CC BY
64
РЕЗОНАНСНЫЙ ПЕРЕНОС ЭНЕРГИИ ФОТОВОЗБУЖДЕНИЯ
В КВАНТОВЫХ ТОЧКАХ
С.Ю. Кручинин Научный руководитель - д.ф.-м.н., ст.н.с. А.В. Федоров
Исследован резонансный перенос энергии между квантовыми точками вследствие электростатического взаимодействия. Вычислена вероятность этого процесса для прямозонного полупроводника в предположении о том, что взаимодействие между электронными подсистемами точек описывается экранированным кулоновским потенциалом. При этом учитывались все существенные члены мультипольного разложения, что позволило адекватно рассмотреть случай запрещенных переходов. Показано, что вероятность переноса в этом случае существенно выше, чем в случае молекулярных систем, поскольку мультипольные взаимодействия вносят вклад в дипольные межзонные переходы.
1. Введение
Изучение безызлучательного переноса энергии между парой пространственно разнесенных квантовых объектов (атомы, молекулы, агрегаты, примесные центры, наноструктуры) является важной задачей физики конденсированного состояния [1], в том числе физики низкоразмерных систем [2, 3]. В последние годы исследования этого эффекта интенсивно развивались в системах с квантовыми точками (нано-кристаллами) [4-11]. Интерес к таким системам обусловлен прежде всего перспективами их использования в различных приложениях, например, при разработке люминесцентных меток и биосенсоров, применяемых для визуализации биологических объектов [12, 13] и экологического контроля окружающей среды, при создании низкопороговых лазеров [14], элементной базы наноэлектроники, квантовых компьютеров [15-17] и клеточных автоматов [18]. Кроме этого, нанокристаллы являются хорошим модельным объектом для детального изучения безызлучательного переноса энергии. Благодаря эффекту размерного квантования [19] можно осуществить резонанс между любыми электронными уровнями квантовой точки донора энергии и квантовой точки акцептора путем подбора соответствующих размеров нанокристаллов. Таким образом, можно исследовать зависимость эффективности переноса энергии от свойств электронных состояний, участвующих в этом процессе.
Диполь-дипольное приближение использовалось для теоретического описания переноса энергии [8, 9, 23] и интерпретации экспериментальных данных [4, 10, 24, 25] во многих современных работах, посвященных квантовым точкам. Очевидно, что если расстояние между квантовыми точками значительно больше их размеров, то диполь-дипольное приближение адекватно описывает перенос энергии фотовозбуждений. Однако возникает вопрос о его применимости для часто реализующегося на практике случая, когда квантовые точки находятся на расстоянии, сопоставимом с их размерами. На первый взгляд, в этой ситуации следует учитывать мультипольные взаимодействия более высокого порядка. Наиболее просто это можно сделать, если предположить, что взаимодействие электронов донора и акцептора описывается кулоновским потенциалом, и учитывать его диэлектрическое экранирование с помощью некоторой эффективной диэлектрической проницаемости, не зависящей от координат. Данный подход использовался в ряде теоретических работ [11, 15]. Например, в [15] механизм Ферстера исследовался на предмет возможности создания запутанных состояний в квантовых точках. Путем численных расчетов показано, что диполь-дипольное приближение адекватно даже на малых расстояниях для квантовых точек кубической формы, а для точек в форме параллелепипедов возникают заметные отличия. В работе [11] в рамках приближения сильной связи рассмотрен перенос в сферических квантовых точках прямозонных и непрямозонных полупроводников. Показано, что для прямозонных полупроводников на малых расстояниях диполь-дипольное приближение
адекватно, и можно пренебречь членами мультипольного разложения. Установлено, что для непрямозонных полупроводников мультипольные члены играют более существенную роль, однако диполь-дипольное взаимодействие все равно остается доминирующим. В [11] также был предложен способ вычисления константы, описывающей диэлектрическое экранирование кулоновского взаимодействия в системах с нанокристаллами.
Перечисленные результаты противоречат оценке отношения вероятностей диполь-квадрупольного и диполь-дипольного взаимодействий [22], согласно которой при контакте квантовых точек относительный вклад диполь-квадрупольного взаимодействия в вероятность переноса энергии может составлять величину ~ 20%. Анализ этого противоречия является одной из целей данной работы. Он проводится на примере взаимодействия двух квантовых точек сферической формы. Это позволило получить ряд интересных результатов: правила отбора межзонных переходов и относительно простое выражение матричного элемента. Показано, что в системах с квантовыми точками, в отличие от молекулярных или атомных [1, 22], учет мультипольных взаимодействий приводит к значительно большим величинам вероятности переноса в случае дипольно-запрещенных переходов. С другой стороны, когда переходы в доноре и акцепторе являются дипольно-разрешенными, выражение матричного элемента точно переходит в формулу, получаемую в диполь-дипольном приближении.
Работа построена следующим образом. В разделе 2 вычислен матричный элемент взаимодействия, подробно рассматривается его зависимость от расстояния между донором и акцептором в случае разрешенных и запрещенных переходов, приводятся выражения, определяющие правила отбора для переходов вследствие переноса энергии. Затем обсуждается обобщение полученного выражения для матричного элемента на случай квантовых точек с конечной высотой потенциального барьера. В разделе 3 приводится выражение скорости безызлучательного переноса между квантовыми точками, анализируется его зависимость от температуры.
2. Вероятность переноса энергии
Рассмотрим квантовую точку-донор и квантовую точку-акцептор сферической формы с радиусами Яв и ЯА (Яв < ЯА ), расположенные на расстоянии г друг от друга в диэлектрической матрице (рис. 1).
Рис. 1. Системы координат, связанные с донором и акцептором
Будем считать, что в начальном состоянии системы донор-акцептор в зоне проводимости донора имеется электрон, а валентная зона акцептора полностью заполнена. В результате кулоновского взаимодействия, описываемого потенциалом
е2
Г(г,Г0,ГА) = --(1)
-\ г + ГД - ГА \
система переходит в конечное состояние с электроном в валентной зоне донора и электроном в зоне проводимости акцептора. В выражении (1) гБ и гА - векторы,
отсчитываемые от центров соответствующих квантовых точек, г - вектор, направленный от центра акцептора к центру донора, экранирование кулоновского потенциала учитывается с помощью эффективной диэлектрической проницаемости £ [11], которая выражается через высокочастотные проницаемости донора £Б, акцептора £А и матрицы £м
£= (£ + 2£М )(£А + 2£М ) (2)
9£ '
Матричный элемент межточечного кулоновского взаимодействия электронной подсистемы донора и акцептора, соответствующий процессу безызлучательного переноса энергии, можно представить следующим образом
мОА = (/',I'\иОА\г,/) =е-1А,(г.)¥1гСО^Ж-(Га), (3)
£ I г + ГБ - ГА I
где х¥сд.( (га) - волновая функция электрона донора а = Б (акцептора а = А),
находящегося в зоне ] = с, V в состоянии с квантовыми числами I = г,г' (донор) или
I = I, I' (акцептор). Функции (га) имеют, в общем случае, вид линейных комбинаций
произведений блоховской амплитуды и}. и огибающих волновых функций у/а^.
В работах [15, 26] показано, что обменное кулоновское взаимодействие мало, поэтому оно не учитывалось при вычислении (3).
При описании электронной подсистемы будем считать, что реализуется режим сильного конфайнмента, и пренебрегать кулоновским взаимодействием между электроном и дыркой, которые находятся внутри одной квантовой точки, так как его учет приводит к несущественному для данной задачи сдвигу энергетических уровней и изменению волновых функций.
Для вычисления матричного элемента (3) воспользуемся двухзонной моделью полупроводника. В рамках метода эффективной массы [27] волновая функция носителя заряда ¥ а (г) = иа (г (г) может быть представлена в виде произведения
блоховской амплитуды иа]- и медленной огибающей у/а^. В режиме сильного
конфайнмента [19] огибающая волновая функция носителей заряда в сферических квантовых точках для случая бесконечно высоких потенциальных стенок имеет вид
"2 (£аЛ / Яа)
(га ) =
(0а,Ра), (4)
Яа ^1а+1(^па1а )
где I = {п1т}, п, I, т — главное квантовое число, угловой момент и его проекция, Я -радиус квантовой точки, ]1 (х) - сферические функции Бесселя, У1т - сферическая гармоника, < - п -й корень выражения ]1 (х) = 0. Следует отметить, что использование
бесконечно высоких потенциальных стенок для описания полупроводниковых квантовых точек в диэлектрических матрицах является хорошим приближением, поскольку в системе полупроводник-диэлектрик потенциальные ямы для электронов и дырок, как правило, очень глубокие. Если воспользоваться Фурье-разложением потенциала
1 1 е'4(г+г°—га )
1 г + ГБ — ГА 1 Ч
то матричный элемент (3) будет иметь вид
л О 1 4 у
-2-, (5)
«ж e2
MDA =
s 2п
^р^Пя)^), (6)
где
S* )(q) = J dVC, (ra)e^4>act (rj. (7)
Представим ra в виде суммы радиус-вектора элементарной ячейки rk и радиус-вектора электрона относительно нее r'a. Воспользуемся тем, что блоховские функции
периодичны с периодом решетки, а огибающие медленно меняются в пределах элементарной ячейки:
Wan (rka + r'a ) « Wan (rk„ X Uaj (rka + r'a ) = Ua,j (r'a )•
Перейдем в (7) от интегрирования по объему квантовых точек Va к сумме интегралов по объемам элементарных ячеек кристалла 7a . В результате получим
S^)(q) = V) ^ J dX Ua (ra )eiqr" uac (ra ), (8)
7 a
Va ) =naZw'af (ra)e'qrkaWaCt (rka). (9)
ka
Заменяя под интегралом e!qr" на cos qrí" + i sin qrí", разложим подынтегральное
выражение на два различных по четности слагаемых. В силу того, что произведение блоховских функций зоны проводимости и валентной зоны нечетно, отличным от нуля будет интеграл с i sin qra. Раскладывая синус в ряд и ограничиваясь первым ненулевым членом, получим
sa )(q) = )(qrVa)), (10)
где
rva=7- J dx ua (ra )rauac (ra ), (11)
- матричный элемент координаты на блоховских функциях. Его модуль можно выразить через матричный элемент импульса и связанный с ним параметр Кейна
P(a) = h2 / m0{ S \д/ dz | Z) [28]
p (a)
r(a) =_
1 vc I ,-,(a) '
(a)
Eg
т0 - масса свободного электрона, Е^а) - ширина запрещенной зоны в объемном
полупроводнике. Переходя в (9) от суммирования по элементарным ячейкам к интегрированию по объему нанокристалла, получаем
С) =\ <?ГаГа« (?а)е^¥1Ш (О- (12)
Используя (10) и (12), матричный элемент (3) можно представить следующим образом
МОА = | d3q ^ ^ ^. (13)
- 2п J q
Для дальнейшего упрощения (12) воспользуемся известным разложением плоской волны по сферическим гармоникам. Сферическая симметрия позволяет устранить зависимость Са) от угловых координат вектора q, полагая его сонаправленным с осями 2а систем координат, связанных с соответствующими квантовыми точками. С помощью формулы, выражающей интеграл от трех сферических функций через коэффициенты Клебша-Гордана [29], преобразуем Са ) к следующему виду:
ар)(q) = ±-
* M ^
21 +1 , , z i1 (21+i>c; 0010
21 a + 1 1=0
R (14)
x j dra r2 (kn Га )Jl' (k"'°r ) j. (qra ),
J j (£ ) j (£ ) J^J- a '•>
0 J1a+1Vr> na1a )J1'a+1\b n'J'a)
где kn 1 = 1 / . Произведения коэффициентов Клебша-Гордана
г1*0 Г1'"m'a
^1a 0,10^ 1ama ,10
определяют правила отбора для переходов носителей заряда в процессе переноса энергии:
la -1| * с* a+1, (i5)
a + 1'а+ a — четное числ°, ( 16)
ma = (17)
Помимо этого, существуют нетривиальные случаи обращения коэффициентов Клебша-Гордана в ноль [29], поэтому не представляется возможным записать общее выражение, определяющее правила отбора.
Теперь в (13) можно вычислить интеграл по угловым переменным, выбирая систему координат так, что ось z совпадает с вектором r. В результате приходим к следующему выражению матричного элемента (13) в2
MDA =^[I(1)rVD)rCA) -I(2)3(nrr(D))(nrO], (18)
sr L J
где
f 1 Y -1 2 œ
I(1 ) = 1-1 - j dxx'j, (x)a )(x / r)af (X / r ), 1 = 1,2, x = qr, (19)
V3 ) П 0
пг - единичный вектор в направлении г. Анализ выражений (19) позволяет получить дополнительные правила отбора для переходов носителей заряда в процессе переноса энергии. Величины I(1) отличны от нуля, когда 1В = 1'0 и 1А =1'А, а также когда 1В +1'0 и 1А + ГА обладают разной четностью.
В дипольном приближении матричный элемент (18) имеет вид
2
МГ =■^ - з(пгО(пггП], (20)
8Г |- -1
где символы Кронекера показывают, что перенос энергии возможен лишь между теми состояниями, межу которыми разрешен межзонный переход в дипольном приближении. Видно, что выражение (18) формально подобно (20). Однако, в отличие от последнего, в (18) фигурируют амплитуды I(1). Кроме этого, из (18) следует, что возможен перенос энергии между состояниями, для которых межзонный переход запрещен в дипольном приближении (г ^ г' и / ^ /').
Анализ показывает, что для дипольно-разрешенных межзонных переходов (г = г' и / = /') выражение (18) полностью совпадает с (20) и закон г~3 выполняется для любых расстояний г между квантовыми точками. Иначе говоря, в этом случае I(1) = I(2) = 1. Этот результат кажется неожиданным, поскольку согласно оценкам, выполненным в работе [22], отношение матричного элемента диполь-квадрупольного взаимодействия М¿А_ч) к матричному элементу диполь-дипольного взаимодействия по порядку величины должно быть равно в = Яа / г . В нашем случае при контакте донора и акцептора этот параметр в = 1/2 . По всей видимости, совпадение
матричного элемента (18) с (20) связано с высокой симметрией рассматриваемой задачи. Данный вывод подтверждается прямыми численными расчетами, выполненными для сферических [11] и кубических [15] квантовых точек. В то же время в работе [15] было показано, что для квантовых точек в форме прямоугольных параллелепипедов имеется заметное отклонение от диполь-дипольного приближения для малых расстояний между донором и акцептором.
Отметим, что в используемом приближении угловая зависимость матричного элемента совпадает с той, что имеет место в случае диполь-дипольного взаимодействия. Это обусловлено симметрией задачи, благодаря которой вектор q не имеет выделенного направления в системах координат, связанных с центрами квантовых точек, и при разложении плоской волны в (12) можно ограничиться сферическими гармониками с нулевыми проекциями углового момента.
Если квантовые точки изготовлены из одного материала, квадрат модуля матричного элемента (18), усредненный по направлениям дипольных моментов межзонных переходов, будет равен
\ М
1 е4 Г Р Л 4
ш 1 3 -г6
V Е
/(1) \2-V/(1)7(2) + /(1)/(2)>3 \ /(2) |2к (21)
В диполь-дипольном приближении или для дипольно-разрешенных межзонных переходов он имеет вид
М^)
2 е
4 Г р V
3 -г6
V Е J
5 ,5 ,5,,, 5,,, 5 ,5 ,. (22)
пвпв ПаПа ¡п'п тптп т,т а V !
Проанализируем матричный элемент переноса энергии для нескольких частных случаев, а именно, для нижайших по энергии переходов, для которых он отличен от нуля. Будем считать, что в начальном состоянии электрон и дырка донора находятся в нижайших состояниях г = г' = {100}. Эта ситуация представляет особый интерес в том случае, когда скорость внутризонной релаксации носителей заряда существенно превышает скорость переноса энергии. Предположим, что квантовые точки донор и акцептор изготовлены из одного и того же материала. Для определенности рассмотрим кубическую модификацию СёБе [30]: т[а) = 0.11т0, та) = 1.14т0,
Е(а)(293 К) = 1.736 эВ, Р = 1.48-10-19 см3 г с-2, -а = 5.8. В качестве матрицы выберем БЮ2 с высокочастотной диэлектрической проницаемостью еМ = 2.13 [31]. При этом эффективная диэлектрическая проницаемость (2) равна - = 5.28. Очевидно, что скорость прямого переноса энергии будет максимальна, когда энергия перехода в доноре будет равна энергии перехода в акцепторе. В рассматриваемом случае для этого необходимо, чтобы радиусы квантовых точек Яп и ЯА удовлетворяли соотношению
^ = П т + % ■ (23)
к, \т£, + т£„
где п, I и п' , I' - квантовые числа состояний в валентной зоне и зоне проводимости акцептора.
На рис. 4 представлена зависимость \ МПА \2 от расстояния между центрами
квантовых точек для различных переходов в акцепторе: дипольно разрешенные переходы Ау{п1т} ^ Ас{п1т} и дипольно запрещенные переходы Ау{110} ^ Ас{120}, Ау{120} ^ Ас{110}, Ау{100} ^ Ас{110}, Ау{110} ^ Ас{100}.
2
>
и
о
S с
6 7 8 9 10
г (пш)
Рис. 4. Зависимость квадрата модуля матричного элемента взаимодействия от расстояния между центрами донора и акцептора. 1 — Лу{п1т} ^ Ас{п1т}, 2 — Лу{110} ^ Лс{120} , 3 — Лу{120} ^ Лс{110} , 4 — Лу{100} ^ Лс{110} , 5 — Лу{110} ^ Лс{100}
В расчетах предполагалось, что радиус донора RD = 2 нм, а радиус акцептора
подбирался в согласии с (23) так, чтобы соответствующие переходы попадали в резонанс. Из рис. 4 следует, что относительная величина квадрата модуля матричного элемента для дипольно запрещенных переходов может достигать ~ 20% от соответствующей величины для дипольно разрешенных переходов при малых расстояниях между квантовыми точками. Поскольку перенос в дипольно запрещенные состояния акцептора обусловлен мультипольным взаимодействием, начиная с квадрупольного, то полученный результат согласуется с приведенной выше оценкой, которая для рассматриваемого случая дает M'Df /M(DA) = ß2 = (RA/r)2 < 25% .
3. Вероятность переноса энергии
Используя (21), можно вычислить скорость безызлучательного переноса энергии из некоторого фиксированного состояния донора во все возможные состояния акцептора yDA. Поскольку взаимодействие носителей донора и акцептора является достаточно слабым, то для расчета вероятности переноса энергии электрон-дырочной пары донора в состоянии \iD,i'D) к электрон-дырочной паре акцептора в состоянии
\fA,fA) можно ограничится первым порядком теории возмущений. Тогда скорость
переноса энергии можно записать следующим образом: 2 - Г
YdA = -HMa |2 Г2 +A2 > (25)
Й Г DA + A DA
где
ADA =( ED + ED + ED - Ef - Eft - EgA))/h, (26)
частотная расстройка между уровнями электрон-дырочных пар, участвующих в переходе, E(ft} = h2^^ /(2m(a)Ra), ГDA - скорость релаксации когерентности между начальными
конечным состояниями, суммирование проводится по всем возможным состояниям квантовой точки акцептора. В случае дипольно-разрешенных переходов скорость переноса энергии из донора, электрон и дырка которого находится в состояниях с квантовыми числами nD, lD, mD, во все возможные состояния акцептора равна
4е4
=_
'ОА 2 2 6
Г р л4
V ^ У
I (21А +1):
Г
ОА
Г2 + л2 !
Па'А 1 ОА т ОА
3ЙVг0
Определим ГОА как сумму скоростей дефазировки межзонных переходов в доноре и акцепторе:
Гоа =г,оо + //а , (28)
где Ух' х = (ух' +УХ ) / 2 + ух, х , ух - обратное время жизни состояния х в доноре или
акцепторе, у х, х - чистая дефазировка перехода. Отсюда следует, что скорость
переноса энергии существенно зависит от температуры, что согласуется с экспериментальными данными [4].
Конечная ширина переходов в процессе переноса энергии приводит к ряду важных следствий. Прежде всего, оказывается, что для переноса энергии от электронной подсистемы донора к электронной подсистеме акцептора не требуется точного резонанса между соответствующими электрон-дырочными состояниями. Проиллюстрируем это утверждение на примере перехода между дипольно разрешенными состояниями Сё8е квантовых точек донора и акцептора Ое{100}, 0у{100} ^ Ау{11ш}, Ас{11т}. На рис. 5 представлена зависимость вероятности переноса энергии уОА от энергетической расстройки между уровнями электрон-дырочных пар, участвующих в переходе, для комнатной и гелиевой температур.
Рис. 5. Вероятность переноса энергии уОА для ОЬЭе квантовых точек донора и акцептора в зависимости от энергетической отстройки ЛОА от резонанса между
дипольно разрешенными состояниями электрон-дырочных пар, участвующих в процессе (а) при Т = 300 К, (б) при Т = 4 К. Расстояние между квантовыми точками г = 5 нм, ГОА - скорость дефазировки перехода (28) в энергетических единицах
В расчете использовалось феноменологическое выражение для скорости дефазировки межзонных переходов, часто применяемое при анализе экспериментальных данных [33, 34], полученных в системах с квантовыми точками,
Гсг =у0 + аТ + Ъпю (Т), (29)
где пю(Т) = 1 / [ехр(/ квТ) -1], о)ю - частота продольного оптического фонона в
доноре или акцепторе, кв - постоянная Больцмана, Т - температура. В (29) первое
слагаемое, у0, интерпретируется как скорость дефазировки, обусловленной
взаимодействием с термостатом (безызлучательные и излучательные межзонные переходы), второе и третье слагаемые описывают взаимодействие с акустическими и
оптическими фононами (а = 1.5-1010 с -1/ К [33, 34], Ь = 2.3-1013 с-1 [33], Пюьо = 26 мэВ). Что касается величины у0, то для донора, находящегося в нижайшем по энергии
состоянии электрон-дырочных пар, было выбрано значение 7.7-107 с-1, что соответствует квантовому выходу 50%, поскольку радиационная ширина перехода составляет 3.85-107 с-1 [35]. Для акцептора, находящегося в высокоэнергетическом состоянии, необходимо учесть вклад в у0 от внутризонной релаксации электрон-дырочных пар.
Согласно работе [36], скорость внутризонной релаксации при переходах между нижайшими по энергии состояниями электрон-дырочных пар в СёБе квантовых точках может меняться от 1011 с-1 до 3.3-1012 с-1 при уменьшении радиуса квантовой точки от 5.6 нм до 2 нм. В приведенном на рис. 5 расчете вклад в у0 от внутризонной релаксации
акцептора был выбран, для определенности, равным 2 -1011 с-1, предполагалось, что расстояние между донором и акцептором равно г = 5 нм. Из рис. 5 видно, что в пределах ширины ГОЛ возможен эффективный прямой перенос как с понижением, так и с
повышением энергии. При уменьшении температуры (рис. 5, б) вероятность переноса энергии заметно возрастает, а ширина перехода уменьшается. При комнатной температуре (рис. 5, а) может реализоваться такая ситуация, когда в спектральную область -ГОЛ < Аш < Гш попадут несколько уровней электрон-дырочных пар акцептора. В этом
случае будет иметь место эффективный перенос энергии одновременно на все эти уровни. Следует подчеркнуть, что применение в выполненных расчетах выражения (29) с приведенными выше значениями параметров у0, а, Ь, Ьаьо эквивалентно использованию экспериментальных данных.
4. Заключение
В работе исследовано явление резонансного переноса энергии в системе двух квантовых точек. Для точек сферической формы получено выражение вероятности переноса в предположении о том, что взаимодействие между носителями донора и акцептора описывается кулоновским потенциалом. Это позволило адекватно рассмотреть случаи, когда квантовые точки находятся на расстояниях, сопоставимых с их размерами, и когда межзонный переход в акцепторе является дипольно-запрещенным. Вычисление матричного элемента проводилось в рамках двухзонного приближения, что позволило прийти к достаточно простым выражениям для вероятности переноса энергии. Показано, что диполь-дипольное приближение адекватно даже на малых расстояниях между нанокристаллами, а вероятность переноса с переходом акцептора в дипольно-запрещенное состояние существенно выше, чем в атомных или молекулярных системах. Так, согласно [1, 22], в молекулярных системах отношение вероятностей диполь-дипольного и диполь-квадрупольного переноса составляет / ЖсИ ~ 10-7.
Показано, что в системах с квантовыми точками учет мультипольных взаимодействий приводит к значительно большим величинам вероятности переноса в случае дипольно-запрещенных переходов. В частности, на расстояниях менее 2 нм между поверхностями донора и акцептора аналогичное отношение может достигать величин ~0.1. С другой стороны, полученные результаты свидетельствуют о том, что диполь-дипольное приближение вполне адекватно, когда переходы в доноре и акцепторе являются дипольно-разрешенными.
Литература
1. Агранович В.М., Галанин М.Д. Перенос энергии электронного возбуждения в конденсированных средах. - М.: Наука, 1978.
2. S. K. Lyo // Phys. Rev. B 62. - 2000. - 13641.
3. S. Kos, M. Achermann, V. I. Klimov, and D. L. Smith // Phys. Rev. B 71. - 2005. - 205309.
4. C. R. Kagan, C. B. Murray, and M. G. Bawendi // Phys. Rev. B 54. - 1996. - 8633.
5. H. D. Robinson, B. B. Goldberg, and J. L. Merz //Phys. Rev. B 64. - 2001. - 075308.
6. S. A. Crooker, J. A. Hollingsworth, S. Tretiak, and V. I. Klimov // Phys. Rev. Lett. 89. - 2002. - 186802.
7. F. V. de Sales, S. W. da Silva, J. M. R. Cruz, A. F. G. Monte, M. A. G. Soler, P. C. Morais, M. J. da Silva, and A. A. Quivy // Phys. Rev. B 70. - 2004. - 235318.
8. A. Nazir, B. W. Lovett, S. D. Barrett, J. H. Reina, and G. A. D. Briggs // Phys. Rev. B 71. -2005. - 045334.
9. G. D. Scholes and D. L. Andrews // Phys. Rev. B 72. - 2005. - 125331.
10. T. Pons, I. L. Medintz, M. Sykora, and H. Mattoussi // Phys. Rev. B 73. - 2006. - 245302.
11. G. Allan and C. Delerue // Phys. Rev. B 75. - 2007. - 195311.
12. D. M. Willard and A. van Orden // Nature Materials. - 2003. - 2. - 575.
13. X. Michalet, F. F. Pinaud, L. A. Bentolila, J. M. Tsay, S. Doose, J. J. Li, G. Sundaresan, A. M. Wu, S. S. Gambhir, and S. Weis // Science. - 2005. - 307. - 538.
14. S. Noda // Science. - 2006. - 260. - 314.
15. B. W. Lovett, J. H. Reina, A. Nazir, and G. A. D. Briggs // Phys. Rev. B 68. - 2003. - 205319.
16. S. Sangu, K. Kobayashi, A. Shojiguchi, and M. Ohtsu // Phys. Rev. B 69. - 2006. -115334.
17. J. M. Taylor, H. A. Engel, W. Dur, A. Yacoby, C. M. Marcus, P. Zoller, and M. D. Lukin // Nature Physics. - 2005. -1. - 177.
18. Imre, G. Csaba, L. Ji, A. Orlov, G. H. Bernstein, and W. Porod // Science. - 2006. -311. - 205.
19. Y. Masumoto and T. Takagahara, eds. Semiconductor Quantum Dots. - Springer, Germany, 2002.
20. T. Forster // Ann. Phys. - 1948. - 437. - 55.
21. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика: нерелятивистская теория. Т. 3 -М.: Наука, 1988.
22. L. Dexter // J. Chem. Phys. - 1953. -21. - 836.
23. J. Danckwerts, K. J. Ahn, J. Forstner, and A. Knorr // Phys. Rev. B 73. - 2006. -165318.
24. T. Franzl, D. S. Koktysh, T. A. Klar, A. L. Rogach, J. Feldmann, and N. Gaponik // Appl. Phys. Lett. - 2004. - 84. - 2904.
25. T. Unold, K. Mueller, C. Lienau, T. Elsaesser, and A. D. Wieck // Phys. Rev. Lett. - 2005. - 94. - 137404.
26. A. Franceschetti and A. Zunger // Phys. Rev. Lett. - 1997. -78. - 915.
27. E. L. Ivchenko and G. E. Pikus, Superlattices and Other. Heterostructures. Symmetry and Optical Phenomena. -Springer, Berlin, 1997.
28. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. - 2-е изд., М., Наука, 1978.
29. Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. - Л.: Наука, 1975.
30. D. J. Norris and M. G. Bawendi // Phys. Rev. B 53. - 1995. -16338.
31. Properties of SiO2 and Si3N4 at 300K [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.siliconfareast.com/sio2si3n4.htm.
32. K. Vahala // IEEE J. Quantum Electron. - 1988. - 24. - 523.
33. A. A. Salman, A. Tortschanoff, M. B. Mohamed, D. Tonti, F. van Mourik, and M. Cher-gui // Appl. Phys. Lett. - 2007. - 90. - 093104.
34. F. Gindele, K. Hild, W. Langbein, and U. Woggon // J. Lumin. - 2000. - 87-89. - 381.
35. S. F. Wuister, C. de Mello Donego, and A. Meijerinka // J. Chem. Phys. - 2004. - 121. -4310.
36. V. I. Klimov and D. W. McBranch // Phys. Rev. Lett. - 1998. - 80. - 4028.
