Предрасчет точности координат полигонометрического хода для целей мониторинга земель линейных объектов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 528.4:519.2 В.Е. Мизин СГГА, Новосибирск

ПРЕДРАСЧЕТ ТОЧНОСТИ КООРДИНАТ ПОЛИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО ХОДА ДЛЯ ЦЕЛЕЙ МОНИТОРИНГА ЗЕМЕЛЬ ЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ

Предложен алгоритм для предрасчета точности положения пункта полигонометрического хода в системе Mathcad с вычислением элементов формул отдельно для угловых и линейных коэффициентов и последующим их суммированием. Алгоритм может быть использован при выборе проекта хода, для сравнения с результатами повторных наблюдений при мониторинге линейного объекта.

V.Ye. Mizin SSGA, Novosibirsk

PREDESIGN OF A TRAVERSE COORDINATES ACCURACY FOR LINEAR OBJECTS AREAS MONITORING

The author offers the algorithm for precomputating the traverse point position accuracy in Mathcad system, with formulas elements being computed separately for angular and linear coefficients and summarized afterwards. The algorithm may be used while choosing the traverse design to be compared with duplicate observations of linear object monitoring.

Ходы полигонометрии, создаваемые с использованием электронных тахеометров, являются удобной геодезической основой протяженных линейных объектов. Мониторинг линейного объекта предполагает получение информации о положении пунктов геодезической основы. Первоначальная информация подобного рода может быть получена на стадии проектирования полигонометрического хода. По значениям углов (дирекционных углов) и сторон, измеренных на схеме хода, можно вычислить коэффициенты условных уравнений (А) и весовых функций (F) и по известной формуле [1], через элементы обратной матрицы N-1 определить обратный вес любой функции уравненных результатов измерений хода - углов и сторон

-^-=FTПF-FTПАТN~lAnF . (1)

PF

Для выполнения подобных расчетов разработан алгоритм с использованием системы Mathcad [2]. Исходные данные: n - число сторон в ходе; ар, aS - средние квадратические отклонения (средние квадратические ошибки углов и сторон); S - стороны и a - дирекционные углы, снятые со схемы хода; q - номер оцениваемой точки.

Особенность предлагаемого алгоритма решения в системе Mathcad -вычисление коэффициентов нормальных уравнений и элементов формул обратного веса функций по частям (отдельно для угловых и линейных коэффициентов) с последующим их суммированием. Подобный прием

обеспечивает более компактное представление исходных и промежуточных данных.

Обозначим:

С

З,ж-Г

1

1

zf) ъ<р

С{Р) С(Д) 1 2

и+1

(2)

^ = хп

О

О

eos а^ eos «2 sin dj sin «2

О

cosa

n

sin a

n

(3)

- блоки матрицы коэффициентов условных уравнений поправок

А =(С В).

Получим формулу для вычисления матрицы коэффициентов нормальных уравнений коррелат

N=(C В)-

ГЕ 0Л

О п

V

/

Í т\

С1

rT

\в j

= С-Е В-U

í т\

С1

rT

\в j

Здесь Е - единичная матрица обратных весов угловых измерений; П - матрица обратных весов линейных измерений.

Ы=С-СТ +В-и-ВТ, (4)

7 Л

F

п+1,1

/

2

fe

Я 0

0

v J

^cos а^ Л

•4,1 ~

cosa

2

cosa

q-1

0

0

Ф

п+1,1

Фу

Ф2

'q

о

V j

^sillCCj Л

ф 1 = гпл

sm а,

2

sina

q-1

0

0

- составляющие векторов коэффициентов весовых функций /<'=х^ и Ф = Уд-Здесь

л,

р

Получим формулу для вычисления обратного веса функции с использованием блочных матриц.

ГЕ

P

1 =FT fT

F

FT fT

О П

/

vy

E 0 О П

i T \

CT rT

N~l- С В ■

E 0 О П

rF\

J j

Формула для вычисления обратного веса функции F = хч принимает вид:

F

-(FT-СТ +fT ■Tl-BT)-N~l-(C-F+B-U-f).

(5)

Аналогично для функции Ф = yq 1 /Рф=(ФТ •Ф+фТ П-ф)-

-(ФТ-СТ +фТ •П-ВТ)-Ы~1-{С-Ф+В-1\-ф).

(6)

Выполним сравнение точности определения положения 6 - ой точки полигонометрического хода с числом сторон п = 14 для двух вариантов проектов, отличающихся точностью измерений углов и сторон. Для первого варианта ар = 3,0", ав = 1,00 см. Для второго варианта проекта ар = 2,0", ав = 3,0 см. Ниже показано представление исходных данных и порядок вычислений.

Первый вариант

а = 90 100 102 83 78 83 73 53 57 67 87 67 67 82 а \=аТ S := 250 300 400 250 260 270 230 290 220 300 400 260 270 280

c>ß\= 3 crS\=\ q\= 6 п\= 14 /:=0..(л-1) j\=Q..n S:=ST-100

о2

F.= 0..(q-\) := Sf. ■ sin Ar- р\= 206265

1 1 180 1 1 1

dx :=S -cos Ar- x. ,\=x. + dx. y. -,:=y.+dy. Cn .:= 1 Br, .:= 0 11 i l+l i i Ji+1 Ji Ji 0,/ 0л

C

Уп-У

J

JCm jc •

J

1J" 206265

с •=

2 J' 206265

Д .:=cos Ar- .:=sin Ar-u ^ 2j г

Ф/:=.

:=0Ф; :=0 ^ :=0 :=0 ^ :=sm(^) Fj := p i p /7:=cos Arj N:=C-CT +B-U-BT FF:=FT-F + fT-П-/ FT-CT +fT-U-BT C-F+B-Yl-f Пx\=FF-FA

Ф2:= ФТ-СТ +фТ-U-BT С-Ф + В-П-ф Цу:=Ф1-Ф2

mx :=&ß • л/Пх my :=&ß ■ у/Hy M := ^Jmx2 + my2

Пх = 0.347 Цу= 0.376 mx= 1.768 my= 1.84 M= 2.552

По первому варианту получены следующие результаты: обратные веса координат шестой точки: 1/Px = 0,347; 1/Py = 0,376. средние квадратические ошибки координат mx= 1,77 см, my = 1,84 см. средняя квадратическая ошибка положения 6 - ой точки хода М = 2,55

см.

Второй вариант

а = 90 100 102 83 78 83 73 53 57 67 87 67 67 82 5 := 250 300 400 250 260 270 230 290 220 300 400 260 270 280

aß\= 2 crS:=3 q:= 6 л:=14 /:=0..(л-1) у:=0..я S:=Sr-100

mx := er/? • л/Пх my :=aß • у/Uy M := yjmx2 + my2

Пх= 0.707 Цу- 6.533 мх = 1.681 ту= 5.112 М= 5.381

По второму варианту получено:

обратные веса координат шестой точки: 1/Px = 0,707; 1/Py = 6,53. средние квадратические ошибки координат mx= 1,68 см, my = 5,11 см. средняя квадратическая ошибка положения 6 - ой точки хода М = 5,38

см.

Сравнение результатов вычислений позволяет отдать предпочтение первому варианту.

Полученная информация о точности определения положения пункта проектируемого хода может быть использована для сравнения с результатами последующих наблюдений при мониторинге линейного объекта.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лесных Н.Б. Метод наименьших квадратов на примерах уравнивания полигонометрических сетей. - Новосибирск: СГГА, 2007. - 160 с.

2. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Mathcad 7 математике, физике и в Internet. -М.: Недра, 1970. - 190 с.

© В.Е. Мизин, 2010