О расчете сечений возбуждения в атомах и ионах методом параметра столкновения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.184.5

О РАСЧЕТЕ СЕЧЕНИЙ ВОЗБУЖДЕНИЯ В АТОМАХ И ИОНАХ МЕТОДОМ ПАРАМЕТРА СТОЛКНОВЕНИЯ

И. Л. Бейгман, Д. В. Бородин1, Л. А. Вайнштейн

Приведены общие формулы для борновских и кулон-борновских сечений переходов в атомах и ионах в рамках приближения параметра столкновения на основе реального атомного потенциала. В качестве иллюстрации приводятся сечения переходов — 41Р, 43£ — 43Р, 435 - 431>, 43£> - 4в Не и для перехода 251/а - 2Р3/2 в ионе АгХУШ. Результаты вычислений в рамках приближения параметра столкновения сравниваются с данными, полученными чисто квантовыми методами в рамках ц-представления и представления парциальных волн. Демонстрируется существенная роль нормировки.

Расчет скоростей и сечений переходов между близкими состояниями в атомах и ионах при соударениях с тяжелыми заряженными частицами имеет большое значение для диагностики горячей плазмы.

Для расчетов этих сечений можно использовать чисто квантовые методы [1]. В ряде случаев достаточно применить первый порядок теории возмущений в рамках ц-представления или представления парциальных волн. Расчеты в ^-представлении значительно проще, т.к. метод парциальных волн неизбежно включает двойное суммирование по орбитальным квантовым числам налетающей и рассеянной частиц. Вместе с тем преимуществом метода парциальных волн является возможность нормировки и учета кулоновского взаимодействия иона с налетающей частицей.

Московский физико-технический институт.

С ростом массы частицы растут величины орбитальных моментов, дающих основной вклад в сечение. Поэтому, для расчета сечений при соударениях с тяжелыми частицами приходится учитывать вклад большого количества парциальных волн. Волновые функции налетающей частицы в центре атома пропорциональны г в степени орбитального момента I частицы. При столкновениях, например, с протонами необходимо рассматривать значения орбитального момента, достигающие и превосходящие 1000. Это является причиной значительных трудностей при проведении численных расчетов.

В настоящей работе приведены общие выражения для амплитуд и сечений перехода в рамках метода параметра столкновения, свободного от этих трудностей, на основе реального (численного) потенциала. Этот метод предполагает, что налетающая частица движется по классической траектории. В дополнение к этому в настоящей статье внешняя заряженная частица предполагается бесструктурной, а ее траектория прямолинейной или гиперболической.

В рамках метода параметра столкновения реализована процедура нормировки как на один канал, так и на все возможные. В статье приведено сравнение результатов, полученных разными методами.

В качестве примера приведены значения сечений, вычисленные для переходов — 4гР, 435-43Р, 435—43/), 43/)-43^ в гелии и для перехода 251/2-2Р3/2 в ионе АгХУШ. Результаты вычислений, полученных в рамках приближения параметра столкновения, сравниваются с данными, полученными ранее чисто квантовыми методами в рамках 9-представления и представления парциальных волн.

В настоящей статье метод параметра столкновения предполагается использовать для расчета сечений переходов при столкновениях с тяжелыми частицами. Его использование для столкновений с электронами также возможно, но при этом обменная часть взаимодействия не учитывается.

Все вычисления проводились с помощью программы "АТ1РМ", которая является дополнением к программе [1]. Потенциал взаимодействия и угловые множители вычислялись программой "АТОМ".

Все формулы приведены в атомной системе единиц с единицей Иу для энергии и 7Га^ для сечения.

Основные формулы

Представление параметра столкновения. Приближение параметра столкновения состоит в том, что предполагается, что налетающая частица движется по классической

траектории, при этом атом рассматривается как квантовая система. В дальнейшем также предполагается, что частица является точечным зарядом, т.е. мы пренебрегаем структурой частицы. Это, например, применимо для электронов или протонов. Сечение перехода 0 —* 1 в атоме можно написать как

оо

а(ь) = 2тг I и) • ¿р, (1)

о

где \Ую - вероятность перехода, р - прицельный параметр, а V - скорость частицы.

В первом порядке теории возмущений вероятность столкновительного перехода в атоме в приближении параметра столкновения выглядит как

2

. (2)

Это общее выражение для борновской вероятности без учета конкретной формы траектории. Здесь и>ю - частота перехода, Цо(£) - возмущение, определяемое кулоновским

Wb —

+оо

f Vio(R(0) exp(iwwt)dt

взаимодействием атома с налетающей заряженной частицей. Оно зависит от положения частицы R(¿) и ее скорости v(í). Радиус-вектор атомного электрона, который нам понадобится при интегрировании Ф-функций, будем обозначать как г (см. рис. 1).

Прямолинейная траектория. Рассмотрим движение частицы по прямолинейной траектории с постоянной скоростью. Тогда зависимость координаты от времени будет иметь вид

R = p + vt =>R2 = p2 + x2,

где р - параметр столкновения, х = vt.

Рассмотрим сначала переходы в одноэлектронном атоме. Тогда вероятность перехода пожгло —* riil\mi в первом порядке теории возмущений можно написать в виде

^n0lomo-*niljm¡ _ аа* +оо +оо

а = / Vwe^dt = i [ Ко ¿"'¿с, К = ^ = ^f^. (3)

J v J v 2v

—oo —oo

Здесь a - амплитуда вероятности, w]0 - частота перехода. В качестве переменных интегрирования удобнее использовать соответствующие длины, а не время. Матричный элемент взаимодействия

Vío(í) = (ni/imilVjno/oTOo) = (nx/jíTi!

Zi

|R-r|

n0l0m0). (4)

Здесь V - взаимодействие, а Z\ - заряд налетающей частицы.

Проведем разложение по мультиполям и проинтегрируем по координатам атомного электрона. Тогда

°° 4-1Г г* *=о ¿K + lr> и

(5)

<с.д R

где

+оо

vw - 2-Б-'

UR) = Zr ■ (2/0 + 1)(2/а + 1) • R I 1i:olonnill^ I jj * j • r2dr (7)

^ЧъггЛ /o K >• (8)

V ¿к + 1 l m0 mi p

Здесь к - первый индекс суммирования, имеющий смысл мультипольности, а р - второй индекс суммирования, 7£п/, У/т - радиальные и угловые части атомных волновых функций соответственно.

Чтобы получить выражение для вероятности перехода п010 —* необходимо провести суммирование по конечным состояниям гпх и усреднение по начальным состояниям т0

цг1 _ т0 —1\т1 _ ^ у^ ^По/ото-^П!/^! ^

9о тп.т1 2/0 + 1 тп.т,

то.тп!

V J Т^ Яч/2тг V } Л\/27Г

—оо —оо •»*

1 +оо +оо

-оо -оо к,ц,к-,ц

0/т ~ орбитальная часть сферической функции, определяемая формулой

р1тч>

У,т = в/т(0)ФтМ = О,т(0) 1

11Шх>(1р-У

у/2ТГ'

(10)

4тг

/о к к \ I 10 /х к' т0 Ш] р I \ то г«1 р.

После интегрирования по углу имеем

1 Жх-\Кх -е е

"м2/с + 1

| е~^<РегчЧ>Л(р (И)

^ - I / / ^^¿е-е—' Е _С-С-в^в.^ Е V

«.к

1 ^ 4тг и2 ^ (2/с + I)2 Х

цСЩ^П. ( Е вки(х)вкм(х') ■ соз(Кх)со8(Кх') + + £ Э«^(а:)0км(х/)81п(Л'х)81п(А'а:/) ) <1х(1х',

М=2п+1 /

/с = 2«1

\ц=2п

+ И 0«м(х)0км(х') со8(Л'ж) сов(Аж') I

/х=2п+1 /

„ /с = 2п1 + 1

(12)

(пх - неотрицательное целое). Вводя функции

,,, ч I cos(z), к = 2щ . [ sin(x), к = 2ть ,

CosI<(x, к) = { . '' 1 , SinI<(x,K)=\ ) '' 1 (13)

I sin(x), К = ¿П\ + 1 I cos(x), к = 2п1 + 1

и используя свойства четности подынтегральных выражений, получаем

Е (j ^^QMCosK(Kx,K)dx^ (4-26^) +

v2 V (2« + l)2

+4* Е (14)

Итак, сечение перехода в одноэлектронном атоме в первом порядке теории возмущений и при прямолинейной траектории частицы

+оо +оо

О

о

&к^(х)СозК{Кх, (4 - 26^о) | +

+ 16 Е ^ | . (15)

Здесь мы, используя соображения симметрии, перешли от интегралов от минус до плюс бесконечности к интегралам от нуля до бесконечности, а также вынесли сумму по мультиполям из-под интеграла по р.

Нормировка. В первом порядке теории возмущений вероятность пропорциональна квадрату взаимодействия и в ряде случаев борновское приближение дает значения вероятности, значительно превышающие 1. С ростом прицельного параметра взаимодействие атома с налетающей частицей, вызывающее переход, уменьшается. Соответственно улучшаются условия применимости теории возмущений. Поэтому имеет смысл рассматривать две зоны: зону р < рж, в которой теория возмущений неприменима и потому вычисленная в борновском приближении вероятность может превосходить во много раз не только истинное значение, но и 1, и зону р > р*, в которой теория возмущений дает

значения вероятности, близкие к истинным. Процедура нормировки заключается в том, что мы, практически не меняя значений вероятности во второй зоне, устраняем противоречащие определению вероятности значения в первой. Например, можно положить вероятность в первой зоне равной 0, или 1, или еще каким-либо образом ограничить.

Наиболее целесообразно применять процедуру нормировки при расчете сечений переходов, т.к., если отклонения от истинных значений в, пускай небольшой, первой зоне значительны, то она может давать заметный, и даже доминирующий, вклад в сечение, которое является интегралом (1) от вероятности по р. Таким образом, процедура нормировки существенно расширяет область применимости теории возмущений.

Определим нормированную вероятность \Уп1 соотношением

71 то 1 . игв К '

' 7170

Здесь \¥в - борновская вероятность перехода 7о —► 71 •

В том случае, когда существенны несколько каналов возбуждения, следует учитывать, что суммарная вероятность также не должна превышать 1, т.е. для многоканаль ной нормировки необходимо использовать более общую формулу

\УВ

уущ = -2129-. (17)

7170 1 + У^ ШВ К '

~ 7270 72

Очевидно, что с уменьшением вероятности перехода, а значит и величины возмущения, эффект нормировки должен уменьшаться. Однако следует отметить, что если существует несколько каналов перехода из данного начального состояния 70, то возможна существенная нормировка "слабого" канала за счет существования "сильного".

Дипольная асимптотика. В случае дипольных переходов - при мультипольности к = 1 интегралы (1) и (3) имеют логарифмическую сходимость. Именно в этом случае существует возможность получить аналитические выражения для вероятности при больших параметрах столкновения и вклада этой области в сечение, используя асимптотические выражения.

При больших значениях прицельного параметра можно в формулах для вероятности использовать асимптотическое выражение для матричного элемента потенциала взаимодействия, определяемого формулой (6):

V« = (18)

где (с1ю) - матричный элемент дипольного момента атома. На основе этого выражения Ситон [2] получил

щр) = ß = ^ = Кр' (19) № = ß2(K2o(ß) + Kim- (20)

Здесь К0 и Ki - функции Макдональда. С другой стороны,

№ = ß2(K%(ß) + K2(ß)) « (1 + (21)

Эта приближенная формула дает правильные результаты с точностью до 5%. Ее можно найти, например, в [3].

Выберем минимальное р\, отвечающее двум условиям: р\ > a0n2, W(p\) < cw, где п. - эффективное главное квантовое число, а cw « 1. Тогда интегрирование вероятности по р можно разбить на две зоны:

оо Р\ оо

J W{p)p dp = J w(p)p. dp + J W(p)p ■ dp. (22)

О О PI

Первый интеграл можно вычислять численно, а во второй подставим асимптотическую формулу (21). Константу С получим из условия сшивки.

C=W(p1)(plv)*/t(Kp1) (23)

оо оо

I W(p)p ■ dp = ± J(l + = JL(J, + I2) (24)

р\ Pi

оо

I2 = irK f e~2Kpdp = V2* '1 (25)

J &

pi

h= -dp = / -dx = -Ei(-2KPl). (26)

J p J x

р

Р1 2К-Р!

Для вычисления интегральной экспоненты используем приближенную формулу

1 + 2.49х \

<р(х) = e~xEi(-x) » In + -

78х(1 + 1.4х)) '

(27)

Ее также можно найти в [3].

г и е-«-л 1п Л , 1+2.49-2^_\

1П ^ + 1.78 -2КР1(1 + 14- 2КР1))-

(28)

Кулон-борновское приближение. Рассмотрим переходы в многозарядных ионах при столкновениях с медленными заряженными частицами. В этом случае дальнодействую-щее кулоновское взаимодействие заряда 2\ налетающей частицы с зарядом (£ — 1) иона может существенно изменить траекторию частицы. Чтобы учесть это взаимодействие в рамках приближения параметра столкновения, необходимо рассмотреть для частицы соответствующую классическую траекторию - гиперболу (см. рис. 1), которая в параметрическом представлении описывается формулами

х X = а(с - созЬ(и)) у -* У = ау/е2 - ЫпЬ(и) (29)

Я -у Яд = а(е- совЬ(и) - 1)

а = ^-1) (30)

тг,оо

£ = Л + = = (31)

V М * т + тп

Здесь М - приведенная масса, т„ - масса ядра, т, Кр - масса и момент налетающей частицы, - эксцентриситет траектории, X, У - координаты в системе центра масс, а В. - радиус-вектор в той же системе, а - кулоновский фактор, и - параметр. Интеграл вдоль траектории налетающей частицы (в случае прямолинейной траектории (3) интеграл по х) переходит в одномерный интеграл по и:

1 +оо +оо

- [ У10е'Кх(1х->- [ У10ехРиКх(и))с1и (32)

V J V J

—оо —оо

х = а(е • зтЬ(и) — и). Эксцентриситет е и кулоновский фактор а связаны законами сохранения:

три оо = тс1ьо 2

а ± у/а2 + 4р2Е2

ту_ тпу§ гх •(£-!)

2 2 и

(33)

Е<Р - 2ас1 - р2Е2 =

2 Е

Расстояние наибольшего сближения

<* = а(б- 1). (34)

Удобнее пользоваться не эксцентриситетом, а

и, = а ■ с = а--—-. (Зэ)

Е

(Знак "+" перед корнем исключен, т.к. эксцентриситет гиперболической траектории не может быть меньше 1.)

БЬ-связь. Чтобы рассматривать многоэлектронный атом, надо предположить какую-либо схему сложения моментов. Наиболее часто используемой является ¿¡"¿-связь; в этом приближении атом описывается квантовыми числами Ь, 5, J, представляющими собой орбитальный, спиновый и полный момент атома. Также мы будем пользоваться соответствующими угловыми числами атомного остатка (кора) Ьс и свободного электрона

5, /.

Тогда выражение для сечения возбуждения (15) приобретает вид

=£ ш+рл=? 21ТТТ«- ■ 5 / <36>

где ат - сечение одноэлектронного перехода в многоэлектронном атоме. Множители образовавшиеся внутри суммы по мультиполям, принято называть (^-факторами. Для переходов Х05о —» ¿хб'х (70 —> 71)

0*Ы,Ъ) - (2/о + 1)(2/а + 1)(21о + 1) | £ ^ М. (37)

Для переходов между компонентами тонкой структуры 5оЬ0—► 5х£х./1

= + + 1Т° ^ 5 } £«(70,71). (38)

[Л Ьх к ) Результаты и обсуждение

Расчеты в рамках метода параметра столкновения сечений возбуждения при столкновениях с тяжелыми частицами проще, чем с помощью чисто квантовых методов. Однако этот метод предполагает ряд допущений. С другой стороны, расчеты в <7-представлении сталкиваются с трудностями при учете кулоновского взаимодействия

\

х105 Не ^ - 4*Р х104 Не438-43Р

1я(У/У0) 1Ч(У/У0)

Рис. 2. Сечения переходов 4*5 —► 41Р, 435 —> 43Р, в Не при столкновениях с протонами. Кривая "В" - квантовые расчеты в д-преставлении, "1Р" - в рамках метода параметра столкновения, "¡РЫ" - метод параметра столкновения с учетом нормировки.

и нормировке, а в представлении парциальных волн возникают проблемы для больших масс из-за больших величин орбитальных моментов налетающей и рассеянной частиц.

На рис. 2, 3 представлены сечения столкновительных переходов в гелии, вычисленные в обычном борновском приближении в ^-представлении, и вычисленные в рамках приближения параметра столкновения (кривые "В" и "1Р"). Они практически совпадают. Для тех же переходов приведены также нормированные сечения, вычисленные в представлении параметра столкновения (кривая "1Р1ЧЯ). Видно, что при небольших скоростях нормировка принципиально меняет результаты вычислений. Т.к. нормировка особенно существена в области сильного взаимодействия, то при ее применении максимум сечения (кривая "1РМ*10") достигается при другом значении скорости налетающей частицы.

Сравнение процедуры нормировки в представлении параметра столкновения с квантовым аналогом - методом К-матрицы [1] и исследование влияния дальнодействующего кулоновского взаимодействия приведены на рис. 4 на примере перехода 25х/2 — 2Р3/2 в многозарядном ионе АгХУIII.

Рис. 4 показывает, что, как и для нейтрального атома, результаты, полученные в борновском приближении в ^-представлении и вычисленные в представлении параме-

1Ц(у/У0) Ц(У/У0)

Рис. 3. Сечения переходов 435 —> 43£), 43Б —» 43.Р е Яе при столкновениях с протонами. Кривая "В" - квантовые расчеты в ц-преставлении, "1Р" - в рамках метода параметра столкновения, "1РМ" - метод параметра столкновения с учетом нормировки.

тра столкновения (без нормировки и учета кулоновского отталкивания - кривые "В" и "1Р"), хорошо согласуются. Эффекты кулоновского отталкивания (кривые, содержащие в названии "СВ") и нормировки (кривые, названия которых оканчивающиеся на весьма существенны, и для данного перехода описываются методом парциальных волн (через К-матрицу) и методом параметра столкновения практически одинаково. Кривая "1Р1Ч" получена в представлении параметра столкновения с нормировкой, но без учета отталкивания. В данном случае эффект кулоновского отталкивания значительно слабее эффекта нормировки. При дальнейшей экстраполяции все методы стремятся к общему пределу.

Таким образом, метод параметра столкновения в предложенной (программа "АТ1РМ") реализации, основанной на численном расчете потенциала взаимодействия (с помощью программы "АТОМ"), применима для массовых расчетов переходов в ато мах и ионах при столкновениях с тяжелыми заряженными частицами.

xlO5 ArXVIII 2S,„—>2Р

1/2

3/2

xlO5 ArXVIII 2S,,,—>2P

1/2'

3/2

15

5.5 5 4.5 4

О

2 1.5 1

0.5

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 E, эВ

5 00 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 E, эВ

Рис. 4. Сечение переходов 25i/2 —► 2Р3/2 в ионе ArXVIII при соударениях с протонами. Кривая "В" - квантовые расчеты в q-преставлении, "СВ" - квантовый кулон-борновский расчет в представлении парциальных волн, "CBN" - то же самое с нормировкой, "IP" - в рамках метода параметра столкновения, "IPN" - метод параметра удара с учетом нормировки, "IPCB" - с учетом гиперболичности траектории, "IPCBN" - кулон-борновское приближение с нормировкой.

Авторы признательны Л. П. Преснякову за обсуждение работы.

Работа была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (про-

[1] В а й н ш т е й н Л. А., С о б е л ь м а н И. И., Ю к о в Е. А. Возбуждение атомов и уширение спектральных линий. М., Наука, 1979.

[2] S e a t о п M. J. The Impact Parameter Method for Electron Excitations of Optically Allowed Atomic Transitions, PROC. PHYS. SOC., 1962, vol. 79.

[3] L e b e d e v V. S., В e i g m a n I. L. Physics of Highly Excited Atoms and Ions. Springer Series on Atoms+Plasmas, v. 22.

[4] С о б e л ь м а н И. И. Введение в теорию атомных спектров. М., Наука, 1977.

екты N 97-02-16919 и N 98-02-22027).

ЛИТЕРАТУРА

Поступила в редакцию 3 декабря 1999 г.