Разности повторных измерений как объекты статистического анализа Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Геодезия

УДК 519.2:528.1

РАЗНОСТИ ПОВТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

КАК ОБЪЕКТЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Наталья Борисовна Лесных

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Пла-хотного, 10, кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник СГГА, тел. (383)343-29-21

Владимир Евгеньевич Мизин

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Пла-хотного, 10, старший преподаватель кафедры геодезии СГГА, тел. (383)344-36-60, e-mail: [email protected]

Исследовано соответствие статистических свойств ошибок измерений результатам анализа разностей повторных измерений и разностей координат пунктов полигонометрического хода.

Ключевые слова: мониторинг, смещение, анализ, разность, ошибка, координата.

DIFFERENCES OF THE REPEATED MEASURING ASOBJECTS OF STATISTICAL ANALYSIS

Natalya B. Lesnykh

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., associate Prof., leading Researcher SSGA, tel. (383)343-29-21

Vladimir E. Mizin

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., senior lecturer, department of geodesy SSGA, tel. (383)344-36-60, e-mail: [email protected]

The differences of coordinates and the differences of measurements of traverse are researching as the object statistical analysis.

Key words: monitoring, displacement, analysis, difference, error, coordinate.

Наличие систематических ошибок смещения геодезической основы при мониторинге инженерного сооружения может быть обнаружено статистическим анализом ошибок измерений или их линейных функций [1, 2]. Так как ошибки измерений неизвестны, объект анализа должен быть таким, чтобы по его свойствам можно было достоверно судить о свойствах и законе распределения ошибок измерений. Рассмотрим и сравним два возможных объекта статистического анализа - разности повторных измерений и разности уравненных координат пунктов геодезической основы.

Плотность распределения разности двух независимых нормально распределенных случайных величин Z = X - Y, полученная на основе общей формулы композиции законов распределения:

(X-Mx )2 _ (x-z -MY У

(1)

27

Геодезия

является плотностью нормального распределения

(z _ (Mx _MY ))■

2(оХ + aj)

(2)

с параметрами

MZ = Mx _ MY

Z

математическим ожиданием и

z

- средним квадратическим отклонением [1].

Таким образом, теоретически, если результаты независимых повторных измерений распределены нормально, то и их разности будут подчиняться нормальному закону распределения.

Уравненные координаты не являются линейными функциями результатов измерений. Общего теоретического обоснования закона распределения разностей нелинейных функций нормально распределенных результатов измерений не существует. Исследования, выполненные на моделях различных нелинейных функций, обнаружили отклонения закона распределения подобных функций от нормального [3].

В частности, проследим возможное влияние распределения аргументов на закон распределения приращений координат полигонометрического хода:

Случайные ошибки приращений координат будут равны соответственно:

Одним из аргументов функций (4) является случайная ошибка дирекционно-го угла, которая, в свою очередь, представляет собой функцию накопленных аргументов - случайных ошибок измеренных углов полигонометрического хода

Подобные функции могут и при нормальном распределении угловых ошибок сохранять на значительном протяжении ряда ошибок один и тот же знак, что при статистическом исследовании будет восприниматься как уклонение от свойств случайных ошибок измерений. При определенных значениях дирекци-онных углов первые слагаемые функций (4) будут малы и не исправят возникшую ситуацию с распределением знаков.

Ax. = S. cos а. и Ay. = S. sin а..

(3)

(4)

(5)

j=1

28

Геодезия

После уравнивания по методу наименьших квадратов (МНК) приращения координат получают поправки:

v(0 v(0

= vSS )cos a. ——Ay., v{^ = v£° sin a. н——Ax. (6)

P P

При этом для нормально распределенных ошибок измерений сохраняется возможность рассмотренной выше ситуации, тем более, что поправки в координаты сами являются накопленными функциями поправок в приращения координат.

С другой стороны, в случае наличия систематических ошибок смещения максимальные поправки к результатам измерений окажутся меньше максимальных ошибок, в соответствии с принципом МНК [ pv2] = min:

[pv2] < [pA2].

(7)

Вследствие этого, систематические ошибки смещения пунктов геодезической основы, возможно, не будут обнаружены статистическим анализом разностей уравненных координат.

Приведем результаты экспериментальных исследований разностей повторных измерений сторон и разностей уравненных координат пунктов полигонометрического хода. Средняя квадратическая ошибка измерения стороны хода m = 3,6 мм. Для двух циклов двойных наблюдений сторон, в количестве n = 17, № 1, 2 (первый цикл) и № 3, 4 (второй цикл) вычислены разности d(2-1), d(3-1), d(4-3), d(3-2), d(4-2), d(4-1), которые по результатам статистических исследований носят случайный характер. Затем в ряды № 3 и № 4 измеренных значений сторон второго цикла были внесены систематические ошибки 5 < 2 m смещения пунктов геодезической основы. Разности, содержащие смещенные значения сторон, по результатам статистического анализа не случайны [4].

Для проверки статистических свойств разностей координат было выполнено уравнивание полигонометрического хода по МНК в шести вариантах. Обнаружено, что при случайных разностях измерений встречаются ряды разностей координат с преобладанием одного знака, а для неслучайных разностей измерений в некоторых вариантах можно предположить случайный характер разностей координат. Результаты статистического анализа таких разностей координат приведены в таблице.

Приняты обозначения:

X, У - уравненные координаты i-го ряда наблюдений (i = 1, 2, 3, 4);

У(5) - уравненные ординаты смещенных пунктов .-го ряда наблюдений;

d и a - оценки параметров нормального закона распределения - среднее арифметическое разностей координат и оценка их среднего квадратического отклонения;

tэ =

d -M(d)^Jn / a - статистика критерия равенства средних (M(d) = 0).

29

Геодезия

Таблица

Статистические свойства разностей координат

Разности d (мм) а (мм) 1э Р(1э < t) Три свойства

Неслучайные разности координат при случайных разностях измерений

Х2 - Х1 - 5,0 4,3 4,72 тГ 1 О С<Г -

1 1 ^ IK - 9,2 9,8 3,88 1,3 • 10-3 +

Х4 - х1 - 5,2 5,8 3,66 2,1 • 10-3 ±

Случайные разности координат при неслучайных разностях измерений

У5) - У2 - 8,5 13,7 2,56 0,021 +

У5) - У1 - 5,3 9,7 2,26 0,038 +

У5) - У1 - 6,8 12,8 2,17 0,045 +

Разности абсцисс х2 -x1, х4 -x3, х4 - х1 неслучайны. Средние арифметические этих разностей существенно отличаются от нуля. Вероятности достигаемого уровня значимости критерия равенства средних Р(1э < t) - малы. Однако, вывод о том, что и ошибки измерений будут неслучайны, является неверным.

Разности ординат у45) -у,; у35) -л; у45) -yi обладают всеми свойствами случайных ошибок. Систематическая ошибка смещения пунктов статистическим анализом этих разностей не была обнаружена.

Таким образом, если целью статистического анализа не является определение закона распределения именно разностей координат, рекомендуем для определения статистических свойств ошибок измерений использовать в качестве объекта анализа разности повторных измерений.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лесных Н.Б. Объекты статистического анализа в геодезии: монография. - Новосибирск: СГГА. - 2010. - 128 с.

2. Лесных Н.Б., Мизина Г.И. Законы распределения зависимых и независимых поправок // Вестник СГГА. - 1999. - Вып. 4. - С. 54-56.

3. Лесных Н.Б., Лесных А.И., Мизина Г.И. Сравнительная характеристика законов распределения геодезических данных // Вестник СГГА. - 2000. - Вып. 5. - С. 49-54.

4. Лесных Н.Б., Мизин Е.В. Сравнительная характеристика результатов двух статистических методов анализа разностей повторных измерений // Вестник СГГА. - 2012. -Вып. 1 (17). - С. 41-46.

Получено 17.12.2012

© Н.Б. Лесных, В.Е. Мизин, 2013

30