CC BY
28
УДК 528.48
О ВСТАВКЕ ПУНКТА В ТВЁРДУЮ ФИГУРУ НА ОСНОВЕ ЛИНЕЙНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Соколов Юрий Григорьевич к. т. н., профессор
Бень Владимир Степанович профессор
Струсь Сергей Сергеевич ассистент
Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия
Статья описывает сгущение геодезических сетей путём вставки пункта в жёсткую фигуру на основе линейных измерений. Рассматриваются способы уравнивания полученных результатов. Приводится оценка точности определения положения определяемого пункта.
Ключевые слова: ПУНКТЫ, ЛИНЕЙНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ, ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ, ПОПРАВКИ
UDC 528.48
ABOUT A POINT INSERT IN A RIGID FIGURE ON THE BASIS OF LINEAR MEASUREMENTS
Sokolov Yuri Grigorievich Cand. Tech. Sci., professor
Ben Vladimir Stepanovich Professor
Strus Sergey Sergeevich assistant
Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia
The article describes a condensation of geodetic networks by a point insert in a rigid figure on the basis of linear measurements. Ways of equalising of the received results are considered. The estimation of accuracy of definition of the defined point position is resulted.
Keywords: POINTS, LINEAR MEASUREMENTS, ESTIMATION OF ACCURACY, CORRECTIONS
Пункты заполняющих геодезических сетей обычно определяют вставкой одиночных или группы пунктов путём выполнения угловых измерений. В настоящее время в связи с широким внедрением в производство свето-дальномерной техники появилась возможность оперативно и качественно, взамен угловых, производить линейные измерения, на которые, как известно, внешние условия, центровка и редукция оказывают значительно меньшее влияние, чем на угловые.
В работе предлагается положение пункта заполняющей сети определить путём выполнения только линейных измерений. Для сгущения геодезических сетей путём вставки пункта в жёсткую фигуру на основе линейных измерений рассматриваются способы уравнивания полученных результатов. Приводится оценка точности определения положения определяемого пункта.
Рис. 1. Вставка пункта в твёрдый n-угольник Пусть имеем твёрдую фигуру n-угольник, в которой измерены длины линий S1, S2, ..., Sn: P - определяемый пункт. Без учёта ошибок исходных данных каждой измеренной стороне при параметрическом способе уравнивания будет соответствовать одно уравнение погрешностей вида:
v pi =-cosapi dXp - sin api 5Yp + fPi ,(i = 1,2,..., n) (1)
где
fPi = SPi - SPi,
i к
Spi - вычисленное, а Spi - измеренное значение стороны; a pi - дирекционный угол стороны Spi;
dXp,5Yp - поправки в предварительные координаты точки P, полученные из решения, например, линейной засечки по сторонам Si и
S2-
Решение уравнений погрешностей выполняется по методу наименьших квадратов с соблюдением условия [vv] = min (для равноточных измерений длин сторон).
Коэффициенты нормальных уравнений будут:
n 2
[aa]=^ cos a pi, i=1
1n
[ab] = — E sin 2a p,.
n
[bb]=E sin a pi, i=1
n
[af ]=-E fPi ■cos a Pi-i=1
[bf ]=-E fPi •sin a Pi. i=1
Искомые поправки SXp и SYp найдутся из решения нормальных урав-
нений:
[aa]SXp + [ab]SYp = [af ] = 0,
[ab]SX p + [bb]SYp = [bf ] = 0,
(2)
а поправки в измеренные стороны вычисляются по формуле (1).
Оценку точности положения одиночно определяемого пункта можно выполнить по известным в теории ошибок формулам.
M = ms
aa
+
bb
[aa][bb] - [ab]2
mS
vv
n - 2
(3)
где
ш$ - средняя квадратическая ошибка линейных измерений, п-2 - число избыточных измерений.
Для случая правильного п-угольника выразим коэффициенты при неиз-
360
вестных через углы У1,У2,...,Уп
n
g при центральной точке P.
Примем дирекционный угол стороны Spi равным нулю (a = 0). Тогда получим для уравнений (1):
Vpl =-cos0°8Xp -sin0°SYp + fpi; (4)
vp2 =-cosgSXp - singSYp + fp2;
урп = _соб(п - 1)удХр - б1п(п - 1)у5Ур + /рп.
Коэффициенты нормальных уравнений в этом случае будут иметь вид:
Г О гк О о л П
[аа\ = соб 0 + соб у + соб 2/ +... + соб (п -1)/ = —
(5)
[аЬ\ = соб 0° • б1п 0° + соб у • б1п у + соб 2у • б1п 2у + ... + + соб(п - 1)у • б1п(п - 1)у = 0;
[ЬЬ\ = б1п2 0° + б1п2 у + б1п2 2у +... + б1п2(п - 1)у =
• 2,
п
2
а средняя квадратическая ошибка положения пункта Р, согласно (3), найдётся
по формуле:
М
2т$
(6)
Например, для правильного шестиугольника получим М = 0,8 • 2т$
Рассмотрим коррелатный метод уравнивания.
Для избыточно измеренных сторон $5, Б4, Бп запишем условные
уравнения вида [1,2].
\ /Ч +
ЭХр ЭУр .
——соб а 3 +----— Б1п а 3
Э$! 3 Э$! 3
ЭХр ЭУр .
——соб а 3 +----— Б1п а 3
ЭБ2 ЭБ2
Эхр эур .
——соб а 4 +-----— Б1п а 4
Э$! 4 Э$! 4
Л С v1 +
Эхр Эур .
——соб а 4 +-----— Б1п а 4
ЭБ2 ЭБ2
v2 + у3 + /Б 3 = 0; (7)
v2 + у4 + /Б 4 = 0;
V
Эхр Эур .
—— соб а п +--------— Б1п а п
ЭБ1 п ЭБ1 п
1
V! +
V
Эхр Эур .
——соб а п +----— Б1п а п
ЭБ2 п ЭБ2 п
2
v2 + уп + /Бп = 0
где направления дирекционных углов а3,а4,...,ап показаны на рис.1 стрелками;
/б = Б"-Б' - невязка в длине стороны, при этом значения сторон Б" - измеренное, а Б ' - вычисленное по формуле:
Б'=^(Х, - Хр )2 + (У, - Ур)2, ,=3, 4.....п.
http://ej.kubagro.ru/2009/01/pdf/04.pdf
Частные производные по измеренным сторонам Б\ и Б2 найдём путём дифференцирования известных формул линейной засечки:
Хр = X2 + д(Х 1 - X2) + Л(У, - У2), (8)
Ур = У2 + д(¥1 - У2) + Л( X1 - X 2),
где
q =
h=
2
1 +
%
S
2
S1
2
S
S
_2_
S
2
q
В результате после несложных преобразований получим, согласно [2]:
(p - x2) (9)
-xp = A- (p - Y2 );-Yp
-s, s 2 h p ЭS
1
-xp
1
. S_
S 2 h
S2 (l - xp ))Yp = (у, - Yp).
S 2 h
(10)
-S 2 S2 h -S 2
Полученные выражения можно упростить. Для этого умножим и разделим выражение (9) на S2, а (10) - на S1. В результате получим:
Эxp = sin a2 ; ЭYp = cosa2 ;
-Si sin /і
Эxp = sin al;
-Si sin /1
-Yp = cos al
(11)
dS2 sin Yi ’ dS2 sin Yi
Подставим найденные частные производные в (7). Получим: sin (a2 - a3) sin (a3 - ai)
sin /і
. vl +
sin /1 sin /1
sin (a2 - a4) sin (a4 - al)
-vl +
sin /1
v2 + v3 + fS 3 = 0; v2 + v4 + fS 4 = 0;
(12)
1
sin (a2 - an) sin (an - al)
sin /1
vl +
sin /1
v2 + vn + fSn = 0.
Решая эту систему уравнений под условием [уу] = тїп , найдём искомые поправки в длины сторон.
Для правильного, например, шестиугольника примем
щ = 1800,«2 = 240° щ = 300° ,«4 = 0° ,«5 = 600,«6 = 1200. Тогда условные уравнения (12) примут вид:
- у1 + у2 + уз + з = 0;
- у1 + 0 + у4 + 4 = 0; ^ (13)
0 - у2 + у5 + /Б5 = 0; у1 - у2 + у6 + /Б6 = 0. а нормальные уравнения будут:
ЗК1 + К2 - Кз - 2К4 + /бз = 0; (14)
К1 + 2 К 2 + 0 + К 4 + /Б 4 = 0;
- К1 + 0 + 2Кз + К4 + ^5 = 0;
- 2К1 - К 2 + К з + зК 4 + /б 6 = 0. где К - коррелаты.
Для оценки точности определения положения пункта Р найдём обрат-
11 ные веса------- и
Рїх Рїу
Весовые функции, согласно (11), будут иметь вид: їх =-Уь рУ = 0,577VI - 1,155у2 .
Тогда
[аїх ] = +1; [аїу ] = -1,7з2; [Ьїх ] = +1; [Ьїу ] =-0,577;
[cFX ] = 0; [cFY ] =+1,155; [йїх ] = -1; [йїу ] = 1,7з2.
Присоединяя эти значения к уравнениям (14) и решая полученную систему по схеме Гаусса, найдём обратные веса и . Пример решения
Рїх Рїу
полученной системы приведён в таблице 1.
Таблица 1.
Вычисление обратных весов по схеме Г аусса
К! К2 Кз К4 РХ
+3 +1 -1 -2 +1 -1,232
-0,333 +0,333 +0,667 -0,333 +0,577
+2 0 -1 +1 -0,577
-0,333 +0,333 +0,667 -0,333 +0,577
+1,667 +0,333 -0,333 +0,667 0
-0,200 +0,200 -0,400 0
+2 +1 0 +1,155
-0,067 +0,067 -0,133 0
-0,333 -0,667 +0,333 -0,577
+1,600 +0,400 +0,200 +0,577
-0,250 -0,125 -0,361
3 -1 +1,732
-0,100 -0,050 -0,144
-0,067 +0,133 0
-1,334 +0,667 -1,155
+1,499 -0,250 +0,433
+0,167 -0,289
+1,000 +1,666
-0,333 -0,999
-0,267 0,000
-0,025 -0,208
-0,041 -0,125
1 -0,334 1 -+0,334
р¥х сц
Средняя квадратическая ошибка определения положения искомого пункта Р составит:
М = ш$ ——I—— = ш$л]0,668 = ±0,82ш^.
V РРх Р¥у
Как и следовало ожидать, средние квадратические ошибки положения точки Р совпадают как при параметрическом, так и при коррелатном способах уравнивания. Предпочтение в рассматриваемом примере всё же следует отдать параметрическому способу, как более простому, в котором сразу находятся поправки 8Хр и 5їр в предварительные координаты.
Литература
1. Соколов Ю.Г., Тимошенко Н.А. Об уравнивании заполняющих геодезических сетей из четырёхугольников с измеренными сторонами. - Ростов-на-Дону: «Земельный кадастр», Сб. научных трудов №4, 2002. - с.17-23.
2. Соколов Ю.Г., Тимошенко Н.А., Данильченко П.М. К вопросу составления условных уравнений в геодезических сетях из четырёхугольников с измеренными сторонами. - КубГАУ, Научный журнал «Электронный ресурс - Краснодар» №28, 2007. - с.7.
