CC BY
29
УДК 528.48
К ВОПРОСУ ПРЕДРАСЧЕТА ТОЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ ТОЧЕК В СЕТЯХ ИЗ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ С ИЗМЕРЕННЫМИ СТОРОНАМИ
UDC 528.48
TO THE QUESTION OF PRELIMINARY CALCULATION OF ACCURACY OF DOT COORDINATES DETERMINATION IN NETS FROM QUADRILATERALS WITH MEASURED SIDES
Соколов Юрий Григорьевич к.т.н., профессор
Тимошенко Н.А. ассистент
Sokolov Yury Grigorievich Cand. Tech. Sci., professor
Timoshenko N.A. lecturer
Данильченко П.М. к. с.-х. н., доцент
Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия
В статье показано, что так называемые «переходные коэффициенты» А, В, С и Д, участвующие в составлении условных уравнений, характеризуют геометрию фигур и могут быть использованы для оценки точности положения точек сети. Предлагается использовать рекуррентную формулу для определения средних квадратических ошибок пунктов, полученных в результате накопления ошибок, определяемых последовательными линейными засечками.
Ключевые слова: КООРДИНАТЫ ТОЧЕК, СЕТИ ИЗ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ, РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАСЕЧКИ, ПЕРЕХОДНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Danilchenko P.M.
Cand. Agr. Sci., associate professor
Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia
There was shown that so called “transitive coefficients” A, B, C and D, taking part in making of conditional equations, characterize the geometric figures and can be used to assess the accuracy of net dots position. It is offered to use the recurrent formula to determine the average quadrative point mistakes, received in the result of errors accumulation determining the contiguous linear serifs.
Key words: DOT COORDINATES, NETS FROM QUADRILATERALS, RECURRENT FORMULA, CONTIGUOUS LINEAR SERIFS, TRANSITIVE COEFFICIENTS.
В работах [1,2] показано, что для определения коэффициентов условных уравнений для уравнивания геодезических сетей из четырехугольников с измеренными сторонами, требуется знать, так называемые «переходные коэффициенты» А, В, С и Д, имеющие следующий вид:
А = q - (q -1) • cos 2 aB - — h • sin 2aB
1 + q(1 - q)
sin 2aB
B = h - (q -1)-------------------B-
! • sin a
1 + q( - q)
sin 2aB 2
C = -h -(q -1)---------------+ h • cos aB
1 + q(1 - q)
1 + q(1 - q)
_ h2 _
где aВ - дирекционный угол базовой линии АВ (рисунок 1).
D = q -(q - 1)sin2 aB + 2h • sin2 aB
h
h
h
1 +
S2
B
Si I2
в
; h=
Si I2
в
Рисунок 1 - К упрощению коэффициентов А, В, С, Д
Полученные коэффициенты А, В, С и Д можно существенно упростить. Учитывая, что В = Н, О- = гду2 и запишем для коэффици-
ента А следующее выражение:
A = — 2
1+
S2 - Si2 в2
1 11 H . . cos (y, - y2)
cos 2a + —cos 2a +--------------sin 2a--------------—-—
2 2 2 B cosy 1 • cosy2
Из рисунка 1 видно, что cos y j = H, cosy2 = H. Тогда для А получим:
S1 S 2
A = 1
2
1 (s 22 - S12 )
cos 2a
B2
S1 • S2 . „ , ч
—— sin 2a • cos (y 1 - y 2) B • H
На основании теоремы синусов запишем:
B
(2)
sin j1 sin g
S 2 = sin j1 = cosy 1 ;
B sin g sin g 5
S1 = cosy 2 B sin g
В результате после несложных тригонометрических преобразований получим:
sin (y 1 - y2 )
S 2 - S1
B2
sin g
2
1
2
q
q
2
2
Кроме того, из соотношения
H / 51 sin g
Подставляя выражения (3) и (4) в (2), получим:
B . B • H
— найдем sin g =---------
S1 •S 2
(4)
A =-
, sin(y —y2) cos(y —y2) . „
1+—vn 121 co^la--------sin2a
sing
sing
. 1 L sin[(y1 —y2)—2aB ]1
или A =-í1+ -----—!
2 [ sing J
(5)
Переходя через углы у 1 и у2 к дирекционным углам сторон ^ и 82, получим:
A = I
2
1+
sin (a1 + a 2)
sin g
sin a
sin g
• cos a1.
(6)
Аналогичным образом находим выражения для остальных коэффициентов:
_ sin a2
B =----------2 • sin a1;
sing
C = cos a2
sin g
^ cos a2
D =----------
sin g
• cos a1;
• sin a1.
(7)
Следует заметить, что приведенные коэффициенты характеризуют геометрию фигур (четырехугольников), т.к. соблюдается равенство
(8)
A 2 + B 2 + C 2 + D 2 = 1
sin2g
Это подтверждается и известной формулой оценки точности положения
пункта, определенного линеинои засечкой:
2 2т2
т =
sin2g
(9)
где т3 - средняя квадратическая ошибка линейных измерений.
Таким образом, по углам g можно предрассчитать ожидаемую точность определения положения точек сети (рисунок 2).
Рисунок 2 - Сеть из четырехугольников с измеренными сторонами.
Так, без учета ошибок исходных данных (точек 1, 2,..., 5,6) средняя квадратическая ошибка (м12) точки 1.2 будет складываться из ошибки точки 1.1 и ошибки линейной засечки точки 1.2
2 2 2 2 М= т1Л + т12 = 2 т5
Аналогично можно найти
1 1
22 /1.1 81П /1.2 у
(10)
Мл=т^л+тг.1=2т2
м|2=м|1+м22+т.2=2т2
м|3 = Мг2 + М^з + тг.з = 2т2
22 вт 71.1 вт 72.1
2 1 1 1 Л
—+~Г2—+~Т2-------+ ~Т2---
71.1 вт 71.2 эт 72.1 вт у21
/
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
•2 -2 -2 -2 -2 -2
уи в1п У12 в1п уи в1п /2.1 в1п /2.2 в1п У2.3 ^
(11)
То есть для вычисления средних квадратических ошибок М1 г узловых точек сети применяется рекуррентная формула вида
М1г = М1г _1 + М 12_1 г + тіг
(12)
1
1
Как видно из (4), применяя рекуррентную формулу, приходится опираться на значения двух ранее найденных средних квадратических ошибок точек, что достаточно трудоемко, т.к. углы g по мере удаления определяе-
мых точек от исходных повторяются различное число раз. Поэтому для вычисления средних квадратических ошибок узловых точек целесообразно составить таблицу, используя которую, можно легко находить значения коэффициентов К1г, характеризующих число повторений углов g в зависимости от местоположения определяемой точки. Для сети размером гх/, состоящей из квадратов, ^1Л = g1.2 =... = g/.r = 90') величину выражений в скобках можно найти по формуле [з].
у. = п(п - 1)(п - 2)-(и - Г + 1) _ 1 (13)
г 1-2-3...г ’
где п=/+г. Например, для точки с координатами /=4 и г=4, получим п=/+г=8, (п-г+1)=8-4+1=5, К44 = 8 7 6 5 -1 = 69 .
1 - 2 - 3 - 4
Литература
1. Соколов Ю.Г. Патент РФ № 2178869, 2002 г.
2. Соколов Ю.Г., Тимошенко Н.А. Об уравнивании заполняющих геодезических сетей из четырехугольников с измеренными сторонами. Земельный кадастр: Сборник научных трудов. - Выпуск № 4, Ростов - на - Дону, 2002 г., с 63-67.
3. Соколов Ю.Г., Григулецкий В.Г., Тимошенко Н.А. Об оценке точности проектов заполняющих сетей четырелатерации. Оросительные мелиорации в Краснодарском крае. Сборник научных трудов КГАУ, Выпуск 364, Краснодар, 2000 г., с 191-199.
