О ПЕРЕСЕЧЕНИИ ДВУХ ОДНОРОДНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ БИТТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 23. Выпуск 5.

УДК 511.35, 517.15 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-5-145-151

О пересечении двух однородных последовательностей Битти

А. В. Бегунц, Д. В. Горяшин

Бегунц Александр Владимирович — кандидат физико-математических наук, доцент, Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова (г. Москва). e-mail: alexander. begunts<Smath. msu. ru

Горяшин Дмитрий Викторович — кандидат физико-математических наук, доцент, Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова (г. Москва). e-mail: dmitry.goryashin@math. msu. ru

Аннотация

Однородными последовательностями Битти называют последовательности вида ап = = [ап], где а — положительное иррациональное число. В 1957 г. Т. Сколем показал, что если числа 1, ^, д линейно независимы над полем рациональных чисел, то последовательности [ап] и [Зп] имеют бесконечно много общих членов. Т. Банг усилил этот результат: пусть ) — количество натуральных чисел к, 1 ^ к ^ N, принадлежащих одновре-

менно двум последовательностям Битти [ ап] и [/Зт] и числа 1, ^, Д линейно независимы над полем рациональных чисел, тогда Ба,р^) ~ щи N ^ то.

В работе доказывается уточнение этого результата для случая алгебраических чисел. Пусть а, З > 1 — такие иррациональные алгебраические числа, что 1, ^, Д линейно независимы над полем рациональных чисел. Тогда для любого е > 0 справедлива асимптотическая формула

^ ) = ^ 1 п

Ключевые слова: однородная последовательность Битти, тригонометрические суммы, асимптотическая формула.

Библиография: 9 названий.

Для цитирования:

А. В. Бегунц, Д. В. Горяшин. О пересечении двух однородных последовательностей Битти // Чебышевский сборник, 2022, т. 23, вып. 5, с. 145-151.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 23. No. 5.

UDC 511.35, 517.15 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-5-145-151

On the intersection of two homogeneous Beatty sequences

A. V. Begunts, D. V. Gorvashin

Begunts Alexander Vladimirovich — candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Lomonosov Moscow State University (Moscow). e-mail: alexander. begunts<Smath. msu. ru

Goryashin Dmitry Victorovich — candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Lomonosov Moscow State University (Moscow). e-mail: dmitry.goryashin@math. msu. ru

Abstract

Homogeneous Beatty sequences are sequences of the form an = [a.v], where a is a positive irrational number. In 1957 T. Skolem showed that if the numbers 1, ^, 3 are linearly independent over the field of rational numbers, then the sequences [av] and [fiv] have infinitely many elements in common. T. Bang strengthened this result: denote Sa,3 (N) the number of natural numbers k, 1 < к < Ж, that belong to both Beatty sequences [an], [fim], and the numbers 1, ^, 3 are linearly independent over the field of rational numbers, then Sa,3(N) ~ ^ for N ^ то.

In this paper, we prove a refinement of this result for the case of algebraic numbers. Let a,j3> 1 be irrational algebraic numbers such that 1, ^, 3 are linearly independent over the field of rational numbers. Then for any e > 0 the following asymptotic formula holds:

Sa,3(N) = ^ + 0(N2 +£), N ^то.

Keywords: homogeneous Beatty sequence, exponential sums, asymptotic formula. Bibliography: 9 titles.

For citation:

A. V. Begunts, D. V. Goryashin, 2022, "On the intersection of two homogeneous Beatty sequences", Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 5, pp. 145-151.

Последовательностями Битти называют последовательности вида ап = [an + ft], где а — положительное иррациональное число, @ £ R. Если ft = 0, то последовательность Битти называется однородной. В случае а > 1 такая последовательность строго возрастает.

Хорошо известно (см. [1]), что если ^ + -g = 1, то однородные последовательности Битти [an] и [fin] не пересекаются и дают в объединении всё множество натуральных чисел.

В последнее время интерес вызывают задачи о распределении арифметических функций на последовательностях Битти, а также аддитивные задачи с такими числами (см., например, обзор [2] и монографию [3]).

В 1957 г. Т. Сколем показал, что если числа 1, ^, g линейно независимы над полем рациональных чисел, либо если при некоторых a,b,c £ Z имеет место равенство ^ + ^ = с, причём числа а и b разных знаков, то последовательности [an] и [fin] имеют бесконечно много общих членов (см. [4], теоремы 5, 6). Т. Банг [5] усилил этот результат следующим образом. Обозначим через Sa,p(N) количество натуральных чисел к, 1 ^ к ^ N, принадлежащих одновременно двум последовательностям Битти [an] и [fim].

Теорема 1 (Т. Банг). Пусть а,/> 1 — иррациональные числа. Тогда, если числа 1, ^, » линейно независимы над полем рациональных чисел, то

) - а/, N -+«>.

Целью настоящей работы является доказательство уточнения этого результата для случая алгебраических чисел.

Теорема 2. Пусть а, / > 1 — такие иррациональные алгебраические числа, что 1, ^, » линейно независимы, над полем рациональных чисел. Тогда, для любого е > 0 справедлива асимптотическая формула

V») = а/^

Доказательство. Равенства [ ап] = [/т] = к равносильны одновременному выполенению неравенств к < ап < к + 1, к < /т < к + 1, или ^ <п < ■+1, » < т < ■+1. Тогда

Sa,p (N) = W

I.S AT \

k^N 1

k + 1 "k" u 'k + 1 'k'

a a ){ [ I \ J.

Поскольку [x\ = x — {x} = x — 2 + p(x), получаем

Sn

, (n) = £ (1+к ^) —p( a)) (1+к ^) —p( I )) =

+ 15N (p( ^)I)) +1 E(,( ^) —)) +

N 1

aI a

+^)ч a ч1)—p( I)) x

N al

где

*n )=^)ч a ш ^)ч i)).

k^N 4 / \ У У /

Далее применим следующую лемму о приближении функции p(x) = 2 — {x} частичной суммой своего ряда Фурье (см. [6], стр. 440, 601, 607). Лемма 1. При любом М ^ 2 справедливо равенство

P(x) = Y1

2 Trimx

2ni т

+ 0(r м (x)),

где

Гм (x) =

m

K|m|^M ln М

2 Trimx

+ 0

/1пМ\

\~w)

|Cm\ <

1п М

—тум

y/l + M2 sin2 nx

Положим A = l, ц = l, ,м(x) = гм(x + A) + гм(x) и воспользуемся леммой:

— = E

2жг kmi A

1<|т1|<м

2ni т

_(e2TmiA — i) + о (фХм(Ak)),

(1)

1

P

/к + 1 \ /к \ _. р2ткт2ц

= £ («- Ч + о «V-. (2)

Поскольку

гм( Л(к+1)) = £ Ст е2™л(*+1) +о(= £ Ст е™+0 (^ =

1<|т|<М 1п М ^ ' 1<|т|<М 1п М ^ '

= Е е2^гтЛ"+о () >

1<|т|<М 1п М ^ '

где для с'т справедлива такая же оценка, как для ст, заключаем, что

1пМ\ . . 1п М

___ -Н/м

т ^ I 0 I ц г I , " '

Фх,м (Лк) = гм (Л(к + 1)) + гм (Лк) = Е сте2ттХк + о( ^М)

1<|т|<М 1п М ^ '

Перемножая равенства (1) и (2), получаем

К(Ю) = И^Ю) + ) + Яз (Ю) + К^),

где

р 2 жгкт,1 Л р 2жгкт2^

Я1(Ю) = V V --(е2^т1Х - 1) У --- 1) =

, ЛГ , , 2тт! , , 2тт2

к^М 1<|т1|<М 1<|т2|<М

___ (е2жгт1\ л\ („2жгт2и 1А _

= у^ у^ (£_- 1)(в ^ - 1) ул е2тк(т1\+т2^) ^

2ттг т1 ■ 2 Т г т2

1<|т1|<М К|т21Ы

^ |т1||т2|Нт1Л + т2а\\'

1<|т1|<М К|т2|^М 1 1М 2111 1

К2(Ю) < 1пМ Е Ф\м(Лк)' Яз(Ю) < 1пМ Е Ф^М(»к), Я4(Ю) < ^ (Лк)ф^м(»к).

к^М к^М к^М

Теорема (В. Шмидт, [7], теорема 2). Пусть Л, » — т,акие иррациональные алгебраические числа, что 1, Л,» линейно независимы, над полем рациональных чисел. Тогда, для любого е > 0 существует лишь конечное множество пар т,а,ких целых чисел т1 = 0 т2 = 0; что

\\т1Л + т2»\\ < 1

( т1 т2)

1+е'

Лемма 2. Пусть Л » ~ тлкие иррациональные алгебраические числа, что 1, Л,» линейно независимы над полем рациональных чисел, М ^ 2 и |т1| ^ М, |т2| ^ М, (т1,т2) = (0, 0). Тогда, для любого е > 0 существует такое число с > 0, что \\т1Л + т2»\\ ^ м2+£.

Доказательство. По теореме Шмидта неравенство \\т1Л+т2»\\ < (т1Г12)1+£ справедливо

т1 = 0 т2 = 0

такое число С1 > 0, что для всех пар ( т1, т2) с условиями 1 ^ |т11 ^ М, 1 ^ |т2| ^ М выполняется неравенство \\т1Л + т2»\\ ^ (^т^1)1+£/2 ^ ■

т1 т2 т2 = 0 Л

ческое, существует такое число с2 > 0 что \\т1Л + т2»\\ = \\т1Л\ ^ 1с+Е/2 ^ Полагая

с = ш1п(С1, С2) > 0 получаем леммы.

Лемма 3. Пусть 5 > 0 и числа х,у Е К таковы, что \\х ±у\\ ^ 6. Тогда, |\\ж\\ - ^ 6.

Доказательство. В силу 1-периодичности функции /(х) = ||х|| можно без ограничения общности считать, что х,у € (—2; 2]. Более того, если неравенства ||х ±у|| ^ 6 выполнены для чисел х и у, то в силу чётности функции /(х) эта же неравенства справедливы и для чисел — х и у. Таким образом, можно считать, что х,у € [0; 2], а тогда | ||х|| — ||у|| | = |х — у| ^ ||х — уЦ ^ 5.

Лемма 4. Пусть ц — т,акие иррациональные алгебраические числа, что 1, А,ц линейно независимы над полем рациональных чисел, М ^ 2. Тогда для любого £ > 0 имеют место оценки

У У Й-^-й = 0(М2+£ 1пМ),

^ ^ ЦтхХ + т2цЦ

у У 1—л—-й = о(м1+£ 1п м ).

1^1 1^1 |т1||т2|||т1А + т2Ц||

Доказательство. Докажем первое равенство. Все числа ||т1А + т2ц||, где 1 ^ |т1| ^ М, 1 ^ |т21 ^ М, различны в силу линейной независимости чисел 1,А,ц. Пользуясь леммой 2, покажем, что в каждом из промежутков

[0; 5), [ 5;25), [2 6; 36), ..., [п5; 2 ],

где 6 = (2МС)2+£ и п = [2г]) лежит не более одного из этих чисел, а в первый из промежутков не попадает ни одного из них. Действительно, если (т1,т2) = (тз,т^), то согласно лемме 2 ||(т1А + т2ц) ± (т3А + т4ц)|| = ||(т1 ± т3)А + (т2 ± т4)ц|| ^ 5, а тогда в силу леммы 3

||т1А + т2ц|| — ||тзА + т4ц| ^ 5. Таким образом, выполняется неравенство

1 п 1

у У -, < у 1 = о(М2+£ 1п м).

^ ^ ||т1А + т2ц|| ^Ьк '

Докажем теперь второе равенство. Обозначим ат1,т2 = цт1д+т2^ц • Тогда

Б (М) = ата1,т-2 = ^^ ат1 ,т2 + ^^ ат1,т2 +

( 2-^2.*/ |т1||т2| = 2-^2-^ |т1||т2| 2-^2.^ |т1||т2|

1<|т1|<М 1 111 2 М/2<|т1^М 1 111 2 К|т1|^М/2 1 111 21 1<|т2|<М М/2<|т2|^М М/2<|т2|^М

, ^^ ^^ атх,т2 . ^^ ^^ атх,т2 ^ 2 ^^ . д( М\

+ |т1||т2| + ^^ |тх||ш2| ^ М^^атьт2 .

М/2<|т1 |<М 1 111 2 1<|т1|<М/^ 111 2 1<|т1|<М

1<|т2|<М/2 1<|т2|<М/2 1<|т2|<М

Аналогично получаем

а(М \ 4 ^^ „(М ч

1<|т1|<М/2 1<|т2|<М/2

и т. д. Применяя оценку из первого равенства в доказываемой лемме, получаем

2 о, 4 (М \2+е М 8 (М \2+е М

В (М) «_м 2+1 ьм + ж( т) ^ м( т) 1п " +... <

< 2М 1+£ 1пМ + (1) 1+£ ^^ 1+£ + ...) < М 1+£ 1п М. Лемма 4 доказана.

Замечание. Доказательство первого равенства в утверждении леммы 4 аналогично доказательству леммы 3.3 из [8] (см. также упр. 3.16 этой же книги). Оценим К2(Ж) и Кз(Ж). Для суммы К2(Ж) имеем

£ >Ф,м(Лк) = W Е +о(inf)) =

- 2nimXk lnM \ lnM 1 N lnM Л rt N A, ^

1\/Г AT ^ 7 1 1\/Г Д/Н1 11 ^ 7

1<|m|<M ln M k^N 4 7 ln M

Следовательно

^2(N) *[—£ + N ) ln2—,

M

М )

и такая же оценка имеет место и для Кз(Ж). Наконец, оценим сумму ^(Ж):

^4(N) * Е (Лк)ф^м(»») =

k^N

W £ стe— + 0 (ln— ))( £ 4»+ 0 ("М-))

1<|ml|<M ln M V // \1<|rn2|<M ln M V //

E E ^ Ee 2mk(mix+m^+о ()

i\<M ln M 1<\m2 kM ln M k^N ^ '

*

2 ^ \ — !

1<|mi|<M ln M K|m2 KM ln M

ln2— ^ ^ 1 N ln2 —

* —2 , ^ ||Ш1Л + Ш2»У + — .

Применение леммы 2 приводит к оценке

г I —£ + ,

—

R4 (N) * (—е + ln2 —.

Выберем теперь — = Ni. Тогда получим R(N) = 0(Ni +£). Теорема 2 доказана.

В заключение отметим также, что другим возможным направлением уточнения теоремы Т. Банга может являться задача об асимптотической формуле для (N) с как можно лучшим остаточным членом для почти всех > 1 в смысле меры Лебега. М. Р. Габдуллин сообщил нам, что при помощи вероятностных соображений в этом случае можно получить асимптотическую формулу

Sa,р(N) = N + 0a,/3,s ((ln N)3(ln ln N)1+£), е > 0,

которая также следует из результатов работы [9].

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Beattv S. Problem 3173 // American Mathematical Monthly, 33 (3), 1926, p. 159.

2. Бегунц А. В., Горяшин Д. В. Актуальные задачи, связанные с последовательностями Бит-ти // Чебышевский сборник. 18. Вып. 4. 2017. 97^105. doi: 10.22405/2226-8383-2017-18-497-105

3. Technau, M., 2018, "On Beattv sets and some generalisations thereof", Wiirzburg, Wiirzburg University Press, doi: 10.25972/WUP-978-3-95826-089-4

4. Skolem, Th. On certain distributions of integers in pairs with given differences // Math. Scand. 5 (1957), 57-68.

5. Bang, T. On the sequence [па], n = 1, 2, 3____Supplementary note to the preceding paper bv

Th. Skolem 11 Math. Scand. 5 (1957), 69-76.

6. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу: 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Дрофа, 2004. 640 с.

7. Шмидт, Вольфганг М. О совместных приближениях двух алгебраических чисел рациональными // Математика, 1971, том 15, выпуск 3, 3-25.

8. Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей: Пер. с англ. - М.: Наука, 1985. - 408 с.

9. Beck, J. Probabilistic Diophantine Approximation, I. Kronecker Sequences // Annals of Mathematics, Sep., 1994, Second Series, Vol. 140, No. 2 (Sep., 1994), pp. 449+451-502.

REFERENCES

1. Beattv, S., 1926, "Problem 3173", American Mathematical Monthly, vol. 33, no. 3, p. 159.

2. Begunts, A. V., Gorvashin, D. V., 2017, "Topical problems concerning Beattv sequences", Chebyshevskii Sb., vol. 18, no. 4, pp. 97-105. doi: 10.22405/2226-8383-2017-18-4-97-105

3. Technau, M., 2018, "On Beatty sets and some generalisations thereof', Wiirzburg, Wiirzburg University Press. urn:nbn:de:bvb:20-opus-163303

4. Skolem, Th., 1957, "On certain distributions of integers in pairs with given differences", Math. Scand., vol. 5, pp. 57-68.

5. Bang, T., 1957, "On the sequence [па], n = 1, 2, 3 .... Supplementary note to the preceding paper by Th. Skolem", Math. Scand., vol. 5, pp. 69-76.

6. Arkhipov, G. I., Sadovnichii, V. A., Chubarikov, V. N., 2004,11 Lectures in m,at,hem,atical analysis", 4-d ed., Moscow, Drofa. 640 p. (In Russian.)

7. Schmidt, Wolfgang M., 1967, "On simultaneous approximations of two algebraic numbers by rationals", Acta Math., vol. 119, no. 1-2 (1967), 27^60.

8. Kuipers, L., Niederreiter, H., 1974, Uniform Distribution of Sequences, WTilev, New York.

9. Beck, J., 1994, "Probabilistic Diophantine Approximation, I. Kronecker Sequences", Annals of Mathematics, Second Series, vol. 140, no. 2 (Sep., 1994), pp. 449 + 451-502.

Получено: 15.06.2022 Принято в печать: 22.12.2022