CC BY
1487
УДК 534.1
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 4
ДИНАМИКА КАЧАЮЩЕЙСЯ ПРУЖИНЫ С ПОДВИЖНЫМ ПОДВЕСОМ*
Г. Т. Алдошин1, С. П. Яковлев2
1. Балтийский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф.Устинова, д-р техн. наук, профессор, kaf_b3@bstu.spb.su
2. Балтийский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф.Устинова, студент, iakovlev_sp@mail.ru
1. Введение. В 1928 г. советскими физиками Г. Ландсбергом и Л. Мальденшта-мом одновременно с индийским физиком Ч. В. Раманом был открыт эффект комбинационного рассеивания в спектре углекислого газа. Это необычное и загадочное явление взаимодействия различных колебательных мод между собой, сопровождающееся перекачкой энергии между модами, с квантовомеханических позиций было объяснено в 1931 г. итальянским физиком Э. Ферми [1] и получило название резонанса Ферми. Поскольку сам факт возникновения комбинационных тонов в нелинейной акустике был известен, и классическое описание движения оказывает существенную помощь при анализе квантовомеханических результатов, Л. Мальденштам предложил своим молодым сотрудникам А. Витту и Г. Горелику исследовать резонанс Ферми методами классической механики. Результаты работы были опубликованы в 1933 г. [2]. В модели молекулы СО2 атомы рассматривались как силовые центры, взаимодействующие друг с другом с силами, зависящими от расстояний, а силы моделировались невесомыми пружинами; молекула была схематизирована системой двух математических упругих маятников, скрепленных с атомом углерода. Было установлено, что характер колебаний в системе зависит от соотношения частот вертикальных и горизонтальных колебаний, и при их соотношении 1: 2 имеют место сильное взаимодействие между модами колебаний и периодическая перекачка энергии между ними, скорость и глубина которой зависят от начальных условий. Маятник совершает при этом модулированное колебание, т.е. происходит расщепление частот. Качественно выводы исследования Витта—Горелика совпали с расчетами Ферми. Сам процесс колебаний Витт и Горелик назвали параметрическим резонансом. Но обычно под параметрическими понимают колебания, вызываемые изменением параметров системы (массы, длины, жесткости и т.п.). В данном случае внешнее воздействие отсутствует, механизм возбуждения заключен в самой системе (нелинейные обратные связи), поэтому по аналогии с автоколебаниями более предпочтителен термин «автопараметрический резонанс», предложенный Минорским [3]. В теории гамильтоновых систем такое соотношение частот называют резонансом третьего рода [4]. В дальнейшем Витт и Горелик к своей задаче более не возвращались. Специалистов по нелинейным колебаниям гамильтоновых систем резонансные случаи долгое время не интересовали, что можно объяснить как трудностью проблемы, так и отсутствием практических приложений. Положение изменилось в 50-е годы прошлого века, что было вызвано необходимостью решения возникших в то время прикладных задач, в первую очередь, динамики
*Доклад на Международной конференции по механике «Шестые Поляховские чтения» 31 января— 3 февраля 2012 г., Санкт-Петербург, Россия.
© Г. Т. Алдошин, С. П. Яковлев, 2012
летательных аппаратов и водного транспорта. Уравнения движения таких объектов представляют собой сложную нелинейную систему пространственных уравнений, и для возможности их решения проводилась линеаризация уравнений с разделением на продольное и боковое движение. Но с накоплением опыта эксплуатации сверхзвуковых самолетов и быстроходных судов выяснилось, что в том случае, когда колебания по тангажу происходят с частотой в два раза большей, чем по крену, энергия продольных колебаний передается боковым и возникает автопараметрический резонанс [5]. В настоящее время задаче нелинейных колебаний автономных систем с двумя степенями свободы посвящено много работ (библиографию см. [4, 6-7]). Обрела второе дыхание и задача Витта—Горелика, получившая название «качающаяся пружина» [8-16]. Обзор полученных результатов содержится в [16].
Настоящая статья рассматривает ранее не изучавшиеся колебания качающейся пружины с подвижным подвесом и представляет уточнение модели Витта—Горелика колебаний молекулы СО2.
2. Постановка задачи. Основные уравнения. Материальная точка массы т подвешена на невесомой пружине жесткости с к подвесу массы т\, который может смещаться по горизонтальной оси и удерживается между упорами пружинами жесткости С1. Начало координат выбрано в положении устойчивого равновесия системы: маятник находится в нижнем вертикальном положении, подвес занимает среднее положение между упорами (рис. 1, а). Система имеет три степени свободы: Х1 —отклонение маятника от положения равновесия, у1 — отклонение от подвеса, у2 — смещение подвеса. На рисунке 1, б приведена механическая модель линейной молекулы СО2: атомы С, О с массами тс, то расположены по одной линии, атом С — в центре между атомами О; силы взаимодействия между атомами моделируются линейными безмассовыми пружинами жесткости кч при растяжении-сжатии и жесткости к^ при изгибе. Линейная молекула СО2 имеет четыре колебательных степени свободы; соответствующие формы колебаний и их частоты показаны на рис. 1, б. Но так как изгибные колебания могут происходить как в плоскости рисунка, так и в плоскости, ей перпендикулярной, изгибная частота ^ дважды вырождена (изгибные колебания имеют две степени свободы, но одну частоту). Два других колебания происходят в осевом направлении: симметричные колебания VI и антисимметричные ^3. Так как колебания атомов молекулы совершаются относительно ее центра масс, точка подвеса (атом С) смещается, что не учитывалось в модели Витта—Горелика.
Дальнейшее рассмотрение задачи удобно проводить в безразмерных координатах, выбрав в качестве линейного масштаба равновесную длину маятника Ь = ¿о + тд/с (/о —длина ненапряженной пружины) и масштаба времени \/Ь/д. Тогда
XI У1 У2 т Гд, Х1 = Т> = У2 = Т' г = у Т1- (1)
За масштаб энергии принимаем величину тдЬ; кинетическую энергию Т и потенциальную энергию П запишем как
Т = ^2 + (у1+у2)2+Иу2}, П = 1а2[(1-а)2-(1-а)2 + 2ру22]-х1, (2)
где 1 = \/(Ь + Ж1)2 + у\/Ь—длина пружины, /л = т\/т, а2 = к2/к2, к2 = с/т, а = ¡о/Ь, в = с1/с (точка над переменными означает дифференцирование,
Рис. 1. Расчетные схемы: а) качающаяся пружина с подвижным подвесом; б) механическая модель молекулы СО2.
черта над переменными будет опущена; значение потенциальной энергии в положении статического равновесия принято нулевым). Гамильтониан системы Н = Т + П после несложных преобразований можно записать в виде
Я = + (г/1 + т? + т + а2(12- 1) - 2(<т2 -!)(/-!)+ 2/За2у22] - Х1. (3)
Уравнения Лагранжа получаются такими: х1 + а2х 1 + (а2 - 1) (1 -
1 + Х\
I
1-1 Т
У1 + (1 + м)У2 +2ва2 у2 =0.
У1 + VI + VI ~ (сг2 - 1)—^—2/1 = 0,
(4)
Линеаризация уравнений (4) в окрестности положения равновесия приводит к системе линейных уравнений
Х1 + а2Х1 = 0,
У1 + У2 + У1 =0, (5)
У1 + (1 + м)У2 +2ва2 у2 =0.
В отличие от колебаний пружины с постоянной точкой подвеса движения по отдельным координатам не разделяются, и уравнения (5) описывают колебательный процесс с частотами главных колебаний:
IБ ± ^Б2 - 8/1/3<т2
з = уг-, й' = 2/За2 + (1 + /г).
(6) 47
0
Уиттекер [17] был, по-видимому, первым, кто обратил внимание на то, что отбрасывание членов высших порядков малости при линеаризации может не только сказаться на точности решения, но и исказить физический характер явления, так что приближенное решение даже качественно может не соответствовать точному.
В теории устойчивости система (5), являющаяся линейной частью системы (4), соответствует критическому случаю, в котором движение определяется структурой нелинейных членов. Еще с ранних работ Н. М. Ляпунова известно, что движение автономной системы имеет тот или иной вид в зависимости от того, существует ли между частотами Qi линейной системы (5) целочисленная линейная зависимость
п1П1 + П2^2 + П3П3 = 0. (7)
Если сумма модулей целых чисел
Ы + Ы + Ы = к, (8)
то в системе имеет место внутренний резонанс к-го порядка.
При решении конкретной механической задачи в резонансных случаях частоты линейной системы зависят от параметров вполне определенным образом. В таблице приведены значения параметров системы, при которых реализуются резонансы третьего и четвертого порядка, т.е. отношения частот ^2, О3 близки или равны 2:1:1 и 2:4:1 соответственно.
Порядок резонанса к 3 : 1 - 2 + ( — 1) • 1 + ( — 1) • 1 = 0 4 : (-1) -2 + 1 • 4 + (-2) -1 = 0
Жесткости пружин с,с±, Н/м с = 20; С1 = 10 с = 20; С1 = 27
Массы 771,7711, кг пг = 1; ГП1 = 4, 5 т=1;т1= 0,82
Равновесная длина Ь, м 1,962 1,962
Парциальные безразмерные частоты
Частота колебаний
груза на пружине а 2 2
Частота боковых
колебаний маятника 1 1
Частота колебаний
подвеса 2(3/{¡л,1)<т 0,853 2,436
Главные безразмерные частоты Пх = 2; П2 = 1, 237; П3 = 0, 762 Пх = 2; П2 = 3, 806; П3 = 0, 954
Начальные условия жх(0) = 0, 1; ш(0) = 0,02; 2/2(0) = 3,75 • 10~3 Х!(0) = т(0) = у2(0) = 0 жх(0) = 0, 1; 2/1(0) = 0,02; 2/2(0) = -8,32 • КГ3 ¿1(0) = 2/1(0) = 2/2(0) =0
Результаты численного решения при резонансе порядка к = 3 для начальных условий, заданных в таблице, приведены на рис. 2, а. Там же (рис. 2, б), для сравнения, приведено решение линейной системы (5). Их сравнение наглядно иллюстрирует нелинейные эффекты: зависимость частоты от амплитуды и перекачку энергии между модами колебаний.
3. Анализ задачи методом инвариантной нормализации гамильтониана. Известно, что в нерезонансном случае решение задачи может быть получено асимптотическими методами. В классической и небесной механике соизмеримость частот вызывает появление «вековых членов», так что ряды в теории возмущений расходятся.
Для исследования рассматриваемой задачи используем метод приведения к нормальной форме Пуанкаре—Биркгофа, получивший в последнее десятилетие широкое
Рис. 2. Численное решение для резонанса к = 3: а) решение исходной системы (4); б) решение линеаризованной системы (5).
применение в разнообразных нелинейных задачах. При этом гамильтонова система упрощается настолько, что становится возможным получение решения до членов третьего порядка и выше. Ниже используется алгоритм Журавлева—Петрова [14], который пригоден для всех случаев: резонансный, нерезонансный, автономный, неавтономный.
Вводим нормальные координаты
х1 ,
у
У 2 ~ 73 2/1 72-73
722/1 ~ У 2 72-73
(9)
где 72,3 = П з/(2ва2 — (м + 1)^2 з) —коэффициенты распределения амплитуд между второй и третьей степенями свободы.
Представим гамильтониан в виде ряда в окрестности равновесия по степеням малого параметра е:
Н = Но + еЛ + е2Л + ...,
Но = + сг2.г'2 + а2(г>2 + С%2) + а3(го2 + П2г2)},
21
F1 = -(a2-l){x(y + z)2},
1, 2 Г (у + г)4
4
— х2(у + г)2
(10)
где а2,з = 1 + 272,3 + (м + 1)72 з —главные квазиинерционные коэффициенты.
Искомые решения х, у, г и частоты колебаний также представим в виде рядов по степеням е:
х = хо + ех1 + .. ., П1 = Пю + еПц + . ...
у = уо + еу1 + .. ., П2 = П20 + е^21 +
г = го + ег1 + . .., Пз = П30 + еПз1 +
(11)
х
г
j*$'D')+#&&9%&$#')$(I%(H#((#&'$&'+'(+H'
Тогда после подстановки (11) в (4) получим систему рекуррентных уравнений
Хо + хо = 0, Уо + ^Уо = 0, х1 + П2иХ1 = -а 1(у0 + г0)2, У1 + Щ1У1 = ---х0(Уо + ¿о),
a2
¿o + O^zo = 0, ¿1 + Q^zi = ----х0(у0 + z0).
2 Л (12)
0
а2- 1
аз
Поскольку система (12) автономна, за начальный момент времени t = 0 можно выбрать такой, когда x(0) = a, y(0) = b. Тогда начальными условиями для системы (12) будут
xo(0) = a, xi(0)=0, ..., xi(0) = 0, ( )
yo(0)= b, yi(0) = 0, ..., yi(0)=0. ( 3)
Все остальные начальные возмущения приняты нулевыми. Анализируя уравнения первого приближения после подстановки в них решения порождающей системы, можно показать, что при значениях главных частот ^i = 2, П2 = О3 = 1 наблюдается внутренний резонанс порядка k = 3 между всеми парциальными системами, который и будем исследовать методом инвариантной нормализации [14].
Получив решение системы уравнений для невозмущенной части гамильтониана Ho, подставим его в рекуррентную формулу нормальной формы и ограничимся первым приближением:
_ _ q
F = F1 = -[-X(V + W)2 + U (V + W)(Y + Z)+ X(Y + Z)2]. (14)
8
Здесь X, U, Y, V, Z, W — медленно меняющиеся амплитуды координат и импульсов соответственно. Нормальную форму (14) удобно анализировать в комплексных переменных Биркгофа z\ = l/\/2U + а/2iX, z2 = V + iY, z3 = W + iZ\
F = F = 2(F=-^[Z1(Z2 + Z3)2 -Z^Zi+ZS)2}. (15)
16
Система уравнений первого приближения
dZx 16 v л>
Z2 = ^- = -^Z1(Z2 + Z3) (16)
aZ 2 о
имеет интегралы
Ho = const ^ 21Zi|2 + a2|Z2|2 + аз^з|2 = C2,
F = const, (17)
G2 = (Z2 - Z3)(Z2 - Z3) = const = (y0 - ¿o)2 + (y0 - z0)2.
С использованием последних можно составить уравнение для переменной £ = |Z2 + Z3|2:
§ = O-0-JL,. (18)
Первый интеграл уравнения (18) имеет форму интеграла энергии
Здесь П = 9/8(2/3£3 — 2С'2£2) —потенциал. Таким образом, перешли к аналогии потенциальной ямы, исследуя которую, можно получить зависимость периода перекачки энергии между различными модами колебаний от начальных условий при любом конечном отклонении энергии Е от минимума. Наиболее ярко данный процесс проявляется, когда уо ^ хо ^ хо (рис. 3). Такая неустойчивость системы при малом возмущении сепаратрисы получила название процесса срыва вертикальных колебаний [9].
О 20 40 60 80 100
Рис. ,3. Графики y(t),z(t) (результаты численного решения точных уравнений) и их огибающие Y(t),Z(t) при срыве вертикальных колебаний.
Аналитически найденные выражения для огибающих имеют вид
X(t) = x0(|th(r - 7-о/2)| + |th(r - 3tq/2)I - 1), Y(t) + Z(t) = 2v/2.T0(sch(r - rn/2) + sch(r - 3r0/2)), (2Q)
r = (3/2xn)i, то = 8, 478, T= — = 56,488.
3xo
Качественно картина явления остается той же, как и в случае закрепленного подвеса. Количественные отличия выражаются в сокращении периода обмена энергией между различными степенями свободы системы Т примерно в два раза и в том, что максимум амплитуды суммарного бокового колебания в 2а/2 (не в 2, как в случае неподвижного подвеса [14, 15]) раза превышает максимум амплитуды вертикального, в том числе и когда y(0) = 0 или z(0) = 0. Оба эти отличия вызваны, по всей видимости, подвижностью подвеса, и, как следствие, наличием в системе переносного движения.
В следующей статье будет дано описание нелинейных колебаний молекулы углекислого газа с использованием более точной механической модели (рис. 1, б).
Литература
1. Fermi E. "Über der Ramanefect des kohlendioxyds // Z. Phys. 1931, 71. N2. S. 250-259.
2. Витт А., Горелик Г. Колебания упругого маятника как пример колебаний двух параметрически связанных линейных систем // ЖТФ. 1933. Т. III. Вып. 2-3. С. 294-307.
3. Minorsky N. Nonlinear Oscillations. New York: D. V. Nastrland Company Inc., 1962.
4. Маркеев А. П. Устойчивость гамильтоновых систем // Нелинейная механика / под ред. В. М. Матросова, А. В. Карапетяна. М.: Физматлит, 2001. С. 114-130.
5. Алдошин Г. Т. К вопросу о линеаризации уравнений Лагранжа // Пятые Поляхов-ские чтения. Избранные труды Международной научной конференции по механике. Санкт-Петербург: 3-6 февраля 2009 г. СПб., 2009. С. 39-46.
6. Куницын А. Л., Маркеев А. П. Устойчивость в резонансных случаях // Итоги науки и техники. Серия Общая механика. М.: ВИНИТИ, 1979. Т. 4. С. 58-139.
7. Холостова О. В. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансе третьего порядка // ПММ. 2010. Вып. 5. С. 789-811.
8. Найфе А. Х. Методы теории возмущений. М.: Мир, 1976. 535 с. (Nayfeh A. H. Perturbation Methods. J. Wiley, 1973.)
9. Старжинский В. М. Прикладные методы нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977. 235 с.
10. Богаевский В. Н., Повзнер А. Я. Алгебраические методы в теории возмущений. М.: Наука, 1987. 255 с.
11. Цельман Ф. Х. О «перекачке» энергии между связанными осцилляторами в случае резонанса третьего порядка // ПММ. 1970. Т. 14. Вып. 5. С. 957-962.
12. Маркеев А. П., Чеховская Т. А. О колебаниях упругого маятника // Изв. РАН. МТТ. 1998. №2. С. 18-26.
13. Зарипов М. Н., Петров А. Г. Нелинейные колебания качающейся пружины // Докл. Акад. наук. 2004. Т. 399, №3. С. 347-352.
14. Петров А. Г. Нелинейные колебания качающейся пружины при резонансе // Изв. РАН. МТТ. 2006. №5. С. 18-28.
15. Петров А. Г., Фомичев А. В. О нелинейных трехмерных колебаниях тяжелой материальной точки на пружине при резонансе // Изв. РАН. МТТ. 2008. №5. С. 15-26.
16. Петров А. Г., Шундерюк М. М. О нелинейных колебаниях тяжелой материальной точки на пружине // Изв. РАН. МТТ. 2010. №2. С. 15-26.
17. Уиттекер Е. Т. Аналитическая динамика. М.; Л.: ОНТИ, 1937. 500 с. — (Whit-taker E. T. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1927. 430 p.)
Статья поступила в редакцию 26 июня 2012 г.
