О вычислении кулоновских радиальных матричных элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.184.5

О ВЫЧИСЛЕНИИ КУЛОНОВСКИХ РАДИАЛЬНЫХ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

И. Л. Бейгман, Л. А. Вайнштейн, С. В. Костин

Излагается новый метод вычисления кулоновских интегралов, основанный на интегральном представлении функции Аппеля Р\. Приводятся формулы, пригодные для численного вычисления монопольных, дипольных и квадру-польных матричных элементов.

При вычислении сечений возбуждения атомов и ионов в рамках метода парциальных волн [1] возникает необходимость вычисления полюсных радиальных матричных элементов вида

1 00 1

= (1)

1 о

Здесь /х, к] - орбитальный момент и волновое число рассеиваемой частицы до столкновения, /г» - те же величины после столкновения, А - мультипольность взаимодействия. Квантовые числа /2 и мультипольность А - целые неотрицательные числа. Из сохранения в процессе возбуждения орбитального момента следует условие треугольника |/х — /21 < А < |/1 + /2!, а из сохранения четности следует четность суммы + /2 + А. Объединяя эти условия, находим

12 = ь - А, 1г - А + 2,..., ь + А. (2)

Кулоновская радиальная волновая функция Р)(кг) определяется равенством [2]

Я(*г) = |Г2г[2/ + 2)?)1е"^(2А:г)/+1е"''^(/ + 1 ~ 1Т}] 21 + 2; ШГ)■ (3)

Здесь F - вырожденная гипергеометрическая функция, а 77 - безразмерный кулоновский параметр, равный

ЗхЗаеУ С

" = = Р (4)

где р. - приведенная масса сталкивающихся частиц, Zxe - заряд рассеиваемой частицы, Z2e - заряд иона. Атом рассматривается как ион с зарядом равным нулю. Параметр т) характеризует взаимодействие частицы с кулоновским полем иона. Случай rj = 0 соответствует возбуждению нейтрального атома. Кулоновская функция Fi(kr) и матричный элемент М* ¡г безразмерны и действительны.

Рассмотрим вопрос о сходимости интеграла (1). Функция /(г), стоящая под знаком интеграла в формуле (1), вещественна и непрерывна на луче (0, +оо). Из формулы /(г) ~ r'i+'2-A+i? г о и равенства (2) следует, что функция /(г) непрерывна и равна нулю в точке г = 0. Следовательно, интеграл (1) не имеет особенности при г = 0. Прг больших г [2]

Fi(kr) = sin(fo- - - r]\ri2kr + £,) + û(-), г +оо, (5)

где 81 = arg Г(/ + 1 + гг]) - кулоновский фазовый сдвиг. Отсюда следует, что /(г) = = 0(1/гл+1), г —>■ +ос и интеграл (1) сходится абсолютно при А > 1. С помощью признака Дирихле можно показать, что интеграл (1) сходится условно при А = 0 и к\ ф к2. При А = 0 и ki = к2 интеграл (1) расходится.

Интеграл, входящий в формулу (1), симметричен относительно замены <-+ /2. кч <-> к2. Поэтому не ограничивая общности можно считать, что ki > к2. Мы будем в дальнейшем рассматривать случай к\ > к2. Если А > 1, то интеграл (1) сходится равномерно относительно к2 и случай кг = к2 может быть получен с помощью предельно о перехода к2 —» кг — 0 при фиксированном Положим а = к2/кг, а = 1 — где £ > 0 Безразмерный параметр £ характеризует часть энергии, потраченную рассеиваем» ! частицей на возбуждение иона. Если в интеграле (1) произвести замену переменно г' — к\Г, то легко увидеть, что матричный элемент М^j является функцией двух безразмерных параметров £ и т] = щ.

Кулоновская функция Fi(kr) вычисляется обычно путем численного интегрирования волнового уравнения Кулона [2]. При больших I такое интегрирование становится затруднительным, поскольку функция F[(kr) при малых г ведет себя как степенная функция с большим показателем степени. Соответственно, становится затруднительным непосредственное вычисление кулоновского интеграла по формуле (1). Сложность прямого численного вычисления интеграла (1) связана также с осциллирующим характером подынтегральной функции f(r). Таким образом, возникает задача развития альтернативных методов вычисления матричных элементов. Особый интерес представляют монопольный (А = 0), дипольный (А = 1) и квадрупольный (А = 2) случаи.

При вычислении кулоновских интегралов полезными оказываются рекуррентные соотношения [3,4], связывающие матричные элементы с различными значениями /2 и А. В частности, при любом А > 1, кроме А = 2, рекуррентные соотношения позволяют выразить матричный элемент порядка А через матричные элементы порядка А — 1. Отметим, однако, что в ряде случаев использование рекуррентных соотношений может привести к заметной потере точности, а многократное применение этих соотношений обычно сопровождается накоплением вычислительной ошибки.

В работе [5] дипольные матричные элементы с помощью рекуррентных соотношений сводятся к монопольным. Последние выражаются через гипергеометрическую функцию Гаусса и вычисляются путем суммирования соответствующего ряда. Отметим возникающие при этом трудности. 1) При £ —> +0 монопольные матричные элементы стремятся к +оо и потому вычисление через них дипольного матричного элемента сопровождается существенной потерей точности. 2) При большом т] члены ряда осциллируют и точное вычисление его суммы сталкивается со значительными трудностями. 3) Окончательный результат - матричный элемент (1) - действителен, а для его вычисления приходится суммировать ряд с комплексными членами.

Выше указывалось, что матричные элементы с А = 2 не могут быть с помощью рекуррентных соотношений сведены к матричным элементам низшего порядка. Однако, вычислив каким-либо образом несколько квадрупольных матричных элементов, можно затем с помощью рекуррентных соотношений получить все остальные квадрупольные матричные элементы. Такой метод реализован в программе, описанной в работе [6]. Программа обеспечивает относительную погрешность менее Ю-7 при £ > Ю-" Однако она применима только для 1 < 500, тогда как в ряде случаев необходим учет существенно большего числа парциальных волн. Кроме того, в программе не предусмотрена возможность задания требуемой точности вычислений.

Предельный переход £ —> 0, г/ —> оо, £т] —► const соответствует переходу к классическому описанию рассеиваемой частицы, когда она рассматривается как материальная точка, движущаяся по гиперболической траектории. Поэтому при малых £ и больших г) (но таких, что их произведение порядка единицы) применимо квазиклассическое приближение. Используя квазиклассическое приближение для радиальной волновой функции Fi(kr), можно выразить матричный элемент (1) через соответствующий классический орбитальный интеграл [3,4]. Вычисление этого интеграла также сталкивается с определенными трудностями вследствие осциллирующего характера подынтегральной функции. Квазиклассическое приближение применимо в ограниченной области значе-

ний параметров £ и 7/, а попытка его уточнения приводит к очень громоздким выражениям.

Предлагаемый в настоящей работе метод обладает более широкой областью при менимости, чем описанные выше методы. Он применим для вычисления монопольно , дипольных и квадрупольных матричных элементов при любых значениях параметров £ и г]. Метод основывается на представлении матричного элемента (1) в виде определен ного интеграла по отрезку [—1, 1] от непрерывной и действительной на этом отрезке функции. Последний интеграл вычисляется численно с помощью квадратурных формул Гаусса, причем число точек интегрирования удваивается до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.

Выражение матричного элемента через функцию Аппеля. Для того, чтобы пре образовать интеграл (1) к более удобному виду, необходимо ввести под знак интеграла множитель сходимости:

К'Х = рг / (б)

1 о

где <7 - безразмерный действительный положительный параметр. Можно считать, что <7 6 (0, 1). Очевидно, что интеграл (6) сходится абсолютно при любом <7 > 0 и матричный элемент (6) действителен. Интеграл (6) сходится равномерно относительно q £ (0, 1). Кроме того, функция /(г, <?), стоящая под знаком интеграла в формуле (6), при —> +0 равномерно относительно г стремится к функции /(г). Поэтому закоь< предельный переход ц —> +0 под знаком интеграла (6). Переходя к пределу, находим

Подставляя в формулу (6) выражение (3) для радиальной волновой функции и ис-пользуя интегральное представление для вырожденной гипергеометрической функции [7], приходим к формуле

оо 1 1 ООО

Здесь введены обозначения х = 2/(1 -\-a-iq), y = 2a/(l+a — iq). Благодаря наличию множителя сходимости е~чк1Т, интеграл по г от функции, стоящей в квадратных скобках, сходится равномерно относительно (и, и) £ [0, 1] х [0, 1]. Это позволяет переставить

порядок интегрирования и, выполнив интегрирование по г, получить 1 1

К

• 12= с2 11 [и1>-{т - 1 - -их- и2/)-('1+^-А+2)] ¿и ¿V.

о о

Последний интеграл выражается через гипергеометрическую функцию Аппеля ^ [7]. Окончательно приходим к следующему выражению для матричного элемента (6):

д„ . \Щ + Щт)\ 1Г(/2 + 1+г,2)| 211+'2а'2+1

Г(2/1+2) Г(2/2+2) Ц/1 + /2 А+2)б [г(1+а—гд)]'»+'2-А+2

( 2 2 а \

и + /2-А + 2, /1 + 1-гт/!, /2 +1—¿772; 2^+2, 2/2 + 2; —-(8)

\ 1 + а — Щ 1 -\-a-iqJ

Функции Аппеля ^(а, 6, 6'; с; х, у) и Ь, 6'; с, с'; а;, ?/) - многозначные функ-

ции двух комплексных переменных х и г/, аналитические в односвязной области С? = {|а^(1 — х)| < 7г} х {| аг§( 1 — г/)| < я-}. По теореме о монодромии функции ^ и ,Р2 распадаются в области (т на регулярные ветви. Во всех формулах символы ^ и _Р2 обозначают регулярные ветви, порожденные элементами, заданными в точке х = 0, у = О посредством соответствующих рядов Аппеля [7].

Имеет место следующее соотношение, связывающее функции Аппеля ^ и ,Р2 [4]:

Е2(а, Ь, Ъ'- с, а; ж, у) = (1 - у)"6'^ (ь, а - Ь', 6'; с; х, , (х, у) <Е С. (9)

Степенная функция, стоящая в правой части равенства (9), регулярна в области Сг и однозначно определяется формулами

га = еа1пг, 1п 2 = 1п \г\ + г а^ г, | агё < тг. (10)

Соотношение (9) имеет принципиальное значение для всего последующего изложения. Оно позволяет выразить функцию Аппеля у которой параметр с' равен параметру а, через функцию Аппеля Для последней функции существует следующее представление в виде одномерного интеграла [7]:

6, Vс; 2«, 2.) = Г(с) ^ ш I^^^^ ^С11)

1 (а)1 (с—а) (1 — и)6(1 — ьу У / у/ гг; у

Все степенные функции, стоящие в правой части равенства, понимаются в смысле (10). Представление (11) справедливо при (2и, 2и) Е (7, Ие а > 0, 11е (с —а) > 0. Первое

условие означает, что точки 2 = (1 — и)/и и г = (1 — у)/у, в которых стоящие в знаменателе скобки обращаются в ноль, не принадлежат отрезку интегрирования [—1, 1] Второе и третье условия обеспечивают сходимость интеграла (11), вообще говоря, в несобственном смысле.

Вычисление матричного элемента В данном случае 1\ = /, /2 = / + А, где

/ > 0. Функция Аппеля входящая в формулу (8), имеет равные значения параметров а и с. Воспользовавшись формулой симметрии [7], поставим параметр с на место параметра с'. Применяя теперь соотношение (9) и интегральное представление (11) функции получим следующее выражение для матричного элемента (6):

мл„ |Г(/+1 + «^)| а'^1 Г [(!-*)(! + *)],+л Мя.9)

\Т(1+\+1+{г,2)\ га)(1\ *а )]

Здесь функция <р(г, (?) определяется равенством

1 + ¿9 + га 1 — г

Ч>\*, Я) = Щ Ь --:-+ т/21п——. (13)

1 — гд — га 1 + г

Функция, стоящая под знаком интеграла в формуле (12), принимает комплексно сопряженные значения в точках, симметричных относительно середины отрезка интегри рования. Поэтому матричный элемент как и должно быть, действителен.

Подынтегральная функция непрерывна на прямоугольнике [—1, 1] х [0, 1]. Поэтом законен предельный переход <7 —► +0 под знаком интеграла (12). Переходя к пр( лу и учитывая (7), приходим к следующему выражению для кулоновского матрич > элемента М*¡+х:

>■" |Г(( + Л + 1 + 2»+> I (1 - г2а2)

Здесь функция <р(г) определяется равенством

, 1 + га 1 — г

<р(г) = щ 1п --+ т}2 1п ——. (15)

1 — га 1+2

Функция 1р(г) нечетна. Поэтому формулу (14) можно переписать в виде

|Г(/ + А + 1 + г7,2)|е 2А+1 У (1 - ^ *

Таким образом, получено представление матричного элемента М,Л;+Д в виде определенного интеграла по отрезку [—1, 1] от непрерывной и действительной на этом отрезке функции. Формула (16) применима для численного вычисления монопольного матричного элемента М,° ¡, дипольного матричного элемента /+1 и квадрупольного матричного элемента М2 (+2.

Преобразование матричного элемента М[Х[_Х. В данном случае ^ = /2 = / — А, где / > А. Аналогично тому, как была получена формула (12), приходим к формуле

М1

д„ |Г(/-А + 1+«Ы1 ¿ы^-1*'-»1 } [(1-*)(! + *)]' ,

|Г(/+1+^)1 (аЧ?2)'"^^__МГц * Т

1.4 а—го/ч а + га)\

Здесь функция ф(г, д) определяется равенством

ф{г, Ч) = т 1п + 1п а + г'9 + г. (18)

1 + г а — гд — г

Функция, стоящая под знаком интеграла в формуле (17), при <7 = 0 имеет особенности в точках г — а и г = —а, принадлежащих отрезку интегрирования. Поэтому предельный переход <7 —* +0 под знаком интеграла (17) невозможен.

Подынтегральная функция регулярна в верхней полуплоскости Б+ = {1т г > 0} и непрерывна вплоть до отрезка [—1, 1]. Поэтому, согласно интегральной теореме Коши, интеграл по отрезку [—1, 1] в формуле (17) можно заменить на интеграл по полуокружности 7+ = {г = —е-'', 0 < Ь < тт}. Теперь законен предельный переход <7 —► -(-0 под знаком интеграла (17). Переходя к пределу и учитывая (7), приходим к следующему выражению для кулоновского матричного элемента МАг_л:

М'.<-л- \т(1 + 1 + М\ 6 2А+1 У (1 - г2/а3)г~х+1

Здесь функция ф(г) определяется равенством

,, ^ , 1 — а , о + -г' , ч

0(2) = 77! 1п —--1- 7/2 1п -. (20)

1+2 а — г

Выполняя в интеграле (19) замену переменной г = 1/ги, имеем

|Г(/ + 1 + "7г)| С ^ -У (1 -^а2)'-А+1 I21)

Здесь 7_ = {го = — е'',0 < I < 7г}, а функция х(м) определяется равенством

/ч , /1 \ , го — 1 , гоа + 1 , х

хП = ф(-)=ъ1п—— + т121п--. 22

\ъи ; го + 1 гоа — 1

Функция хС^) регулярна в нижней полуплоскости = {1т го < 0} и непрерывна в области вплоть до интервала / = ( — 1, 1). Найдем значение функции х^) 8 точке ги 6 /. Рассмотрим луч / = (го — гоо, го]. На бесконечности функция х(^) равна х(°°) = ^>(0) = 0. Следовательно,

Х(ш) = Щ 1п

го — 1

го + 1

+ т/г Ь

гоа + 1

гоа — 1

го — 1 1 + гоа

+ гткА; а^ —— + гт/2Д/ aгg --, г/; € /•

го + 1

1 — гоо'

Приращения аргумента вдоль луча / равны соответственно — тг и 7Г. Поэтому

Х(ю) = ш(ю) - гтт(т]\ - т/2), го € /. (23)

Здесь функция ш(ъи) определяется равенством

Цго) = т/11п —--Ь т]2 1п --.

1 1 — 1 — гоа

(24)

1 + го

В обеих частях равенства (23) стоят регулярные в области /)_ функции, поэтому по теореме единственности оно справедливо для всех го € Подставляя равенство (23) в формулу (21), находим

1Ш+1 + 141)1 21 11 / (1-ш2Л-А+1 ю^"

•у-

Рассмотрение случаев А = 0, А = 1 и А = 2. Функция, стоящая под знаком инте грала в формуле (25), регулярна во всей комплексной плоскости с разрезами по лучам (—оо, —1], [1, +оо) и с выколотой точкой го = 0. В монопольном случае А = 0 по люс в точке го = 0 отсутствует и, согласно интегральной теореме Коши, интеграл по полуокружности 7_ можно заменить интегралом по отрезку [—1, 1]. Таким образом, получаем следующую формулу для вычисления матричного элемента М,0,:

0 _ г (1-0

У (1 - ги2а2)

Мг , = ——:-1—^-е*

|Г(/ + 1+«„)|в 2

г (1 , х,

У (1 — ю2а2У+1

(26)

Здесь мы воспользовались формулой Эйлера и нечетностью функции ш(ю). Формула (25) дает отличный от (16) способ вычисления матричного элемента М? Непосредственно

равенство правых частей в формулах (16) и (26) совсем не очевидно и представляет собой довольно любопытное математическое тождество. Практически оно может быть использовано для проверки правильности работы программы.

Обратимся теперь к дипольному и квадрупольному случаям. Снова применим формулу Эйлера и представим экспоненту, стоящую под знаком интеграла в формуле (25), в виде

ем«0 _ соз ш(ъи) + г вш о;(г«) = 1 - 2эш2 + »япы(о;). (27)

£

Интеграл (25) разбивается на сумму трех интегралов:

1 = 11+12 + /з, (28)

где

Д = [ (1-ц,а)< ^ (29)

т 9 Г (1 - ™2У (*тЫ*>)/2]\2, ,чт

72 = "7 (1 - и,2«2)'-^11—^—) ^ (30)

г (1 - ю2)1 . , .¿V) /з = \[ (1 — ги2а2)/-А+1 ^

Интеграл 1\ с помощью интегрирования по частям может быть приведен к интегралу по отрезку [—1, 1]. В дипольном случае, учитывая, что / > А = 1, имеем:

' (1 — ю а ) \и>/ У ш .(1 — хи а У. К Ч (1-ги2а2У+1

1-

В последнем члене подынтегральная функция не имеет особенности в точке ъи = 0, а потому интеграл по полуокружности 7_ можно заменить интегралом по отрезку [—1, 1]:

Д = -2/(1 - а2) } А = 1. (32)

В квадрупольном случае аналогично получаем

2\1—2

Ь = з/(/ - 1)(1 - «2)2 / (| _ А = 2. (33)

Перейдем теперь к исследованию интеграла Функция и>(го), определяемая формулой (24), регулярна в точке го = 0. Разложим ее в ряд Тейлора в этой точке:

2

ш(го) = 2(7/20 - т/1 )го + -(7/2а3 - 7/1)го3 + О(го5). Поскольку а = и согласно формуле (4) 7/1 = г}2к2 = С, то

и{т) = -^(а2 — 1)го3 + 0(т6).

(34)

Отсюда следует, что функция, стоящая под знаком интеграла в (30), при Л = 1 и А = 2 регулярна в точке го = 0. Следовательно, мы снова можем заменить интеграл по полуокружности 7_ интегралом по отрезку [—1, 1]:

-ч

2\1

(1-0

[ (1 - та)

2 2\1-\+1

/ЛИрш

V гоА /

А = 1, 2.

(35)

Нам осталось рассмотреть интеграл /3. Подынтегральная функция нечетна, а пото му интеграл по полуокружности 7_ отличается только знаком от интеграла по полуокружности 7+. Следовательно, мы можем переписать (31) в виде

/з = Ш - /) = \ / (1 —т2а*У~х+1 *'т

1- т+

(36)

где 7 = 7-7+1 - окружность |го| = 1, ориентированная против часовой стрелки. В л польном случае подынтегральная функция регулярна в круге |го| < 1 и непрер) ;н' вплоть до его границы. Следовательно, /3 = 0. В квадрупольном случае подынтегра ! ная функция регулярна в круге |го| < 1, за исключением полюса первого порядка в точке го = 0, и непрерывна вплоть до границы этого круга. Следовательно, согласно основной теореме о вычетах,

/3 = - • 2^гi га 2 2

2 Ц1 -«> « )

(1 - го2)' зти;(го)

2 2\г-1

го4

= -7гт/,(1 -а2), А = 2.

(37)

Собирая вместе полученные результаты, получаем следующие выражения для матричных элементов М/ ;_х и М2г_2:

|Г(/+1 + гт/г)| 2 _У (1 — го2а2)

1 — го2а2

Ь(1-ц;2)(^ т ) (38)

Рис. 1. Зависимость матричных элементов М?0 8 (кривая 1), М20 10 (2), М20 12 (3), М£ (4), 100 (5) и Муоо 102 (6) от параметра £ при Т] = 0.

Рис. 2. Зависимость тех же матричных элементов, что и на рис. 1, от параметра г/. Параметр £ равен 0.1 для кривых 1, 2, 3 и 0.01 для кривых 4, 5, 6.

Таким образом, получено представление матричного элемента М/\_д, где А = 0, 1, 2, в виде определенного интеграла по отрезку [—1, 1] от непрерывной и действительной на этом отрезке функции. Формулы (26), (38), (39) применимы для численного вычисления

монопольного матричного элемента (_15 дипольного матричного элемента М/ и квадрупольного матричного элемента М;2/_2.

Результаты численных расчетов. Численные расчеты при различных значениях параметров £ и rj показали, что программа, основанная на изложенном в данной работе методе, и программа [6] дают при £ > Ю-2 результаты, совпадающие с относительной точностью Ю-5.

На рис. 1 представлена зависимость матричных элементов М20 8 (кривая 1), Mf0 1U

(«), Що , 12 , 98 , юо (¿0 и ^ioo, 102 (*>) от параметра £ при Т] = 0. На рис

2 представлена зависимость тех же матричных элементов от параметра г/. Параметр £ равен.0.1 для кривых 1, 2, 3 и 0.01 для кривых 4, 6.

Авторы выражают благодарность А. Бёрджессу за предоставление программы до < • опубликования и У. Шмилянскому за полезное обсуждение программы [6].

Работа частично поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проект N 97-02-16919).

ЛИТЕРАТУРА

[1] В а й н ш т е й н J1. А., Шевелько В. П. Структура и характеристики ионов в горячей плазме. М., Наука, 1986.

[2] Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическ; ми таблицами. Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М., Наука, 1979.

[3] В i е d е n h а г n L. С., М с Н а 1 е J. L., Т h а 1 е г R. М. Phys. Rev., 100, 376 (1955).

[4] Альдер К., Б о р О., X у с Т., Моттельсон Б., В и н т е р О. Изучение структуры ядра при кулоновском возбуждении ионами. Сборник "Деформан атомных ядер". М., ИЛ, 1958.

[5] Burgess A.,Hummer D. G., Т u 1 1 у J. A. Phil. Trans. Roy. Soc. Lond.. A 266, 225 (1970).

[6] S a m и e 1 M., S m i 1 a n s k у U. Comp. Phys. Comm., 2, 455 (1971).

[7] Прудников А. П., Б р ы ч к о в Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М., Наука, 1986.

Поступила в редакцию 28 июля 1999 i