CC BY
47
Ш.УПРАВЛ1ННЯ
УДК 621.11-52
О ВЫБОРЕ ВЕСОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОПТИМИЗИРУЕМОГО ФУНКЦИОНАЛА В ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКОГО КОНСТРУИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ
И. Е. Александрова, Т. Е. Александрова
Предлагается методика выбора весовых коэффициентов аддитивного интегрального квадратичного критерия качества замкнутой системы автоматического управления при решении задачи аналитического конструирования оптимального регулятора.
Пропонуеться методика вибору вагових коефщ1ент1в аддитивного iнтегрального квадратичного функцюналу якост1 замкнено'1 системи автоматичного керування при рiшеннi за-дачi аналiтичного конструювання оптимального регулятору.
The case of value technique of quality criterion for close-loop automatic control system for solving problem of optimal regulator analytic constriction is proposed.
ВВЕДЕНИЕ
Одной из важнейших и самых сложных проблем синтеза оптимальных регуляторов является формализация требований к динамическим характеристикам замкнутой системы и представление этих требований в виде требования минимума интегрального квадратичного функционала
' = i
Z в2
i = 1
xf(t) + Z «/(t)
j = 1
dt.
(1)
X( t) = AX( t) + BU( t) ; U( t) e Gu
ограничивает общности предлагаемой методики, которая может быть без изменений распространена на нелинейные объекты вида
Х(г) = Ф[Х(г)] + ви(г); и(г)е Ои.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В работах [1-3] «-мерный вектор в = } е Ор рекомендуется определять из условия экстремума одного или нескольких дополнительных критериев качества (у -критериев), однако при таком подходе к проблеме выбора основного критерия остается определенный произвол в выборе дополнительных критериев.
Проблеме выбора критериев оптимальности при конструировании оптимальных регуляторов посвящены также работы М.Е.Салуквадзе [4,5]. Предложенный в них метод выбора вектора Р е Ор основан на идее
синтеза парето-оптимального управления, обеспечивающего максимальную близость аддитивного функционала (1) к каждому из функционалов
T!
Такой функционал представляет собой меру отклонения возмущенного движения замкнутой системы от невозмущенного и может быть указано сколько угодно таких мер, каждая из которых определяет оптимальный в смысле минимума функционала (1) вектор управления и(г) . В данной статье рассматривается методика выбора
значений весовых коэффициентов Рг- (г = 1, п ) функционала (1) при конструировании оптимального регулятора для линейного объекта
^ = i
x2(t) + Z uj(t)
j = 1
dt.
(3)
(2)
Предположение о линейности объекта управления не
Вместе с тем, метод М.Е.Салуквадзе не предполагает ранжировки критериев (3) по степени их важности.
В работах [6-8] рассмотрена методика выбора вектора Р е Ор , основанная на требовании быстрейшего убывания функции Ляпунова-Беллмана вдоль траектории замкнутой системы. Действительно, функцию Ляпунова-Беллмана можно трактовать как текущее расстояние между возмущенным состоянием замкнутой системы и невозмущенным. Динамические свойства системы тем выше, чем быстрее убывает это расстояние в переходном процессе. Вместе с тем, этот метод требует большого
n
0
0
УПРАВЛ1ННЯ
объема вычислений в процессе его реализации, а также может приводить к весьма большим значениям коэффициентов усиления оптимального регулятора, соответствующих малым значениям весовых коэффициентов Рг-
(I = ТГп ).
Потребуем, чтобы весовые коэффициенты функционала (1) удовлетворяли ограничению
I Р1 = ^
1 = 1
I = I Р?^
1 = 1
1 = I в ?!{
1 = 1
эр
.^(Р) = 2р./.* - X = 0; (I = 1, п ).
(8)
Из соотношений (8) получаем
Р.. = — , (1 = 1, п ). 1 2I*
(9)
(4)
Вектор Р с компонентами (9) доставляет минимум функции Лагранжа (7), поскольку гессиан
чтобы избежать тривиального решения Р. = 0
(1 = 1, п) задачи выбора величин Р. (1 = 1, п), а
задачу аналитического конструирования оптимального регулятора (АКОР) сформулируем в виде: требуется отыскать вектор и(t) е Ои , доставляющий на решениях системы (2) минимум функционалу (1) при одновременном отыскании вектора Р е Ор , с ограничением (4).
МЕТОД И АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ
С учетом обозначений (3) функционал (1) представим в следующем виде:
дРдР
^(Р) = 2
/1* 0 0 ¡2*
0 0
I * п
в силу положительности /¿* (1 = 1, п ), является положительно-определенной матрицей.
Подставляя соотношения (9) в формулу (4), получим выражение для множителя Лагранжа
X =
(10)
I
I*
(5)
Подставив (10) в (9), получим искомые значения компонент вектора Р
Через I* обозначим минимальное значение функционала (3), получаемое в результате решения задачи АКОР для объекта (2) при минимизации только лишь функционала (3).
При фиксированных значениях Р минимально возможное значение функционала (5) составляет
Р =
1
, (1 = 1, п ).
(11)
1 *
I -
¿—! I *
ПРИМЕР
Для объекта, возмущенное движение которого описывается уравнениями [9]
(6)
X1 (^ = %2(0 , X2(О = и(^ ,
(12)
Отыщем минимум функционала (6) по Ре при требуется отыскать управление и(0, доставляющее
минимум интегральному квадратичному функционалу
условии (4). Рассматриваемая задача представляет собой задачу на условный экстремум. Для решения ее т
составим функцию Лагранжа
р(Р) = I Р21* + Х 1 = 1
1-
I Р,
1= 1 #
(7)
где X - множитель Лагранжа. Для отыскания минимума функции (7) приравняем нулю производные по компонентам вектора Р
I = | [Р2 х2 (t) + Р2 х22 (t) + (Р 2 + Р2) и2 (тл, (13) 0
где весовые коэффициенты Р1 и Р2 удовлетворяют условию
Р1+Р2 = 1
и подлежат выбору.
В соответствии с вышеизложенным, функционал (13)
136
1607-3274 "Радтелектронжа, ¡нформатика, управл1ння" № 1, 2001
д
п
2
д
п
п
п
представим в виде суммы (5), причем T
11 = J[x2(t) + u2(t)]dt,
0
T
12 = J[x2(t) + u2(t)]dt.
0
теорией АКОР [9] записывается в виде
1
(14)
(15)
U(t) = -n, - n2BTKX(t), 22
P2 + P2
(20)
где матрица К удовлетворяет матричному уравнению
1
Минимальные значения функционалов (14) и (15) равны [10]:
I1* = <Х(0), К1Х(0)> ; !2* = <Х(0), К2Х(0)> , (16)
где Х(0) - вектор состояния объекта управления в момент t = 0 , а квадратные симметрические матрицы К1 и К2 удовлетворяют матричным уравнениям
+ К1А + АТК1 - К1ББТК1 = 0; (17)
<2г + К2А + АТК2 -К2ББТК2 = 0 . (18)
Матрицы, входящие в уравнения (17) и (18), равны
Qi =
Решения уравнений (17) и (18) записываются в виде
K1 =
а значения функционалов (16) составляют
Q + KA + ATK- KBBTK • а матрица Q равна
Р2 + Р|
= 0, (21)
Q=
Р2 0 0 Р|
Решение уравнения (21) приводит к следующей матрице К:
K=
K11 K12 K12 K22
(22)
1 0 ; Q2 = 0 0 ; A = 0 1 ; в = 0
0 0 0 1 0 0 _1_
где К11 = Р^Р22 + 2; К12 = Р^Р2 + Р22 ;
К22 = л/Р2 + Р 2 л/ Р22 +2 Р^ Р2 + Р22.
Подставляя матрицу (22) в соотношение (20), получаем формулу для оптимального управления
U( t) = -
1
72 1 ; K2 = 0 0
_ 1 72 01_
ТрГ+Р
[p1 X1 (t) + Jв2 + 2p1,/P?Tpi • X2(t)] .
ВЫВОД
Предложена методика выбора весовых коэффициентов аддитивного функционала качества в задаче анали-
I1* ^Т2х2(0) + 2х1 (0)х2(0) +^2ж2(0), !2* = х2(0). (19) тического к°нструир°вания оптимальных регуляторов.
В соответствии с принципом минимакса [7], в формулах (19) следует принять x^0) = X1max; X2(0) = X2r
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
Положим X1max = X2max = 1 •
2max
результате получаем
I1* = 2(1 ^72) , I2* = 1 .
Подставим полученные значения и ^^ в (11). В
результате получим искомые значения весовых коэффициентов функционала (13)
P1 =
1
з + 272
; p = 2 + 272 ; 2 3 + 2 ^../2
Управление и(t) , доставляющее минимум функционалу (13) на решениях системы (12), в соответствии с общей
Летов A.M. Динамика полета и управление.-М.: Наука, 1969.-312С.
Янушевский Р.Т. Теория линейных оптимальных многосвязных систем управления. -М.: Наука, 1973.-464с. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. -М.: Наука, 1970.-484с. Салуквадзе M.E. Об оптимизации векторных функционалов // Автоматика и телемеханика. -1971.-№9.-С.5-15. Салуквадзе M.E. Задачи векторной оптимизации в теории управления. - Тбилиси, 1975.-201с.
Аврамов В.П., Александров E.E. О выборе показателя качества в теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов //Изв. вузов. Приборостроение.- 1976.-№10.-С.32-36.
Александров E. E., Бех М.В. Автоматизированное проектирование динамических систем с помощью функций Ляпунова. - Харьков: Основа, 1993.-113с.
Александров E.E., Кузнецов Б.И., Тернюк Н.Э. и др. Оптимизация электромеханических систем с упругими элементами. -К.: ВИПОЛ, 1995.- 288с.
Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. - М.: Наука, 1978. - 551с.
10. Александров E. E., Кузнецов Б. И., Богаенко И. Н. и др. Многоканальные системы оптимального управления.- К.: Техшка, 1995.-228с.
