Сделаем каноническую замену переменных
2 raí 1 ( rV2\ u = —=q, v =--■= q Н--р с = —г;— • (3-2)
/tu v /71
§ r12 § r12
Здесь и ниже через с обозначается валентность рассматриваемого канонического преобразования. В новых переменных получаем функцию Гамильтона Н*, у которой совокупность членов третьей степени имеет форму 1) из равенств (1.3):
Н3 = д(д2 + р2)
2. 5 = 0. Каноническая замена
1 Г21
и = р, ь =--д- -— р
Г12 2Г12
приводит функцию (3.1) к форме 3) из равенств (1.3):
Н* = д2р.
3. 5 < 0. После канонической замены переменных
(с = Г12 )
(3.3)
(3-4)
(3.5)
2
и = —
у/Щ
д,
V =
Г21
Г12"
с=
Г12"
функция (3.1) принимает форму 2) из равенств (1.3):
Н3 = д(Г - р )-
2. Случай F3(а*) = 0, ^3(а*) = 0, ¥"(а*) = 0. Функция (2.2) имеет вид Ез = и2(гзо и + Г21V) (Г21 = 1/2 (а*) = 0).
Каноническая замена переменных
1
и = — д, Г21
Г30
г> = —+ р (с = Г21)
21
приводит эту функцию к виду (3.5).
3. Случай ^3(а*) = 0, Е%(а*) = 0, Е"(а*) = 0. В этом случае
Е3 = г 30 и3 (г3о = 1/6 (а*) = 0).
Если сделать замену переменных
и = д, V = Г30р (с = г-1),
то функция (3.10) принимает форму 4) из равенств (1.3):
Н* = д3-
(3.6)
(3-7)
(3.8)
(3-9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
Фазовые портреты систем, описываемых формами третьей степени (1.3), представлены на рисунке 1.
Рис. 1. Фазовые портреты систем, задаваемых формами третьей степени (1.3): а) H^ = q(q2 + p2), b) H = q(q2 _p2), c) = q2p, d) = q3. На двух нижних портретах (c, d) все точки оси ординат (q = 0, p = const) отвечают положениям равновесия системы с функцией Гамильтона H|.
4. Упрощение форм четвертой степени
Пусть в разложении (1.2) Нз = 0, а форма Н4 не зависит от Ь и не обращается тождественно в нуль. После преобразования поворота (2.1) члены четвертой степени запишутся в виде формы Я4 из (2.4). При получении простейших ее форм (1.4) и соответствующих линейных канонических преобразований, приводящих Я4 к этим формам, следует рассмотреть пять отличающихся один от другого случаев.
1. Случай F4(a) = 0. Пусть уравнение ^4(а) = 0, где ^4(а) определяется первым из равенств (2.5), не имеет вещественных корней. В этом случае форма Н4 (а следовательно, и форма Я4 из (2.4)) будет знакоопределенной. Не ограничивая общности, будем считать ее определенно положительной (в противном случае можно было бы поменять ролями канонически сопряженные переменные х и у).
В силу периодичности функции ^4(а) по а, существует хотя бы одно значение а = ао, для которого производная (а) обращается в нуль. Примем это значение а в качестве угла поворота в преобразовании (2.1). Тогда коэффициент пз в функции (2.4) равен нулю и она имеет вид
Я4 = Т40П4 + Г31 п3у + Т22П2 V2 + Го4^4, (4.1)
причем коэффициенты г 40 и Г04 положительны. Эту функцию можно несколько упростить, сделав каноническую замену по формулам
и = V = (с = х/Г40Пм)- (4.2)
Функция (4.1), преобразованная к новым переменным П1, VI, имеет вид
Я4 = п\ + £31^ VI + £22 и^2 + V4, (4.3)
£ = г-3/4г-1/4г = -1/2-1/2 г (44)
£31 = г40 г04 Г31, £22 = г40 г04 Г22. (4.4)
Форма (4.3) содержит два коэффициента £31 и £22, которые зависят от параметров исходной системы (1.1), (1.2). Опираясь на результаты статьи [12], можно показать, что в плоскости £22, £31 область знакоопределенности формы (4.3) лежит справа от прямой £22 = —2, ее границы задаются равенством А = 0, где
А = 27£41 + 4£22 (£22 — 36) £21 — 16 (£22 — 4)2, (4.5)
а сама область симметрична относительно оси £31 =0 и задается неравенством
I 0311 < ^ ^022 (36 -£>У + (12 + £>У3/2. (4.6)
Отметим, что знакоопределенность формы (4.3) означает, что уравнение д(г) = 0, где
д(г) = г4 + £31 г3 + £22^ + 1, (4.7)
не имеет вещественных корней.
Линейной вещественной канонической заменой переменных щ, Vl — д, р функцию (4.3) можно привести к форме 1) из равенств (1.4):
Щ = д4 + ад2р2 + р4 (а > —2). (4.8)
Эта функция содержит только один параметр а, а не два, как функция (4.3). Выполнение неравенства а > —2 вытекает из знакоопределенности функции (4.3). Покажем, как построить замену щ, Vl — д, р.
Если £31 = 0, то функция (4.3) уже имеет структуру (4.8). Далее считаем, что £31 = 0. В частном случае, когда £21 = 4£22, замену переменных щ, Vl — д, р, приводящую функцию (4.3) к виду (4.8), можно взять такой:
И1 = 2в(д — £31в2р), Vl = 8в3р (в = (£41 + 256)-1/8, с = (2в)-4). (4.9)
Новым переменным отвечает функция (4.8), в которой а = —2£21в4.
В общем случае, когда £31 =0 и ^ = 4£22, сделаем предварительно каноническую замену т, Vl — п по формулам
И1 = <Г1/8£ + Ь<Г3/Ч г>1 = <Г3/8»7 (с = у/д), (4.10)
где д = д(Ь), д — многочлен, определяемый равенством (4.7). Способ выбора величины Ь, входящей в замену (4.10), будет указан ниже.
В результате замены (4.10) функция (4.3) преобразуется в функцию
Г 4 = £4 + 731 еп + 722£У + 71зСп3 + П4, (4.11)
731 = (031 + 4Ь)д-1/4 , 722 = (6Ь2 + 3031 Ь + 022) д-1/2,
713 = Ь (4Ь2 + 3031Ь + 2022) д-3/4. (4.12)
Величину Ь выберем так, чтобы коэффициенты 731 и 713 функции (4.11) были равны. Для этого рассмотрим уравнение 731 = 723. Это уравнение эквивалентно уравнению третьей степени относительно Ь
031(021 - 4022)Ь3 + (031022 + 16 - 4022)Ь2 + 8031Ь + 021 = 0. (4.13)
Дискриминант Б соответствующего приведенного уравнения имеет вид
0 =--гт, (4.14)
где величина А определяется равенством (4.5). В области знакоопределенности функции (4.3) эта величина отрицательна, поэтому все три корня уравнения (4.13) Ь = Ьi (г = 1, 2, 3) вещественны [13]. Нетрудно убедиться непосредственной проверкой, что для двух из них выполняется равенство 731 = 713. В замене (4.10) положим Ь равным одному из этих корней. Тогда функция (4.11) примет вид
Г4 = е4+731 е3п+722 е2п2+731еп3 + п4, (4.15)
где 731, 722 вычисляются для выбранного значения Ь.
Если теперь сделать преобразование поворота на угол п/4
С = ^ (»7* + £*), 1 = ^(1*-(*), то в функции (4.15) останутся только четные степени £*, п*-
Г* = ¿4С£4 + ^У + ¿04 п4, (4.16)
¿40 = ^(722 - 2731 +2), ¿22 = ^(6 -722), ¿04 = ^(722 +2731 +2). (4.17)
Еще одна замена переменных
С* = ¿403/8^041/8'?) 1* = (с = лД40^04) (4.18)
приводит функцию (4.16) к форме (4.8), в которой
_ 2(6 - 722) (% - --.— •
■^(722 + 2)2-47^
Фазовые портреты системы с функцией Гамильтона (4.8) показаны на рисунке 2.
Г\ Р
/Г
1 с~
0 )
(а)
(Ь)
(с)
(Ф
Рис. 2. Фазовые портреты системы с функцией Гамильтона Н4 = д4 + ад2р2 + р4: а) а Ь) а = 0, с) а = 2, а) а = 20.
= -1.9,
2. Случай (ао) = 0, F^(ao) = 0. Далее будем считать, что функция Н4 не является знакоопределенной. Тогда уравнение ^4(а) = 0 имеет вещественный корень а = ао. Предположим, что при этом первая производная ^4(ао) = 0. Тогда функция (2.4) имеет вид
#4 = и (г40и3 + Г31^2^ + Г22ПУ2 + Г13V3) (Г13 = F4(ао) = 0). (4.19)
Каноническая замена переменных
и = |Г13\-1/2и1, V = |Г13 |-1/2У1 (с = |Г131) (4.20)
приводит эту функцию к виду
#4 = аи1 (&40 и3 + к31 и^У1 + к22 иУ + V3) (а = sign(rlз)), (4.21)
к40 = Г40 г-31, к31 = Г31 г-1, к22 = Г22Г-31. (4.22)
Если еще сделать унивалентную каноническую замену переменных по формулам
и1 = е, У1 = ге+п, (4.23)
где г — корень многочлена третьей степени
f (г) = г3 + к22г2 + к31 г + к40,
то функция (4.21) преобразуется к виду
Г4 = а£п (П2 + 1/2 ¡"(г) £ п + I'(г) £2), (4.24)
где штрихом обозначено дифференцирование по г.
Пусть ¡'(г) = 0. Здесь, в зависимости от значения величины ¿1 = 161'(г) — ¡''(г)2, следует рассмотреть три возможных случая.
1. ¿1 < 0. В этом случае функция (4.24) представима в виде
Г4 =а(,1(Ч-П'Мч-4), (4.25)
Ч;=ЛЗ(1-е), = + е = Ш (4.26)
Знак величины е совпадает со знаком производной I''(г), причем если I'(г) > 0, то \е\ > 1, а если I'(г) < 0, то \е\ < 1.
Каноническая замена переменных
С = С*, г} = -е£* + г]* (с =
приводит функцию (4.25) к виду
Г = (п* — е£*) (п2 — £2). (4.27)
Функцию (4.27) можно при помощи линейной канонической замены £*, п* — д, р привести к форме 2) из (1.4), когда она зависит от одного параметра а, причем в рассматриваемом конкретном случае а < —2. При \е\ > 1 замена £*, п* — д, р может быть задана равенствами
£* = е-1 (\^1\1/4 8щп(в1) д + а\51\-1/4р),
п* = 5-1 (\«1\-3/4 д + ^\«1\3/4 ^п(^)р) (с = 1/2 а ^п(^)), (4.28)
где = е + \/е2 — 1, 8-2 = (е2 — I)1/4. Преобразованная функция (4.27) записывается в виде
Н4* = д4 + ад2р2 + р4 (а = —2\е\). (4.29)
Если же \е\ < 1, то замену £*, п* — д, р можно взять такой:
£* = 21/4(1 — е2)-1/4г-1 [ап д + Г-1Г2 р] (с = 1/4 а (е — 1)), (4.30)
= 21/4(1 - е2)"1/4^"1 <7(^2(1 +е) - 1 )п д - (^2(1+е) +
Г 2 р
Здесь Г\ = (2-^/2(1 + е) + е + З)1/4, г2 = л/1 — е. Преобразованная функция (4.27) задается первым из равенств (4.29), в котором
3 + е
а = —2-.
1 — е
Фазовый портрет системы с функцией Гамильтона (4.29) показан на рисунке 3a, где принято а = 3.
п
Рис. 3. Фазовые портреты систем, задаваемых формами четвертой степени (1.4): а) Щ = д4 — — 3д2р2 + р4, Ь) Щ = д4 + 15/4 д2р2 — р4, с) Щ = д4 — р4, а) Щ = д4 — 15/4 д2р2 — р4.
2. ¿1 > 0. В этом случае квадратичная форма, заключенная в выражении функции (4.24) в круглые скобки, будет определенно положительной. Каноническая замена переменных
е = п = н + ап = с = (4-31)
приводит функцию (4.24) к виду
Г4 = ' к + а') ('2 + . (4.32)
Эту выражение можно упростить. В случае к = 0 каноническая замена переменных
е = р — ад, ' = р + ад (с = —1/2 а) приводит функцию (4.32) к форме 3) из (1.4) (при а = 0)-
тт* „4 4
Щ4 = д — р .
При к = 0 делаем каноническую (с валентностью с = 1/2) замену переменных по следующим формулам-
£ = \/2 (со$вЪ~1/4 д + $твЪ1/4р}, щ = втвЬ'1/4 д + сов вЬ^^р^, (4.33)
где
1 а п
9 = — - аг<^ 7 + 7(1- 8Щп(к)), Ь = к + л/1 + к'2.
2 к 4
В результате этого преобразования функция (4.32) принимает форму 3) из (1.4):
Щ = д4 + ад2р2 - р4 (а = 2к). (4.34)
Фазовые портреты системы с функцией Гамильтона (4.34) показаны на рисунках 3Ь, с, ё. 3. ¿1 =0. В этом случае функция (4.24) может быть записана в виде
Г 4 = У + 1/4 /" (г) С)2. (4.35)
Каноническая замена переменных
2л/2 л/2 , , ч ( 1 „
t = JJT^iQ-vp)' V = — ÍQ + VP) [c = -af"{z)
приводит эту функцию к форме 4) из (1.4):
Щ = q2 (q2 - p2). (4.36)
Фазовый портрет системы с функцией Гамильтона (4.36) показан на рисунке 4a. О случае f '(z) = 0. Если f '(z) = 0, а f "(z) = 0, то каноническая замена
приводит функцию (4.24) к форме (4.36). А если f '(z) =0 и f''(z) = 0, то при а = —1
замена
С = р, п = q (c = —1)
приводит функцию (4.24) к форме 7) из (1.4)
Щ = q3p, (4.37)
а при а = 1 — к форме 8) из (1.4):
Щ = —q3p. (4.38)
Фазовый портрет системы с функцией Гамильтона (4.37) показан на рисунке 4b. Для функции (4.38) фазовый портрет выглядит аналогично, только направление движения по фазовым траекториям меняется на противоположное.
3. Случай F4(ao) = 0, F^(a0) = 0, F"(a0) = 0. В этом случае Т04 = 0, Т13 = 0 и функция (2.4) принимает вид
R = и2 (Т40и2 + Г31 uv + T22V2) (r22 = 1/2 F'(ао) = 0). (4.39)
После канонической замены, аналогичной замене (4.20),
U = |Т22\-1/2Ui, V = |Т22 |-1/2V1 (c = |Т221) (4.40)
(d)
(е)
Рис. 4. Фазовые портреты систем, задаваемых формами четвертой степени (1.4): а) Н\ = д2(д2 — р2), Ь) Щ = д3р, с) Щ = д2(д2 + р2), а) Н*4 = д2р2, е) Н| = д4.
приходим к функции R4 вида
R4 = a«f (&40 «1 + ^31 «1V1 + ^l) = sign(r22)), (4.41)
k40 = Г40 r-2, k31 = Г31 r-21. (4.42)
В зависимости от значения величины 82 = 4k40 — k21 возможны три отличающихся один от другого случая.
1. 82 < 0. В этом случае каноническая замена переменных вида
ui = -о- J Q, vi = - ahn q + J р (с = -а)
приводит функцию (4.41) к форме (4.36).
2. ¿2 > 0. Сделав каноническую замену переменных по формулам
,'М~1/4 1, (5А~1/4 о. (ёА1/4
(с = а),
(4.43)
приведем функцию (4.41) к форме 5) из (1.4):
Н4* = д2 (д2 + р2).
Фазовый портрет системы с функцией Гамильтона (4.43) представлен на рисунке 4с.
3. ¿2 = 0. Если сделать каноническую замену переменных
и,1 = ад, VI = акцд + р (с = а), то функция (4.41) преобразуется к форме 6) из (1.4):
Н4* = д2р2. (4.44)
Фазовый портрет соответствующей гамильтоновой системы показан на рисунке 4ё.
4. Случай Г4(а0) = 0, Г^(а0) = 0, ¥%(а0) = 0, ^"(а0) = 0. В этом случае Г04 = 0, Г13 = 0, Г22 =0 и функция (2.4) имеет вид
Й4 = П3(Т40 и + Г31V) (Г31 = 1/6 (а0) = 0). Эту функцию можно упростить при помощи канонической замены переменных
1 Г40
(4.45)
и
д,
V = — -
: д + --р
(с = Г31).
Г31\/\Г31\ Г31
Новым переменным отвечает функция (4.37), если Г31 > 0, и функция (4.38), если Г31 < 0.
5. Случай (а0) = 0, ^(а0) = 0, Г^(а0) = 0, ^"(а0) = 0. Если при а = а0
функция ^4(а) и ее производные до третьей включительно обращаются в нуль, то после поворота (2.1) на угол а получаем функцию (2.4) в виде
4-01
Й4 = Г 40 и4 (Г40 = 1/24 ^4''' (а0) = 0). Каноническая замена переменных
и = д, V = г40 р (с = г
приводит эту функцию к форме 9) из (1.4):
*4
Н4 = д .
Фазовый портрет системы с функцией Гамильтона (4.47) показан на рисунке 4е. _НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА. 2014. Т. 10. №4. С. 447 464_
(4.46)
(4.47)
5. К задаче об устойчивости гамильтоновой системы на границе области параметрического резонанса
Рассмотрим каноническую систему
dЩ дГ Щ дГ
(5 1)
dt дг}' dt <9£' ;
где Г = Г(£,Щ, t) — 2-^-периодическая и непрерывная по t функция Гамильтона, представи-мая в окрестности точки £ = Щ =0 сходящимся рядом вида
1 3зо
г = + fk= (5-2)
k=3 v+¡j,=k
где Л — целое число. Необходимость анализа системы (5.1), (5.2) возникает, например, в нелинейной задаче об устойчивости положения равновесия периодической по времени гамильтоновой системы при резонансе первого порядка, когда матрица монодромии линеаризованных уравнений возмущенного движения приводима к диагональной форме.
Приведение системы (5.1), (5.2) к виду (1.1), (1-2). При помощи 2п-периодиче-ской по t канонической замены переменных £, Щ ^ x, y систему (5.1), (5.2) можно привести к виду (1.1), (1.2). Это преобразование получим как композицию двух последовательных преобразований. Первое преобразование £, Щ ^ £, п представляет собой поворот на угол Л^
£ = cos Лt£ + sin Xtr], Щ = — sin \t£ + cosЛtr. (5.3)
Это преобразование уничтожает в новой функции Гамильтона Г(£, п, t) члены второй степени относительно £, п [11]. При этом функция Г(£, r,t) будет 2п-периодической по t и пред-ставима рядом
<х
Г^Гк (£, п, t), (5.4)
к=3
где Гк — это функции Гк из разложения (5.2), в которых величины £, Щ заменены на их выражения (5.3).
Второе каноническое преобразование £, п ^ х, у получим близким к тождественному и 2-^-периодическим по Ь. Построим его при помощи классической теории возмущений [14]. Это преобразование задается неявно при помощи равенств
д£ ду
где производящая функция 5 = Б(£, у, Ь) задается рядом вида
5 = £у + £ Бк(£,у,Ь), Бк = в^(Ь)£"у(5.6)
к=3
Преобразованная функция Гамильтона Н(х,у,Ь) — это функция (1.2). Она вычисляется по формуле
и.пш) + Ж]Ьй. (57)
В правой части этой формулы старые переменные £, п в функциях Г и дБз/дЬ должны быть выражены через новые переменные х, у.
Из соотношений (5.5), (5.6) величины £, ц можно найти в виде рядов:
ду ду дхду ду '''' ^ ^ дх дх дх2 ду
Здесь 8 к = 8 к (х, у,Ь), а многоточием обозначена совокупность членов ряда, степень которых больше трех.
Подставив эти ряды в тождество (5.7) и приравняв формы одинаковых степеней к в его правой и левой частях, получим систему уравнений вида
Нк(х, У, г) = тк(х, У, г) + Фк(х, У, г) + = 3) 4,...), (5.9)
где функции Фк выражаются через функции 83,84,..., Бк-1, Г3, Г4,..., Г^ь Например,
дх ду ду дх дЬдх ду '
где 83 = 83(х, у, Ь), Г3 = Г3(х,у,г).
Уравнения (5.9) надо решать последовательно, одно за другим. При этом функции 8к можно выбрать так, чтобы они были 2^-периодическими по Ь, а соответствующие функции Нк не зависели от времени. Например,
Н3(х,у) = <Г3(х,у,Ь)>,
83(х, у, Ь) = J[Hз(x, у) — Г3(х, у, Ь)] йЬ,
Н4(х,у) = <Г4(х,у,Ь) + Ф4(х,у,Ь^,
84(х, у, Ь) = У [Н4(х, у) — Г4(х, у, Ь) — Ф4(х, у, Ь)]йЬ.
Угловыми скобками обозначена операция усреднения по явно входящему времени.
Задачи об устойчивости положения равновесия £ = п = 0 системы (5.1), (5.2) и равновесия х = у = 0 системы (1.1), (1.2) эквивалентны.
6. Об устойчивости положения равновесия х = у = 0 системы (1.1)
О неустойчивости равновесия по формам третьей степени. Если разложение функции Гамильтона (1.2) в ряд содержит члены третьей степени относительно х, у, то, согласно разделу 3, задача об устойчивости равновесия х = у = 0 системы (1.1) сводится к задаче об устойчивости положения равновесия д = р = 0 систем с функциями Гамильтона
Н* = Щ(д,р) + Н(д,р, Ь), (6.1)
где Н* — одна из форм 1)—4) из равенств (1.3), а Н — 2п-периодическая по Ь совокупность членов выше третьей степени относительно д, р.
В симплектических полярных координатах г, ф, задавемых равенствами
д = л/2г вт (р, р=\/2гео8<р, (6.2)
функция Гамильтона (6.1) принимает вид
H* = r3/2 F(р) + O(r2), (6.3)
где функция F(р) для форм 1)—4) из равенств (1.3) будет, соответственно, такой: 1) 23/2 sin р, 2) — 23/2 sin р cos 2р, 3) 23/2 sin2 р cos р, 4) 23/2 sin3 р.
Следуя [15], покажем, что если существует р*, такое, что при р = р* имеем F = 0 и при этом dF/бр < 0, то равновесие неустойчиво. Для доказательства воспользуемся теоремой Четаева о неустойчивости [16]. В качестве функции Четаева примем функцию
V = r^^cos^ — р*) — cos е], (6.4)
где 0 < е ^ 1; за область V > 0 примем область р = р* + (Зе, ( — 1 < в < 1). Для производной функции V в силу уравнений движения, задаваемых функцией Гамильтона (6.3), в области V > 0 справедлива следующая оценка:
% = Ф2[1 + 5/32 + 0{ё)\ + 0(г^)}. (6.5)
При достаточно малом фиксированном значении е функция (6.5) положительна, если величина r достаточно мала. На основании теоремы Четаева отсюда следует неустойчивость равновесия.
Для форм 1),2)и 3) в качестве величины р* можно принять, соответственно, р* = п, р* = 3п/4 и р* = п/2. Поэтому в этих трех случаях имеет место неустойчивость. В случае же 4), когда H** = q3, корнем уравнения F(р) = 0 будет любое число, кратное п, но для всех корней производная dF/бр = 0. Задача об устойчивости в этом случае требует дополнительного исследования.
Об устойчивости и неустойчивости равновесия x = y = 0 по формам четвертой степени. Пусть теперь в разложении (1.2) H3 = 0. Тогда, в соответствии с разделом 4, задача об устойчивости равновесия x = y = 0 приводится к задаче об устойчивости равновесия q = p = 0 систем с функциями Гамильтона
H * = H4*(q,p)+tf (q,p,t), (6.6)
где H — 2п-периодическая функция t, разложение которой в ряд не содержит членов ниже пятой степени относительно q, p, а функция H* задается формами 1)—9) из равенств (1.4).
В переменных r, р, определяемых равенствами (6.2), функция Гамильтона (6.6) принимает вид
H * = r2 С(р) + O(r5/2), (6.7)
где функция О(р) в случаях 1)—9) будет, соответственно, такой:
1)4 +(а — 2) sin2 2р, 2) 1/2[а + 6 — (а — 2)cos4^, 3) a sin2 2р — 40^^, 4) — 4sin2 р cos2р, 5) 4 sin2 р, 6) sin2 2р, 7) 4 sin3 р cos р, 8) — 4sin3 р cos р, 9) 4 sin4 р.
1. В случае 1) функция H**(q,p) определенно положительная, и отвечающая ей функция О(р) = 4 + (а — 2) sin2 2р (а > —2) не имеет вещественных корней. Фазовые портреты
приближенной системы с функцией Гамильтона Н** показаны на рисунке 2. Фазовые траектории охватывают положение равновесия д = р = 0, и движение по ним является периодическим. Пусть I, т — переменные действие-угол в приближенной системе. Тогда, как показывают вычисления, функция Гамильтона (6.7) полной системы записывается в виде
Н * = Н (0)(1) + Н (1)(1 ,т,Ь), (6.8)
где функция Н(1) = 0(15/2) — 2п-периодична по т и Ь и аналитична по т, I при 0 < I ^ 1, а
X
2п
К2
угТ^а 2
п2(а + 2)
2К2
а- 2
если — 2 < а ^ 2,
если а ^ 2.
(6.9)
Через К в (6.9) обозначен полный эллиптический интеграл первого рода.
Так как д2Н(0)/д12 = х = 0, то из теоремы Мозера об инвариантных кривых [17] следует, что положение равновесия д = р = 0 устойчиво.
2. В остальных восьми случаях 2)-9) у уравнения О(ф) = 0 существует вещественный корень ф = ф*. Имеет место следующее утверждение: если при ф = ф* производная йО/йф отрицательна, то положение равновесия д = р = 0 неустойчиво. В справедливости этого утверждения можно убедиться при помощи теоремы Четаева. Как и выше, при рассмотрении неустойчивости по формам третьей степени, за функцию V примем функцию (6.4). Для ее производной в силу уравнений движения, задаваемых функцией Гамильтона (6.7), в области V > 0 имеем такую оценку:
(6.10)
Если производная йО(ф*)/йф* отрицательна, то при малых е в достаточно малой окрестности положения равновесия правая часть равенства (6.10) положительна. Отсюда на основании теоремы Четаева и следует неустойчивость положения равновесия.
Элементарные вычисления показывают, что в случаях 2),3),4) и 7) всегда найдется значение ф = ф*, для которого О = 0, а йО/йф < 0. Поэтому в этих случаях равновесие неустойчиво. В случаях же 5), 6), 8) и 9) такие значения ф = ф* не существуют. Поэтому задача об устойчивости равновесия д = р = 0 в случаях, когда в функции Гамильтона (6.6)
Н4* = д2(д2 + р2),
Н4* = д2р2,
Н* = -д3р, Н* = д4
требует дополнительного исследования.
а
Список литературы
[1] Мерман Г. А. О неустойчивости периодического решения канонической системы с одной степенью свободы в случае главного резонанса // Проблемы движения искусственных небесных тел. Москва: АН СССР, 1963. С. 18-41.
[2] Каменков Г. В. Избранные труды: Т. 2. Москва: Наука, 1972. 214 с.
[3] Мустахишев К. М. К вопросу об устойчивости гамильтоновых систем // Изв. АН Казахской ССР. Сер. Физ.-матем., 1967, №1, с. 63-73.
[4] Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. Москва: Наука, 1978. 312с.
[5] Meissner E. Uber Schüttelerscheinungen in Systemen mit periodisch veränderlicher Elastizität // Schweizerische Bauzeitung, 1918, vol. 72, no. 11, pp. 95-98.
[6] van der Pol B., Strutt M. J. O. On the stability of solutions of Mathieu's equation // Philos. Mag., 1928, vol. 5, pp. 18-38.
[7] Стретт М. Д. О. Функции Ляме, Матье и родственные им в физике и технике. Харьков-Киев: Госиздат Украины, 1935. 238 с.
[8] Маркеев А. П. О нелинейном уравнении Мейсснера // Нелинейная динамика, 2011, т. 7, №3, с. 531-547.
[9] Маркеев А. П. О движении связанных маятников // Нелинейная динамика, 2013, т. 9, №1, с. 27-38.
[10] Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Москва: МЦНМО, 2009. 672 с.
[11] Маркеев А. П. Теоретическая механика. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007. 592 с.
[12] Вейссенберг А.Н. Критерии знакоопределенности форм высшего порядка // ПММ, 1974, №3, с. 571-574.
[13] Курош А. Г. Курс высшей алгебры. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003. 432 с.
[14] Джакалья Г. Е. О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. Москва: Наука, 1979. 319с.
[15] Маркеев А. П. О сохраняющих площадь отображениях и их применении в динамике систем с соударениями // МТТ, 1996, №2, с. 37-54.
[16] Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. Москва: Наука, 1966. 532 с.
[17] Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. Москва: Мир, 1973. 168 с.
Simplifying the structure of the third and fourth degree forms in the expansion of the Hamiltonian with a linear transformation
Anatoly P. Markeev
A. Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences
pr. Vernadskogo 101-1, Moscow, 119526, Russia
markeev@ipmnet.ru
We consider the canonical differential equations describing the motion of a system with one degree of freedom. The origin of the phase space is assumed to be an equilibrium position of the system. It is supposed that in a sufficiently small neighborhood of the equilibrium Hamiltonian function can be represented by a convergent series. This series does not include terms of the second degree, and the terms of the third and fourth degrees are independent of time. Linear real canonical transformations leading the terms of the third and fourth degrees to the simplest forms are found. Classification of the systems in question being obtained on the basis of these forms is used in the discussion of the stability of the equilibrium position.
MSC 2010: 70H05,70H15,70E50
Keywords: Hamiltonian system, canonical transformation, stability
Received November 04, 2014, accepted November 20, 2014
Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2014, vol. 10, no. 4, pp. 447-464 (Russian)
