О ЗНАЧЕНИЯХ ПОСЛЕДОВАТЕЛВНОСТИ БИТТИ В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 21. Выпуск 1.

УДК 511.35, 517.15 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-1-364-367

О значениях последовательности Битти в арифметической прогрессии1

А. В. Бегунц, Д. В. Горяшин

Бегунц Александр Владимирович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова (г. Москва). е-тай: ab@rector.msu.ru

Горяшин Дмитрий Викторович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова (г. Москва). e-mail: goryashin@mech. math, msu.su

Аннотация

В статье доказана асимптотическая формула для числа значений последовательности Битти в арифметической прогрессии с растущей разностью. Пусть а > 1 — иррациональное число и fl — вещественное число из про межутка [0; а), а и d — целые числа, d ^ 2, 0 ^ а < d, х — достаточно большое натуральное число. Обозначим через Nd(x) число значений последовательности Битти [an + fl], 1 ^ п ^ ж, принадлежащих арифметической прогрессии (а + kd), к g N Тогда если неполные частные непрерывной дроби числа а ограничены, то при х ^ ж справедлива асимптотическая формула Nd(x) = ^ + 0(dln3 х), где постоянная в знаке О абсолютна. Разность прогрессии может расти вместе с х, причём результат нетривиален, если d ^ /х ln-3/2-e ж, е > 0.

Ключевые слова: последовательность Битти, арифметическая прогрессия, асимптотическая формула.

Библиография: 4 названия. Для цитирования:

А. В. Бегунц, Д. В. Горяшин О значениях последовательности Битти в арифметической прогрессии // Чебышевский сборник, 2020, т. 21, вып. 1, с. 364-367.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 21. No. 1.

UDC 511.35, 517.15 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-1-364-367

On the values of Beatty sequence in an arithmetic progression

A. V. Begunts, D. V. Goryashin

Begunts Aleksandr Vladimirovich — candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Lomonosov Moscow State University, Department of mathematics and mechanics (Moscow). e-mail: ab@rector.msu.ru

Goryashin Dmitry Viktorovich — candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Lomonosov Moscow State University, Department of mathematics and mechanics (Moscow). e-mail: goryashin@mech. math, msu.su

1 Работа выполнена при поддержке Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

(грант «Современные проблемы фундаментальной математики и механики»).

Abstract

In the paper, we consider Nj(x) = N(x; a, ft; d,a), x g N, which is the number of values of Beatty sequence [an + ft], I < n < x, for a > 1 irrational and with bounded partial quotients, ft g [0; a), in an arithmetic progression (a + kd), к g N. We prove the asymptotic formula Nd(x) = | + 0(dln3 ж) as x ^ ж, where the implied constant is absolute. For growing difference d the result is non-trivial provided d < /х \n-'3/2-e x,e> 0.

Keywords: Beatty sequence, arithmetic progression, asymptotic formula.

Bibliography: 4 titles.

For citation:

A. V. Begunts, D. V. Goryashin, 2020, "On the values of Beatty sequence in an arithmetic progression", Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 1, pp. 364-367.

В настоящей заметке продолжено исследование свойств последовательности Битти (см., например, [1], [2]) и изучен вопрос о распределении её значений в заданной арифметической прогрессии с растущей разностью. Основным результатом является следующее утверждение.

Теорема. Пусть а > 1 — иррациональное число и ft — вещественное число из промежутка [0; а), а и d — целые числа, d > 2,0 < а < d, х — достаточно большое натуральное число. Обозначим через

Nd(x) = N(х; a, ft; d,a)= ^^ 1

l^n^x

[an+fi] = a (mod d)

число значении последовательности Битти [an + ft], 1 < п < х, принадлежащих арифметической прогрессии (а + kd), k g N Тогда если неполные частные непрерывной дроби числа а ограничены, то справедлива асимптотическая формула

Nd(х) = — + 0(dln3 х) при х ^ ж,

где постоянная в знаке О абсолютная.

Данный результат является нетривиальным для всех d < /х ln-3/2-£ ж, где е > 0. Отметим также, что аналогичным образом доказывается асимптотическая формула с остаточным членом 0(dln4 х) для случая почти всех а > 1 в смысле меры Лебега. Нам потребуется следующее утверждение.

Лемма 1 ([3], лемма 19). Пусть а — положительное иррациональное число, действительное число ft лежит в промеж утке [0; а) и функц ия £ определена на множестве натуральных чисел. Тогда для любого целого числа L > 2 при N ^ ж справедлива оценка

Е i([an + ft]) - - Е п) с |Si| + |Е21 + (1)

z—' а z—'

n^N n^aN+p

где

|£i|<< Е 1

Z-/ -гп

т

1<m<L

Е C(n)e2^iXmn

n^aN+¡3

(2)

и < ^ | Е

, 1<m<L ln L

Е t(n)

n^aN+¡3

2 *i\mn

+ E kwI), (з)

n^aN+¡3

К тах \С(п)\ (4)

и X = , причём к — наименьшее натуральное число, для которого ак > 1.

Применим утверждение данной леммы к функции £(п) = ^(п), равной характеристической функции арифметической прогрессии а + Ы, к € М, т. е.

- , . I 1, если п = a (mod d), оа d(n) = <

I 0, если п ф a (mod d).

Получим

ВД =1 V 1 + 0(R) =1 + 0(R)= * + O(R),

™ z—' а V d

ß

n = a (mod d)

где R = Ri + Д2 + 1,

R

i =

E 1

< J m

1<m<L

«2 = ^ I E

y^ Sa,d(n)e

n^ax+ß

2-Ki\mn

А =1,

а

,1<m<L ln L

E KdH^

n^ax+ß

2ni\mn

+ E VW ) .

n^ax+ß

Докажем обобщение леммы 3.3 книги [4], используя обозначение ||ж|| = min |ж — п|.

nEZ

Лемма 2. Пусть X — положительное иррациональное число и ф — такая неубывающая положительная функция, что при всех натуральных т верно неравенс те о ||Ато|| > т1р(т) ■ Тогда для любых d,L > 1:

а) существует такое S > 0, что на промежуток [0;S) не попадёт ни одного значения ||Айто||, 1 ^ то ^ L, причём можно положить ó = (2dLф(2dL))-1;

б) при L ^ <х> справедливы оценки

Е

1<m<L

1 < dLф(2dL)1n L, ^ 1

||Айто||

1<m<L

то||Айто||

,,/^,,-м т- , ф(2dто)1n то

< dф(2dL)1n L + d > —---.

' ¿ ni

1<m<L

Доказательство. Следуя доказательству леммы 3.3 книги [4], воспользуемся тем, что для любого 5 > 0 го неравенств \\х±у\\ ^ 5 вытекает неравенство | \\ж\\ — ||у|| | ^ 5. Рассмотрим произвольные целые числа т2 с условием 0 ^ т2 < т\ ^ Ь. Тогда поскольку

||Xdтоl ± Xdто2|| = ||Xd(тоl ± то2)|| ^

1

1

= 6,

d(ml ± т2)ф^(т1 ± т2)) 2dLф(2dL)

получаем, что |\Айшх! — \\А^т2\1 ^ Полагая т2 = 0, получаем утверждение п. а). Следовательно, точки ||Атой||, 1 ^ т ^ Ь, расположены та полуинтервале (0; 2] так, что расстояние между любыми соседними не меньше при этом на промежутке [0; 6) ни одной такой точки пет. Значит,

^ = Е

||Атой||

Далее, пользуясь преобразованием Абеля, получаем

1 < V < dLф(2dL)1n L.

< J тл

Е

1

SL

+ Е

S™

то||Атой|| L + 1 то(то + 1)

1<m<L 11 11 1<m<L v 7

Т , ф^1то)1п то

< dф(2dL)\n L + d у —---.

Z—/ in

1<m<L

Лемма доказана.

Оценим теперь суммы Rl и Й2- Поскольку при \\£\\ = 0 для всякого х > 0 верпа оценка

Е<

к^х

2-KÍkt

<

1

получаем

R1 =

Е ^

—^ т

Аналогично имеем 1n L

Е

a2^i\m(a+kd)

к< *

x + ß-a

Е то

то

1<m<L

Е

2ni\mdk

к< *

< 1 Е

^ 2 ^ 1<m<L

тоУ АйтоУ

R

2

1<m<L ln L

Е

J2^i\m(a+kd)

к< -

X , т 1n L + — 1n L < —— > d.T, T,

L ^ ЦАйтоУ dL

1<m<L ln L 11 11

+ -rrln L.

1

1

Далее воспользуемся утверждением леммы 2. Если неполные частные непрерывной дроби числа

а (а значит, и числа Л = ограничены, то соответствующая функция ф равна константе (см. [4, с.

134-135]). Получаем оценки

|Й1|< dln2 L, |й2|< dln3 L + ln L,

что при L = x даёт требуемый результат.

Авторы благодарят профессора В. П. Чубарикова за поддержку и внимание к работе.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Technau, М., 2018, "On Beatty sets and some generalisations thereof", Wiirzburg, Wiirzburg University Press, doi: 10.25972/WUP-978-3-95826-089-4

2. Бегунц А. В., Горяшин Д. В. Актуальные задачи, связанные с последовательностями Битти // Чебышевский сборник. 18. Вып. 4. 2017. 97^105. doi: 10.22405/2226-8383-2017-18-4-97-105

3. Бегунц А. В. О распределении значений сумм мультипликативных функций на обобщенных арифметических прогрессиях // Чебышевский сборник. 6. Вып. 2. 2005. 52—74.

4. Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей: Пер. с англ. — М.: Наука, 1985. — 408 с.

REFERENCES

1. Technau, М., 2018, "On Beatty sets and some generalisations thereof", Wiirzburg, Wiirzburg University Press.

urn:nbn:de:bvb:20-opus-163303

2. Begunts, A. V., Goryashin, D. V., 2017, "Topical problems concerning Beatty sequences", Chebyshevskii 56., vol. 18, no. 4, pp. 97-105. doi: 10.22405/2226-8383-2017-18-4-97-105

3. Begunts, A. V., 2005, "On the distribution of the values of sums of multiplicative functions on generalized arithmetic progressions", Chebyshevskii Sb., vol. 6, no. 2, pp. 52-74.

4. Kuipers, L., Niederreiter, H., 1974, Uniform Distribution of Sequences, Wiley, New York.

Получено 21.09.2019 г.

Принято в печать 20.03.2020 г.