CC BY
0
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 25. Выпуск 1.
УДК 511.35, 517.15 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-1-164-169
О взаимной простоте элементов последовательности Битти
А. В. Бегунц, Д. В. Горяшин
Бегунц Александр Владимирович — кандидат физико-математических наук, доцент, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (г. Москва). e-mail: alexander. begunts<Smath. msu. ru
Горяшин Дмитрий Викторович — кандидат физико-математических наук, доцент, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (г. Москва). e-mail: dmitry.goryashin@math. msu. ru
Аннотация
В заметке рассматриваются два приложения доказанной авторами асимптотической формулы для числа значений последовательности Битти в арифметической прогрессии с растущей разностью: получены асимптотические формулы для количества элементов последовательности Битти, взаимно простых с (возможно, растущим) натуральным числом а, а также для количества пар взаимно простых элементов двух последовательностей Битти. Сформулируем основные результаты.
Пусть а > 1 — иррациональное число и N — достаточно большое натуральное число. Тогда если неполные частные непрерывной дроби числа а ограничены, то для количества Sa,a(N) элементов последовательности Битти [an], 1 ^ п ^ N, взаимно простых с числом а, справедлива асимптотическая формула
Sa,a(N) = + О (min(a(a)ln3 N, VNt(a)(lnlnN)3)) ,
где т(a) — число натуральных делителей числа а, а(а) — сумма делителей числа а.
Пусть а > 1 и $ > 1 — иррационшгьные числа и N — достаточно большое натуральное число. Тогда если неполные частные непрерывных дробей чисел а и fl ограничены, то для количества Sa,p(N) пар взаимно простых элементов последовательностей Битти [am], 1 < т < N, и [flv], 1 < п < N, справедлива асимптотическая формула
(N) = ^N2 + О (n3/2(lnln N)6) .
Ключевые слова: последовательность Битти, взаимно простые числа, асимптотическая формула.
Библиография: 4 названия. Для цитирования:
А. В. Бегунц, Д. В. Горяшин. О взаимной простоте элементов последовательности Битти // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 1, с. 164-169.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 1.
UDC 511.35, 517.15 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-1-164-169
On coprime elements of the Beatty sequence
A. V. Begunts, D. V. Gorvashin
Begunts Alexander Vladimirovich — candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Lomonosov Moscow State University (Moscow). e-mail: alexander. begunts<Smath. msu. ru
Goryashin Dmitry Viktorovich — candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Lomonosov Moscow State University (Moscow). e-mail: dmitry.goryashin@math. msu. ru
Abstract
This note discusses two applications of the asymptotic formula obtained by the authors for the number of values of the Beatty sequence in an arithmetic progression with increasing difference: asymptotic formulas are obtained for the number of elements of the Beatty sequence that are coprime to the (possibly growing) natural number a, as well as for the number of pairs of coprime elements of two Beatty sequences. Here are the main results.
Let a > 1 be an irrational number and Ж be a sufficiently large natural number. Then if the partial quotients of the continued fraction of the number a are limited, then for the number Sa,a(N) of elements of the Beatty sequence [an], 1 < n < Ж, coprime to the number a, the following asymptotic formula holds
Sa,a(N) = ^^^ + О (min(a(a)ln3 N, VNt(a)(lnlnN)3)) ,
where т (a) is the number of divisors of a and a(a) is the sum of the divisors of a.
Let a > ^d ¡3 > 1 be irrational numbers and Ж be a sufficiently large natural number. Then if the incomplete quotients of continued fractions of the numbers a and ft are bounded, then for the number Sa,p(N) of pairs of coprime elements of Beatty sequences [am], 1 < m < N, and [¡3v], 1 < n < N, the following asymptotic formula holds
(N) = -6N2 + О (n3/2(lnln N)6) .
Keywords: Beatty sequence, coprime numbers, asymptotic formula.
Bibliography: 4 titles.
For citation:
A. V. Begunts, D. V. Goryashin, 2024, "On coprime elements of the Beatty sequence" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 1, pp. 164-169.
1. Введение
В данной заметке рассматриваются два приложения доказанной авторами (см. [1]) асимптотической формулы для числа значений последовательности Битти (см., например, [2]) в арифметической прогрессии с растущей разностью: получены асимптотические формулы
для количества элементов последовательности Битти, взаимно простых с (возможно, растущим) натуральным числом а, а также для количества пар взаимно простых элементов двух последовательностей Битти.
Известно (см. задачу 19 к гл. II книги [3]), что среди первых N натуральных чисел доля взаимно простых с данным натуральным числом а асимптотически эквивалентна где <р(а) — функция Эйлера. Действительно, пользуясь равенством
1, т = 1, 0, т> 1,
(1)
Щ т
где >(к) — функция Мёбиуса, имеем
£ 1= £ £м*) = Е^) Е 1 = N+од) =
(а,п)=1 п=0 (шоё к)
= N Е >^ + 0 (Е 1) =N^ + 0 (Па)).
Ща \ Ща I
Ответ на аналогичный вопрос для последовательности Битти, соответствующей иррациональному числу с ограниченными неполными частными, даёт следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть а > 1 — иррациональное число и N — достаточно большое натуральное число. Тогда если неполные частные непрерывной дроби числа, а ограничены, то для количества За,а№) элементов последовательности Битти [ап], 1 — п — N, взаимно про-а
За,а№) = N^(^^+0 (ш1п(о(а) 1п3 N, ^т(а)(1n1nN)3)) ,
где т (а) — число натуральных делит,елей числа, а, о (а) ^ сумма, делит,елей числа, а. Нам потребуется следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть а > 1 — иррациональное число и [ — вещественное число из промежутка [0;а), а и ( — целые числа,,
2 — ( — у/ф, 0 — а < х — достаточно большое
натуральное число. Обозначим через
N4(х) = N(х;а,[; (,а) = Е 1
1— п—X [ап+0] = а (тос1 (!)
число значений последовательности Битти [ап + [], 1 — п — х, принадлежащих арифметической прогрессии (а + к(I), к € N. Тогда если неполные частные непрерывной дроби числа, а ограничены, то справедлива, асимптотическая формула
N.(х) = X +0 ((11п3 X) .
Доказательство леммы проводится так же, как в работе [1], при этом для величины остатка Кс1(х) = ^(х) — ^ получается оценка
х
Ка(х) 1п3Ь + — 1п Ь, (Ь
где Ь ^ 2 — параметр. Выбирая Ь = получаем утверждение леммы.
Утверждением леммы 1 мы будем пользоваться при условии d < у/ф, а для больших d
Лемма 2. Пусть а> I. Тогда величина Nd(х) удовлетворяет неравенству
„ т , . ах + Р — а
Доказательство. Поскольку а > 1, каждому числу п, для которого выполнено равенство [ ап + ¡3] = ld + а соответствует ровно одно натуральное число I, причём 1 ^ ах+Р-а ^ Отсюда следует требуемое.
Перейдём к доказательству теоремы 1. Рассмотрим величину
Sa,a(N) = |{п | 1 ^ п ^N, ([ап],а) = 1}|,
равную количеству элементов последовательности Битти [ ап], 1 ^ п ^ N, взаимно простых а
sa,a(N)= Е 1= Е E ^) = Е^) Е i =
l^n^N l^n^N kl([an],a) ф
(|an],a) = 1 [ara]=0 (mod fc)
= E M ( N + «(к ln3 N2 )) + E o( N ) =N E E *) +
k^^W/2 k>^N/2 k^^W/2
{ E *) =nEf1"3™Ы
V fc|a. / fc|a. \ fc|a. /
+ 0| Е ^ + 0 (1п^Ек) =М^+0{а(а)\п3М)
Получим вторую оценку остаточного члена. Разобьём сумму по делителям
/ \
Sa,a(N) -N^02 = £>(к)
fc|a,
E 1 - f
lKnKN
\[ara]=0 (mod fc) J
на две, соответствующие условиям к < ^N/2 и к > у/Щ. Тогда для первой суммы по лемме 1 будем иметь
Е
Ща
k^^N/2 \[«ra]=0 (mod fc) /
E
1<ra<N
1 - -v-
N к
E к ln3 N +
E
fc|a
VN ln-3
a для второй суммы по лемме 2 получаем
< Е к ln3
fc|a
N
N
w
fc|a,
k^VN ln-3 N
kln3 — ^VNt (a)(1n1nN )3, к2
(
E
fc|a
E
1<ra<N
1 - N
k>^N~/2 \[«га]=0 (mod fc)
N
< E (a).
Ща, k>^N/2
Теорема 1 доказана.
Отметим, что при малых значениях а (меньше по порядку, чем Vn) более сильной явля-
а
Известно также (см. задачу 21 к гл. II книги [3]), что среди всех пар натуральных чисел, каждое из которых не превосходит N, доля взаимно простых асимптотически эквивалентна
«2) = в — —,
£ 1= £ £м*о = £ 1 = £ i)2 =
k\(m,n) k^N k^N \ l^n^N J
(m,n) = l m=0 (mod k), n=0 (mod k)
n=0 (mod k)
= E №)(N + 2 = N2 E jSr + °(N ln N) = ^N2 + °(N ln N),
k<N ^ ' k<N
так как
у- ß(k) = ^ ß(k) = ,n(
k2 k2 k2 C(2)+\NJ'
k^N k=l k>N 4 7
Ответ на аналогичный вопрос для пар членов последовательностей Битти содержится в следующем утверждении.
Теорема 2. Пусть а > 1 и ß > 1 — иррациональные числа, и N — достаточно большое натуральное число. Тогда если неполные частные непрерывных дробей чисел а и ß ограничены, то для количества, Saß (N) пар взаимно простых элементов последовательностей Битти [ат], 1 ^ т ^ N, и [ßn], 1 ^ п ^ N, справедлива, асимптотическая формула
6 - г 2
Н /
Sa,ß(N) = -pN2 + 0 [N3/2(inlnN)6
Докажем теорему 2. Без ограничения общности можно считать, что а ^ ß. Рассмотрим число пар взаимно простых элементов последовательностей Битти
Sa,ß(N) = \{(т,п) | 1 ^т ^ N, 1 ^п ^ N, ([ат], [ßn]) = 1}|.
Тогда ввиду тождества (1) имеем
sa,ß(n) = е 1 = Е Е v(k) = Е v(k) Е 1 =
fc|([am],[^raj) k^aN
([aim\,[ßn\)=1 [am\=0 (mod k),
[ßn]=0 (mod k)
= E »(k) E 1 E 1.
k^aN l^m^N l^n^N
[am]=0 (mod k) [ßn\=0 (mod k)
k k < -\JaN/2
и \JaN/2 < k ^ aN. Для первой из них, применяя лемму 1, получаем
Е »(k) Е 1 Е 1= Е »(k) (NN+°(kln3N-))2 =
M="omfmod fc) [^Tod fc)
= E m (N2+o(Nin3 N2)+o(k2in6 N2)) =
k^y/aN/2
= N2 Е + 3/2(lnlnN)3) +0^3/2(1п 1пN)6) .
к^^аМ/2
Для второй суммы применим оценки каждой из внутренних сумм из леммы 2:
Е *к) Е 1 Е К Е ^«"3/2-
v ' [am]=0 (mod k) [ßn]=0 (mod k)
к2
k>^JaN/2
Окончательно получаем
Sa,ß(N) = ^N2 + 0 (n3/2(lnlnN}6) .
Теорема 2 доказана.
Отметим также, что для случая почти всех а > 1 в смысле меры Лебега можно доказать аналог теоремы 1 с оценкой остаточного члена О ^mm(<r(a) ln4 N, /~Nt(a)(ln ln N)4) j. Помимо того, асимптотические формулы теорем 1 и 2 справедливы и для неоднородных последовательностей Битти [ an + где 5 £ (0; а).
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бегунц А. В., Горяшин Д. В. О значениях последовательности Битти в арифметической прогрессии // Чебышевский сборник. 21. Вып. 1. 2020. 361—367. doi: 10.22405/2226-83832020-21-1-364-367
2. Бегунц А. В., Горяшин Д. В. Актуальные задачи, связанные с последовательностями Битти // Чебышевский сборник. 18. Вып. 4. 2017. 97^105. doi: 10.22405/2226-8383-2017-18-497-105
3. Виноградов И.М. Основы теории чисел // М.: Наука, 1981. 176 с. REFERENCES
1. Begunts, А. V., Gorvashin, D. V., 2020, "On the values of Beattv sequence in an arithmetic progression", Chebyshevskii Sbornik, vol. 21, no. 1, pp. 364-367. doi: 10.22405/2226-8383-201821-1-364-367
2. Begunts, A. V., Gorvashin, D. V., 2017, "Topical problems concerning Beattv sequences", Chebyshevskii Sbornik, vol. 18, no. 4, pp. 97-105. doi: 10.22405/2226-8383-2017-18-4-97-105
3. Vinogradov, I. M., 1981, "Fundamentals of Number Theory", Nauka, Moscow, 176 pp.
Получено: 14.11.2023
Принято в печать: 21.03.2024
