CC BY
16
УДК 539.184.5
СКОРОСТИ ПЕРЕХОДОВ МЕЖДУ РИДБЕРГОВСКИМИ СОСТОЯНИЯМИ МНОГОЗАРЯДНЫХ ИОНОВ ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ С ЭЛЕКТРОНАМИ В КУЛОН-БОРНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
И. Л. Бейгман, С. А. Чернягин
Получены аппроксимационные формулы для скоростей переходов между высоковозбужденными состояниями многозарядных ионов при столкновениях с электронами в кулон-борновском приближении. Показано, что при малых температурах скорости переходов в кулон-борновском приближении существенно превосходят бор-новские.
Скорости переходов между высоковозбужденными состояниями атомов и ионов представляют интерес с точки зрения приложений к задачам кинетики горячей лабораторной и астрофизической плазмы. В силу того, что ридберговские состояния являются вырожденными по угловому квантовому числу, то наибольший интерес представляют скорости переходов п-п', усредненные по угловым квантовым числам. Именно скорости таких переходов являются предметом данной работы.
В борновском приближении аппроксимационные формулы для скоростей п-п' переходов были получены в [1] (см. также обзор [2]). Но борновское приближение не учитывает эффекты влияния дальнодействующего кулоновского поля ридберговского иона на налетающий электрон, и применимо только для больших энергий столкновений Е > Еп. При исследовании столкновений многозарядных ионов с электронами борновское приближение существенно занижает сечения переходов при малых энергиях столкновения и, как следствие, дает неправильные результаты для скоростей переходов при малых температурах. Наиболее адекватным методом исследования столкновений многозарадных ионов с электронами является кулон-борновское приближение, непосредственно учитывающее эффекты дальнодействующего кулоновского взаимодействия многозарядного иона с налетающим электроном. Однако прямое использование кулон-борновского приближения
для переходов между высоковозбужденными состояниями встречается с вычислительными трудностями, которые чрезвычайно резко растут с ростом главного квантового числа. Методы, предложенные в [3, 4], позволяют преодолеть эти трудности и получить аппрооксимационные формулы для сечений п-п' переходов в многозарядных ионах при столкновениях с электронами в кулон-борновском приближении.
В настоящей работе на основании формул для сечений, приведенных в [3, 4], получено выражение для скоростей переходов между высоковозбужденными состояниями многозарядных ионов при столкновениях с электронами в кулон-борновском приближении. В качестве иллюстрации приведено сравнение скоростей для переходов 20-21. 20-24 в кулон-борновском приближении для различных значений заряда ридберговского иона с борновскими расчетами.
Борновское и кулон-борновское приближения. Полный гамильтониан системы ион+внешний электрон имеет вид
е
2
ге2
где На - полный гамильтониан атома, К. - радиус-вектор внешнего электрона, г радиус-вектор ридберговского электрона. Те — V2 ~ оператор кинетической энергии внешнего электрона, т - масса электрона, 2 - спектроскопический символ ридберговского иона.
В борновском приближении в качестве возмущения рассматривается взаимодействие
р2 7г2
В этом случае сечение перехода п-п' имеет вид ш2 к'
ь
пп' 4ттЧ4 к
ТХ «У | II / I «У
/,т,г,т'
(3)
где к, к' - волновые векторы налетающего электрона до и после взаимодействия; я = к — к', </?„/т(г), <^п'/'т'(г) ~ волновые функции ридберговского электрона в начальном и конечном состояниях.
В борновском приближении можно выполнить интегрирование по координатам внешнего электрона. Тогда
1 д± = к ± к'. (4)
/,т,(',т' 4
Я3
В кулон-борновском приближении в качестве возмущения рассматривается взаимодействие
е2 е2
Сечение возбуждения имеет вид ш2 к' 1
_с _
I / рк(к)^гат(г)уе^п4.т,{г)рк.(к)<шг\3<тк,. (6)
п 1> ^
пп 4тг2й4 п2 п2 , ..
Здесь и - собственные волновые функции гамильтониана Нс = Те — с
энергиями £ = Нк2/2т и Е' = %к'2/2т и нормированные соответственно на плоскую волну е",А:Л и е~,к'н.
Рассмотрение как борцовского, так и кулон-борновского приближения возможно в двух представлениях: в представлении переданного импульса и в представлении параметра удара, основанном на классическом описании внешнего электрона.
В рамках борновской теории возмущений в представлении переданного импульса сечение перехода п — п' в //-подобном ионе со спектроскопическим символом Z при столкновениях с электронами имет вид
к+к' к-к'
Для переходов между высоковозбужденными уровнями интересны величины сечений, просуммированные по орбитальному моменту I (т.к. уровни с одинаковым главным квантовым числом тг в ридберговских состояниях являются "почти" вырожденными по орбитальному квантовому числу /). Суммирование по угловым квантовым числам в формуле (7) может быть выполнено в явном виде. Систематические расчеты борнов-ских сечений приведены, например, в [1]. Они могут быть описаны аппроксимационной формулой
+(1 + 0,6/д») (|) (ГТ^7Жоё5[4/|ЗАе| +"4
б = 1/п2; б' = 1/(п')2; Дб = б - б'; Дб > 0, Еп = еЯу.
Это выражение для сечения позволяет получить свертку с максвелловским распределением для скорости возбуждения < у а >.
< уст >-
уД г* \ziRy) п* р\кт)
1 _ ^
\ V Ап) (Ас)4
/ _ (А_ , I
V Ап) (Дб)2 \ЗДе б
Ч?(х) = — ехЕ1(—х), ) « 1п
1 +
кТ^\кТ) 1 + 1,47Х
7^(1 + 1,4а:)
+
, 7 = 1,78.
(9)
х 10
х 10°
2.0 „ 1.5
1 0
к •
0.5
МБРР 20-21
ЕТМу
10"'
10":
10"
10
Е/гяу
10
10'
2.5г
2.0-
N 1.5 ■
"с*
1.0
о"
0.5 •
0
10
Ш'Яу
Рис. 1. Сечения переходов п-п' 20 —* 20 + Дп; Ап = 1,4. ЕТМ - метод эффективных траекторий, МИРР - метод искаженного потока частиц. В - борновские сечения.
В кулон-борновском приближении невозможно аналитически произвести интегрирование по координатам налетающего электрона. Поэтому для получения сечений переходов с учетом кулоновского взаимодействия налетающего электрона с многозарядным ионом предлагаются различные приближенные методы (см., например, [3, 4, б, 7]). В работе [3] предложены два метода: метод эффективных траекторий и метод искаженного потока частиц, позволяющие получить сечения переходов между высоковозбужденными состояниями многозарядных ионов при столкновениях с электронами в кулон-борновском приближении. Идея метода эффективных траекторий состоит в замене реальной гиперболической траектории налетающего электрона прямолинейной траекторией с эффективным ударным параметром рэфф, соответствующим моменту максимального сближения и соответствующей скоростью Уе//- При этом
Ре}} =
г4е4 т2у%0
+ р2-
г2е2
ту;
■; ъеИ =
v2 -
оо
Д£ 2ге2 +
т т/>е//
(10)
оо
апп/ = 27Г У
(Н)
где выражение для борновской вероятности перехода было получено в [6] с помощью двумерного Фурье-преобразования из амплитуды перехода в импульсном представлении.
\Упп. = А2 + А2, А , , ¿¿у/ГГ^е-'У/У3/2
а4Р) = ...... / . р =
АЕ
% (у / Уо){Ап2)(^ р2 + />о)/«о'
+ />о)/°о, (12)
£¿ = 2
з 1
п2/пп'(Лп) (п + п')(пп')
1/2
ЛГ , 2/о п' 1 /2а^Гд2 е^ ' (2; - г)!
41 ) 1т 2(а — 1) ¿о (2;)! О'-О!'
где Д.Е - энергия перехода, /пп< - сила осциллятора ] — а — 3/2; у = <?оАп(2р/пп'}\ = д2т{2а - 1) + (ко/г/)2; *„ = (1/тг + 1/п'); 9« = 1,1; /о = 0,33; а = 3,5; Ро = 1,2 х (пп'/Z)ao^, г>о = х/Щ/т, ао,г>о ~ боровские радиус и скорость соответственно, Яу единица ридберга для энергии.
Если использовать приближение Крамерса для силы осциллятора, то Ь<1 = 0, 7 для Дп = 1. Более точные формулы дают = 0,6.
Метод искаженного потока частиц [3] основан на феноменологическим учете явлений "фокусировки" и ускорения потока налетающих электронов кулоновским полем ридбер-говского иона. Этот метод дает следующее выражение для сечения перехода:
&т(1р} = ( 1 +
+(1 + о,б/Дп)(|) 1 (О*,
■[4/|ЗДс| + 1/е]
(:1 + Е3/Еп)(Ае)2 с = 1/п2-, е = 1/(п')2; Де = б - б'; Дб > 0. Е, = Е, + 3г2Яу/пп'.
Формула для борновского приближения (8) получается из (13) автоматически, если положить Я = 1 (г = 0). Сравнение результатов, полученных в рамках этих методов и методов, предложенных в [7, 8] с борновским приближением и прямыми расчетами по программе "АТОМ" [9] для переходов 5-6 и 3-5 приведено на рис. 1. Видно, что наилучшее согласие с прямыми кулон-борновскими расчетами дают метод эффективных траекторий и метод искаженного потока частиц.
Рис. 2. Скорости переходов п-п' 20 —► 20 +Дп.Дп = 1,4 в кулон-борновском приближении для £ = 5,4,3,2 в сравнении с борновским приближением Z — 1.
Скорости переходов в кулон-борновском приближении. Выражение для сечения в методе искаженного потока частиц позволяет получить свертку с максвелловским рас-пределеним < Vа >. Формула для < ист >, получаемая в методе искаженного потока частиц, не содержит интегрирований, поэтому она является очень удобной для задач кинетики плазмы высоковозбужденных ионов. Применив метод получения < ист >, изложенный в [1], имеем
Так же как и в формуле для сечений, для скоростей реакций борновское приближение (9) получается из (14) автоматически, если положить 2 = 1 (я = 0).
Сечения уширения ридберговских уровней в кулон-борновском приближении. В работах [9, 10] показано, что штарковское уширение линий п + к —+ ?г при достаточно больших п определяется неупругими столкновениями возбужденных атомов и ионов с электронами. В соответствии с результатами этих работ штарковская ширина линии п + к —> п определяется выражением
8и = ЛГе[(и<7„) + (ист„+*)], (исгп) = ^2(ь<Тп-.п+к).
кфО
(15)
Здесь N(1 - концентрация электронов. Производя вычисления, аналогичные приведенным в [6], имеем для суммарного сечения перехода с уровня п:
Ептг'
г4
Е>
Здесь Е3 = Е + Зг2В.у/пп'. Тогда для уширения имеем
-1/2
ип+к
х ^0,82
+ 1,47
+
1 + 1
(16)
(17)
На рис. 2 представлены скорости переходов 20-21, 20-24 в кулон-борновском приближении при различных значениях заряда ридберговского иона (.£ = 1 соответствует борновскому приближению). Видно, что при больших температурах (кТ Еп) скорости переходов в борновском и кулон-борновском приближениях мало отличаются друг от друга. Максимум скорости перехода в кулон-борновском приближении сдвигается в область малых температур, и в области максимума может превышать борновскую скорость более чем в 2-3 раза. Следует отметить, что хотя вероятность переходов с Ап = 1, как и в борновском приближении, значительно больше, чем переходов с Ап 1, как видно из рис. 2, их зависимость от энергии качественно очень похожи. Однако при малых
1ГТ18
х10
Рис. 3. Относительная ширина би/и линии 20 —> 21 в кулон-борновском приближении для 2 = 5,4,3,2 в сравнении с борновским приближением 2 = 1.
температурах (кТ <С Z2Ry) борновское приближение сущестивенно занижает результаты. Таким образом, учет кулоновского взаимодействия между ридберговским ионом и налетающим электроном является необходимым для расчетов скоростей переходов при малых температурах.
На рис. 3 приведено относительное уширение в кулон-борновском приближении при различных значениях заряда ридберговского иона (Z = 1 соответствует борновскому приближению) для п = 20. Так же как и в случае скоростей переходов, кулон-борновская ширина линии существенно превосходит борновскую при малых температурах (кТ <С
Еп).
Эта работа частично поддержана Международным научно-техническим центром (грант N 076-95) и Российским фондом фундаментальных исследований (проекты N 95-02-05928, N 97-02-16090, N 97-02-16919), а также совместным грантом РФФИ-ИНТАС 95-Ш-1Ш-875.
)
ЛИТЕРАТУРА
[1] Б е й г м а н И. Л. Труды ФИАН, 119, 130 (1980).
[2] В е i g m a n I. L. and L е b е d е v V. S. Phys. Rep., 250, 95 (1995).
[3] В e i g ш a n I. L. and С h e г n y a g i n S. A. Phys. Scr., 55, 661 (1997).
[4] Б e й г m а и И. Л., Чернягин С. А. Оптика и спектроскопия, 82(5), 742 (1997).
[5] В а й н ш т е й н Л. А., Собельман И. И., Ю к о в Е. А. Сечения возбуждения атомов и уширение спектральных линий. М., Наука, 1995.
[6] Б е й г м а н И. Л. Труды ФИАН, 119, 143 (1980).
[7] S h е V е 1 k о V. Р. Phys. Ser., 46, 531 (1992).
[8] Б е й г м а н И. Л., Чернягин С. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 3 - 4, 65 (1994).
[9] Минаева Л. А., С о б е л ь м а н И. И. JQRST, 8, 783 (1968). [10] Griem Н. P. Astrophys. J. 148, 547 (1967).
Поступила в редакцию 18 декабря 1997 г.
